Skip to main content

Full text of "Leonhardi Euleri Dioptrica Volumen Posterius"

See other formats


LEONHARDI  EULERI  OPERA  OMFTA 

SUB  AOSPICIIS  SOCIETATIS  SCIENTIAKUM  NATUEALIUM  HELVETICAE 

EDENDA  CUEAVJ  RUNT 

FERDINAND  RUDIO      ADOLF  KRAZBR     PAUL  STACKEL 


SERIES  m      OPERA  PHYSICA    MISCELLANEA    EPISTOLAE      VGLUMKN  IV 


LEONHARDI  EULEKI 


DIOPTRICA 


EMIL  CHEEBULIEZ 


VOLUMEN  P08TEEIUS 


CABNEGIE  INSTITUTE 
OF   TECHNOLOGY 


THE    LIBRARY 


LEONHARDI  EULERI 

OPERA  OMNIA 


LEONHAEDI  EULERI 

OPERA  OMNI  A 

SUB  AUSPICIIS 

SOCIETATIS  SCIENTIAKUM  NATURALIUM 

HELYETICAE 


EDENDA  CURAVERUNT 


RITDIO 
ADOLF  KRAZBR     PAUL  STACKEL 


SBEI1S  TEETIA 

OPERA.  PHYSICA    MISCELLANEA    EPISTOLAE 

VOLUMEN  QUAETUM 


LIP8IAE  BT  BEBOLINI 

TYPIS  IT  IN  ABDIBUS  B.G.TEUBNEBI 

MOMXII 


LEONHARDI EULERI 


DIOPTRIOA 


EDIDIT 

EMIL  CHERBULIEZ 


VOUUMEN  POBTBRIUS 


HPSIAE  IT  BEBOLINI 

TIPI8  ST  IN  AEDIBUS  B.G.TEUBNERI 

MCMXJI 


ALL!  BBCHTE,  ECNTSCELIES8L10E  BIS  telESFTZmfG^ElOTTB,  YOEBlEAIiTlN. 


DIOPTRICAE 

VOLUMEN  POSTERIUS 

OONTINEN8 

LIBIU  SKCT7NDI  BECTIONEM  TERTIAM  ET  APPENDICEM 

HBRUM  TERTIUM 


DIOPTRICAE 

PARS    SECVNDA, 

CONTINENS 

LIBRVM     SECVNDVM, 

CONSTRVCTIONE 

TELESCOPIORVM 

DIOPTRICORVM 

CVM 

APPENDICE 

DE 

CONSTRVCTIONE 

TELESCOPIORVM  CATOPTRICO- 

DIOPTRICORVM, 


A  V  C  T  O  RE 

LEONHARDO      EVLERO 

ACAD.    SCIENT.    BORVSSIAE   D1RECTORE   VICENNAL1  ET   SOCIO 
ACAD.    PETROP.   PARISIN.   ET   LOND. 


PETROPOLI 

Academiae    Imperialis    Scientiarum 
1770* 


INDEX  OAPITUM 
IN  TOMO  II     GONTENTOBUM 

IN  SECTIONS  PBIMA1) 

DE  TELESOOPH8  PE1MI  GENERIS  QUAB  LENTE  OOULAEI  CONGA VA 
IN8TKUCTA  OBIEOTA  SITU  EEEOTO  REPRAESENTANT 

Oaput  I.      Be  Toloscopiis  in  genero. 

Oaput  IL    Do  lontibus  obiectivis  componitis  atque  perfectifl. 

Oaput  III,  De  diBtributiono  Telescopiorum  in  tria  genera  praocipua. 

Oaput  IV*  Da  Telascopiis  primi  generis,   quao  imagine  vera   destituuntur  et 

obiecta  situ  erocto  repraosentant. 

Cap nt  V*    De   ultorioro  Telescopiorum    primi    generis  perfectione  una  pluri- 
lentibuB  adiiciendiB. 


IN  SBCTIONE  SBOUNDA 

DR  TELKSCOPIIS  SECtJNDI  OKNEBIS  QUAK  LENTE  OOULAKI  CONVEXA 
1NSTBUOTA  OBIECTA  SITU  1NVERSO  EEPRAESENTANT 

Oaput  L     DB  Telescopiis  simplicioribus  secundi  generis  ex  unica  vitri  specie 

paratis. 
Caput  II.    De  ulterior!  horam  Telescopiorum  perfectione,  quam  quidem  unicam 

vitri  speciem  adMbendo  assequi  licet, 
Caput  in*  Da  ulterior!  Teleseopiorum   secundi    generis   perfectione    diyersas 

yitri  ipeciea  adMbendo* 

1)  Sectioiios  prim  a  et  seeundft  la  voluminc  jniore  insunt.  F,  E, 


INDEX  CAPITUM    IN  TOMO  II     CONTENTORUM 


IN  SECTIONE  TERTIA 

DE  TELESCOPIIS  TERTII  GENERIS  QUIBUS  OBIECTA  ITERUM 
SITU  ERECTO  REPRAESENTANTUR 

Caput  I.      De  Telescopiis  simplicioribus  tertii  generis  ex  unica  vitri  specie 

paratis 7 

Caput  II.    De  Telescopiis  terrestribus  communibus  eorumquo  perfoctione    JJ5 
Caput  III.  De  altera  tertii  generis  Telescopiorura  specie  principal!  eorvunquo 

perfectione    (54 


IN  APPENDIOE 
DE  CONSTRUCTIONS  TELESCOPIORUM  OATOPTEIOO-D10PT1U(X)KUM 

Oaput  I     De  imaginibus  per  specula  sphaericji  forntatiB  oarmnqtio  dif- 

fusione 101 

Caput  II    De  compute  confusionis,  dum  praoter  lontes  otiam  Bpecula  ad 

instrumenta  dioptrica  conficienda  adhibentur    ..,,!!!> 

Oaput  III.  De  Telescopiis  catadioptricis  minore  npoculo  concavo  iimtructlB  VM 
Caput  IY.  De  Telescopiis  catadioptricis  minore  spoculo  convexo  m«tr«cfciH  154 


IIBRI  SECVNDI, 

DE 

CONSTRVCTIONE 

TELESCOPIORVM 

SECTIO  TERTIA. 

DE 

TELESCOPIIS  TERTII  GENERIS, 

QVIBVS 

OBIECTA  ITERVM  SITV  ERECTO 
REPRAESENTANTV& 


CAPUT  I 

DE  TELESCOPES  SIMPLICIORIBUS  TEETH 
GENERIS  EX  UNICA  VITEI  SPECIE  PARATIS 

PROBLEM!  1 

294.  Telescopitim  simylicissimum  IVMMS  generis,  guod  trifais  ttwtwi  constat 
lentihm,  construere,  (jaod  obiecta  secwnduni  datam  rationem  aucta  et  situ  crecto 
repraesentet* 

SOLUTIO 

Pro  duobus  interval  I  is,  c^uae  liic  occurrunt,  pouamus  ut  semper  fractiones 
^  ««  />  ot  '  ««»  —  Q,  et  (juia  hie  dime  imagiuos  reales  luibentur,  qttarum 
altera  in  ]>riiiB  mtervallum  cadons  e«t  inversa,  altora  voro  in  poatoriuB  inter- 
vallam  cadons  orocta,  ita  ut  sit  Bemidiameter  illiuB  ««•  <%</*,  hnius  veto 
*~*l}ot09  mubao  littorao  />  efc  Q  dobent  esse  nogativae,  unde  Btatuamus 
—  /*mmk  at  —  (^  «  A',  ut  eit  multiplicatio  m^»kkf.  Hinc  elamenta  nostra  ita 

se  habebunt: 

*       a       ,,       Ba      ,  JBoj 

*-*•    ^   Jb'     ot    C~M' 
et  distantiao  focaloe 


turn  vero  bina  infcervalla 


per  se  nnt  posiiava,  siquidem  esse  debet  J?  >  0  ideoque  et  8.    Pro 


LIBEI  SECUNDI  SECTIO  TERTIA     CAPUT  I     §  294—297  [356—358 


campo  porro  apparente,   cum  sit  eius  semidiameter   <&=*—  —^  ,    ponamus 

n  =  —  i£     et     n  =  £ 

denotante  |  maximum  valorem,   quern  litterae  n  et  n   recipere  possunt,  et  i 
fractionem  unitate  minor  em  ,  eritque 

*--  L±Ifi 
m  —  1 

atque  hinc  pro  loco  oculi  fiet 

~       rt     v  _  m—  1    Bet 

0    m        i+  1     mm 

quae  distantia  etiam  per  se  est  positiva.    His  positis  aequationea  pro  Httem 
n,  n   supra  datae  dabunt 


unde 


qui  valor  debet  esse  unitate  minor.    Cum  igltur  Mnc  valor  ipsius  i 
sit  negativus  et  unitate  minor,  erit  campi  semidiameter 

*-      •*.* 

ft+l  +(«»—  1)58 

fc 

quae  certe  eo  minor  est  quam  *  ,  quo  ft  est  mains  et  quo  minuB  ««fc  ^L 
Quo  igitur  campum  maiorem  obtineamus,  in  id  est  ineumbendum,  ut  Httonie 
ft  quam  minimus,  litterae  93  vero  quam  maximuB  valor  conciliotur;  ut  cum 

ni 

sit  B"**i^%  ©t  debeat  esse  B>0?  Mnc  evidens  cat  S3  non  ultra  unitatom 
augeri  posse.  Casu  autem,  quo  fit  85—1,  fit  0  «  ^1  \  Turn  vero  ob  JB—  csa 

flj    W^M    |JJ 

longitudo  tubi  fieret  infinita.  Diminutio  vero  numeri  k  quum  parum  con- 
ferat  ad  campum  augendum,  videamus  nunc  etiam,  an  margo  coloratuB  destrai 
possit,  quern  in  finem  esse  deberet  [§49] 

A      2L  -  JL  *[    J?  r^          *1^.1 

u~  ff  'jp  '^  *  "^'        u  —  ~t-  js^kk" 

quae  aequatio  ob  i  <  0  nullo  modo  subsisfcere  potest;  unde  haec  teleseopioram 
species  vitio  marginis  colorati  quam  inaxime  laborabit  Ceteram  pro 


358-359]  DE  TELESCOPIIS  SIMPLIOIORIBUS  TEETH  GENERIS 

metro  confusionis  habebimus  hanc  aequationem  [§  42]: 

1' 


- 
"  99ft  W""  JS    "r  B*m~  ft8    ' 

uride  colligitur 


. 
qui  sumto  a;  =»  £»  dig.  et  [extra  radicem]  ft  ==  50  abit  in  hunc  valorem  : 

_       I3/ 

a  -  m  Y  (A 


V 


in  qua  exprcssione  cum  omnia  membra  sint  positiva,  nullum  est  dubium,  quin 
distantia  focalis  a  multo  jfiat  maior  guam  casu  duarum  lentium. 

GOKOLLARIUM  1 

295,  Cum  iaxn  sit  animadversion,   si  33  caporetur  ==  1,  longitudinem  in- 
strumenti  in  inftnitum  excroscere  ideoque  SB  capi  debore  minus  unitate,  se- 
cundum  membruni  in  aequatione  valda  iucrescet  pariter  ac  ultimum,  ex  quo 
(listiintia  a  augebitur, 

COBOLLAU1UM  2 

296,  Sin  autem  huic  incommode  moderi  vellomus  augendo  numerum  ft, 
tune  campus  apparens  rostringoretur. 

SOHOLION  1 

297,  Nullum  igitur  eat  dubium,  quin  haec  prima  istiusmodi  telescopiorum 
species  ponitus   ait  repudianda,   non   solunv    quod   nimis   exiguum  campum 
ostendat  tubusque  flat  valdo  longus,   sed  earn  ob  causam  praecipue,   quod 
rapraesentatio  margins  colorato  sit  inquinata;  neque  etiam  reperimus  huius- 
modi  telescopia  unquam  usu  fuisse  reeepta.    Interim  tamen  casum  quendam 
in  sequente  exemplo  proponamus* 


1)  Sfot8a4ma  ^rt  Htte?i»  ft  dtiiro  kt^ra  stqmtiomls  iMttMtftm  pkaa  diffwre  a  qtxaatitate 
ft  amistro  Latere  aoquationls  posita.  B,  Ob* 

Ear-Mat  Opao-a*  omnift  HI  4  IKoptrloa  t 


10  LIBEI  SECDNDI  SECTIO  TEETIA     CAPUT  I     §  298—300  [359—360 

EXEMPLUM 

298.   Si  sumatur  S3  —  ~-  et  k  —  2,   telescopium   huius  generis  describere 
pro  multiplicatione  quacunque  m. 

Cum  igitur  hinc  sit  J5  =  4?  erunt  elementa 


2      7      '  7  M 

et  distantiae  focales 

2 


, 

a,      q  ==  ~  a    et     r= 
7      * 


et  [intervalla] 


quorum  summa    -^a  +  »~  dat  tubi  longitudinein. 

IP*  A  £ 

Turn  vero  reperitur  i«a-v-rr-  et  semidiaineter  cainpi  </>  »»  ,.  t*      aou 

A  ll-}-4;Wi  A  jl»|**t;t 

S487 

in  mensura  anguli  ^^'jij:^'  wiinut,  qui  non  malto  est  minor  quam 
campus  ordinarius.  Pro  loco  oculi  Tero  erit  0««-*^—  -a.  Denique  vero 
pro  distantia  focali  a  habebimus 

'.  125  r  6 


ubi  circiter  est  ^u  ««  1  et  ^««  6  ;  quaro,  si  litteris  Jl,  A',  A"  valor  minimus, 
scilicet  1,  tribuatur,  erit 


^  +  ^  )  , 


hinc,  si  asset  m«25»  erit 

^  .  26  f  50  ^--  92,23  dig. 

Mncque  tota  longitudo  erit  —  340  dig.  —  28  ped*  4  dig*,  quae  longitude  ratione 
multiplicatioms  utique  iitm  est  magna,  ut  in  praxi  Bullo  modo  admitti 
etiamai  vitium  marginii  colorati  non  adesset* 


360-361]  BE  TELESCOPES  SIMPLICIORIBUS  TEETH  GENERIS  11 

SCHOLION  2 

299.  Cum  igitur  hinc  nihil  in  usum  practicum  traM  possit  haecque 
species  simplicissima  penitus  reiici  debeat,  ad  species  simpliciores  progrediamur, 
quae  scilicet  oriuntur,  si  tribus  lentibus  insuper  una  lens  quarta  adiungatur, 
ex  quo  variae  species  nascentur,  prouti  haec  nova  lens  vel  inter  obiectivam 
et  priorem  irnaginem  vel  inter  priorem  et  posteriorem  vel  inter  hanc 
posteriorein  et  lentem  ocularem.  constituatur;  quos  ergo  casus  seorsim  hie 
evolvi  conveniet. 


PROBLBMA  2 

300.   Si  inter  lentem  olicctivam  et  jprimani  imaginem  nova  lens  ponatur,  in- 
dolent Jiorun  teleseopiorum  indagare  eorumqiue  construction&n  deserilere. 

SOLUTIO 
Cum  hie  quatuor  lentes  sint,  statuantur  ternae  fractiones  ut  semper 

cc  $  j«\  *y  •»»» 

h  '     c  d  ; 

et  quia  in  primum  intervallum  nulla  imago  cadit,  retinebit  P  valorem  posi- 
tivum,  reliquae  vero  Q  et  It  fient  nogativae. 

Quare  ponatur  Q  «»  — -  Jc  ot  Ji>m^~  Jc\  ut  fiat  multiplicatio  m  ^  Pkkf  ele- 
mentaque  nostra  sint 

&«— .*         —  — B®      d^—J--^  —  BCa      5  —  - 

"O  '  1t^  2)*  '  *&  fa  Tff  <VM     '       ' 

JT  JC rv  J*  fvfv  7rt> 


_...          r«_      .-.      s«._BCa 
unde  prodeunt  intervalla 


«fc  f  JL  TD?  T^Jf        ^  iWi 

JT  JT70  /T* 


sicque  patet  Jffa  esae  debere  negativum.  ut  et  JBCct,  ideoque  0  debet  ease 
poeitivrim;  unde,  si  a  >  0,  debet  esse  P  >  1,  B  <  0  et  CY>  0,  sua  autem  «  <  0, 
debet  esse  P  <  1,  B  >  0  ©t  <7>  0. 


12  LIBEI  SEOUNDI  SEOTIO  TERTTA     CAPUT  I     §  300—303  [362—363 

ISFunc,  cum  pro  campo  apparente  sit 


statuatur 
ut  sit 


existente  Jf^^+ii.1.     Atque  statim  pro  loco  oculi  sequitur 


=  ~  -    ---- 

0m  "M    mm 

quae  distantia  per  conditiones  superiores  iam  est  positiva.  Aequationes  antom 
pro  litteris  n  supra  datae  praebent 


—  -^-^. 

nude  colligitur 

m 
^ 

ut  maneat  95  indefinitnm,   et 


quae  quantitas  cum  debeat  ease  positiva,  debot  case  vel  i  nogativum  vel,  BI 
esset  i  positivum,  deberet  CBBB 


a»       sve    ~ 
seu 


1)  >  0, 

tinde  patet  fractionem  w  negativam  esso  debore,  ita  ut  hine  campus  apparent* 
diminnatur. 

Tideamns  iam,  an  marginem  coloratum  tollere  vel  hmc  aequatioiii  aafcis* 
facere  possimus; 


363-364]  DE  TELESCOPIIS  SfflPLICIORIBUS  TEETH  GENERIS  .  13 

unde  colligimus 

A  ^          .  1  T  T,  —  1  1 

0  =  co  —  r  +  -jjj.    adeoque    Jtf  =  =  -  ~  ==  .      •  , 

^ 


qui  valor  debet  esse  positivus  adeoque  Jew  —  i  <  0,  de  quo  deinceps  vide- 
bimus.  Nunc  adhuc  aequationem  pro  confusione  aperturae  tollenda  contem- 
plemur,  quae  sequent!  modo  exMbebitur: 


pro  qua  expressione  hactenus  sumsimus  &  =  |^-  dig.  et  [extra  radicem]  Jc  =  50. 


COEOLLARIUM  1 

301.   Pro   diiudicaiidis  litteris  w  et  i,  utrum  valores  habere  queant  po- 
sitivos,  considerandae  sunt  hae  duae  formulae; 


ex  quarum  prima  patet  atnbas  litfceras  i  et  o;  simul  positivas  esse  non  posse, 
quia  alioquin  (S  foret  negativurn,  quae  lifctora  tamen  valorem  positivum  habere 
debei  Ex  secunda  vero  evidens  est  fieri  non  posse,  ut  sit  o>>0  et  t<0, 
quia  alioquin  K  prodiret  negativum. 

COROLLAEIUM  2 

302.  Ex  his  dnobus  casibus  sequitur  litteram  o>  nunquam  positivam  ©sse 
posse,  quae  conditio  ita  enunciari  potest,  ut  secunda  lens  semper  campum 
apparentem  imminuero  debeat* 

OOROLLAE1UM  3 

803.  Cum  igitur  ^  semper  debeat  ease  n^ativum^  ponatur  ct^w  —  £,  ut 
sit  ^^l  —  P}M  et  J£~»  ~~~~-*  Noitrae  vero  foarmulai,  necessario 


14  LIBRE  SECUKDI  SECTIO  TEETIA     OAPUT  I     §  303—307  [364—365 

positivae,  erunt 


^ 
I 


II.   V~ 

I  -j~  /C£ 

unde,  si  sit  i  fractio  positiva,  debet  esse  %>  (1  •+ PtyM.  Sin  autem  i  sit 
fractio  negativa,  puta  i«=  —  y,  per  primam  debet  esse  £<(l  +  P7c)Jrf  et 
simul  £  >  -f-  • 

COEOLLABIUM  4 

304,  Praeterea  etiam  manifeatum  est  fractionem  £  ***  —  co  nunquam  ova* 
nescere  posse;   si  enim  sit  i>0,   debet  esse  £>(!  +  P/^Jf.     Sin  autoin  sit 
i  <  0  seu  i  =  —  y ,  debet  esse  £  >  ^  • 

OOBOLLAJRIDM  5 

305,  Quia    casu    *  *»  —  ^    duplicem    invenimus    conditioning    priorem 
£<  (1  +  PfyM  et  posteriorem  £>y>  ^x  earum  comparationo  nocesso  «st,  ut 
sit  (i  +  Pfc)  Jtf  >  |-  seu  y  <  (1  +  Pfc)&ar. 

SOHOLION 

306,  Tot  autem  casus  diversi  ideo  potissimum  habont  locum,  quod  in 
solutione  problematis  non  definitur,  utrum  lens  obiectiva  haboat  Biiam  distati- 
tiam  focalem  a  positivam  an  negativam,    Utrumque  autoin  UBU  venires  potowt, 
siquidem  circa  litteram  P  nihil  aliud  praecipitur,  nisi  quod  sit  positiva  idooque 
eius  valor  a  ciphra  usque  in  infinitum  augeri  queat. 

Quamdiu  autem  littera  P  intra  limites  0  et  1  continetur,  a  valorem 
habere  debet  negativum  seu  lens  obiectiva  erit  concava  et  littera  B  poaitiva 
ideoque  et  S3;  unde  fit  £«>I^PL*  adeoque  positivum.  Sin  autem  etatuaiur 
P  —  1,  quo  casu  binae  lentes  priores  sibi  immediate  iunguntur,  fit  £  **  0,  qui 
casusy  uti  vidimus,  penitus  excluditur,  ita  ut  leas  obiectiva  duplicate 
nequeat.  At  si  sit  P  maior  unitete,  necessario  fit  a  positivum  seu  lens  ob* 
iectiva  conveia;  unde  B  fit  negativum  neque  vero  hinc  deftnitur  8.  At  c}tiia 
novimus  essa  co  negativum  seu  £  positivum,  ob  £  —  —  ^^Jl^  patet  littanrat 


365-367]  DE  TELESCOPIES  SIMPLICIORIBUS  TEETH  GENERIS  15 

33  negativam  esse  debere,  hincque  porro  concluditur  —  B  esse  unitate  minus. 
Si  denique  P  sit  numerus  infinitus,  secunda  lens  in  ipso  loco  prioris  imaginis 
constituetur  et  ex  ems  distantia  focali  q  concluditur 

»=:  —  p.JL  —  —  co     Mncque     #  =  —  1; 

atque  sic  contemplati  sumus  obiter  omnes  casus  pro  littera  P,  qui  autem  nunc 
diligentius  perpendi  merentur.  Ante  omnia  autem  notaii  convenit  sumi  non 
posse  P  —  0,  quia  iam  primum  intervallum  fieret  infinitum,  nisi  distantia  a 
esset  infinite  parva,  quod  autem  foret  aeque  absurdum,  quia  prima  lens 
aperturani  definitana  admittere  debet. 

I   EVOLUTIO  CASUS  QUO  P<1 

307.   Pro  hoc  casu  iam  animadvertimus  fore  a<0;  quae  negatio  ne  turbet, 
ponatnus  a  •»  —  a  eritque 

,        a  Ba       ,       BGa       #      13  a  £Ca 

&_p,   c-w  rf--—,  ft—],,  r--£r 

unde  patet  ambas  littoras  I?  et  C  debere  esse  positivas;  unde  litterae  ger- 
manicae  S3  et  (£  non  solum  erunt  quoque  positivae,  sod  etiam  unitate  minores; 
quare,  cum  wit  33£  —  (1  —  P)Jlf,  manifesto  sequitur  fore  ^  >  (1 
Deinde  ob 

ot  y_  i 


non  solum  esse  debet  =>Q9  sed  otiam  r, 
clarius  explicetur,  duos  casus  examinari  conveniet 

1.  Si  i  sit  positivum,  ex  valore  (E  nanciscimur  has  conditiones: 


conditio  antem  litterae  $  sic  sponte  impletur,    Quia  autem  iam  mvenimus 
f  >  (1  —  P)  M  ,  nunc  inde  patet  ess©  debere 


ideoqua    i>~ 
id  quod  semper  e§t  mmm*  dmmmodo  i  sit  positrram,  uti  suppommus. 


16  LIBRE  SECUNDI  SECTIO  TERTIA     OAPUT  I     §  307—309  [367—368 

2,    Si  i  sit  negativum,  ponatur  i  =  —  y  eritque 


Inde  igitur  sequuntur  hae  conditiones: 

£<(l  +  P*)Jf,    £>(l  +  Pft)Jf-y,    hinc  vero 
at  supra  iam  invenimus   £>(!  —  P)Jf,   unde  soquitur  fore 

|-     sive    y  <  (1 

Isto  igitur  casu,  quo  P<1,  fractio  i  tarn  positive  capi  poterit  qnam 
negative,  ac  si  positive  accipiatur,  eius  valor  nulla  limitatiouo  rostrmgl 
Quare,  cuia  i  unitatem  superare  nequeat,  potorit  sine  haesitatione  statim  poni 
i==»l,  ita  ut  pro  campo  apparente  fiat  ^^^^^-^  dummodo  ^  mm  wuporot 
unitatem. 

Nulla  autem  ratio  suadet  caporo  i  negativum,  quia  tarn  campus  ninxium 
diminueretur. 

II  EVOLUTIO  OASUS  QUO  P  >  1 

308.  Quia  Me  est  a  quantitas  positiva  ideoque  &  nogativa,  <lobot  OBHO  It 
negativum,  at  0  ut  ante  positivum.  Doinde  etiam  vidimus  osao  S  nogativuni 
ideoque  —  J5<1;  unde  fit  £«vJ"l-!L-  adeoquo  ponittvum,  uhi  tatituni  nototur 
S3  tarn  parvum  accipi  non  debere?  ut  £  suporet  ludtatem.  Doindo  habetur 


ex  quibus  formulis  plane  eadem  sequuntur,  quao  in  caBU,  praocodtnitc^  Bunt 
allata;  unde  videtur  etiam  statui  posse  i  «*  1»  dumtuodo  ox  valoro  pro  £  ante 
dato  sit 


8ive    -»<:        ofc    - 


III.  EVOLUTIO  CASUS  QUO  P-cc 
309.  Hoc  ergo  casu,  ut  iam  supra  notavimus,  erifc 

J3--1     et    8-  ----  P?- 


368-369] 


DE  TELESCOPES  SIMPLICIOEIBTJS  TERTII  GENERIS 


17 


Nunc  autem  evidens  est  statui  debere 
ex  quo  elementa  erunt 


?  ita  tamen,  ut  sit 


r\      /Q      n      *      a  u       ..        a 

-0,     /?  =  0,     c=,     y--.,     <*  =  _ 


Deinde,    cum  sit  $B£=(1  —  P)Jf,   babebitur  nunc 
Dein.de  binae  nostrae  formulae  erunt 


et 


,    unde    2  = 


ubi,   cum  nihil  impediat,   quominus  ponatur  ^  =  1,   erit  hoc  casu  &'=!   et 

P7c :*»  <9  «  w,    ita   ut    sit    ©  =  —  (1  +  m)M  +  ^;    ex    quo    valor e    hi    limites 
colliguntur: 

t,  >  (1  +  m}M,     'Q  <  (1  + 
at  vero  est 

*-0 


g 
» 


., 
ideoque 

x 


1; 

.  , 

ideoque 
u 


qui  valor,  etsi  unitatem,  superat,  tamen  in  praxi  locum  habere  potest,  dum- 
mode  littera  §  in  oadem  ratione  diminuatur,  ita  ut  ^|  non  superet  valorem 
4',  siquidem  -J-  pro  apertura  maxima  aecipiutur.  Sin  autem  sumsissemus 
imm^  prodiisset  Jtf~*2  hincque  m™** 


seu    Q****      sicque  haberemus 


et 


quia  autem  est  JWT—  ^^l!i)?  Pri°r  conditio  dat 


ideoque  multo  raagis  J  >  ~*  *  Ex  quo  patet  campum  apparentem  ob  valorem 
J  magis  imminui  quam  ob  valorem  i  augeri  sicque  eum  semper  aliquaaato 
minorem  fieri  quam  in  tubis  astronomicis  conimunibus.  Supra  iam  observa- 
vimus  talem  lentis  locum  in  praxi  vitari  oportere* 

Optm  ornitia  IIU  Dioptrica  3 


18  LIBEI  SECUNDI  SECTIO  TERTIA     CAPUT  I     §  810-311^  __  J]369--37p 

IV.   EVOLUTIO  CASUS  PBORSUS  SINGULARIS  QUO  *  =  0 
310.    Cum  sit  2  =  0  et  K  unitatem  superare  nequeat,  ob 


erit 

hincque     P&  —      —  1; 


at  est  #=•££•;   ob   Pkk'  =  m  erit   P/c=m&£  ideoque    P  — w£.     Quare   ille 
valor  pro  P7c  inventus  huic  aequalis  positus  dabit 

m*£~jlf  ~X 
hincque 

Jfeftw        w  £ ? 
ex  quo  porro  habetur 

Mm 


quia  vero  est  Af«^£^?  nascetur 


•j         m  —  l  1          rn$  —  1          if       m(l  —  J) 

et 

•n  j.  /)/       w{;--i 

P««wt    atque     PA»»  ; 

qui  valores  cum  neutiquam  a  ©  pondeant,  hoc  innigno  lucrum  iam  Humua 
adepti,  ut  littera  CpenituB  arbitrio  nostro  relinquatur,  Bicque  officoro  potorimim, 
ut  posteriores  distantiae  determinatriceB  ipsao<|uo  lontos  ]«)Htoriort»H»  <jmu^ 
hactenus  plerumque  nimis  parvae  sunt  reportae,  nunc  datao  mugnittKiinlH  fieri 
queant,  in  quo  certe  maximum  commodum  conBiBtit;  quod  demqtie  ad  littaran 
S3  et  j&  attinet,  duos  casus  considerari  oportet,  prouti  P««t»J  fuerit  vel 
unitate  minor  vel  urdtate  maior. 

L  Sit  igitur  w£<l  seu  J<-^  et  habebitur 


ibi  autem  vidimus  S  ease  debars  positivum  et  unitote  minus;  quoelrea  faw 


370—372]  DE  TELESCOPIES  SIMPLICIORIBUS  TEETH  GENEEIS  19 


casu,  quo  £<~,    ob  85  =  —(-^j1^  debet  esse 

(1  —  m£)(l  —  Q  <  (m  —  1)£    sen     w£3  —  2m£  +  1<  0; 

unde  colligitur  £  capi  debere  intra  limites  ~  et  —• 

Cum  autem  litterae  7c  et  Jc  necessario  sint  positivae,  ad  hoc  necessario 
roquiritur,  ut  sit  m£>l  seu  fe>~;  ob  quara  conditionem  casus  primus  statim 
excludi  debuisset, 

II.  Sit  igitur  P(=  mf£)  >  1  seu  ^>  ^,  prouti  valores  &  et  #  postulant, 
atque  ad  casum  secundmn  recurrere  debemus;  pro  quo  cum  iterum  sit 


simulque  nototur  S3  esse  debere  negativum  sine  ulla  alia  conditione,  nisi 
quod  esse  debeat  £<1,  nti  quidem  ratio  campi  absolute  postulat,  ita  ut 
iatn  contineatur  intra  limites  1  et  -,  manifestum  autem  est  expedire,  ut  t 

tn  •*• 

quam  minime  limitcm  ^  superet.  Ex  quo  operae  pretium  videtur  duo 
exompla  adiungere,  in  quorum  altero  £  Hmiti  priori  —  7  in  altero  vero  limiti 
posteriori  1  propius  accipiatur, 

KXKMPLUM  1 

81 L  Pro  casu  postremo,  quo  i  —  0,  si  statuatur  £«-^,  telescopium  inde 
oriundum  describere. 

Hoc  igitur  casu  habebimus 


Porro 

/.  o  T  W  t'  0-71^-  W-2 

/'  ^  2      A»-rt/    "-ftN,     k^m  —  2,     .flz—»-/     ™ 
*  S(0t--  2)  m(m— 

unde  distantiae  nostrae  defcerminatrices  ob  a  positivam  erunt 


™, 


20  LIBEI  SECUNDI  SECTIO  TERTIA     CAPUT  I     §  311—314  [372—373 

et  distantiae  focales 

m  —  2  (m  —  2)2 


=,  -r,  -  TN?  —  —      -   T-r,  —  -  7-  -  jr-- 

*  *       4(w  —  l)  m(3m  —  4)  m(3m  —  4) 

Turn  vero  intervalla  lentium 


,         1  Q         (m— -2)(3m —  4)          m  — 5 

^  ~<~    =  T  ^ '    /+C:==  "~2^T(3™^7^ ly """ a  =  ""aTwT 

et  distantia  oculi 

^  m  —  1      ,„ 

~  "    (3  ""— "i^ 

et  campi  semidiameter 

*,          m  —  2       u 


quae  si  in  mensura  angulorum  desiderotur,  Biimi  potent  2J---85J)  mm.  ob  |  -^  l  * 

Distantia  denique  focalis  lentis  obioctivao  a  clofituri  dobot  ex  fonnula  in 
problemate  data  [p.  13],  ubi  notandum  est  ipsius  Jt'  cofifticientom  circitor 
fore  4,  et  ipsius  h"  coefficiens  semper  maior  erit  qnam  27;  qui  termini  cum 
omnes  sint  positivi,  evidens  est  pro  a  semper  ingentom  valorem  repcririy 
ita  ut  baec  telescopia  valde  longa  ovadant. 

EXEMPLUM  2 

312,  Pro  casu  postremo,  quo  e«0?  si  Bumatur  L^«  ^  tolcscopium  incb 
oriundum  describere* 

Hoc  igitur  casu  erit 


unde  distanidae  determinatrices 

J«_i?      c  —  ^^.^       ^^ 

m  ?     c      8  m  -  4  '     ^       m8  m^i"  f  8  w  -  4  f 


373-374]  DE  TELESCOPES  SIMPLIGIORIBUS  TERTII  GENERIS  21 

et  distantiae  focales 

m  — 2  (Sa  m  —  2 


et  intervalla 

m—  2 
"T  m       ? 

et 

=       mm'(8'm^^j ' 
nunc  vero  campi  semidiameter  erit  tantum 

,          430         .      , 
</>  CB  -— --  mmnt. 

In  formula  autem  pro  distantia  a  detinienda  notanclum  est  cofifftcientem.  X 
fore  -^  ,  ipsius  vero  ^>^»?  siquidem  multiplicatio  sit  praemagna;  unde 
patot  pro  #  valorem  multo  minorem  prodire?  ita  ut  hinc  telescopia  satis 
idonea  obtinerentur,  si  modo  campus  non  esset  tarn  exiguus. 

COBOLLABIUM  1 

318-  Quia  pro  lente  tertia  sumsimus  i  hincque  et  n***Q,  eius  apertura  ex 
formulis  generalibus  [§  23]  definiri  debet,  cuius  semidiameter  erit  —  ^a>  quae 
ergo  pro  priori  exemplo  fit  ™~£*~$,  pro  secundo  autem  ~^-;  undo,  si  sumatur 
x  mm  ^  dig*,  hie  semidiameter  erit  circiter  ^  dig.,  quae  ergo  lens  commodissime 
locum  diaphragmatis  tenebit* 

COEOLLAIUUM  2 

314,    Si   quasi    medium   eumendo   inter   duo   exempla   allata   statuatur 

^  —  „  9 

pmmYm    et    ft«l     ot    A'«K^, 

porro 

m          (yw— 1)  i-«- 

JQ  mm  — -  -«—•*«— 


22  KD3RI  SECUNDI  SECTIO  TERTIA     CAPUT  I     §  314-315  [374-375 

atque  hinc 


/m  '      r  2m          '  2m 


,_ym— : 
'  2m 

et  distantia  oculi 

quare  longitude  telescopii  erit 


-  . 

m     \     '          2m 
ac  denique  semidiameter  campi 

/  £  859          *     i 

c/> «,     ,,.w . . .  «•        ,.    .  mmut, 

m  4-  y  w       w^  +  K  w 
et  semidiameter  apertnrae  tertiae  lentia 

a?        V m   , . 
^y'm"  60   Ctlg' 

SOHOLION 

315*  Simili  moclOj  quo  We  casum  i«»0  expeclivimus,  etiam  quaestio 
in  genere  pro  quovis  valore  ipsius  i  resolvi  poterit;  ex  aequatione  enim 
Of t  —"— •  (1  +  PK)  M  -f  £"  quum  deducatur 


et  qiaia  est  Jf  —  ^l^i 


375-376]  DE  TELESCOPIIS  SIMPLICIORIBUS  TEETH  GENEEIS  23 


Verum  ob  K  =  TTT?  Grit  etiam 

I  -|-  K£ 

TT\7  '»*' 

P&  = 

unde  colligimus 


hincque 

7- 

et  quia  est 


/  •        i 

_         mty  -j- 


erit 

j/_.™_5L(L+JrJL-.  . 

~  —  1  J  —  i  —  1 


Ideoque 

—        ^i1)—  ^—  ,1 

-   et 


quia  nunc  ^  debet  esse  quantitas  positiva,  necesse  est,  ut  sit 


unde  facto  calculo  semper  reperietur  esse  P>1,  ita  ut,  etiamsi  non  sit 
immQ9  tamen  solus  casus  secundus  supra  jnomoratus  locum  habeat,  Quia 
autem  hypothesis  i  —  0  tarn  commodam  et  concinnam  sappeditavit  resolutio- 
nem,  nulla  plane  est  ratio,  cur  litteram  i  sive  positivam  sive  negativam 
assumere  vellemus,  cum  pro  commodo  nullum  inde  lucrum  sit  ezspectandum, 
Praeter  concinnitatem  calculi  autem  duo  commoda,  quae  nobis  ista  hypothesis 
i«*0  largitur,  maximi  sunt  momenti,  quorum  alterum,  uti  vidimus,  in  hoc 
consistit,  ut  litterae  K  et  C  arbitrio  nostro  permittantur  hocque  modo  nimia 
lenfcis  ocularis  parritas  evitari  queat;  alterum  vero  commodum  huic  nihil 
cedere  est  censendum,  propterea  quod  tarn  exigua  apertura  lenti  tertiae  sine 
ullo  sive  campi  sive  claritatis  detrimeato  tribui  possit,  ut  omne  lumen  pere- 
grinum  tutius  quam  per  diaphragmata  ordinaria  excludatur* 


24  LTBRI  SECUNDI  SECTIO  TEETIA     CAPUT  I     §  316-317  [376-377 


PROBLEMA  3 

316.  Si  telescopium  Mius  generis  ita  ex  quatuor  lentibus  sit  componendum,  ut 
Mnae  mediae  ambae  inter  imagincm  priorem  et  posteriorem  constituantur,  indolem 
eius  indagare  eiusgzie  constructionem  describere. 

SOLUTIO 

Positis  igitur  ut  ante  nostris  fractionibus 

«  p        P  ^       o         V  —        j> 

y~-^,       ----«,       "rf-  ^ 

hie  litterae  P  et  E  debent  esse  negativae  manente  Q  positiva;   <[uaro   si  po- 
natur  P==  —  It  et  JR  =  —  7c',  ut  sit  m=*Qkk',  olementa  nostra  ita  so  habobwuii: 

,         a        A       Ba  ~Ba  -BCa        ,      -JWcc       -JIC* 

0  ass:  --«  p  acssa  «    --  (J  essa  -          >  -  A/1  MESS  «««--..«—  ^  »a  .*-.  -     as»a 


>  «--..«—                           .* 

Qk   9     '  Qk    ? 
hincque  intervalla 

ex  +  j  mm  a  (I  +  v  )  ideoque     a  >  0? 


+  y),    Mnc 
Pro  campo  apparent®  atatuamus 

ut  fiat 
exlstente 

atque  Mnc  primo  erit  distantia  oculi 

0      m      jfefw 


377-378]  DE  TELESCOPIES  SIMPLICIOEIBUS  TERTII  GENERIS  25 

deinde  margo  coloratus  evanescet,  si  fuerit 

0  —  -?.  +  A.  +  _J_     sen     0-—  * 
P^PQ^PQR     S6U     U~        fc 

unde  concludimus 

i/  _      1          p,f     ^  _     @^ 

rt,  —     -    __,  J-JL,       w  —  „.  —  —  „_ 

&  +  ^Q  -i  +  (^ 

turn  vero  considerari  oporfcet  sequentes  aequationes: 

-v  =  i  +  *>  £  +  £~i 

SOU 

©i«B_(l 
et 


(juarmn  evolatio  commode  generaliter  institxii  non  potest,  sed  casus  magis 
particulares  contemplari  conveniet.  Verum  casus  extremi  duo  habentur, 
alter,  quo  lens  in  ipsam  imaginom  priorem,  alter  vero,  quo  in  imagmem 
posteriorcm  cadit.  Illo  scilicet  fit  ()•»(),  hoc  vero  ^««oo;  inter  hos  autem 
quasi  medius  quiclam  praecipue  perpondi  meretur  oriundus  ex  valore  ^««1; 
quoB  casus  deincops  seorsim  evolvamus.  Hie  igitur  tantmn  superest  formu- 
lam  acliungere  pro  confusionc  destruenda,  ez  qua  scilicet  distantia  a  de- 
terminatur, 


COROLL1EIUM  1 

817,  Quoniam  invenimus  K  —  /  TTQ^  t  ob  ^  >  0  evidens  est  ambas  litteras 
et  co  simul  nogativas  esse  non  posse*  Neque  vero  etiam  ambae  possunt 

positivae;*  si  enim  a?  asset  positivum,  foret  23  ideoque  et  B  negativum 
hincque  ob  BC<0  deberet  esse  0  positivum  ideoque  et  (£  positivum  ac 
proinde  Si  positivum ,  id  quod  fieri  non  posse  ex  valore  pro  ®t  supra  dato 
manifastum  est. 

i)  Confer,  qum  de  vario  ralo^  Htterae  Jk  p.  9  aduotaverirams.         BL  Ok, 

Emtm  Optm  omnla.  Ill  4  Bloptdoft  4 


2g  LIBRI  SECOTDI  SECTIO  TEBTIA 


COEOLLAEIUM  2 

318-  Cum  igitur  anibae  litterae  co  et  i  nee  positivae  Bee  negativae  esse 
queant,  necesse  est  alteram  esse  positivam,  alterani  negativam.  Si  sit  o>  >  0, 
modo  vidimus  esse  debere  S  <  0  et  B  <  0  liincque  6r  >  0.  Sin  autom  sit 
co  <  0,  erit  83  >  0;  de  JS  vero  hinc  iriML  definite:.  Ex  altera  vero  aequatione 
posito  CD  —  —  £  erit 


unde  intelligitur,  si  fuerit  I  >  (1  +  (^)>f,  fore  <£  >  0,  sin  autcmi  sit 
^  <;  (1  ^  g/c)lf?  fore  S  <  0.  Prius  autom  evenit,  si  fuerit  1  +  Jc>  (1  H*-  (>&)S3 
sen  S  <  /  J"i,  posterius  vero,  si  $  >  ^t^J  lloc  iP^°  autem  posteriori  caau 
cum  siut  ©  et  6Y  negatiya;  debot  esso  1^  positiviuu  icleoqxu^  ^<  1,  <^x  <juo 
sequitur  fore  $  >  1  . 

KVOLUTIO  OASUS  PJHMJ  QUO  (>  -0 

319.  Quia  est  (/«*(),  erit  socundxmi  intorviiUuni  ««  -  ^  -n  i(l(MH|tto 
^^0,  ergo  vel  JB  —  0  vel  &  —  co.  At  priu»  fteri  uociuifc;  forot  oniin  ^)*^t) 
et  g  seu  distantia  focalis  socundao  leatis  »  0,  quod  osfc  almurduin*  Kontat 
ergo,  ut  sit  ft  —  oo,  et  cum  Hit  7  —  ®a,  ovit  »—  *'7  «»  cv>  atque  hhic  //  v,,  .  -  J  ^ 
Ex  quo  sequitur  ob  BC<0  fore  6r>()  et  ®<1.  Oam  voro  Bifc  (>u^o  oi 
&«oo,  prodacfcum  ^A  debot  C^BBO  timtum;  quare  «tatuattir  Qk*'lt  ut  wit 

6-0,    /?  «  0,    <;  -  Y  ,    Y  m  T  '    rf  ""  ^     t)0rrmlue     °  *"  ji/I»  * 

Destructio  veto  margmis  colorati  powtuhit  ^«  t;  ,  ita  ut.  lain  i  <'<n-t«  Hit 
fractio  positiva  et  *»  —  4  »  Ambiw^  autom  aoyuaitioneB  uoHkiMj  tuiulan«mtttloH 
dabunt,  prior 

rvt  *      **  A0«^  »      *#  *    1 

33  w  WH  —  /cfli    MIVO  •"•  —  A  A/     ideouuo 

«  * 

posterior  vero 


quod   cum    debeat    ease   positivism^    oportet   esHO    "  >  1  4*  1   »iv«   '/  <  ji'j" 
Quia  eei  <  0,  scribatur  u;  —  —  J  at  UttoraB  j  et  f  in  caiculo  rotinoatnutf  oriique 


380-381]  DE  TELESCOPES  SIMPLICIOEIBUS  TERTII  GENERIS  27 

I  =  mi,     q  =  —~.    ac  proinde    &i  =  —  (1  +  mi) M  +  £. 

Unde,  cum  sit  (£>0  simulque  (£<1,  nanciscimur  hos  limites: 

2.      <l 


cum  iam  sit 

m  —  1    ' 
hoc  valore  substitute  ex  istis  limitibus  colliguntur  sequentes: 


et 

9    ^  ^  *  rt m*  a.  (m  ~~ ^ 

«*         ^«i     *^s     ""      *  "*   "    ~T™    *"    —--—-—.«. 

m  w(l+t) 

ex  quibus,  si  littera  i  pro  lubitu  capiatur  indeque  %  debite  assumatur,  omnia 
pro  telescopic  onmt  doterminata;  quo  autom  molius  de  campo  iudicaro  possi- 
mus,  loco  £  soorsim  utrnmque  limitom  substituamus,  ac  prior  quidem  limes 
dabit  -M'«=—  ,  alter  vero  limes  maior  .M=  //-r-x;  niter  quos  valores  littera 

tn  '  wi (i  -f- 1)  ^ 

M  idooque  et  campus  apparent  continebitur. 

Pro  dofinienda  autem  distantia  a  formula  superior  hanc  induet  formam 


De  hoc  autem  casu  iterum  valet,  quod  supra  [§  232]  commemoravimus,  sci- 
licet ob  impuritates  minimas  lentis  in  loco  imaginis  constitutao  repraesenta- 
tionem  obiectorum  inquinari 

De  cetero   autem   campun   semper  maior    OBt    HemiBsi    campi    simplicis, 
quom  vero  deft^ctum  nova  lente  adiicienda  facile  nnpplere  licot. 

KVOLUTIO  01SUS  QUO  Q  » cx> 

320*   Hoc  ergo  caau  fit  Becundum  intervallum  fi-\~G*^B£\   unde  sequitur 
II  positivtim  ideoque  €  negativum.     Turn  vero,  quia  c  —  ~  u ,  erit  c  —  0  et 


1)  Littera  A  ante  mdieem  dtiignat  numarum  50?  sigao  #  denotatur  membrum  jgjfjgf  +  yj 

8  «» 00  «t  Jfe  ••  oo  «? aifttiotrt.          E*  Ch» 

4* 


28                       LIBRI  SECUNDI  SECTIO  TERTIA     CAPUT  I     §  320-321  [381-382 

Y  =  0.     Cum   autem  hums   lentis   distantia   focalis   sit   r  =  ®c?  erit   (£  =  oo 
Mncque  (7—  —  1,  et  quia  B  >  0,  fiet  $>  0  at  <  1. 

Cum  porro   sit  m=Qktf  neque  vero  Jfe  =  0,  necesse   est,    nt  sit  &'==07 

ex  quo  ponatur  Qk'=l,  ut  fiat  m  =  kl.     lam  vero  ex  margine  colorato  ha- 

bemus  #—  TX^^TT;  un(le  sequitur  o>  =  |  hincque  positivum.  Cum  autom 
33  sit  positivum,  ex  prim  a  aequatione  fundatnentali  seqviitur 


unde  oporteret  esse  o>  quantitatem  negativam;  quod  cum  illi  conclunioni  a.d- 
versetur,  manifestum  est  hunc  casum  esse  impossibilem  sou  poiius  hex**  canu 
marginem  coloratum  destrui  non  posse.  Oeterum  hoc  casu  IOIIH  fcortia  in 
ipso  loco  secundae  imaginis  foret  constituta;  quod  cum  contradicfcionom  in-" 
yolvat,  hinc  facile  intelligitur  tertiam  lontein  notahili  intervallo  anto  hna- 
ginem  posteriorem  constitutam,  esse  clebere. 

EVOLUTIO  CASUS  PKOliSUS  SINGULARS  QUO  Q  -  1  KT  Ml)  II  PKIt 
BINAS  LBNTE8  PEIOBES  TRANSM1SSI  ITJflKUM  P1UNT  PAMLLKLJ 


321,  Hoc  ergo  casu  telescopium  orit  quani  ex  dnobua  tnbiw 
compositum  certo  quodam  intorvallo  ab  eodotu  axe  a  so  invicom  roniotiw,  ad 
quod  genus  vulgaria  telescopia  terrestria  dicta  Hunt  referenda.  Cum  igit/ur 
sit  Q****l,  ne  intervallum  secundum  /^  +  c  ob  fl»>*~~Qc  cnfanon«at,  debot 
esse  tarn  /?  quam  c  infinitum>  id  quod  ovenirot,  tain  HI  k  ^  ()t  quam  HI 
J?«»<x);  prius  autem  hie  locum  habore  nequit,  qnia  intorvallum  priirtum  otiatn 
fieret  iBjfinitum;  ex:  quo  necosse  ost,  ut  Bit  J?««oo  <^t  SJ3«««L  N?tk  atitein 
tertium  intervallum  evadat  -wco,  producfeum  ,/K/  dobot  OHHO  quaiititan  Hnit-a 
et  negativa;  quare  statuatur  J?6Y~~#  idooque  (7  —  ~^««0*  lit  autom 
intervallum  medium  valorem  finitum,  puta  —ifa,  obtimsat,  quantitaa  Jl  non 
tanquam  vere  infinita,  sed  tantum  praegrandis  coneiderari  debat,  donee 
scilicet  conditionibus  praescriptia  satisfecarimus,  undo  etiam  valor  ipmm  Q 
aliquantillum  ab  unitate  discrepare  reperietur;  quoniam  enim  c*eBe  debat 

B«  f.        1  \ 

IF  r  ~  g/  ~  J^ 
inde  fit 

* 


382—384]  DE  TELESCOPES  SIMPLIC10RIBUS  TERTII  GENERIS  29 

turn  vero  etiam  erit 

^^j     ..  —       --.».          -~             v  U             vV    "!rti::                   j-j             OU            xli*1    ""'""    ~T>      "~^j    ==~=    '~~^:      * 
1   "j~  JJ  •  JL>  JJ  U  JD 

PTis  notatis  nostrae  aequationes  fundamentals  erunt 

.         (/  (r  .         /j          .        7  \     -n  T"       , 


, 
-~—     -^--T.  -^     et 


-_— 
in  <]ua  si  loco  cw  ex  priore  substituatur  valor  iuventus,  obtinebitur 


et  none  licebit  pen  ere  y/««co,  93  —  1?  6r«®  =  (),  ita  tamen,  ut  sit  BC***  —  6. 

Destructio  autem  marginis  colorati  praebet  //  =  -.-  ,~  -  ,  et  ob  Jck'***m  colli- 

gotur  y:  +  co  —  -;   qxiia  deindo  ost  3/—  1H"*  +  ^,  fiet  nunc  Jkf—  -^+^,  et  si 

77*  7/4   "*~™  1  T((/(ftl  ""•*   JLJ 

valoros  pro  i  et  a?  invent!  substituantur  in  formula  i  +  «?  «*  -  •  •  ,  oriotur  haec 
aequatio  ; 


>m  9 

et  pro  Jf  substitute  valoro 

fl  (m  ~  1)  ft  —  fak*  ~  (1  +  *)  (1  +  <9))  (m  +  A')  , 

undo  colligitur 


et  quia  0  debet  esse  numerus  positives,  necesse  est,  ut  sit  //  >  ^  et  quidem 
ita,  ut  0  non  flat  nimis  exiguum;   quandoquidein  nunc  elementa  noetra  ita 

cxprimentur  : 

,        a      />  Ott       *       9  a 


indeque  distantia  oculi 
atque  distantiae  focales 


30  LIBRI  SECUNDI  SECTIO  TERTIA     CAPUT  I    §  321-322  [384—385 

Distantia  autem  a  definiri  debet  ex  aequatione  sequente: 


quare,  ne  valor  ipsius  a  nimis  fiat  magnus,  convenit  Jc  [sub  radice]  magnum 
assunii,  turn  vero  6  non  multo  minus  unitate;  quod  ad  prius  attinet,  etiaxn 
campus  apparens  suadet  litterae  k  quam  maximum  valorem  dare,  quia  turn 
M  continuo  magis  crescit;  verum  probe  notandum  est  in  formula  </>  «  J/| 
pro  littera  |  eatenus  tantum  valorem  -^-  assumi  posse,  quatonun  littorae  i 
et  co  unitatem  non  superant,  ita  tit,  si  vel  i  vel  a)  unitatem  wnporarot, 
turn  |  in  eadem  ratione  dimiimi.  deberet.  Quani  ob  causam  maxhni  inomcnti 
est  in  eum  valorem  ipsius  Jc  inquirore,  uncle  prodeat  i~l,  Posito  suitem 
i  ==  1  reperimus 


cuius  aequationis  resolutio  pi*aebet 

1  I        t/C^          f  *\\ 

Hie  scilicet  valor  ipsius  k  nobis  praebet  /  ^  1   et 

VQ  ssffiss  j»s  , 

qai  valor  oat  negativus  et  unitato  minor,  undo  pro  campo  apparonto  hs»hol>ittir 


. 

m(m>    1)     s 

sin  autem  k  adhuc  maioretn  udipiwcoretur  valorem,  proclirofc  qunimu  /  IIUUUH 
unitate,  sed  turn  |  ita  mum  doborot,  ut  floret  i§  +»«  14  HOU  |  »*^  4J ,  f  HIC<JUO  pro 
campo  prodiret  0  — 1^*J^*.^;  unde  calculum  inBtituenti  innotoscit  campum 
continuo  diminui  eo  magis,  quo  valor  ipwiuB  k  ilium  torminain  ftuperavcrii. 
Maxima  igitur  hie  cnsus  IUCTOBUS  est,  BI  capiatur 

/;^.-.  w  4^  /2w(w*—  t), 
imdo  fit 

.,       »»  +  }/Sm(w-  1) 

Kmm          m-> 

i)  Vide  aotam  p,  0*          E,  Oh. 


385-386]  DE  TELESCOPIIS  SIMPLICIOKEBUS  TEETH  GENERIS  31 

SCHOLION 

322.  Quia  in  antecedents  problemate  casus  maxime  memorabilis  est  de- 
ductus  ponendo  i  =  0,  suspicari  quis  posset  etiam  hie  talem  positionem  in- 
stitui  eonvenire.  Quamobrem  Me  ostendarnus  in  hoc  problemate  neque  po- 
sitionem i  —  0  neqjie  co==0  locum  habere  posse. 

Prime  enim  si  esset  o)==0,  ob  K*=-~Q-  deberet  esse  i>0;  at  ob 
to  —  0  prima  aequatio 

SQo>  —  —  (1  +  K)M 

subsistere  nequit,  nisi  sit  £3  «=  C\D  ideoque  .#«*  —  1;   iam  ob  J3C<0  debet 
esse  C  positivum  ideoque  (£  etiam  >  0,   ex   quo  patet  alteram  aequationem 

®i  «.  _  (i  +  QtyM 

plane  subsistere  non  posse;  sicciue  evictuni  est  sumi  non  posse  co  ==  0. 

Him  ill  modo  ostendetur  nmnerum  i  evanescero  non  posse;  turn  enim 
ob  //«»  3-  ,  /;G)  deberet  esse  o>>0  hincquo  posterior  aequatio 


nequity  nisi  sit  $i  quantitas  finita  negativa  idoo((uo  (£  »«  cv>;  itnde 
Jit  Cy«—~l  et  hinc  ob  BC<()  ttet  Jf?  >  0  Hinmlquo  S3  >  0,  id  quod  primao 
aequationi 


manifesto  coutradicit;   ex  quo  perspicuum  est  etiam  numerutn  i  non  posse 
cupi  ~  0. 

Nequo  ergo  praetor  tres  casus  hie  eommenioratos  ullus  alias  hie  per- 
pendi  morotur  atquo  postrexuus  atleo  tantis  eommodis  reliquos  omnes  antocedit, 
ut  is  solus  diguuH  videatur,  qui  in  praxin  dedueatur;  non  solum  enim  maxi- 
mum eampum  aperit,  sed  etiam  pro  a  valorem  non  niinis  magnum  largitnr^ 
quoniam  in  ilia  formula  radical!  eubiea  termini  post  A  sequentes  omries  fiunt 
yalde  parvi  eoque  minoroB,  quo  maior  fuerit  multiplieatio,  quoniam  proxime 
fit  k  mm  m  (1/2  —  1)  *•  -j  ^  *  Turn  vero  hie  etiam  numerus  &  arbitrio  nostro 
permittitur,  quo  efflcere  poasumus,  ut  lentes  postremae  non  fiant  nimis  exi- 
guae;  sumto  antem  0  pro  lubitu  quantiiM  ^j  sequeuti  aequatione  definietur; 
quia  emm  supra  immimm 


32  LIBKE  SECUNDI  SECTIO  TERTIA     OAPUT  I     §  322-324  [386-388 


ob  tnfyn  —  2)  —  2w>& -|- ft2  ot  w?. +  /«'==  y2^(w  —  1)  orit 

/}  __  (flft2  —  X;  —  1)  1/2 

hincque 

_ft  +  l       01/w(w— 1) 

ex  quo  valore  intervallum  secundae  et  tertiae  lentis  imiotescil 

PROBLEM!  4 

323.  Si  telescopium  hums  generis  ita  &$  yuatiwr  lent  thus  sU  amipommdum, 
ut  una  lens  inter  imaginem  secundam  et  ocularcM  const ituatur,  indolent  diiw  hula- 
gare  eiwque  constructionew  descwberv. 

SOLUTIO 

Quia  igitur  hie  prima  irnago  inter  lentem  primam  et  secundam,  necuncla 
?ero  imago  inter  lentem  ^ecundam  ot  tertiam  cadit,  litterac^  I*  <^t  Q  erunt 
negativae  manente  sola  11  positiva.  (Juare  ai  ntatuatur  pmm  —  k  ot  Q^—  *k\ 
orunt  olementa  nostra 

6—  ft>    /?—  /jt  ,     ^""x-*"     yM  kkf      et    '*"*'    *^«   **     w 
Hincque  interyalla 

+  L)    ideoque  a  positivuirx, 


®  (l  +  ^),    ergo  //  >  o  **  ^  >  0  at  flimul  4*  < 


ergo 
Pro  loco  autem  oculi  erit  0**    ^  quae  tit  ait  poaitiva,  debcit  etwe  rf>0, 


trnde  haee  no?a  resultat  conditio,  nfc  sit  6f«>,  quac^  condifcio  cum 


388—389]  DE  TELESCOPIES  SIMPL1CIOEIBUS  TEETH  GENEEIS  33 

coniuncta  dat  1  —  ^  <  0   ideoque  R  <  I.     Quodsi  iam  ponamus 

t        '      *  t  /-vj"     ''          j* 
ut  fiat 

existente 


w  — 1    ' 

aequationes  nostrae  fundamentals  erunt 

$a>  =  —  (l  +  K)M    et     (££«*  —  (1  +  /c/c')lf  —  co, 

ex  quarum  priore  statim  ob  £8  >  0  liquet  fore  w  <  0. 
Destructio  autem  marginis  colorati  postulat,  ut  sit 


w      P    r  PQ  ^  PQR 
ideoque 

ut  ergo  li  prodeat  positiyum,  i  necessario  debet  esse  numerus  negativus. 
StatuamuB  ergo  co  —  —  £  et  i^m  —  y,  ut  iam  sit  pro  campo  apparente 

JW  —  -^^T"  •    ideoque    j/  +  ^  <  1. 
Cum  igitur  sit 

U  mm    ^   -     atque  Mnc    m  —  -  —  ^^ 

notandum  est  ob  M  <  1  et  It  ^  ~  ease  debere  M<f>m;  hmc,  quia  est 
;// ~  7^^+  m  »  ®x*&  y  >  1  ideoque  multo  magis  ?/  +  C>  1;  quod  cum  sit  ab- 
surd urn,  patet  Imius  problematis  casum  locum  habere  non  posse* 

SOHOLIOF 

824*  Cum  igitur  hoc  problema  penitus  sit  excludendum,  cum  aeque  pa- 
rum  condition!  margims  colorati  satisfacere  poesit  atque  primum  tribus 
tantum  lentibus  adhibitis,  relinquuntur  nobis  taatum  problema  secundum  ac 
tertium,  Quia  autem  ex  secundo  casus  prorsus  singularis  ibi  annotatus 

()p«ra  oiwuia  III 4  Dloptrica  6 


34  LIBEI  SECUNDI  SECTIO  TERTIA     CAPUT  I     §  324  [389-390 

maxime  reliquis  omnibus  antecellit,  quemadmodum  etiam  ex  tertio  casus  ul- 
timus   prae   ceteris  maximam  attentionem  meretur,   hinc  constituemus   duas 
praecipuas  species  telescopiorum  tertii  generis  easque  seorsim  ita  pertracta- 
bimus,  ut  primo  ostendamus,  quemadmodum  utraque  una  vel  pluribus  lentibus 
ex  eodem  vitro  adiiciendis,   deincle  etiam  ex  diverse  vitro,  ad  maiorem  per- 
fectionis    gradmn   evehi   queant.     Harum   duarum   vero    speciermn    posterior 
ideo  potissimnm  est  notanda,  quia  tolescopia  communia  terrestria  dicta  quasi 
in   se  complectitur;   revera   enim   ab  iis  ditfort  plurhmim,   quatenus  a  vitim, 
quibus  haec  instrumenta,   uti  vulgo  fabricavi  solent,  laborant,   est  liborata; 
unde  si  etiam  plures  lentes  in  subsidium  vocare  nolimns,   hinc  regulao  dari 
poterunt   haec  teloscopia  terrestria   ita  perficiondi,    ut   maior   porfoctio    ox- 
spectari  nequeat.     Prior  autem  species,   quao  longo  aliain  lontiwn  oculariinu 
dispositionem  postulat,   olim   prorsus  fuit  ignota  ac  nupc^r  dominn  a.  s 
tissimo  DOLLONDO  in  praxin  introduci  est  coepta.    Qnatotuus  Hcilicot 
minima  apertura  praoditis  est  usus;  ncqne  tamoti  a  sola  oxjxu'iontia  s 
perfectionis  gradus,  cuius  haec  species  est  cctpa-x,  Bponui  j>otorat.    Hoc  f»sunou 
facile  est  animadversum,  nisi  innupor  una  Imn  adiungatur,   canipuiu  ninuH 
fore    parvum,    quam    ut    oi    acquioscere    qitoanms*     VidimuH    oniin   canipuni 
semper  aliquanto  esso  minorein   quam  in  ttibin  (iHt/ronoiuicw  vulgaribun,   ad 
quod  remedium  etiam  in  soqrunitibus  roourromuH.    l)cmi(juo  circa  hanr,  HjHuuam 
annotari  convenit   nos  in  postcruiu  iiB  mensuriB  «HHO  unuroH,   <juao  in   jwra- 
grapho  314  sunt  statutae,    ubi  Bcilicot  posuiinun    t  "  /   »   cul11    ^n<l°  apU«- 
simae  ad  praxin  detorrniuationes  obtinori  vidoantur. 


CAPUT  II 

DE  TELESCOPES  TERRESTRIBUS  COMMUNIBUS 
EORUMQUE  PERFECTIONS 

DBFINITIO 

325,  Character  Miusmodi  telescopiomm  in  hoc  consistit,  quod  radii  per  duas 
priores  lenies  transnissi  iterum  inter  se  fiant  paralleli,  ita  ut  haec  telescopic  ex 
duobus  tubis  astronomicis  sint  composite 

COROLLARIUM,  1 

828.  Cum  haoc  teloscopia  ex  quatnor  lentibus  constent,  quarum  tarn 
biixae  prioreB  qtiam  binae  posteriores  secundum  rationem  tuborum  astrono- 
micorum  sibi  sunt  iunctae,  multiplicatio  telescopii  est  in  ratione  composita 
ambarum  multiplicationum>  quas  ambo  isti  tubi  astronomic!  producerent. 

OOEOLLAKIUM  2 

327.  Scilicet  si  lentis  prirnae  ponatur  distantia  focalis  —  «jp?  secundae 
»  g?  tortiae  —r  ot  qtiartae  —3,  binae  priores  lentes  ad  intervallum  "^j 


dispositae  inultiplicationcm  }>raebent  •«•  *•  ,  binae  posteriores  vero  ad  inter- 
vallam  —  r  +  $  dispositae  multiplicationom  —  -^  ;  telescopium  compositum 
multiplicationem  producet  ««p^ 

SOHOLION  1 

B28*   Stetim    ab   initio   bina©   lentes   posteriores   inter   se    factae    sunt 
et  qtiidem  eiiiidem  distanM&e  focalis   ac  lens  secunda,  quae  tres 


36  LIBEI  SEOUNDI  SECTIO  TERTIA     CAPUT  II     §  328  [392— 

lentes  oculares  vocari  sclent,  ita  ut  turn  tubus  posterior  nullain  plane  multi- 
plicationem  producat  ob  r  =  s  =====  q.  Quanto  autem  interval]  o  hi  duo  tubi 
sive  lentes  sectinda  et  tertia  a  se  invicem  deboant  osse  remotae,  auctot:ow 
non  satis  definiunt;  plerumque  autem  hoc  spatium  fieri  iubont  =  2g,  ita  ut, 
cum  etiam  sit  r  =  $  =  $,  tota  longitude  futura  sit  =^  +  5gf.  Doiude  autom 
artifices  cbservarunt  haec  telosccpia  meliorem  effectmn  producers,  si  tren 
lentes  pcsteriores  continuo  corta  ration©  diminuantxir,  id  quod  egrogio  0,011- 
venit  cum  iis,  quae  supra  de  hoc  tolesccpicrum  genero  annotavImiiB,  ubi  non 
solum  multo'  maiorem  campum  iis  conciliaviinus,  qua.m  vulga.ris  constvnctio 
suppeditat,  sod  etiam  id  inprimis  offecimus;  ut  margo  ccloratus  ponittts  vvnr 
nesceret.  Quocirca  praecepta  pro  construction©  ante  inventa  hie  ordino  pro- 
poni  conveniet. 

Oonstrnctio  telescopiornm  te.iTostri\itn 
ex  quattior  lontibus  compositoruin  pro  qnavis  tiniltiplic.a.fuoiio  M 


Quanta  statui  debeat  lontiB  obiectivao  diHtantia  locality 
mus,  quando  pro  singuliH  lontibus  Hequentibun  inunoros   /U  A',  A",  X"  assi^na,- 
verimus. 

I.    Si  igitur  jp  •=  a   denotot    cliBta-Titiam    focaloin    lontis    obiw.tivao,    OIUK 
figuram  utiquo  ex  numero  A  —  1  peti  convoniot,  ita  ut,  fti  ratio 
sit  w«l,55,  habeatur: 

anterioriH 
Eadius  faciei 


pro  eiuB  aportura  Bemidiaineter  hactenus  ponita  <*wt  ^*  dig.  Sin  atiiotu  vol 
maior  claritas  (lesideretur  vol  minor  sufficiat,  loco  50  vol  uumoruH  maior  vol 
minor  assumi  poterit 

Intervallum  lentifi    Becundae   a   prima   dobefe  OBBS    «••# -f*?*    ubi    valor 
ipsius  <y  mox  indicabitur. 


IL  Pro  lente  secunda,  si  SIUB  diBtanfcia  focalin  ponatur  «  q,  m 
capita  Tidimus   sumi  convenire  ?—  J    <^mt4mb  &  —  —  m  +  1/2  w(w  —  l);  ot 
quia  pro  eius  apertura  dabat  essn  w  —  ~<Ill^*!fWi)+*>.  q»i  valor  pro   niiiiors* 

bus  multiplicationibus  erit  circitar  en  —  —  *  f    ancle    haw   apurtum   nou   fit 


394—395]  DE  TELESCOPIES  TERRESTRIBUS  COMMUNIBUS  37 

maxima,  etiam  non  opus  est,   ut  haec  lens  fiat  utrinque  aeque  convexa,  sed 
sufficiet,  ut  pro  ea  sumatur  A'=l,  unde  huius  lentis  constructio  erit: 

anterioris    =  q  =  5,2438  $ 
Radius  faciei  ^ 

posteriori^  =  ••'  ==  0,6145  q. 

Et  aperturae  semidiameter  si  capiatur  =|  ^  ,  conditioni  praescriptae  satisfaciet. 

Distantia  autem  tertiae  lentis  a  secunda,  quae  supra  est  posita  =7ja, 
delinita  est 

7c  +  l       oyw(m  —  l) 
''""*•    +       vfa    '' 

ubi  numerus  6  urbitrio  nostro  relinquitur,  quern  autem  neque  multo  maiorem 
neque  minorem  imitate  sumi  conveniet. 

IIL  Pro  tertia  lente,  quoniam  ea  maxim  am  aperturam  recipere  debet  ob 
i  r«a  i  idooqne  utrinque  aoque  convoxa  confici  debet,  erit  A'' «=»  1,6299,  et  cum 
eius  distantia  focalis  sit  r—  J,  erit  rn-dius  utriusque  faciei  «=  1,10  r,  cuius 
pars  quarta  dabit  semidiamotrum  aporturao. 

Ab  liac  lento  distantia  ad  quartam  e>st 


r  +  S  «ma  /9 «  /  4-    .^     ). 

1  \  &        m/ 


IV.  Quia    quarta   lens    etiam   maximam   aperturam   admittere    ideoque 
etiam  ntriuque  aoqualiter  convexa  ease  debet,  pro  ea  etiam  erit  A'"—  1,6299; 
unde,  cum  eius  distantia  focalis  sit  a  —  -^,  erit  radius  utriusque  faciei  » 1,10s 
et   *  s  dabit  semidiametrum  eius  aperturae;  turn  vero  distantia  ab  hue  lente 

acl  oculum  writ 

$  s(w  —  i)         «V(wi  —  1) 

""*  /I/  w  *~  '|/2  m  (m  -  I )  ~       1/2  w 

V,  Hocque  telescopium  campum  ostendet,  cams  semidiameter  est 


sen  in  menstira  angulorum 

.  1215 

<#>«   i— r -•  min. 


38  LIBEI  SECUNDI  SECTIO  TERTIA     CAPUT  II     §  328—331  [395-396 

VI  Tota  autem  hums  instrument!  longitude  ad  oculum  usque  erit 

+  1)2       0(w-l)/2(w- 
_  __ 


f 

VII.  Pro  distantia  autem  focali  p,  si  desideretur  claritas  y  =  50  dig.  cfc 
pro  gradu  distinctionis  A==501),  ut  sit  Jcw  =  m,  db  litteram  /n  parum  ab  imi- 
tate deficientem  debebit  sumi  in  digitis 

ft    (\    ,     1     ,     1,6299  /I     ,      1  \\ 

i,  -«!/«(!+  j+^'g,-   (j  +  J); 

ac  si  tain    minore  claritate,   puta  ?/  =  7Q,  ot  minoro  gradu  dmt/nuvbioniH,  puta 
ft  =  35?   acquioscero  velimus,   iste  valor  ipsius  $  ad  semissotu  rculigi  poterit, 

EXEMPLUM 

329,  Si  huiusmotli  teleneopium  tantum  novies  multiplicai*o  deboat,  ut  nit 
m~$,  reperietur  /c«*3  Wncquo 

/>  «  -P       ^  «.  °#      A!      <?  ..  ejp 
^^  8  '     r        8        8t      S        9* 

uude   erit   totius    teloscopii   longituclo   "^  +  27^^  °^  Bomidiamotor  campi 


Tuin  vero  distantia  focalis   )  ita  aBBimii  dohobit 


y  M 

sumto  ergo  #«««1»  ut  longitudo  fiat  "'*%7/>  H*w  propomodum     *  3/^  roliigH 
-p  ««  9  (/18,5196   BBU   propomodum  p  ^  24  dig.,   undo  longitu<ic>  ioi?t     •*  72  dig, 
« (5  pod;  qtiaa  lotigitudo,  uti  animadvortimtiB9  ad  BomtBBrai  nuhuu 


SOHOLTON  2 

.130,   Vontm  otiatn  longitudo  trium  podum  pro  t»am  oxigtm 
enormtB   vidobitur,   praacipuo   cum   vulgo  cnunmodi   toloscopia  c'iiiu 
multo  breviora,  magiaqua  ampUHcantia*    At  praocipuu  caunu  huiun 
in  campo  apparente  ost  nita,  <|uom  maximum   producers  BUIIHIH  rtmati;  qui 

1)  Hie  valor  attinet  &<J  oam  litiaram  k^  qua©  in  formuU  pro  <*  §  HHJ   anU  racitcnttt  i^isi 
posita,          1,  Ch, 


396— 398]  DE  TELESOOPIIS  TERRESTEIBUS  COMMUNIBTTS  39 

sine  clubio  multo  maior  est,  quam  in  vulgaribus  eiusmodi  instrumentis  de- 
prehenditur.  Interim  tamen  destructio  marginis  colorati  non  parum  ad  lon- 
gitudinem  confert  perinde  ac  insignis  claritatis  et  distinctionis  gradus,  qui 
nobis  erat  propositus,  ex  quo  instrumenta  secundum  haec  praecepta  parata 
plurimum  antecellent  iis,  quae  vnlgo  circumferuntur  et  quae  plerumque  tot 
tantisque  vitiis  laborant,  ut  in  praxi  vix  tolerari  queant.  Non  mediocriter 
autem  eorum  longitudo  diminui  posset,  si  loco  lentis  obiectivae  sive  lens 
dnplicata  sive  etiam  triplicata,  quales  supra  ex  principio  minimi  sunt  inventae, 
substituantur,  siquidem  turn  valor  ipsius  A  priori  casu  ad  -~,  posteriore  vero 
ad  2^  reduceretur;  ita,  si  in  nostro  exemplo  A  fuisset  =  y?  invenissemus 
$  =  20  dig,  et  telescopii  longitude  adhuc  ad  5  pedes  excrevisset.  Sin  autem 
lento  obiectiva  triplicata  usi  essemus,  ut  fuisset  A=  — ,  prodiisset  ^  =  19y  dig.; 
undo  patet  a  lentibus  illis  duplicates  et  triplicatis,  quales  supra  sunt  de- 
scriptae,  atque  adeo  a  lentibus  perfectis;  ubi  foret  A  =  0,  haud  notabile  decre- 
montuin  longitudinis  cxspectari  posse?  saltern  pro  minoribus  multiplicationibus, 
ubi  post  signum  radicale  cubicum  termini  A  sequentes  admodum  sunt  nota- 
bilos;  pro  maioribus  autem  m^ultiplicationibus  maius  lucrum  esset  futurum, 
quod  vix  tamen  ad  somissem  redire  posset  Quare  pro  hac  specie  telesco- 
pi  or  am  praeeipue  in  id  est  incumbendum,  ut  lens  obiectiva  ita  duplicetur 
vel  triplicetur,  at  non  sol  urn  confusio  ab  ipsa  oriunda,  sed  et  ea,  quae  a 
soquentibus  lentibus  ernnibus  nascitur,  ad  niMlurn  redigatur;  tarn,  enim  di~ 
stantiam  j>  maiorem  statui  non  erit  necesse,  quam  apertura  ob  claritatem 
roquisita  postulat;  quem  casum  in  sequente  problemate  ita  evolvamus,  ut 
exiguum  spatium  intra  lentes  prieres  admittamus. 

PKOBLEMA  1 

83L  In  hac  telescopiorum  specie  loco  lentis  obiectivae  eimmodi  Unas  lentes 
CT  iwdrm  vitro  $amndas  suhstitmre,  ut  onmis  confusio  etiam  a  religuis  lentibm 
wiwida  ad  nikilwn  redigatur  sicque  Ms  telescopiis  minima  longitudo  concilietur. 

SOLUTIO 
Cum  igitur  Me  habeantur  quinque  lentes,  statuamus  nesteas  fractienes 

|__P,  |__«,  I.—*  et  J— «. 

Quarum  litteranun  prima  P  proxime  erit   —  1;    secunda   Q  erit    ne^a-tiva 


40 


LIBBI  SECITNDI  SECTIO  TEETIA     CAPUT  II     §  331 


[398—399 


==  —  &;  tertia  R  etiam  erit  =1,  sed  ita  tamen,  ut  intervallum  tertiuin 
y  -\-  d  fiat  quantitas  finita,  scilicet  rja;  denique  vero  erit  $==  —  lc',  ita  at 
nostra  elementa  futura  sint 


IL      _  «         __  Bet       j_BC*_ 

P  '     c  ~      P'k  '  Pkli  ~ 


Hincque  intervalla 


Sa 


1.   a 


BGx 


BCD*  _  BOD* 

PltEk'  ~     m     ' 

BCDa 


uti  supra  [§292]  iatn  assumsimus,  ita  ut  sit 


ubi  scilicet  est  C—  oo    hincque       ^ 


4   Quia  orat  6Y^oo,  debet  OBSO  ,/)  infinite  parvurn,  itu  ut  nit  0 
eritque  hoc  interval!  am 


existento  multiplicatione  m  ««• 

Quia  autem  fieri  poaBet,  ut  tlintatitiani  a  tiogativam  oapi  oxpodiroi, 
statuatnus  primiun  intervalluni  a  +  b^^^a  flotcjuo  r^{1  ,  ubi  notundunu 
si  a  esflet  quantitas  nogativa,  tani  ^  <iua»i  t|  lu^aiivo  uruupi  <lobt»ro;  nompor 
autem  necesao  erit,  ut  sit  -/Ja>0  sou  /f«<0  ofc  />>(),  uti  initio  ium 
fl,  ubi  poHuimus  (/,/>  «*•  —  #» 

Cum  nunc  pro  cuuipo  apparante  sit 


itatuamus 
ut  sit 


- 


Wl—  1 

f    ntf  - 
ft)  4  2 


399—400]  DE  TELESCOPIES  TERRESTEIBUS  COMMUNIBUS  41 

existente 


ex  quibus  pro  loco  oculi  colligimus 

~  Mm 
existente 

-BO* 

f>        ,,  .,.  ._..,.         „„, . 

Consideremus  nunc  nostras  formulas  fundamentales 


2.  (£co*=  —  (1 

3.  5D  —  —  (1  +  PJctyM—  v  —  w, 

de  qtiibns  observari  oportet  fore  primam  33^  =  -±-~  MI  sicque  valor  v  ob 
duplicem  causam  fiet  quantitas  minima,  ita  nt  etiam  mv  adhuc  sit  valde 
parvum.  Pro  secmida  autem,  quia  est  C  ««  co,  erit  ^  ««  ^^  «=*  1  —  ^-  ;  pro 


fi  ^^    f\  ___^__    S\ 

tertia  atitem,   quia  est   D  —  0  seu  potius   1)  —  —  -^,  erit  SD  «*  ^^^  *»  »^-; 
cleinde  etiam  hie  recordari  oportet  esse 

7Z 


- 
BC7 

quia  igitur  ex  securida  aequatione  ob  ©  ««  1  +  ^  est 


si  hie  valor  in  tertia  aequatione  substituatur,  erit 

Q  ,<    , 


ubi,  cum.  termini  finiti  ee  mutuo  destruant,  ex  infinite  parvis  concluditur  fore 


Bticaii  Opara  omuiu.  IIU  Diopirica 


42  LIBBI  SECUNDI  SECTIO  TESTIA     OAPUT  II     §  331  [400-401 

unde  fit 

__  (1+J?/C)J?  _    •??_   _    ]3v 

-  •       —     p*~ji*M 


ubi  terminus  ultimus  tuto  omitti  potest. 

Destructio  porro  marginis  colorati  postulat  hanc  aequationem: 


P    '     P  (}    '     P  O  A*    '     P  ^)  7^  iW 

jr  j     ij/  .x    l^'  J  t»  J»    l^/jLtAJ 

quae  pro  nostro  casu  fit 


07  1,1 


unde  neglecto  ternnino  prinio  deducitur 


et  ol)  m  «=«  P/c//  erit 

PA 

wi  ^«      ,   .  • 
#»  +  1 

Cum  autoin  sit 

o,«  —  (1  +  /Vu)JI/     ut     At  - 
neglecto  termino  ?>  fiot 


hincque 


2(1+  P*)         i  ^  2 

,  Tii          ut<nio     Jf-«-    t   „,  • 
m  -h  PA  l  w  f  -  PA 


Quare,  cum  ait  m»^      ,  substituto  valoro  ipaitm  (/;  ol>tinomuB 


f#t    •  •••  ,       yi  #  "^^    /    w 

m  -f-  PA 
hincque 


quae  m*  utrinquo  addito  pnw^bflt  2m(m  -  Ij  «  f /*  +  m)f  iclotujuo 

/>A  —  ^m+  |/2w(m—  1), 
Hoc  ergo  valora  pro  fk  anHumto  pro  oumpo  apparent.!*  ailipwnnnur  tnaximunt 


401—402]  DE   TELESOOPIIS  TERKESTRIBUS  COMMUNIBUS  43 

valorem,  qui  erit 

^3  =  _  .?  _______  t 

' 


et  in  mensura  angulorum  ob  |  ==  -  -   erit 


1718 


Nunc  autem  praecipuum  opus  superest  in  oo  consistent,  ut  binae  priores 
lentes  ita  definiantur,  ut  formula  pro  aemidiametro  confusionis  inventa  penitus 
evanescat,  unde  sequens  aequatio  erit  resolvenda; 


_        t  fjj      * 

~~  X      93  P  MB*  ^  J? 


sou 

1  ^  -7  ft  f\tff 

n  -   5 

A  ~  ®8P  ~  1?*P*  ~  J^'^Pft 

in  qua  aoquatione,  ut  ante  iam  vidimus,  Bumi  poteBt  /T=l?  et  quia  duae 
postremae  lentes  debent  esse  utrinque  aequaliter  convoxae,  erit  pro  vitro 
communi  X"  '«  Xfft  ^  1,6299.  Ex  hac  vero  aequatione  vel  A  vel  X  definiri  debet, 
prouti  coefficient  ipsius  A'  maior  ost  imitate  sive  minor,  Ceteram  notandum 
est  omnes  quantitates  He  praeter  litteras  I?  et  S3  satis  esso  determinatas, 
ita  ut  in  hoc  negotio  tantum  litterae  //  et  SJ  arbitrio  nostro  perinittantur; 
in  quo  duo  casua  Hunt  perpendendi,  alter,  quo  S3  est  fractio  unitato  maior, 
puta  1;T™»,  alter  vero,  quo  est  mutate  minor,  puta  —  ?^.« 

Primo  si  sit  ^««*1T\  erit  J?»«-  —  1—  i  ideoque  nurnerus  negativus; 
quo  ergo  casu  a  debet  esse  positivum  sen  prima  lens  convexa,  secunda  vero 
concava,  pro  qua  valor  A'  determinari  debot  et  quidem  ex  hac  aequatione; 


ubi  Btimto  A  «  1  evidens  ast  A'  fieri  imitate  mains. 

At  socundo  BI  sit  SB—-J  *  ,  orit  B«*®*i  ideoque  positivum;  unde  distantia 
a  fiat  negativa  sive  prima  lens  concava,  secunda  vero  convexa,  quo  canu 
numerus  A  deflniri  oportet  per  hanc  aequationem; 


atque  Me  simi  poterit  A'<""»1;  A  vero  imitate  maius  flei 


44  LIBEI  SECUNDI  SECTIO  TERTIA     CAPUT  II     §  331-336  [402-403 

Perspicuum  igitur  est  simili  fere  modo,  quo  in  priore  casu  T  defiuitur, 
in  secundo  casu  litteram  A  definiri,  propterea  quod  proxime  est  P=l,  quando- 
quidem  invenimus  P=^^-~]  ubi  notetur  priore  casu,  quo  a  est  positivum, 
sumi  posse  £  =  ^)>  ut  sit  p  =  ~;  eodemque  modo  etiam  77  erit  positivum, 
quemadmodum  etiam  nostra  formula  posito  7?  «=  —  1  —  I  declarat,  scilicet 


Pro  altero  autern  casu,  quo  a  est  quantitas  negativa,  Hurai  debot 
^=  —  ^  ut  sit  P™  j^;  ob  eandemque  ration  em  etiam  ry  fiob  nogativum, 
scilicet 


OOROLLARIUM  1 

832.    Cum  tollendo  marginom  coloratum  pervenorimus  ad   hunc 
tionem  : 


qua  ob  /'  datum  valor  ipsius  k  determinatur,  hinc  liabobimuH 

Jl/-    y      2  efe    « 

Y%m(m  —  1) 

atque  Mnc 


OOKOLLA1UUM  2 
333.   Cum  sit  6'»-eo,  />  —  0  et  6'J>  —  —  #,  iienfc  nostra  elemonta 


ft"  p 

Mncque  dista&tiae  focales 


403--405]  DE  TELESCOPES  TERRESTBIBUS  OOMMUNIBUS  45 

turn,  vero  lentium  intervalla 


ac  denique  distaritia  oculi 


ubi  notetur  litteram  $  arbitvio  nostro  permitti,  quo  caveri  poterit,  ne  ultimae 
lentos  fiant  nimis  parvae. 

COJJOLLAlttUM  3 

334.  Ex  his  perspicitur,  quo  maior  capiatur  littera  J9,  eo  maius  prodire 
B(?>cundum  intervallum  cum  soquentibus  hincqxie  longitudinem  telescopii  eo 
magis  augeri;  at  littera  Ji  eo  maior  evadit,  quo  propius  littera  95  ad  uni- 
tatem  accedit;  sive  enim  sit  SS-as1"^*  sivo  93  —  x!^,  aucto  numero  i  augetur 
immorus  J5;  quare,  cum  littera  23  otiam  nunc  arbitrio  nostro  permittatur, 
noutiquam  expediet  earn  unitati  nimis  propinquam  statui  neque  tamen  etiam 
conveniot  pro  /  numerum  valde  parvum  assumi,  voluti  dimidium  vel  fractionem 
adhuc  minorem;  turn  onini  ex  ultima  aequatione  numerus  vel  A  vel  A'  pro- 
diret  nimi»  magnus?  scilicet  adeo  maior  quam  27.  Unde  concluditur  numerum 
i  ad  minimum  unitate  maioreia  capi  debere. 

OOBOLLABIUM  4 

835.  Hie  igitur  coramodum  cum  incommodo  compennatur;  si  enim  i  uni- 
tato  minus  caporefcur,  obtinoremus  commodum  brevitatis  tubi,  contra  vero 
nimiB  inagnus  valor  numori  A  vel  A'  insigne  esset  incommodum;  sin  autem 
numorum  i  imitate'  multo  maiorem  sumeremus,  obtineremus  quidem  commo- 
dum ,  ut  A  vel  A'  parum  unitatem  excederent,  contra  vero  tubus  fieret  nimis 
longus* 

COBOLLAEIUM  5 

SS6,  Sk  autem  opiio  detur  inter  valoree  -t*  et  lg^v  pro  SB  asaumendos 
retinanta  i  in  utexjua  0rn$em  valorem^  tune  A  vel  X  eundem  fere  valorem 


46  LIBEI  SECUNDI  SEGTIO  TERTIA     CAPUT  II     §  336-337  [405—106 

nancisceretur.  Yerum  priore  casu  cum  fiat  B  ==  —  1  —  i,  longitude  tubi  maior 
prodiret,  quam  altero  casu,  quo  esset  B  =====  i]  quam  ob  rem  semper  consultius 
est  posteriorem  casum  eligere,  quo  lens  prima  est  concava  et  secunda  con- 
vexa,  quam  priorem,  ubi  vicissim  lens  prima  esset  convexa,  secunda  vrero 
concava, 

SCHOLION  1 

t) 
337,   Quae  quo  clarius  perspiciantur,  ponamus  i  =  2  et  S3—  8-,  ut  fiat 

7?  =  2;  turn  igitur  erit  P**-^  et  elementa  nostra  sequent!  mcxlo  HO  habebmit 
existente  a  quantitate  negativa: 


50  PJc 


existente  Pfc«-  —  w  +  I/2m(w  —  1);  turn  vero  diHtantijio  foealon  onnit 


at  intervalla  lentium 


20*          —  L'ffrt 

«-    w         w       Ww 

et  distantia  oculi 


quibus  factis  campi  Remidiametor  erit 

-  1718 


mm. 


Pro  apertara  aufcem  tertiae  lentta  notandum  mt  aasa  cn» 
ut»  si  m  sit  numerus  satis  mafnas,  fiat  o>  —  ~  jj;   unde,  cum  haw  lims  HOD 


406—407]  DE  TELESCOPIIS  TERRESTRIBUS  COMMUOTBITS  47 

maximam  aperturam,  sed  minorem,  quae  sit  ad  maximam  ut  10  :  17,  requirat, 
sufficiet  pro  hac  lente  sumsisse  A"=l;  guare,  si  et  A'  =  l,  at  A'"  =  A""  «=  1,6299, 
pro  lente  obiectiva  inveniemus 


-  61 


200" 


existente  ^  =  0,2326  pro  refractione  scilicet  n  =  1,55. 

Hinc  auteiu  invento  numero  A  prima  lens  obiectiva  concava  ita  construi 
debet?  ut  fiat  * 

anterioris  =  .....  —  --— 

cr—  r|/A-l 
< 

posterioris  vero  ==  -   -----—: 


r        P    •   • 
radius  taciei 


existente   9  —  0,1907,    a  —  1,6274,    r  — 0,9051. 
Pro   secunda  autem   lente  capi   debebit 

...  2& 

anterioris 
radius  faciei 

et  posterioris 


axistente    fe  —  —  50  a . 


2tf  +  p 

Pro  tertia  lente  erit 

anterioris          *»  ••• 
radius  faciei 

et  posterioris   — 

existento  c  ••»  "^^  * 

Pro  quarta  vero  lente 

radius   utriusque  faciei  —  1,10  $ 
et  pro  quinta  lente 

radius  faciei  utriusque  •*•  It10 1. 

Ad   inensuras  vero  absolutas   inveniendas   consideretur  in  constructione 
lentium  primae  et  secundae  miniinua  radius,  qui  sit  —  in  a,  cuius  paxs  quarta 
aequetur   semidiameteo   aperturae   ob  claritatem   requisitae,   quae   sit 


48  LIBEI  SECUKDI  SECTIO  TERTIA     OAPUT  II     §  337-338  [407-408 

j~  dig.,  hincque  fit  a  =  -^5—  dig.,   quae    mensura   si  forte   dot  ultimas   lentes 


nimis  exiguas,  ut  supra  usu  venit,  tantrum.  litterae  6  tribuatur  valor  imitate 
pro  lubitu  maior,  cum  hinc  longitudo  telescopii  vix  augeatur.  Colligitur 
autem  tota  haec  longitudo  ad  oculum  usque 


J3        2(1  +  2PK)    ,    (m  +  Pfy* 

50  H "~         ~ 


EXEMPLUM  1 

erit  m  =  9?   erit 
telescopii  erunt 


338.   Si  fuerit  w  =  9?   erit  Vk^l]  et  k****f*  oh  P^f?;  tmde  elementu 


51  51 


et   distantiao  focales 
et   intervalla 

203 


et  distantia  oculi 

n          46>^ 

(/  ew»  *«— 

2T 

Turn  vero  campi  apparent!** 


Nunc  vero  habobimuK 

A  -  3,4425  +  0,0410(5 
4-  0,1?^ 
3,f."204 
0,0416 


408—409]  DE  TELESCOPIES  TEERESTRIBUS  COMMUNIBUS  49 

Sumarmis  nunc  6  =  1,  ut  fiat 


A  =  3,75255,     A  —  1  =  2,75255     et     r  I/A  —  1  =  1,50162. 
Quare  constructio  lentis  primae  ita  se  habebit: 

'  anterioris     —  — £—  -  7,9491  a 


Eadius  faciei 

posterioris   —  W^r  =  0,5909  a. 

Pro  secunda  autem  lente  erit 

anterioris 
radius  faciei 

posterioris  =  ;rjrW  ^  —  0,5921  a . 

Pro  tertia  autem  lente  erit 

anterioris     ==  yr^^  —  —  3,4959  a 

posterioris  «•  rr;o^5^  ***  —  0,4097  cc . 
Pro  lente  quarta 

radius  faciei  utriusque  —  —  0,7338  a. 

Pro  loute  (lenique  quinta 

radius  faciei  utriusque  —  —  0?2444 a. 

Tarn  in  duabus  prioribus  lentibus  occurrit  radius  minimus  ««0/>909a,  ut 
nit  in  —  0/)909   adeoque 


radius  faciei 


Undo   H(Hj[iuHm   prodibit  constructio  huius  telescopii   pro   multiplicatione 
•*•  9,   lontibus  ax  vitro  communi  factis, 

I.  Pro  prima  lente 

,    ,.      *    .  .  faatetioris    —  —  9,98  dig. 
Radius  faciei  <      ,    ,    .  AM  .. 

Ipostenons  —  —  0,78  dig, 

Immn  mm  Btrtnx  Op«m  o»nia  III  4  BlopW^a  7 


50  L1BRI  SECUNDI  SECTIO  TERTIA     CAPUT  II     §  338—339  [409-410 

Cnius  distantia  focalis    =  —  1  j  dig. 
Semidiameter  aperturae   =  0,18  dig. 
Distantia  ad  lentera  secundam  =  0,025  dig. 

II.  Pro  secunda  lente 

fanterioris     —  1,27  dig. 
Eadius  faciei  {       ...         „„,  ,. 
I  posterior^   =»  0,74  dig. 

Cnius  distantia  focalis   ==  0?85  dig. 
Semidiameter  aperturae  ut  ante   =0,18  dig, 
Distantia  ad  lontem  tertiam    ~  »>?3<S  dig, 

III  Pro  tertia  lento 

„  fanterioris    -**  4,37  dig. 
Liadius  faciei  \ 

Ipostorioris    -  0/>1  dig* 

Cuius  distantia  focalis   —  0,88  dig. 
Semidiameter  apertnrao   «*  0,13  dig, 
Distantia  ad  quartam   «»  2,78  dig. 

IV.    Pro  quarta  lente 
KadiuH  nkiuBijuo  facial    ^(U)2dig- 
Ouius  distantia  focaliB    —  (),8;i  dig, 
Semidiamotor  aperturao    «•  0,25  dig. 
Interval! urn  ad  quintani    -^  1,11  <lig- 

V,  Pro  quiniu  loni<» 
ItadittH  tilriuBquo  i\wm    >*•«  0,*{0  <lig» 
Cuins  distantia  focal  IB   ^  0,28  dig, 
Bamidiametar  aporturuo   «*  0,0?  dig, 
et  distantia  ad  ocultim    »«0fli)dig, 
sieque  tota  instrunionti  longifctulo    ««*•  7,40  dig, 
et  Semidiameter  campi    ~« 2°2ir. 

Hac  ergo  perfectiono  adhibita  te!cis€0piniiif    quoci   ante  unit  (J  pinl,,   r«*- 
ductam   eat  ad  7  * 


411]  DE  TELESCOPIES  TEBRESTRIBUS  COMMUOTBUS  51 

EXEMPLUM  2 

339.   Si  multiplicatio  sit  m  =  50,  erit  Pfc  =  20  et  &  =  ^;  undo  elementa 
nostra  erunt 

l^  —  ^La      /j=as_il          = °L        — 

50  a>     P—       25 a'     c~      "To"'     7  —  ^? 

$  =  _co        <J=_^         >  =  _1^. 

et  distantiae  focales 


et  intorvalla  lentium 

,   /  l          n  ,  107 


c,  _       3^5 

,     i    -  200  '         "T  e  ~  "    50  ~ 

atcjue  dietantia  oculi 

=sa=~  250 

et  campi  apparentis  semidiameter  erit  =24^  min. 
Nunc  vero  prodibit 


+  0,0063 
0,1779 

A  ^1,6267  +    ' 
Sumatur  nunc  0  •**  2  oritqxio 

A  **  8,B2«5,     A  -.-  1  —  2,6285     et     rV(A  ~  1)  —  1,4674, 


undo  Mot; 

L   Pro  prima  lente 

anterioriB     —  ~^— ~  •»  6,2500  a 
Kadius  facial 

posteriorii   «•  V7:ro%  "••"  ®»6081 « * 

X*vOOl 
l 

r 


52  LIBEI  SECUNDI  SEOTIO  TERTIA     OAPUT  II     §  839-340  [412—413 

II.  Pro  secunda  lente 

fanterioris    =  —  1,0  155  a 
Uti  ante  radius  faciei  {  .    .  _  Kr_. 

I  posteriory  =  —  0,55)21  a. 


Ill  Pro  tertia  lento 
Radius  faciei 


anterioris     ==  =  —  0,5244  « 


«„ 


postorioris  —  <    '»;  «*  —  0,0615 

^  1  j  O  .ft  <  'i 

IV,  Pro  quarta  lente 
Eadias  faciei  ntriusquo  -••  —0,2200  a, 

V,  Pro  quinta  lonta 
EadinB  faciei  ntimsquo  ««  —  (),O^K()«. 

lam  cum  sit  in  duabus  prioribus  lontibiiH   radiim  nnnimus  0,5021  ft,   vrll 
0,5921    adeoque    ^  *BB  ""  -  5^  ^*?  ^  u^  ca'l^  ponnot       —  7  dig, 
Unde  sequens    prodibit  constructio   huiim   toloscopii    pro   iuuifcipruf.aii«»m» 
50. 

L  Pro  ]>rima  lento 

fanterioriB    »-*.    -4*1,75  dig. 


_   -,       ,    ,  . 
BadinB  iaciei 

4,212    dig, 


Cuius  distant!  a  focal  Js   **-  ~  7  dig* 
Stmndiamcter  aporturuo  *-«  1,05  dig* 
Distantia  ad  lentom  Bectindant   ~  0,14  dig, 

II*  Pro  HOC  and  a  Ion  to 

*    *  .  fantorioriH       *  7,H  dig, 
faciei  < 

^-  4,14  dig, 


Gums  distantia  focalis  eat  »  4,76  dig* 
Semidlameter  aparturao  ut  aiiti»  -*•  1,05  dig, 

Intervallwm  ad  tertiani  lantern  **•  144)8  dig. 


413—414]  DE  TELESOOPIIS  TEEEESTRIBUS  COMMDNIBUS  53 

III.  Pro  tertia  lente 

_    ,.       „    .  .  fanterioris    =  3,67  die. 
.Radius  faciei  { 

Iposterioris  =  0,43  dig. 

Distantia  fo calls  est  ==0,7  dig. 
Semidiameter  aperturae  =  0,11  dig. 
Intervallum  ad  quartam  =  3,18  dig. 

IV,  Pro  quarta  lente 
Radius  utriusque  faciei  =  1,54  dig. 
dims  distantia  focalis  est  =  1,40  dig. 
Semidiameter  aperturae  —  0,38  dig. 
Inter  valkiu)  ad  quintam  lentem  =  1,96  dig. 

V.  Pro  quinta  lente 
Kadius  utriusque  faciei  =  0,61  dig, 
Cuiutt  cli&tantia  focalis  ~  0,56  dig. 
Semidiameter  aperturae,  *»  0,15  dig. 

Distantiu  ad  oculum  =»  0,39  dig* 

*> 
Sicque  longitude  tota  «—  20  ^  dig.  propemodum 

et  Bemidiaineter  eampi  -» 24  2  min. 

SCHOLION  2 

840.  Hoc  ergo  etiam  postreomm  tolescopium  facile  per  tubos  dnctitios 
itn.  pa;rari  potost,  ut  commode  quiB  HOCUIH  id  portare  possit,  cum  lento  ilia 
(umcjiva.  oniiHHii  hoc  tcloHCiopium  ultra  viginti  podes  oxcrevisset  Circa  tubos 
autom  dnctitioB  hi<*  nofcari  oportet,  (lain  ductus  ad  oculum  accommodatur, 
Holum  lontom  ocularem  mobilem  ease  debere,  reliquas  vero  lentes  omnes  in 
loom  hie  aB&ignatis  perpotuo  consistere  debere,  id  quod  in  perpetuum  de 
cminibufl  telescopiis,  <iuaa  Me  tractantur,  est  tenendum;  ceterum  non  opus  est, 
tit  perfoctioni,  quaua  variae  vitri  species  largiuntur,  caput  peculiare  tribuamus, 
ut  hactenui  fecimus,  Bed  solutio  praeoedentis  problematis  paucis  mutandis  ad 
hum  scopum  accommodari  poteat,  uti  in  problemate  sequente  ostendemus. 


54  LIBRI  SECUNDI  SECTIO  TEBTIA     CAPUT  II     §  341—343  [414-416 


PKOBLEMA  3 

341.  Si  prima  lens  obiectiva  concava  ex  vitro  crystalline  paretur,  dwn  reliquae 
ex  vitro  coronario  conficiuntur,  constructionem  telescopii  describere,  in  quo  non  margo 
solwn  coloratus,  sed  etiam  tota  confusio  a  diversa  radiorum  refrangiUlitate  oriunda 

penitus  destruatur. 

SOLUTIO 

Hoc  problema,  ut  hacteaus  fecimus,  ex  principiis  supra  stabilitis  si  re- 
solvere  vellemus,  omnia  plane  eodem  modo  se  essent  habitura  uti  in  proble- 
mate  praecedente  usque  ad  eum  locum,  ubi  marginem  coloratura  sustulimus, 
atque  etiam  haec  ipsa  aequatio  non  esset  discrepatura  ab  ea,  quam  in  prae- 
cedenti  problemate  tractavimus^  quoniain  in  ea  prima  lens  non  in  computum 
venit,  ita  ut  Mnc  etiam  eaedem  determinationes  obtinerentur  atque  hucusque 
litterae  $8  et  B  etiam  nunc  mansurae  essent  indeterminatae;  iam  autem  demum 
ultimae  aequationis,  qua  confusio  penitus  e  medio  tollitur,  ratio  erit  habenda, 
et  aequatio  eo  pertinens  [§53],  si  pro  prima  lente  formulam  differentialem 
^  littera  N9  pro  sequentibus  autem  lentibus  litteris  N'  denotemus  per 
hasque  aequationem  dividamus,  erit 

y\T  1  1  11 

0=47- 


Nr       93P       S&PJc        SP6Jc        B6m' 


in  qua  aequatione  terminus  tertius  cum  sequentibus  prae  duobus  primis  tarn 
eunt  exigui,  ut  sine  errore  negligi  queant,  praecipue  cum,  uti  iam  saepius 
notavimus,  natura  rei  non  permittat,  ut  haec  aequatio  adcurate  resolvatur 
neque  id  etiam  scopus  noster  postulet.  Quare  sumtis  tantum  duobus  terminis 

prioribus   colligemus 

N' 

$Y\  J-Y 

f\J    ~~~~       -iL-r-  -»-»    J 

NP 

scilicet  ob  hanc  conditionem  lentis  primae  e  vitro  crystallino  parandae  totum 
discrimen  in  resolutione  in  hoc  tantum  consistit,  ut  nunc,  cum  littera  35  ante 
arbitrio  nostro  mansisset  relicta,  definiatur;  quocirca,  quia  ex  DOLLONDI 
experimentis  habemus  N:N'=IQ:1  ac  praeterea  sit  P  =  -£,  consequimur 

Of*  n  e  ft 

nunc  35  =  ^7  qui  valor  proxime  reducitur  ad  hunc  35  =  y  sive  etiam  ^ 


qui  est  ipse  valor,   quern  in  praecedentibus  iam  exemplis  ipsi  95  tribuimus; 


416—417]  DE  TELESCOPES  TERRESTEIBUS  COMMUNIBUS  55 

quicunque  autem  valor  ipsi  33  tribuatur,  in  aequationem  ultimam,  ex  qua 
numerus  A  definitur,  leve  quoddam  discrimen  ingreditur;  cum  enim  nunc 
primus  terminus  per  ^,  sequentes  vero  per  /u  sint  multiplicand! ,  divisione 
per  /u'  facta  haec  aequatio  fiet 

1  f  *\ft  <\nr  >\riff  r 

<i   -  __     A        .       1         .         I  .         I  v 


pf '  ~  933P  ^  IfPk  ^  J5803P7c  "T"   B*6*m    n 

ubi  ut  ante  sumi  potest  X  =  1  et  A"=l;  at  quia  lentes  posteriores  ex  vitro 
coronario,  quo  n  ==  1,53,  conficiuntur,  pro  duabus  postremis  lentibus,  quae 
utrinque  aequalitor  convexae  esse  debent,  erit  A'"=  Aw==  1,60006,  litterae  autem 
eo  portinentes  erunt 

^  _  o,})87fl ,     /  —  0,2196 ,     (/  —  0,2267     et     af  =  I?(i601 ,     r  =  0.9252 . 
Pro  prima  autom  lonte  crystallina  erit 

^  —  0,8724,     ^  —  0,2529,     $  «  0,1414,     a  —  1,5827     et    v  —  0,8775. 

COBOLLARIUM  1 

342*  Nunc  igitur  denmm  intolligitur,  cur  praestet  primam  lentem  ex 
vitro  crystallmo  parare  <|iiam  socundam;  si  enim  prima  est  crystallina,  fit 
$  «*  ^  et  1 }  —  3  «  Sin  autem  secundam  crystallioam  facerenms ,  foret 

ft  rj 

$  —  5  et  j£f  «•  —  a  •  Quare,  cum  omneB  sequentes  distantiae  multiplicatae 
sint  per  &,  eao  ac  proptorea  tota  longitude  tubi  prodiret  posteriore  casu 
imaior  (juam  prime  idque  in  rations  7 : 5. 

OOKOLLAJMUM  2 

34&  Si  diKcrimon  dinporttioniH  ambarum  vitri  specierwra  minuB  esset,  quam 
hie  Hocundum  DOLI.ONDI  exporimonta  assumimus,  tune  fractio  pro  33  assu- 
monda  propius  ad  unitatemi  accedoret  indeque  B  maiorem  nancisceretur 
valorem  nicque  instramentum  longiua  evaderet;  ex  quo  ad  praxin  plurimum 
expedit,  ut  duae  vitri  species  ratione  dispereioms  maxima  inter  se  differentes 
eligantur,  siquidem  hoe  mode  telescepia  mnlte  bre?iera  redderentur, 


56  LIBRI  SECUNDI  SECTIO  TERTIA     CAPUT  II     §  344-345  [417-418 

SCHOLION  1 
344.   Quoniam  igitur  hie  primam  lentem  ex  vitro  crystalline,  reliquas  ex 

s 

coronario  fieri  assuinimus,  experimentis  DOLLONDIANIS  innixi  statuamus  95  =  y , 
ut  sit  J?  =  y,  ac  posito  #  =  2,  ne  lens  ocularis  fiat  nimis  parva,  elementa 
nostra  sequenti  modo  se  habebunt: 

»  51  t  5dJ          ,  } 5  a 

f>  _        51  /  ., 5c^ 

et  distantiae  focales 

_      ^  ^        /  •  —         *r>  ^        » _      ^  ^      /  ™.      '^ a 

hincque  inter  valla 

17  _       5  (1  +  /7c)«        ft  ]/2  w(m  —  J }« 


et  distantia  oculi 

existente 

pjc »»  ™  */;/  4.  1/2^,^4—  ijj 

turn  autem  seinidiatnetor  dam  pi 

1718 


Ut  igitur  bine  ccmstruetionem  pro  quavis  multiplicationo  w  invosfcigoiuuH, 
methodo  iam  saepiuB  adhibita  uteutes  priino  ovolvamus  casuiuf  quo  m»«2riy 
turn  vero  casum,  quo  m«eo, 

BXEMPLUM  1 
345.  Sit  multiplicatio  w  «-  25  ac  reperietur 

T/2m  (m  —  1)  —  84,64101     hiiicque     PA  -  9,64101 , 


418—419]  BE   TELESCOPIIS  TEEEESTRIBUS   COMMUNIBUS  57 

unde  intervalla  ita  se  habebunt: 

a  +  b  =  —  0,02<x,      ft  +  c  —  —  2,80930a,      y  +  d  «-  —  1,21770  a, 

<y  4.  e  =  _  0,71860  a 

et  distantia  oculi  =  —  0,13844  a. 

His  praeinissis  quaeratur  A  ex  aequatione  supra  data  et  invenietur 

A  _  3,16815  +  0,007514  +  0,001502  +  0,000579  +  0,14198 
seu 

A  -=3,31972, 
unde  fit 

rY(Z~  1)  —  1,38648. 

Hinc   igitur,   si  W  et   G-  denotent   radios   anterioris   et   poster  ioris   faciei, 
habelmnus 

I.    Pro  priina  hvnte  crystallma 


II.  Pro  soeumla  sratem  letite  (joronaria  erit 


f,,'  +  a^         4,4537  ,  5a'+2,/          8,7539 

conntroctio  pro  omni  mxiltiplicatiotic^  valet. 

1IL    Pro  tertia  lerite  coronaria  habebimuB 

*•-;•-,  ,,4*  — 


ubi  valores  ponultinii  pro  omni  mnltiplieatione  valent, 

IV,  Pro  qmrfca  lente  itidem  coronaria^  cuius  distantia  focalis   •««  — 
erit 

y^a^  urn  s  —  —  - 


ubi  valor  penultimu0  pro  omm  mttltiplicaMoB©  valet* 

Opera  omtaa  HI  4  l)ioptri<i«t 


58  LIBRI  SECUNDI  SECTIO  TERTIA     CAPUT  II     §  345-347  [420 

V.  Pro  quinta  lente  etiam  coronaria,  cuius  distantia  focalis  est  t  —  —  -w", 
erit 

F  =  0  =  1,06£~  —  -M«  =_  0,212* , 

m 

ubi  iterum  forma  penultima  pro  onini  multiplicatione  valet. 

EXEMPLUM  2 
346.    Si  fit  multiplicatio  m  irxfimta  sen  praegmndin,  erit 

}/2w(w  —  1)  =  ml/2  —  1,41421  w      hincquo      P/:  ==  0,41421  m, 
unde  intewalla  orunt 

a  ~f  ft  ^  _  ()  02«,     tf  +  r;  —  «-  2,55 «  —  (j,()85(>  •  tf  , 

I  9  9  f          I  ;  7  ^    J 

y  4.  rf  —  — -  26,6425  •  ~ ,      <y  +  ^  »,  ™  17,0712  -  a 
at  distantia  oculi 

n  ===  _  %  rw*,n  ,  a.. 

I/  ssss  — —  {>^T;t>«A/  *    ""      * 

His  praemissis  quaeratur  A  ax  ao(iuationo  data  (%t  habobitur 

A  —  8,16815  +  0,14108  —  8,81013, 
undo  fit 

rl/^—l)  — 1,3837; 
quare  habebitur: 

L  Pro  prima  lente 
&  &  &          inirn         /'  tf  ^ 

""""  y— "i,8887  *""  6,2490  ^  *     *    *  """  (» -f  1,8887  **  1,4751  ~* 

II.   Secunda  lens  convenit  cum  exemplo  praecedente. 
Ill  Pro  terfcia  lente  erit 


PA 


421—422]  BE  TELESOOPIIS  TERRESTKIBTJS  COMMUNIBUS  59 

IV.  Pro  quarta  lente  erit 

7^ /7  ..""     _>0ft    -j  C)  7QKJ±       a 

JU    \JT  TY^ J- A  •  VdO  ' * 

PJc  m 

V.  Pro  quinta  denique  lente 

.ZYT=  &  =  — 53.-~. 

'    '  m 

Elementa  autem  sequent!  modo  se  habebunt: 

&  =  —  l,02cc,     c  =  —  6,0355-— ,     dl ««  —  cv>,     e===  —  5*~, 

m  '  m 

/3  =  _  2,ft5a,     y  =  cvo,  c)N  =  —  12,0710 -~ 
hincquo  distantiae  locales 

#  —  a,      2  -=  —  0,72857  a,      r  =  —  6,0355  •  — , 

s  =  _  12,0710  •  a  ,  #  =  —  5-  -  * 

EXEMPLUM  8 

JJ47.   Ex  collatione  praecedentium  exemplorum  pro  quavis  multiplicatione 
inaioro  m  constructionem  huiusmodi  tolescopiorura  describere. 
Primo  elementa  aequenti  modo  expressa  reperientur: 

J  \  « 

."       ,  /I/  WDT     CO  , 


I  -  -  1,()B«,     fi  -  -  2,fi5«,     o  -  -  (0,0855  + 

7  fr  /^nA^7^A      .        22.8500  \    « 

d  mm  —  CVJ ,         ^  ««  ~       12,0710  +          '  ,         C 

'  \     J  '         m      /  m 

hincque  distantiao  focaleB 

p  -  « ,      f/  -  -  (),72KT)7  «,      r  -  --  ((J,03fi5  +  1 1 


at  intervalla  lentiutn 

^  -|-  5  «•  — •  0)02 of,      ^  -|-  c  «««»  —  2,55^5  — •  (6,0355  -f- 

i    ^  /V  ^AK   i     »8  W          ,    ,    ^  /17  A71 A  j.  22,3500  \  «e 

y  +  <$*«.—  (26^6425  +  i:  J^»     tf  +  6  — —  (17,0710+       ••—  J 

'  \  M  /  $n  \  m       /  yn 


60  LIBRI  SECUNDI  SECTIO  TEETIA     CAPUT  II     §  347  [422—423 

et  distantia  oculi 

0--  (3,5355-  i^5-)" 
\  m     /  m 

et  tandem  semidiameter  campi  semper  est 

1718 


Lentium  vero  constructio  ipsa  ita  se  habebit: 

I  Pro  prima  lente  crystallina 

anterioris     —  (4,0160  +  -  1?14  )  a 

ry     v          if     -    -  \  '          W      / 

BacliuB  raciei 

posterioris    —  fo,(>779—  0;032r'V 

\  m    / 

JL  Pro  secunda  lento  coronuria. 

,     ,        b         (anteriorly     «•  —  l,14r)la 
Itadinfl  faciei 

|  postorioriH   «  ~  0,5820  a. 

Ill  Pro  tortia  lento  coronarla 

anterior^     —  —  (2«,(i237  +  49>5J8  ) 
t>    r       «,    .  .  \  M     / 

IiaduiB  faciei  < 


1Y*   Pro  quarta  lento  coronaria 

Itadius  utriusque  faciei  «  ~( 12,7953  4-  a8'68)  *  . 

N  '      m    /  m 


V.  Pro  quinta  lente  coronaria 
BadiuB  utriusque  faciei   —  ~  5,30-  *  • 

None  denique  iudicandum  restatf  quantum  valorem  ipsi  a  tribui  conveniat, 
Hunc  in  finem  consideretur  duarum  priorum  lentium  radius  minimuK,  qui  cmt 
—  0,5826  ^,  cuius  pars  quarta  —0,1456  a  ponatur  aequalm  somidiametro  aper- 


423-424]  DE  TELESCOPIIS  TERRESTBIBUS  COMMUNIBUS  61 

turae  ~9  indeque  reperietur  a  =  —  ^,  quo  quidem  valore  quantitas  a  minor 
accipi  non  debet;  quocirca  sumatur  a== — y-  atque  obtinebitur  sequens 
constructio  hniusmodi  telescopiorum  pro  quavis  multiplicatione  m. 

Posita  igitur  distantia  focali  a  =  — ~  dig.  impetrabiinus  pro  constructione 
quaesita  sequentes  mensuras: 

L  Pro  prima  lente  crystallina 

anterioris     =  (—  0,5737  m  —  0,16)  dig. 
Radius  faciei 

posterioris  =  (—  0,0968  m  +  0,004)  dig. 

Ouius  distautia  focalis   =»  —  ^  dig. 

Somidiameter  aperturae  =  ^  dig. 

lutervallum  ad  lentem  secundam  —  0,00286  m  dig. 

IL  Pro  Bocunda  lente  coronaria 

(anterioris    —  0,1 686  w  dig. 
Radius  faciei  \ 

[posterioris  «— 0,0882m  dig. 

Ouius  distantia  focalis  est  «•- 0,10408  M  dig, 

Semidiameter  aperturae  ™  ^  dig. 

Intervallum  ad  lentem  tertiam  —(0,8643^  +  0,86+  ^)  dig. 

III.  Pro  tertia  lente  coronaria 

'  anterioriB    —  (s,80  +  7?°-)  dig. 

\  ytli    f 

Radius  faciei  < 

posterioris  —  fo,52  +  —  j  dig. 

Ouius  distantia  focalis  ent  —  (0,86  +  ~)  <%• 
Semidiameter  aperturae  —  Of18  dig, 

ad  quartern  —  (3,80  +  fy  dig* 


62  LIBRI  SECUNDI  SEOTIO  TERTIA     CAPUT  II     §  347-348  ^        [424—425 

IV.  Pro  quarta  lente  coronaria 
Badius  faciei  utriusque  =  (l,82  -f  ^~)  dig. 

Cuius  distantia  focalis  est  —  (l,72  +  ^)  dig. 
Semidiameter  aperturae  =  0?45  dig. 

($  O\ 
2,44  +  ~J  dig. 


V.  Pro  quinta  lente  coronaria 

Radius  utriusque  faciei  *»  0,7(5  dig. 

Cuius  distantia  focalis  ==0,71  dig. 
Semidiameter  aperturae  =  0,  1  9  dig. 
Intervallurn  ad  oculum  =  ^0,50  —  ~£\  dig. 

Tota  ergo  telescopii  longitude  inde  colligitur  luiec: 


unde  patet,  si  m  —  100,  longitndinom  hiBtrumonti  non  OHBO  Buporatunun  44  ^  dig, 
Remidiametor  denique  cainpi  apparonti«  cuit 

•  1718 


quae  ergo  pro  m  ««»  UK)  fiot  12  minut 

SCHOUON  2 

848.  Haec  ergo  teloBCopia  adhuc  satin  brevia  forowt^  HI  nuxlo  in  praxi 
lentea  quam  exactissima  socunduni  inenHurttB  pnioHcriptan  licorot  olabontro  ot 
si  etiam  utraque  vitri  spccios  praocifto  eandem  rofractionem  admittorot,  quam 
hie  aupposuhnus;  par|ietuo  autem  tonendum  e«tf  HI  vitri  rafraetlo  diHCi^poi  ah 
ea,  quam  asBiiniBimiiB,  tune  totum  outculum  <lo  novo  e»BHa  irmtituondum,  qtti 
scilicet  ad  formationern  lentium  spectafc;  delude  vero  etiam  httoc  regula  proho 
est  observanday  ut,  quo  minus  feiicissimum  HUCCOHHUIU  ab  urtifico  «x«poct4irti 
queamus,  mensurae  Me  praescriptae  augeri  atquo  adeo  dnplicari  vol  triplicari 
debeant;  id  quod  commodissime  flat,  ni  digit!  raonsuram  raulfco  maiorotu  ac- 
cipiamuts.  Semper  autem,  etiamsi  artifex  sutiimam  industriam  adiribeat,  vlx 


425—426]  BE  TELESCOPIIS  TERRESTRIBUS  COMMtJNIBUS  63 

unquam  sperandum  erit,  ut  primum  statim,  quod  produxerit,  instrumentum 
voto  respondeat;  quin  potius  semper  necesse  erit,  ut  lentis  primae  concavae 
praesertim  plura  exempla  elaborentur,  ut  ex  iis  optimum  per  experientiam 
eligi  possit;  quamvis  enim  eaedem  mensurae  retineantur,  tamen  semper  usu 
veniet,  ut  plura  exempla  omnia  inter  se  aliquantillum  discrepent.  Quin  etiam 
saepe  consultum  erit  ipsam  mensuram  pro  constructione  huius  lentis  aliquan- 
tillurn  immutare,  ita  tamen,  ut  eadem  distantia  focalis  conservetur,  et  pro 
quavis  xnensura  aliquot  exempla  conficere;  scilicet  si  ex  theoria  radii  facierum 
anterioris  et  posterioris  istius  lentis  inventi  fuerint  F  et  Gr,  hanc  figuram 
saepo  ita  immutari  conveniet,  ut  capiatur  radius  faciei  anterioris  ==.F+jP2co, 
posterioris  vero  =  G  +  6r*a),  sumenclo  pro  o>  tantillam  fractionem,  quae  adhuc 
in  praxi  sentiri  queat;  tum  enim  in  distantia  focali  nihil  mutabitur.  Denique 
otiam  quaedam  monenda  restant  circa  diaphragmata  in  liuiusmodi  telescopiis 
usurpanda;  quia  enim  in  iis  duae  imagines  reales  reperiuntur,  in  utriusque 
loco  etiam  diaphragma  constitui  poterit?  cuius  apertura  ipsam  illani  irnaginem 
capero  debot.  Primae  autem  iinagiuis  semidiameter  est 


est  vero  M  in  nostro  casu  •«  -r-.,"....^,  et  J?  ««  ?-    adeoque  ista  semidiameter 

1/8  w(w—  1)  8   ?  -1 

erit  ««      .  5  *         sumtoque  a  •«•  ™   ut  ante  semidiameter  ista  erit 

4yt2m(w  —  1)  7 

-L  A' 


(m  —  1)       381/2 
nisi    w    sit   numerus    parvus.      Secundae    autem   imaginis    semidiameter   est 


quare,  cum  sumsorimus  0  —  2,  posteriuB  diaphragma  aperturam  liabere  debet, 
cuiufl  Homi  diameter  sit  duplo  maior  qnam  antecedent,  scilicet  -»-  dig.,  a  quo 
voro  nullus  tisus  oxepaetari  potent,  cum  postremae  lentes  ipsae  multo  minorem 
aperturam  postulant,  ita  ut  solum  diaphragma  prius  utilitatem  habere  possit, 
cui  etiam,  si  libtierit,  micrometrum  adplicari  poterit, 


CAPUT  III 

DB  ALTERA  TEETH  GENERIS  TELESCOPIORUM 
SPECIE  PRINOIPALI  EORUMQUE  PERFECTIONS 

DEFINITIO 

349,  Ad  altcram  Jtanc  specicm  referimus  ca  tekscopia,  quae  supra  §  ttJO  d 
guidem  speciatim  in  subnexo  cor  (Mario  2,  $  814,  sunt  explicata,  in  (jiuhns  scilicet 
lens  secunda  adtmc  ante  primam  imaginem  rcakm  eolkeatur,  tcrtia  vero  kns  post 
hanc  imaginem  in  eo  loco,  ull  kntis  primac  instar  obiccM  considerate  imago  per 
secundam  lentem  proiiccretur;  yni  locus  cum  ante  wmgln&n  sccundam  cadat?  kn$ 
g/uarta  ocularis  in  deUto  toco  eonstituitttr*  tfpeciatim  autMi,  si  primac  Utntis 
distantia  focalis  ponatwr  —a,  sccitnda  kns  II  a  statuitur,  ut  sit  6:-^—  *  sire 

1    \  ptH 

intervallum  primae  et  sccundae  lentis   ««  a  (  1  ™     •  )• 

\       ymf 

OOJWLLA1MUM  1 

850,  Cum  igitur  haec  toloacopia  quatuor  conwtcnifc  lonfcibim,   pro   HH 
nienta  ita  se  habebunt: 


m-     n        , 

^  *  6V.        A 

2m  ? 


ita  ut  sit 

mm    2  VIH  ""  i  +  y$ 

et  0  axbitrlo  nostro  relinquatur, 


428-429]     DE  ALTERA  TEETH  GENERIS  TELESOOPIORDM  SPECIE  PRINCIPALI       65 

COROLLAEIUM  2 
351.    Ex  his  elementis  erunt  lentium  distantiae  focales 

]/m  —  1  Vm—1    ~          ,  T/w  —  1    ~ 

p  =  a,      g-,—  L~-  .a,     r=*£—  --  ®a     et    s      ^  -  ~ 

(l+ymjYm  %m 

et  lentium  intervalla 


et  distantia  oculi 

^      m  —  1 

0  =  ~- 
2mm 

ita  at  tota  longitude  fatura  sit 


ubi  tantuin  monendum  eat  pro  G  numermn  positivum  accipi  debere. 

COEOLLAEIUM  3 

352.  Litterae  autem  maiusculae  P9  Q,  li  pro  hac  specie  fient 

JP—  1/m,     Q^  —  l    et    It*-*  —  Ym, 
ita  ut  liiric  prodoat  PQll~*m,  uti  rei  natura  postulat. 

8CHOLION 

353.  Hie  autem  inprimis  rationem  reddere  oportet  conditionis  in  defini- 
tione  commemoratae,  qua  diximus  lentem  tertiam  ibi  esse  collocandam,  ubi 
primao  lontin  hwiar  obiecti  consideratae  imago  per  secundam  lentem  proiecta 
asset  casura.     Outri  enim  secundae  lentis  distantia  focalis  sit 


eius  autem  distentia  a  prima  lente  —  /I—  -l  •'W,  quae  vocetur  y,  si  prima 
lens  titi  obiectum  coEsideretur,  aims  imago  post  secundam  lentem  cadet  ad 

Ktrr-Ktir  Opera  omaia  HI  4  Dioptrioa  9 


66  LIBEI  SECUNDI  SEOTIO  TERTIA     CAPUT  111     §  353-354 


distantiain 
est  vero 


V  m  —  1          T  .  <-      T/m 

L-  ------  a     hmcque     C  =  r 


cui  praecise  distantia  tertiae  lentis  a,  socunda  aequatur.     Haiic  autem  condi- 

tionem  ideo  in  definitionem   introduximus,   quoniani    eins   ope   locus  tortiae 

lentis  facillinxe   per  praxin   assignatur.     Ceterum  supra  [§  314]   iam  notavi- 

Q  K  Q 

mus   semidiametrum   campi   apparentis    fore    </>  «=             mm,,    quae  utique 

augmentatione  indiget,   cum  has  lentos  perjficere  conabimur.     Demque  ibidem 

quoque  est   ostensum    soniidiamotrum  aperturae   tertiao   lentis   statui  dobore 


60 

Pro  secunda  autem  lente,  quia  posuiuiuB 

a  a«  cu|    et    a)  ««  ~  ^  BZ*  —     ' 

y 

semidiameter  eius  aperturae  ease  debet 

q  ']/m  •—  1 


FKOBLKMA  1 

354,    Inter  Unas  jpostremas  kntes  huius  tclem^wntm  spceiei  HMMM  lent  em 
inserere,  ^m  campus  apparvns  waf/iB  amplific&tw\ 

SOLUTIO 

Cum  igitur  hie  occurrant  quinque  lent6B?  statuantur  iitmtma 
fractiones 


quarum  litteraram  duae  debcmt  osw  nogativaey   quaruiu  prior  iirifc  ^ 


1)  Notaodum  ©st  litter*  g  it*  hao  paragrapho  duas  pl*na  differentoN  ({UAntitotus 
*5!  -   rt    a  *          B.  Oh, 

9  m  V  |ff 


430—431]     DE  ALTERA  TEETH  GENERIS  TELESCOPIORUM  SPECIE  PRINCIPALI      67 

turque    <?  =  —  &,    altera  vero   erit   E  vel  8\   utram  autem  negativam  statui 
conveniat,  nondum  definiamus.     Hinc  igitur  elementa  nostra  erunt 


P  '        ~    Pk    ' 

ft  —  ~~Ba  — 

P         P    >     7  — 

distantiae  autem  focales 

.        -BCDa 


/V)   —  -   /y  /V   ^—  ;   -„  _  „  ___  __  /V-   —  —  .   .,   _________  o    i          _  , 

1          '      q          P     '  PJc     '     S~   PkE 

hincque  lentium  intervalla 


(juao  cum  esne  debeant  positiva  et  a  iam  sit  positivum,  necesse  est,  ut  sit 
1,  J?>1,  2-  J5<0;  3.  quod  ad  bina  reliqua  intervalla  attinet,  duos  casus 
distingui  convenit. 

Oasus  prior,  quo  It  >  0  et  8  «*  —  If.    Hocque  casu  debet  esse 

—  jj)>0     et     CJ9<0, 

quo  ipso  etiam  fit  6  positivum. 

Casua  posterior,  quo  Ii<0  seu  R^  —  K  et  $>(),    Hoc  ergo  casu  esse 
debet  Cy  >  0  ideoque  etiam 

(£>0  at  <1     et     J)(l—  |)>0. 


Ut  autem  etiam  fiat  <?>(),  debet  esse  D<0  ideoque 

Nunc  igitur  consideremus  campum  apparentem^  cuius  semi  diameter  est 

-X+tf  -!*?+#"' 

"""w^i  .......  ' 

ac  statuamus  ut  hactenus  ai;—  —  co£,  st^—O  ex  natura  huius  speciei,  me"—  —  | 
et  ^~|,  tit  fiat 


« 

"**"  1  W  — •  X 


68  LIBEI  SECUNDI  SECTIO  TERTIA     CAPTJT  III     §  354  [431-432 

atgue  bine  iam  statim  pro  loco  oculi  prodit 

0=    e    =  (m'-^e  . 
Mm       m(<n  +  2) 

A  equation  es  porro  fundamentales  erunt: 


1.         =  1  —  i>    sea     »»  =  —  (1 

2.  0  =  —  (1  +  /'/>•)  M  —  m 

3.  3)  =  —  (1  + 
ubi  cum  ex  prim  a  sit 


hie  valor  in  secunda  «ubstitutus  chit  ()--=•  (1  -f  /V.-)33  +/'--  1,  >l«(^  so(|uitur 


ita  ut  93  ac  proindo  etiam  13  Hit  nnraorus  nogativius;  fit  autoin 


tuni  vcro  ex  terfcia  erit 

t5>™/>k(l~~.J£)AT\ 

litterao  veto  (/  et  (£  arbitrio  nostro  nuuionfc  relir.ia^,     Pro  bin'm 
memorutis  erit: 


Pro  priore,  <juo  *?—-'*',  3)  —  /'*(!  —  /i;J»/.     Hi  c^rgo  fuorifc  ii>  lf 
OHHO  6¥>0  et  /><();  at  cum  fiat  3)<0f  sponto  ilia  conditio  /><r()  i 
Bin  autem  nit  R  <l,  erit  3)  >  0,  clabot  autem  enno  6V  0  ot  7^  >  0,   o 
quenter  $D<  1  ideoque  PA^(l  —  /{)  M  <  1  , 

Pro  posteriore  CEBU,  quo  M~*  —  tf9  mi  2)  —  l*k(l  »\-kf)M  idooquo  SD>0; 
ante  autem  vidimus  hoc  ciwm  esaa  dabero  C'>0  adeoquo  i>0  i^t  (S<I, 
Turn  vero  D(l—  £)  >0.  Quaxe,  emu  asBe  doboat  «<  1,  erit  J^-r  Of  undo  ob 
D>0  colligitur  3)>L 


432-433]     DE  ALTERA  TERTII  GENERIS  TELESCOPIORUM  SPECIE  PRDTCIPALI      69 
Nunc  pro  tollendo  margine  colorato  habebitur  haec  aequatio: 


__  ___  __ 

P       PkE       PJcES' 
ex  qua  colligitur 


8—l     seu    0 
ubi  ergo  binos  nostros  casus  distingui  oportet. 

I.  Si  8—  —  W,  habebitur  Q=*  —  !clc'E([  +  PfyM—  k'  +1,  unde  fit 


unde  patet  esse  debere  #'<!,  unde,  si  prodeat  E>1,  debet  esse  (7>0  et 
7><().  Sin.  autem  prodeat  R<\,  debet  esse  I)  ><),  C'<0,  S)>0  et  2)<  1 
adeoquo  P^  (1  —  11}  M  <  1  . 


II   Si  12  —  —  /<;',  erit  0  =  —  fci^l  +  PK)M+  S+l,  unde  colligitur 


quao  oxproHsio  per  se  ost  positiva,.  Hoc  autem  casu  supra  vidimus  esse 
debwc)  C  >  0  adeoque  (£  >  0  et  (£  <  1  et  1X0,  ita  ut  hoc  casu  sumendum 
sit  6"<1. 

Denique  Me  meminisso  oportet  esse  P/CjR6'==  —  tn,  quae  conditio  secun- 
dum  binos  casus  considerari  debet. 

Primo  casu,  quo  H=*  —  ¥,  ob  •^"*B/»^.'  nostra  aequatio  dat 


unde  colligitur 


ita  ut  esse  debeat  m(l  + PfyM  <  P;  ubi  notetur,  si  prodeat  JK>1,  esse 
debere  0>0  et  I><0,  sin  autem  prodeat  E<1,  debere  esse  (7<0  et  D>0, 
2»0  et  S)<1. 


70  LIBEI  SECUNDI  SECTIO  TERTIA     OAPUT  III     §  354-355  [433—434 

Altero  casu,  si  E  =  —  k',  ut  sit  m  =  Pkk'S,  nostra  aequatio  dat 

0---p(l 
unde  colligitur 


ita  ut  esse  debeat  m(l  +  PK)M>  P.  Cum  autem  debeat  esse  6Y<  1,  otiam 
esse  debet  m(l  +  Pk)M<  2/};  praeterea  recordemur  esse  debere  0>0  adeo- 
que  K>0  et  ®<1  et  D<0. 

Tandem  circa  has  formulas  probe  observandum  est  ob  valorem  w  in  von- 
turn  litteram  M  per  reliqua  element/a  commode  exprimi  posse.  Cum  onim  sit 
o>  =  —  (1  -f  ptyM,  aec^uatio 


dabit 

717 
7  7 

et 


ita  ut  pro  campo  apparonto  prodeat 


,  Si          u  ,  1718 

0  —      ,-  TJI  *S     sou     </>  «•      ,  r>7  inm- 

* 


Turn  vero  otiam  pro  loco  oculi 

0-  " 

vm 

QuibuB  obsorvatis  binoH  cawus  seorsim  evolvanmn. 

L   KYOLUTIO  CABUS  QUO  ti^~k' 
366.   Hoc  ergo  casu  elementa  nostra  ita  BO  habebunt: 


P '       m    Pk  *        ~*  PkM* 


434—435]     DE  ALTERA  TERT1I  GENERIS  TELESOOPIOfiUM  SPECIE  PRINOIPALI      71 
hincque  intervalla 


ubi  ergo  esse  debet 

P>!     et     8.-lf^> 

Terbium  vero  intervallum  dat  hanc  conditionem    6^1—  i)>0    et   ultimum 
01)  <  0;  est  autem 


Destructio  autem  marginis  colorati  postulat,  ut  sit 


et 


quatnobrem  debet  esse 

P(m  +  P&) 
ideoque 


quare,  cuin  ilia  quantitas  maior  debeat  esse  quam  Jc,  ob  2m  >P  debet  esse 
P>2?  ex  qua  etiam  conditione  patet  semper  osse  debere  M>1  adeoque 
6Y>0  et  !)<(),  uti  ex  valore  ipsius  1)  manifestum  esi  Quo  his  conditio- 
nibus  satisfiat  formulaeque  evadant  simpliciores,  statuamus  PJk  —  l/m,  ut  fiat 


ideoque 

^  2  1718 

m 


72  LIBRI  SECUNDI  SECTIO  TERTIA     CAPUT  HI     §  355-357          [435-436 

qui  valor  duplo  maior  est  quam  ante  [§  314].     Turn  vero  erit 

a,==~lI:L±^l- 

m  -f  |/w 

i  1/1 

porro  si  capiatur  P  =  4ym,  prodit  7c=  ^  ,  JR^Sym  et  &'=  a-    hincquo 
Praeterea  vero 


i  .|.y 


w» 


unde  oinnia  intervalla  prodibunt  positiva,  duimnodo  pro  f/  surautur  quantitas 
positiva. 

II  EVOLUTIO  OASUS  QUO  It-..-.      // 
356.    Pro  hoc  ergo  caau  dostructio  marginis  oolorat/i  prac^lxit 


nnde  concluditur 

,       2  »>»(!  +  PA)       , 
P(*w-f  /V,-)    "    ' 
ita  ut  OSBO  debeat 

2w(I  -f  M)  >  l\m  -\- 
turn  vero  ob  A?<  1  debet  P 


Statuamus  nunc  itorum  ut  ante  Pk  *^  Ym  fiotxjuo  *V—  a^w  —  1,  ita  ut  mitw 
capi  doboat  P<21/w  «t  P>Ym;  littera  autei  A  cjidot  intra  limits  1  «t  ^  • 
Turn  vero  ob  #  —  aw  —  1  erifc 


436—437]     DE  ALTERA  TERTII  GENERIS  TELESCOPIORUM  SPECIE  PEINOIPALI      73 
Definite  autem  P  erit 


1  +  ym 


]/w  —  2*'—  1 
sve 


qui  valor  cum  sit  positivus  et  unitate  maior?  littera  D  sponte  fit  negativa, 
quemadmodum  conditiones  postulant,  dummodo  0  capiatur  positivum.  Quo 
an  tern  omnia  plena  determinentur,  statuamus  insuper  P=y]/W  ac  fiet 


et    ^>Y=v? 

o 


quibus  valoribus  omnibus  conditionibus  satisfit. 

SOHOLION 

357.  I  En  ergo  duos  casus  huiusmodi  telcscopiorum  penitus  determinatos 
pro  data  multiplicatione  m,  quorum  eflfectus  in  praxi  idem  esse  debet.  Cum 
autem  posteriore  casu  longitude  inetrumenti  minor  evadat  quam  priore,  eum 
merito  Me  praeferimus;  quamobrem  operae  pretium  erit  in  constructionem 
istorum  teliscopiorum  adcuratius  inquirere.  Notatis  igitur  praecipuarum 
litterarum  valoribun,  scilicet 

--2Z,     8-     > 


—  __    .        ± 

"  Vm"+i    '  ""       syW 

EOLBEI  Opera  omnia  III*  Dloptrioft 


74  LIBBI  SECUNDI  SECT10  TEliTIA     OAPUT  III     §  357  [43?— 

et  quia  C  debet  esse  positivum,  ponatur 

C=0,     ut  sit     (£=  ~^9 
et  elementa  nostra  ita  erunt  expressa: 

2  cc  j       2  (3  ]/m  —  2)  s 3  T/w  —  2  _  0  (3  yW  — -  2) 

~~~   sYm'  16w      >OJ?        ""       5w  '  5m 

0  (3  ]/w  ~2)  v  _  -  2  0  (3  J/w  -  a)  (»  J/WA  +  0  ,  _  2  tf  (3  ]/w  -  2)  (S  ]/w  H- 1)  ^    . 

Q/     ==    -  ...  •    01   J  0      -»-„—-  ..      --         -      -    .-  .*»*-  "~       /  *   CC  y  ts    ^  "  ,  y  V    "  _y  *Ctj 

hinc  distantiae  focales 

3  "|/m  —  2  03  ]/w  —  2 


s  =          /  \  •  ^    et    r-  =        ;  \      -        •  a 

et  lentium  intervalla 

8  +  ^'  ^  '    *>      "  •«» 


. 

>w*w 

ot  distantia  oculi 

n       ?(\  +  ym)        0  (i  -|-  ) 

(/    WK  Kffl"  - 

a]/w> 
uncle  tota  oritur  longitude  tolescopii 


2)(3  |/w  -ft)    ^  . 

_  '    '    ft  * 

«-t  0 


ita  ut,  HI  m  sit  numoniH  praemagnua,  ha(»c  longitude  fiat. 


et  quia  hoc  casu  fit  e  **•          ,  HI  Hcoret  capere  «  -*  ^  dig,,   niatui   ronvoni- 
ret  d  —  5,  ut  ultimas  lantk   clij*lantia  focalia  ftorofc  circitor   J  dig.; 
autem  a  multo  maior©Ei  obtinet  VElorom,  ftunlo  ca|ii  potorit  W^L 


438-439]     DE  ALTEBA  TERTII  GENERIS  TELBSOOPIORUM  SPECIE  PRINCIPALI      75 


II.  Adcuratius  etiam  inquirere  debemus,  quantam  aperturam  cuique  lenti 
tribui  oporteat?  ac  pro  prima  quidem  lento  semper  sumi  solet  semidiameter 
aperturae  x  =  ~  dig.;  pro  reliquis  lentibus  ex  formulis  supra  expositis  colligitur: 

Semidiameter  aperturae  secundae  lentis 


semidiameter  aperturae  tertiae  lentis 


rx 


50 


Quarta,  autein  et  quinta  lens  inaximam  aperturam  capere  debent;  undo 
eas  utrinquo  convexas  effici  oportet. 

1IL  (^uod  nunc  ad  litteras  A  attinet,  pro  prima  lento  semper  sumi  con- 
vonit  A  «»  1  ,  (jui  valor  otiam  pro  socunda  lento  sumi  posse  videtur,  siquidem 
tmmorus  m  non  sit  adrnodum  parvas,  de  quo  autem  quovis  casu  seorsim 
orit  dispicicndum,  Pro  tertia  enim  lento  oh  mini  mam  aperturam  nullum  est 
dubium,  quin  sumi  possit  A"  —I.  Quoriiam  voro  quarta  lens  debet  esse 
utrinquo  aequaliter  convexa,  pro  ea  sumi  debet 


A--  1  +  (7*)Yi-23))«-  1  +  pl-. 

1    V    2r    /  \  ;  '    V    2r 

Pro  quinta  autetn  lente  erit  A""  «=  1  +• 


IV.  His  igitur  yaloribus  pro  A,  A'  ...  stabilitis   quantitas  a  ex  sequento 
formula  defmiri  debet: 


jp$pk\&  ^  a 

\  JL 

D 


ubi  meminisse  iuvabit  sumi  solera  ^M50  Bt  &*«6Q,  ut  sit  k%*^m.  Interim 
tamen,  si  minore  vel  claritatis  vel  distinctionis  gradu  contenti  esse  velimus, 
pro  k$  sumi  poterit  ^m«  Deinde  etiain  Mnc  evidens  est  ob  ilium  praegrandem 


1)  Vide  notam  p.  $,         i.  Oh* 


10* 


76  LIBRI  SECUNDI  SECTIO  TERTIA     CAPUT  III     §  357—359  [439—440 

valorem  ipsius  A'",  qui  scilicet  quadratum  (2®  —  I)2  involvebat,  terminum 
inde  Me  oriundum  iterum  satis  fieri  parvum,  cum  is  divisus  sit  per  ®3? 
praeterquam  quod  eius  denominator  ob  Pfr//=3m  per  se  sit  satis  magnus. 
Denique  adhuc  notari  debet  numerum  A"  multiplicari  per  quantitutem  satis 
notabilem,,  cum  sit  —  *$  propemodum  27  et  ~9  >  1  ideoque  —  ^8g»  ultra  5 
assurgat  atque  adeo  ad  40  usque,  si  sumeretur  #  =  1,  ita  ut  Pk  =  y'm  in 
denominatore  liunc  terminum  vix  infra  unitatem  diminuere  possit.  Oui  in- 
comniodo  remediuin  afforri  posset  hanc  lentem  secundum  praecepta  in  Libro  I 
de  lentibus  compositis  tradita  duplicando.  Hoc  autem  necesse  non  orit,  quanclo 
ipsam  lentem  obiectivam  ita  duplicabimus,  ut  omiiis  confusio  a  reliquiB  otiani 
lentibus  oriunda  tollatur, 

EXEMPLUM 

358.   Sumto  m  =  25  constructionem  huiusmodi  teleacopii  descril)oro. 
I  dim  sit  n  ««  25,  ei*it  Ym  «*  5  indo^uo 

/'-16,     b~*       /,;'^1D,     H^  [ 

A  4f  »' 

w          18      />          tB      <$\      ui       />          HJ. 
undo  elemental  nontra  orunt 

/j  $»s  «—-•  ,         /I   a^»  ..  (I  iaiat  „          n^  ^*»w 

16 7      '         876*  i^1      ?  185   7 

(   ""  1875  ?       (   ""     I87fi    **'      ^  "*"    oafi 

et  diBtantiae   focalon 

t«  f)       13 


el  infcervalta  ienfciuui 

18  .    .  IB 


ac  distantia  oculi 

..      4S0 


440-442]     DE  ALTERA  TEETH  GENEEIS  TELESOOPIORUM  SPECIE  PRINCIPALI       77 


ita    ut    tota    longitudo   futura   sit    a(||  +  ~|).      Campi    autem    apparentis 
semidiameter  erit 


II.  Semidiameter  aperturae  lentis  primae  =  ~-  dig. 

Semidiameter  aperturae  lentis  secundae  =  -iW|~  +  —•-•),  unde  colligere 
licet  pro  hac  lente  dimidiam  aperturam  sufficere. 
Semidiameter  aperturae  lentis  tertiae   ==  ~  dig. 

Ill  Deinde  porro  erit  A  —  1,  A'=l  fortasse,  A"=l,  X"=  I  + 
ubi  notandum,  si  vitrum  commune  adhibeatur,  quo  ^  =  1,55,  fore 

r  —  1  +  0,6299  •  8f  '  —  59,861     et     r"=  1,6299. 
j 

Ex  aequatione  pro  a  colligere  licet  numerum  sub  signo  radical!  contentum 
circiter  ultra  2ju,m  excrescere,  unde  eius  loco  tuto  scribere  possumus  64,  sicque 
obtinebimus  a  —  100  dig.  ==  8  *  ped. 

Pro  maioribus  autem  multiplicationibus  haec  quantitas  in  ratione  mYm 
crescet  neque  haec  longitudo  satis  magna  imminui  poterit,  nisi  formulam  pro 
Bemidiametro  confusionis  ad  nihilum  redigaums,  id  quod,  uti  ex  superioribus 
liquet,  facile  praofltabitur,  si  his  quinque  lentibus  adhuc  lantern  concavam 
praefigamus  sivo  ex  eodem  sive  ex  vitro  crystallino  parandam, 


PKOBLBMA  2 

359,  Ham  tclescopior%m  speciem  ante  primam  lentem  praefigendo  lentem  con-' 
cavam  ita  perficere,  ut  confusio  penitus  tollatur  sicque  haec  telescopic  brevissima 
re4dantur  servato  campo  ante  invento, 

HOLUT10 

Cum  igitur  nunc  sex  habeamus  lentes,  quinque  litterae  erunt  conside- 
randae  1\  Qf  M9  8,  T  ad  lentium  inter  valla  relatae,  quarum  prima  P  debet 
dare  intarvallum  minimum,  quod  ob  a  negativum  statuamus  ™™60a,  ut 
flat  P~  j*j»  Deinde  cum  seqiaentia  intertalla  respondeant  litteris  Q^  R,  S9  T, 


78  LIBKI  SECUNDI  SECTIO  TEETIA     OAPUT  III     §  359  [442-143 

quae  ante   erant  P,  Q,  E,  8,  nunc  ponamus   R  =  —  k  et  8  =  —  V  oruntquo 
elementa 

a  Bcc          ,        BCa  BCDa 


et 

/__  ~  JiODEa  _  -  BODE* 
'~  "PQKktf  ~    .....  m"~     ' 

RK  BGu 


unde   interval] a  colliguntur 

1.  a  +  ft  =  a  (\  —  p) ;  quod  fit  sumto  />*«  *"• 

2.  /?  -f  fl  ^  ~  7j?(l  —  o)>   urL(^e<   cum  ^  caP*  ^)0a^  >  U  dobc^fc  OHBO  /^ 
positivum  ideoque  33  >  0  et  <  1 . 

3.  v  •+•  d  «=    llw  (l  +  ?);  undo  6r  dobet  OBHO  negativum. 

*  A  V     \  #  / 

4.  (J  -j.  &  «*.   *  ' ^-"(l  +  i);  unde  J>  dobot  OHBO  poflitiviun  i<looqtio  3D  ,  •  0 

«c  w  A/     \  AJ  / 

et  SD  <  1. 

5.  a  +  /*•*»    jt>Qbv*ft  ~  r) »  un<^  dobet  OHHO  /?(l  —  ,],)  ponitavuin,  H<M!  c 
et  /*  debeat  osse  maitis  nihilo,  debot  OHHO  J^J  nogativum,  orgo  7T*X  I. 

lam  pro  campo  apparento  pcmamus 
ut  fiat 

existente 

m'-i'    * 
unde  pro  loco  oculi  fit 

"-*.- 

Ex  his  autem  forraabuntur  sequentos  aequationcis 

._(l_/*)Af 


2. 

3,  $.0  —  —  (I  +  P^)Jf  —  v  —  o> 

4.  «-.-.(!-  PQUK)M  ~  t>  —  w . 


443-444]     DE  ALTEEA  TEETH  GENERIS  TELESCOPIOEUM  SPECIE  PEINCIPALI      79 
Ex  quarum  tertia  statim  habemus 

v  +  co~-(l  +  PQk)M; 
est  vero  etiam 

unde 

2 


m  +  PQJc 
sicque  vicissim 

-PQK) 


1  m  +  PQJc 

Quia  nunc  prima  aequatio  dat 

v  =  ~~7 
secunda  praebebit 


m  +  PQJc       r  18(m  +  PQK)  ' 
quare  nunc  fiet 

_u       _^?iLn?I^  _   ?Q~~f_Q)  _"~"2(1+jpW 

(/   — p   UJ   ts=i   ^yy  /-jT>  |       />/)7*"\  (^  V-*M    J-    ~P /)1f\     "4 

quae  aequatio  reducta  dabit 


quae  ad  fonnam  lianc  reducitur: 

1 


qtiae  aequatio  inservit  relationi  inter  litteras  B  et  0  definiendae.  Littera 
aiitoni  1)  arbitrio  nostro  manet  relicta,  dummodo  capiatur  positiva.  Tandem 
vero  quarta  aequatio  dat 

ffi  2  (1  ~~  PQM')       2  (i  . 

"  ' 


qui  valor  cnm  sit  poeitiyus^  debet  esse 

V}  >  m  +  PQk    sive    PQk(l  +  2#)  >  m. 


80  LIBRI  SECUNDI  SECTIO  TERTIA     CAPUT  III     §  359  1 444-445 

Denique  destructio  marginis  colorati  postulat  hanc  aequationem: 

A—  V  4-    ro     —     °      4-        l        4-          1 

v  —  p-r  pg      PQJ.  -r  p  QW  -r  p 


quae  substitutis  pro  v  et  CD  valoribus  abit  in  hanc: 

0  "  a(» 

sive 

0  = 

Ut  huic  aoqaatiom  commodissime  satisfaciamus,  primo  terminos  factoro  (1  -  -  /') 
adfoctos  ob  summam  parvitatom  roiiciamus,  quanckxiuidoni  non  opua  oat,  ut 
in  hac  resolutiono  aumraunx  rigorem  sequairmr,  et  habobimua 

%(l  +  PQk)         I  / 


1(1  -P)             2(1  -PQ) 
i  +  "P  QK)        (5  (m  '+  P  Qk]  Q  ~^~  i 

8(1-P) 
BS^  +  'PW^"^^ 

^+9i 

2          /(i-^d-g) 
Q(m  +  PQ'K)\           !B 

-1  -'•«*)+  <,;„• 

1 

QI'VT 

ubi  statim  secnndum   naturam  huius   Bpocun    toloscopioruni   Htipra  Htiabili 
statuaiuus  POk  ««]/•;>/  et  '/'-»'  !  ;  undo  fiat    "   ^,,,,   hinc   /*&'      <J{;W       Quia 

•i  yWA         AA^  «      * 

nunc  orit  klc'T^  ^m  v'//>?  ^a  ut  Bit  PQ  \}Vm,  <*b  /x  datum  otiam  ^ 
defimetur.  Quia  porro  oat  P(Jk***Vw,  orit  /»•**-•  *t  hutequo  //*  2J/^  Hi<ujuo 
valoros  harum  litterarum  ita  HO  habebunt: 

p  «  J^  ,     ,/*<y  «  J  )/w.     /r  M  :i  ,    //  ^*  2  |/w     ot     7f«  ' 
*)  i  «>  *i  j 

hincque 

P(^*  —  Vm  ,     /*(?A^  -  2m     oi 


Quod  nunc  ad  reliquas  littoras  If,  f..»  attinefc,  aoquatio  supm  data,  w 
etiam  factor  1  —  P  reiiciatur,  dabit; 


undo  invenitur 


445-447]      DE  ALTEEA  TERTIE  GENERIS  TELESCOPIORUM  SPECIE  PRINCIPALI       81 

Litterae  autexn  B  et  33  arbitrio  nostro  permittuntur,  ita  ut,  si  prima  lens 
concava  ex  vitro  crystalline  paretur,  ut  supra  [§  342]  vidimus,  poni  conveniat 
S3  =  yj  porro  vero  litterae  3)  et  D  Mnc  plane  non  determinantur,  r^isi  quod 
utramque  positivam  esse  oportet,  ex  quo  statuamus  D  =  6  Mncque  35  = 
denique  vero  erit 


hi         ^ 

*  w 

qui  valores  uni  conspectui  ita  repraesentantur: 

-«.       ®_      e.        et     K_2( 

'    s~  et    e-" 


hincque 


^-,        D-s  et     JB-- 

2  7/m  1  +  31/m 


ex  quibus  elementa  nostra  penitus  determinantur. 

NiMl  igitur  aliud  euperest,  nisi  ut  semidiameter  confusiotiis  ad  mhilum 
redigatur,   id   (juod  fit  sequente  aequationo; 


7?SB 


BI  scilicet  omnos  lontes  ex  codem  vitro  sint  factae.  Sin  autem  prirna  lens 
Bit  crystallina,  roliquae  vero  coronariae,  valor  ipsius  A  hmc  inventus  insuper 
jiniltiplicari  debet  per  ^  [—  ^]>  q,uae  fractio  est  fere  ^?  propius  vero  J^- 

Circa  hanc  vero  aequationem  observandum  est  sumi  debere  A^w^l, 
X' m*  lt  A'"—  L  Pro  quinta  autem  lente?  ut  utrinque  flat  aeque  conve%a,  sumi 
debet 

A""-  1  +  0,60006(1  -  20-)*-  1  +  ^O^iii^M'. 

(l  +  y  >») 

Pro  sexta  vero  A'""— 1,60006. 

KULKHI  Opera  umuia  IIU  Dioptrioa  11 


82  LJBRI  SECTJND1  SEOTIO  TEBTIA     OAPUT  III     §  360-364  [447-448 

COEOLLARIUM  1 

360.  Pro   his   igitur  teleBCopiis  cum  fiat   N  =      *  .   ,  erit  somidiaineter 

0  m  -f  V*n> ' 

i.        T  1718  . 

campi  apparentis  <f>  = -/    mm. 

COROLLARIUM  2 

361.  Semidiametri  autena  aperturae   singularum  lentiuni    ita   dofiniuntur 
ex  §23: 

Pro  prim  a     =  #, 

pro  secunda  —  ^, 

pro  tortia      =    /    +  p'/,7 

pro  quarta     asaO$+  p^k  , 

A          ** 
pro  quinta     ««  4  4:  ^3 

COKOLLAJLUUM  8 

362.  Si   in   locis   imagiuurn   roaliutn   vt^liniuB    <lia.phragiind.il  oouHtituoro, 

rcperitur  [§224—227): 

«/*</      « 


Pro  priori  Homidiairu^tor  aporfcuruo     . 

r  l  w  4-  \/m      4 


Pro  poeteriore  voro  —   ^^^   .  ". 

BCHOIJON 

3(13.  En  argo  dupliccm  porfocstionom  huiuH  genorin  tolweojiioruni;  alti»ra 
scilicet  Hpectat  ad  oanipuw  apparcmtoni,  quein  faro  duplo  maiorutn  riMididiintiK; 
altera  veto  conaiHtit  in  destructions  confusioni8»  qua  effieitm%  ut  ncm  opuH 
sit  quantitatam  a  maiorom  acclperof  qimni  aporfcuni  lantiB  obioctivao  ad 
claritatom  requieita  postulat,  sicque  longitude)  iculoBCopii  tantoporo  contraltatur, 
quantum  quidem  fieri  liccA-  Cum  hie  (huii*  lontw  post  ultimam 
reporiantur,  quibuB  campun  duplo  inaior  ent  factun,  ita,  HI  iron  pluroHvo 
adhibere  velimus,  campuin,  quouHquo  voIuorimuB,  amplificaro  licobit  Quod 
cum  vix  maiorem  calculuni  poHtulot  quaiu  pra^codonn  probiotitit, 
pretiuin  utiquo  erit  hanc  invoHtigationetn  goneraiiin  tu) 


448-449]     DE  ALTERA  TEETH  GENEBIS  TELESCOPIORUM  SPECIE  PRINCIPALI       83 


PROBLEM!  3 

364.  Praefixa  ut  ante  lente  concava  plures  lentes  post  ultimam  imaginem 
realem  ita  disponere,  lit  campus  apparens,  quantum  libuerit,  amplificetur. 

80LUTIO 

Hie  omiiia  prorsus  manent  ut  in  problemate  antecedents,  quod  scilicet  ad 
elementa,  distantias  focales  et  intervalla  lentium  attinet,  hoc  tantum  discrimine, 
nt  ambae  series  litterarum  B,  G,  D  etc.  et  P,  Q,  k,  tt,  T  etc.  ulterms  con- 
timiari  debeant.  Deinde  littera  M,  qua  campus  apparens  deflnitur?  alium 
nanciscetur  valorem  a  numero  lentium  post  ultimam  imaginem  inserendarum. 
Sit  igitur  harum  lentium  numerus  =  i  eritque 


m  —  1 

Turn  vero  aequationes  fundamentales  se  habebunt  \it  ante,  nisi  quod  nlteritis 
progrediantur;  post   tertiam  autem  quamlibet  sequentium  ope  tertiae  definia- 

mus,  uti  sequitur: 

I.   Sgv  =_  (i  —  p]M 


3.   ()  •:  _  (l  -|-  jpQK)  M.  —  v  —  03     sive     v  +  co  =  —  (1  +  PQfyM, 
unde 

et 


4.    @-. 
5.   f?  —  PQk(\  +  KT)M—  I 
(5.   ©  —  PQk(\  +  V  T  U)  M  —  2 
7.   £  —  l*Qk(l  +  KTUV)M  —  H 

etc. 

Ex  primis  autem  formulis  colligetur  ut  ante 

P(1   g)  +  PQ(l  +  *)  "  0> 


84  LIBBI  SECUNDI  SBOTIO  TERT1A     OAPUT  III     §  364  [449-450 

unde,  quia  P  proxime  =  1  ideoque  v  pro  nihilo  haberi  pctest,  erit  satis  exacte 


unde  colligimus 


Hie  autem  sufficit  hunc  valorem  vero  proxime  definivisso,  quia  aporturao 
lentmm,  undo  litterae  v9  a)  etc.  pendent,  summam  praecisionom,  respuunt.  Quod 
cum  etiam  valeat  in  aequatione,  qua  margo  coloratus  deatruitur,  habobitur 
loco  M  substituto  valore 


3   /,    .    l    .     l      .       1 
'  (l  +  T  +  TU  +  TJ 


m  +  PQJc 

quorum  torminorum  nnmeniH  cum  Bit  i  ot  Bitigu]a«(^  littcirao  7T,  U,  V  otc, 
imitate  dobeant  CBBO  minoroB,  RtatnamuB  tarn  coi)(;innita,tiM  gratia,  quam  ut 
lontos  postrenuK^  aoquis  fere  mtervalliB  (li 


ut  factor  ipsiufj   ^   Hat 


deindo  etiam  ut  unto  ponamun  .t'Qk  «  ]/m,  ut.  ptodoat 

4  1  ((1     j-   /) 

ym  ~  ft*'  *      a      ' 
unde  elicitut- 


Produetum  vero  roliquaruta  littorarum 

TUV  .....  '    !  ; 
erit 

^Tf/K...-"^1"-.^ 
hincque  ergo  deducitur 


450-451]     DE  ALTEBA  TERTII  GENEBIS  TELESCOPIOEUM  SPECIE  PBINCIPALI      85 
et  quia  P  per  se  datur,  Mnc  Q  deflnietur.     Denique  ob   PQJc  =Ym  elicitur 

&  =  ^    et    V=iVm. 

Lt  If 

Hinc  ergo  valores  omnes  sequent!  modo  se  habent: 


V=--        W  —  —   etc 
,       V  —  4  ,       KK~   5     CTC" 


im,     P  QkV  T 

et 


O 

Circa  litteras  JE?;  6Y7  ,D  etc*  prima  B  cum  tertia  D  hinc  non  definitur; 
iam  vero  ostendimus  esse 


fc)         (i  + 
et 

,-        i  —  J?^    _    1  + 

t  =.^^.^^_  ^« 

Ponamus  igitur  ut  ante 

D-0    et    S)- 

sequentes  vero  erunt 

^B-i(l  +  iV'»w) 
1  -{-]/»» 


3(1+  y»») 

-      »(4+il/w)      Q 
*"'4(l+Vm)         ' 

quarum  litterarum  penultima  erit 


et  ultima    —1. 


86  LIBBI  SECUNDI  SECTIO  TEETIA     OAPUT  III     §  364-367  [451—453 

Has  igitur  quoque  litteras  hie  coniunctim  aspectui  exponamns: 

23=  ^   circiter  .7?=  '*   vel  circiter 

7  •" 

/r       "-(2tyw--»--l)  f/MT(2^w  ""*"".?) 

~    (i  +  <)(i  +  yw)  '            (1+801/W 

25  «=  —  ^  J)  «*  fl 

^1+0 

(g  «  2"  +  ^  ^m  ]£  «=            ~  (  *  +  e  ?'  ^ 

1  +  T/w'  J  =  (*  -  1)  (1  +  (/  +  1)  l/m) 

Hj  ^  2(i—  1)+  (n—  l-2)Vm  .T^  -(2  (*—!)  +  («—  1-2)  ]/W) 

2(1+-  ]7m)  ~     (i  —  2)  (2  +  (/  +  2) 


(Sj  =  . 
'   =  3(1+  )/w)  (*'  -  8)  (3  +  (i  +  » 


yr_  —(4  (/-3)  +(^—  3-4) 
~     (/     4)(4  |  (?:  +  4 

eta, 

ex  quibus  valoribus  omnia  elemonta  secundum  formulaa  Batln  coguitan 
possunt. 

Deinde  vero  \ii  omnis  confusio  tx>llatur;  haec  aoquatio  orii.  adimpionda: 


P 

1  /r"  i     r  \ 

WWWPQkKT^W    f    /'^  / 

/rw  ,    v  \      f 

\  ©*  +  06J  J  "*"         ? 


ubi    ufc    ante    notanclum    ost,   «i   lauB    prima    concava   ox    vitro    c 
paretur,  reliquae  autam  onmoH  ex  coronario,  turn  valorem  hinc  pro  A  invon 
tura    insupor    multiplicari    clebere    par    fractionoin    ^;  quo  COHU 


stetuafcur  SB**  7  »  otiatn  omnin  coufuHio  a  divorat  refningibilibito  nuiiontnt 
orinnda  tolli  deberat,  Beilicefc  secundum  DOLLONIU  exp^rinumfca,  (totarum,  ufc 
iam  monuimua,  pro  litfceris  A',  A"  at  Aw  tmitaH  poni  potartfc.  Pro 


453-454]     DE  ALTEEA  TEETH  GENERIS  TBLESOOPIORUM  SPECIE  PEDTCIPALI       87 

vero  lentibus,  quae  omnes  utrinque  aeque  convexae  esse  debent,  statui  debet 

X'"  =1  +  0,60006(2© -I)2, 
r'"  =  l  +  0,60006  (2$ -I)2, 
A"""—  1  +  0,60006 (2®  —  I)2  etc. 

COROLLAEIUM  1 
365.   Hoc  igitur  modo  campi  apparentis  semidiameter  erit 


<p  =  sive       <£>  = 

m  +  yw,  m  +  ym 

ac  si  pro  lente  ultima  fuerit  distantia  focalis  =  £,  pro  loco  oculi  habebimus 

0  = 
undo,  si  multiplicatio  fuerit  praemagna,  erit  0  «=  ^  - 

COROLLABIUM  2 
806.   Semidiametri  aperturae  singularum  lentium  ita  definientur: 

O  "     i.  ^       ,        1 

Pro  pmna      —a?,  pro  qumta     •» --  +  -.  -~x, 

r  '  r      ^  4  "*-  ^m    ' 

pro  secunda  —  1,  pro  sexta       ««.+..  -oj 

r  p  »  r  4     i,  ^m     ? 

pro  tertia      «•   *    •  T  -I-       ";>        P^°  Beptima  —  ^  4-  •«    ^* 

l/^     ^  '    *    fyiym  4  "  w  iw 

pro  quarta    «« 0  HS  •  H    *  ,  ^tc. 

COKOLLAK1UM  8 

867.  t/irca  diaphragtnata  eadetu  est  ratio  ut  in  problemate  praecedente; 
Bcilicet  pro  cliaphragmate  hi  loco  prioris  iraaginis  collocando  debet  esse 
radius  forammis  ««•  *  "  -^,  pro  altero  autein  diaphragniate  »  *» ,„«...-?, 

unde    patet    haec    foramina    eo    maiora    fieri    debere,    quo    magis    campus 
amplittcetur. 


88  LIERI  SECUKDI  SECTIO  TEETIA     OAPUT  III     §  368—369  [454-455 

SCHOLION 

368.  Hoc  igitur  problemate  totum  huncce  de  telescopiis  tractatum  fini- 
mus?  quoniam  cuncta  praecepta  pro  illorum  construction  e  satis  smit  oxpowita 
neque  hie  constructiones  generates  commode  exhiberi  queant,  proptoroa  quod 
hie  non  solum  quantitates  dnplicis  generis  ut  ante,  ubi  scilicet  vel  numeii 
absoluti  vel  per  multiplicationem  m  divisi  occurrobant,  sed  tnplicis  adeo 
generis,  scilicet  praetor  numeros  absolutos  quantitates  primo  per  Vm  vel 
etiain  per  m  divisae,  in  computum  suut  ducendae,  ita  at  ex  comparutumo 
duorum  casuum  nulla  conclusio  generalis  colligi  queat,  Nihil  igitur  aliud  hie 
restat,  nisi  ut  pro  qualibet  multiplicatione,  quam  quis  postulat,  atque  otiaiu 
pro  quantitate  campi  sen  valore  numori  i  calculus  ah  initio  intttituatur, 
quern  pro  quovis  casu  oblato  suscepisse  ob  rei  dignitatem  sine  dubio  opora-o 
erit  pretium*  In  quo  quidem  negotio  etiaiu  littera  0,  quao  arbitrio  nontro 
hactenus  est  pormisaa,  cletorminari  dobot,  quam  commode  unitati  aoqualem 
vel  maiorem  assuincwo  licet.  Videtur  autem  apfciBBimo  poni  J)OSH<^  0  r-  2, 
undo  posteriora  instrument!  intorvalla  non  ninn«  a-ugcnitur,  mniul  vero  valor 
pro  A  notabiliter  minor  prodit,  (jimm  HI  easet  tf««l.  Quo  autom  totun  into 
calculus  facilius  suscipi  et  absolvi  (jueat,  aliquot  (^xtunpla  hie  HulwmgaimiH, 


KXEMPLUM 

869.  Sit  m«-4»,  ut  Hit  Vw  ^7,   et  pro   caiupo  apparente  i  —  a,   ita  ut 

telescopium   ex   BOX  lontibu»  nit  compowmUum,  <>t  Humatur  praetei'i^a  t)      U. 

L  Primo  colligantur  Httorufl  ./*,  Q  ot<^4f  ut 


Log,       p       —  QJXmm  bog.        '       —  9,025KM«ja 

Lofr     /><?*    •»  9,1549019  Log.  ~  8t()0877»8 

Log.  -  8,8098088 


®  -      J  f      tJQ  -  9,853871!)  //  «      J  t 

ff  -  —  JJ  ,     U  -  Of0177287(^)  G'~  -  JJ  f 


I,S  -  0,5740318  A'--",      J.  A1 -0,18469841-) 


455-456]     DE  ALTEEA  TEETH  GENEEIS  TELESCOPIORUM  SPECIE  PEINCIPALI       89 


Ex  his  logarithmis  formantur  sequentes: 

ISC  =  0,1056837  (-) 
I  B  CD  #=  0,5414121  (+) 
I.C&  =  9,7254725  (+) 
IE®  =  0,7087297  (-). 


L  BCD—  0,4067137  (-) 
1.  J523  =  0,2518118  (+) 
I  D®  =  0,1249386  (+) 


II.   Hoc   quasi  primo  labore  confecto   colligamus  nostra  elementa,    quae 

ita  se  habebunt: 


I  =  —  1,02  a 

c  =  _)_  0,26785  a 
d  =  —  0,18221 « 
e  =  —  0,02603  a 
/•=_  0,07099  a 


r  =  —  0,13666  a 
<T  =  —  0,36443  a 
a  —  +  0,03549  a 


g=  —  0,72857  a 
Log.  |  =  9,8624713  (-) 

r=—  0,27901  a 
Log.  £=  9,4456318  (-) 

s=_0,12148a 
Log.  ^  =  9,0844942(-) 

(5  =  —0,09762  a 
Log.  ^  —  8,9895188  (-) 

M==_  0,07099  & 


Pro  oculo  autem  erit 


0 


0,04057  a. 


III.  Hinc  iam  lentium  intervalla  cognoscuntur: 

1.  a  _|_  b  —  —  0,02000  a 

2.  /3-fc  —  — 2,28215  a 

4. 
5. 
6. 

Tota  longitudo  —  —  3,08755  a . 
EOMBBI  0per»  omalfc  III  *  Woptrioa 


c?™.~  0,31887  a 
e  —  —  0,39046  a 
f— —  0,08580 a 
0 0,04057  a 


90  LIBRI  SECUNDI  SECTIO  TEETIA     GAPUT  111     §  369  [456—457 

Delude  etiaxn  diaphragmata  ita  definiuntur: 

Prius  post  lentexn  tertiam  ad  distantiam  y  —  —  0713G6(>  a  ponitnr. 

Eius  semidiameter  foraminis  =  —  0,0114  a1). 

Posterius  ponitur  post  quartam  lentoin.  ad  distantiam  $  ==  -—  0,36443  a. 

Eius  semidiameter  foraminis  =»  —  0,0228  a2). 

Porro  vero  semidiameter  campi  apparentis  erit  30  3   minut 

IV.  Nunc  si&gulas  lentes  examinari  conveniet,  quarum  non  solum  con- 
structio,  sed  etiam  momentum  confusioniB,  quod  quaelibet  ad  valorem  A  con- 
ferfc,  est  definiendum,  ubi  quidein  prima  lens  ultimo  loco,  postquam  scilicot 
valor  A  fuerit  invontus,  tractari  debebit.  Quoniam  igitur  BequontoB  lonteB 
omnes  ex  vitro  coronario  fieri  samuntnr,  valores  eo  pertinontes  orunt: 

v  -  0,2196 ,     Log,  v  »«  9,3410323 , 

a  ~*  1,(5601 ,, 


<r  _  <,  —  J >4m,     Log.  (a  ~  $  —  0,15ti8<>74 , 
•r  — 0,9252. 

Nunc  igitur  singulas  lenton  post  prlmum  online  ponsarraiuuH. 

Pro  Icwtft 

anterior    ««• 
L  Radius  I 

posterior  «« 

quae  formulae  ex  Buperioribus  facile  eliciuntur.     Hie  v«ro  «st  A'  —  1    ot  cal- 
culus ita  inBtituatur; 

1)  Editio  priacapi;  0^05690?,          Oorraxit  B,  Gh, 

2)  Sdltio  prmeepi:  0)11880.          Oonwit  E,  (!h. 


458—459]     DE  ALTEEA  TEETH  GENERIS  TELESCOPIOEUM  SPECIE  PEIFCIPALI      91 


-  p)  =  0,1563674 
1 23  =  9,8538719 

0,0102393 

-  e)  —  1,02386 


log.  *  =  9,8624713(-) 
log.  denom.  =  9,8035937 


o  =  1,6601 
subtr.  1,0239 

0,6362  denom.  radii  anter. 
?  =  0,2267 
add.  1,0239 


1,2506  denom.  radii  poster. 


9,8624713  (-) 
0,0971184 


0,0588776  (-) 
radius  anterior   =  —  1,14519  a 


9,7653529(-) 
radius  posterior   =  —  0,58257  a. 


2.  Semidiameter  aperturae  requiritur 


3.  Calculus  pro  momento  confusionis: 


.  0,0086002 


U'— 0,0000000 
I  S3"  =9,5616157 

0,4383843 
adde  log.  cofiffic.  —  0,0086002 

0,4465)845 

Ergo  pars  prior  —2,79888 
posterior  -=0,12543 

Momentum  confusionis  —=2,92431. 
lento  tertia 


1.  Radius  • 


lv  =  9,3416323 

0,2518118 

9,0898205 
0,0086002 

9,0984207 


anterior 


posterior 


ubi  notetur  M&Q  A"— 1. 


is* 


92 


LIBEI  SECUNDI  SECTIO  TEETIA     CAPUT  III     §  369 


[459—460 


l.(a  —  ?)  =      0,1563674 
l(—  (£)  =      0,0177287 

0,1740961 
(£(ff  —  <>)  —  — 1,49313 


o  =  1,6601 
+  1,4931 

3,1532 
denom.  anter. 


9  =  0,2267 

—  1,4931 

—  1,2664 
denom.  poster. 


Log.  ra  =  9,4456318(~) 

Log.  denom.  —  0,4987515(+) 

8,9468803(-) 


Ergo 


radius 


f  anterior 


9,4456318(~) 
0,102570!)  (-) 
!),343060S)(+) 

0,08848  a 


(posterior  = -f  0,22032  «. 

2.  Scnridiameter  aperturae  roqnisita 

quam.  aperturam  haoc  Ions  utiquo  sustin(M-«  pottwt. 

3.  Calculus  pro  momonto  confusionis: 

I  *   —  9,02f)9(i32        '        /.A" -«  0,0000001) 

J,  C^f  [ 

7,8361435 


i  7,7829574  (•  -)     i 

Ergo  pars  prior  —  -f  0,(XH!0(! 
posterior  —  ~  0,<K)V283 

Momentum  confusionis       - 
Pro  lento  quarta 


1.  KadiuH 


anterior 


posterior 
ubi  iterum  aumatur  A'"  —  1 . 


460-461]     DE  ALTEEA  TEETH  GENERIS  TELESCOPIOEUM  SPECIE  PEINCIPALI      93 


— ?)_  0,1563674 
Z.S)  =  9,8239086 


I  ®  (a  —  ?)  =  9,9802760 
$)  (a  — ?)=  0,95560 


<7  =  1,6601 
0,9556 

0,7045 
denom.  anter. 


?  =  0,2267 
0,9556 

1,1823 
denom.  poster. 


log.  ?  =  9,0844942  (-) 
log.  denom.  =  9,8478810 

=  9,2366132  (-) 
anterior  = 


9,0844942  (-) 
0,0727277 


radius 


9,0117665  (-) 
—  0,17243  a 
posterior  =  —  0,10273  a. 

2.  Semidiameter   aperturae  requisita  =  7-x,  quam  aperturam  lens  com- 
modo  sustinebit;  si  enim  minor  radius  lentis  secundae,  qui  est  0,58257  a,  sus- 
tinet  aperturam  %,  Me  radius  minor,    qui  est  0,10273  «,   commode  sustinebit 
aperturam    7  x. 

3.  Calculus  pro  momento  confusionis: 


-  0,1549019 
8  l.Ji  (J«~  0,3170511  (-) 

8,8378508 


l.v  =  9,3416323 
1. 3)D— 0,1249380 

9,2166937 

8,8378508 

8,0545445 


Uw  — 0,0000000 
3Z.S>  — y,4717258 

0,5282742 
8,8378508 

9,3661250 
Ergo  pars  prior  —0,23234 
posterior  -=0,01133 

Momentum  oonfusionis  =0,24367. 


Pro  lento  quinta 

1.   Quiu  haec  lonn  ut.rinque  debet  esse  aeque  convexa,   ob   eius  distan- 

tiarn  focalem 

*  —  —  0,09762  a 
erit 

radius  utriusque  faciei  —  1,06  1  —  —  0,10348  «; 

mrac  vero  erit  A""-  1  +  0,60006  (2®  -I)1;  at  est  2@-  1-6,5,  ergo 


94 


LIBEI  SECUNDI  SECTIO  TEETIA     CAPUT  III     §  369 


[461-462 


et 


log.  (2(5—1)  =0,8129134 

log.  (2®  —  I)3  =  1,6258268 
log.  0,60006      =  9,7781947 

1,4040215 
adeoque  A""  =26,352. 

2.  Semidiametor    aportura.o    hie    per    liypothesin    out 
altera  enim  pars  •wnn>  quain  haec  lens  facillime  patitur. 

3.  Calculus  pro  mouiento  con  fusion!  s: 

U""  —  1,4208136 
,»».(£-»  1,7220939 

9,6<)87197 
6,7886327 


0,02-140  a; 


3  Z.  7? 


1,2201411 

6,7886327 


9,3416323 

0,7087297 


1  6,4873524       I 

Ergo  para  prior  •-•-      0,(K)031 
pOBtorior  -  ......  0,(XKK)2 

Momotitum  coufusioniH      »>-0,0(K>29. 


(>,788(!327 
5,421535:5 


I'ro  lento 

1.  Quia  per  hypothosin  haec  lonn  utrinquo  dohoi  OHH(>  aotjmi  nonvoxa, 

oius  disfcantiam  focalom 

«  —  •    0,07099  « 
erit 

radiuH  utr!uH(ju«  facku  -*«  l,0(Jtt»  •-     0,07525  «; 

turn  ven>  orii,  ;""'-.  •  1,6(KK«», 

2.  Homidiatnotor  aperturuo  »*  ^  M  »»  «  (),0177f>«. 

3.  (JalcuhiH  pro  tnoinonto  confusioniH: 

1.  pglkk.  T  —  H.JK  «>HX).!iH  ^.  A'""  —  0,204  1  ;«5Ji 

3  /.  n  CD  K  —  1  ,(!2428G8  6,(«fifrf}7f» 


Krgo  momentam  confuBtotuu  —  O.OU077. 


462— 463J     DE  ALTERA  TEETH  GENEEIS  TELESCOPIORUM  SPECIE  PEINCIPALI      95 


V.  His  inventis  colligantur  omnia  momenta  confusionis  in  unam  summam, 
quae  erit  3,17227.  Nunc  autem  duo  casus  sunt  considerandi,  prout  primam 
lentem  concavam  vel  ex  vitro  coronario  vel  ex  crystalline  parare  volueri- 
mus,  quos  seorsim  evolvi  oportet. 

1.  Pro  prima  lente  concava  ex  vitro  coronario  paranda 
Pro  hac  ergo  lente  erit 

I  =  3,17227,     unde     A  — 1  =  2,17227; 
hincque  fiet  sequens  calculus: 

Log.  (A  —  1)  =  0,3369138 


ergo 
-l)  =  1,3636. 


Log.  V(A  —  1)  =  0,1684569 
Log.  t  =  9,9662356 

0,1346925 


Nunc  cum  sit  pro  hac  lente 


radius 


anterior 


posterior 


calculus  ita  se  habebit: 


a  — 1,6601 
1)  —  1,3636 

0,2965 

/.0;2!)Bf)  —  0,4720247 

complementum  «•  0,5279753 

sicque  prodit 


V  —  0,2267 
1,3636 

1,5903 

1 1,5903  -0,2014791 
complementum  —  9,7985208 


radius 


anterior     —  3,37268  a 


posterior   —  0,62881 «  , 
semidiametro  aparturae  existente  x  —  ^  dig.  —  1  dig. 


LIBB1  SECUNDI  SECTIO  TBETIA     CAPUT  III     §  369 


1463—465 


2.  Pro  prima  lente  concava  ex  vitro  crystalline  paranda 
Pro  hac  igitur  lente  erit 


I  =  .^ .  3,1 7227     sen     A  -  3,59080, 

et   quia   pro  vitro  crystalline  est 

<>  -  0,1414,     o-  —  1,5827,     r  —  0,8775, 
calculus  ita  se  habebit: 

Log.  (A  —  1)  —  0,4184339 
k°g- 


Log.  r  «  <),<J482471 


orgo 


cr  —  1,5827 
subtr.  1,4124 

o,i7oa 

log.  il,2;»214(J 

oomplomentmu  0,7()87H54 
Bicque  prodit 


rl/(A    -1)  -1,41242 

(>  —  0.1414 
a,dd.   1,4124 


radius 


anterior 


0I(54H5H« 


semidiametro  aperturae  axistente  IB  *«  ^  •»  1  dig- 

YL  Quia  binao  prioran  lentils  coniunctim  lantoni  ohiaetivam  conHtituunt, 
cuius  semidiametor  ttpc^rturat*  •*»  1  dig*,  statuatur  eariuu  minimuB  nulhtH,  cjtit 
eat  —  0,582f)7«,  >4dig,  hincquo  concludotur  Bum!  dohcro  ^^05^1  ***#•»  'Mm 
est  ~  a  >  7  dig.  vol  Baltirn  non  iniriuB,  ita  ut,  HI  optimuH  NUCCOHHUB  H(i<«mrt 
posset,  accipere  liceret  ~  ft  —  7  dig,  Sin  atitein  almrratio  quimdant  nit  porti- 
mescenda,  fcantum  opug  orit  menHuram  uniuB  Higiti  atigera  (loinnHKlitittiB 
autem  gmtia  sumaruuB  a  -«  —  10  dig,;  undo  wqiitmH  prcKltt  c<mHtrtirtt<i  huiuN 
teleieopii  datermiEate  pro  multiplication  w  —  411 


465—466]     DE  ALTERA  TERTII  GENERIS  TELESCOPIORUM  SPECIE  PRINCIPALI       97 

1.  Pro  lente  obiectiva 
quatenus  ex  vitro  coronario  paratur 

.  ranterioris    =  —  33,73  dig.)         ' 

Jttadms  faciei  {  }   Crown  Glass. 

Iposterioris  ==  —    6,29  dig.) 

(1).  Pro  lente  obiectiva 
quatenus  ex  vitro  crystalline  paratur 

_    ,.       „          fanterioris   =  —  58,72  dig.)   „  .   ,    ^, 
Radius  faciei  Flint  Glass. 

Ipostenoris  =  —   G,44  dig.) 

Ouius  distantia  focalis  pro  utroque  casu    =  — 10  dig. 

Semidiameter  aperturae   =  1  dig. 

.Inter vallum  ad  secundam    =  0,2  =  *  dig. 

2,  Pro  lente  secunda 

.  ranterioris    =11,45  dig.) 

llaclms  faciei  \  _    >  Crown  Glass, 

Ipostenons  =   5,83  digj 

Cuius  distantia  focalis    ««  7,28  dig. 
Somidiamoter  aperturae   «»  1  dig. 
Jntervallum  ad  tertiaiu  =«  22,82  dig. 

8.  Pro  lente  tertia 

rt    .      fanterioris   ««      0,884  dig.)   ^ 
Eadius  faciei  {  ,    ,  ,  ^v    ,.    [  Crown  Glass. 

IpOBtenoris  —  —  2,20    dig.  J 

OUIUH  distantia  focalis  •«  2,79  dig. 
Scmiidiamotor  aperturae   «« 0,3    dig. 
hifcorvalhun  ad  quarta/m  »•  51,19  dig, 

4.  Pro  lente  quarta 

,  ranter ioris   ««  1,72  dig,]  ^  _,_ 

Eadiua  faciei  J_    .    .        .  no  ,,       Crown  Glass, 
Ipostenoris  «-  1,0<J  digj 

OniiiB  distantia  focalis   —  l?2l  dig. 

Bemidiameter  aperturae  —  7  dig, 
lutervallum  ad  quinteia  —  8^00  dig* 

Strut**  O^tra  amaift  1IU  Dio|)kba  13 


98  LIBBI  SECUNDI  SECTIO  TERTIA     CAPUT  III     §  369  [466 

5.  Pro  lente  quinta 

Radius  utriusque  facial  =====  1,03  dig.  Crown  Glass. 

Cuius  distantia  focalis  est  0,97  dig. 
Semidiameter  aperturae  —  *  dig. 
Intervallum  ad  sextain  ==  0,3G  dig* 

6.  Pro  lente  sexta 

Radius  faciei  utriusque    -«  0,75  dig.  Crown  0-lasw. 

Cuius  distantia  focalis  ««  0771  dig. 
Semidiarnetor  aperturae   — « 0,18  «•  J  dig, 
Distantia  ad  oculum  uaque    »«•  0,40  dig, 

HuiuB  igitur  telescopii  longitudo  tota  fiot 

—  30,87  dig.  —  2  J  pod. 
et  semidiamoter  campi  apparentis  »» SO  *^  inin. 


APPENDIX 

DE 

CONSTRVCTIONE 

TELESCOPIORVM 

CATOPTRICO-  DIOPTRICORVM. 


CAPUT  I 

DE  IMA6HNIBU8  PEE  SPECULA  SPHAERICA 
FOEMATIS  EAEUMQUE  DIFFUSIONS 

PROBLEM!  1 

1 .    Si  a  puncto  lucido  in  axe  speculi  constitute  radii  aooi  jproximi  in  speculum 
incidant?  invenire  locum  imaginis. 

SOLUTIO 

Sit  PAP  (Fig.  1)   speculum  sphaericum  probe  politum  centro  0  radio 
^f  closcriptum,  cuius  axis  sit  recta  AQE,  in  cuius  puncto  jE  constitutum 


Fig.  I. 


nit  punctum  lucidum,  et  ponatur  eiue  distantia  USA  «•  a,  unde  radii  in  totam 
npeculi  Buperficiem  incidant,  a  quibus  autem  eos  tantum  hie  consideramus, 
qtai  axi  sint  proxinai  Beu  qui  in  pnncta  a  medic  puncto  speculi  A  proxima 
incidani  Talis  igitur  radius  incidens  sit  JE?a,  et  ad  punctum  a  ex  centre  0 
ducatur  radius  Oa«-f;  qui  cum  in  speculum  Bit  normalis,  erit  £!aO  angulus 
incidentiite^  cui  ab  altera  pa^rte  ractee  Oa  capiatur  angulus  aequalis  OaFt 
eritque  recta  &f  radius  reiaxus  cum  axe  occurrens  in  puncto  F>  in  quo 


102  LIBBI  SECUNDI  APPENDIX     CAPUT  I     §  1-5  [470-471 

puncto  adeo  omnes  radii  axi  proximi  e  puncto  E  emissi  concurrent,  siquidem 
etiam  radius  EA  secundum  ipsum  axem  eraissns  in  punctum  F  reflectitur, 
ita  nt  punctum  F  sit  imago  puncti  lucidi  E  per  reflexionem  formata,  et 
cum  a  radiis  axi  proximis  formetur,  in  hoc  puncto  erit  imago  principals, 
uti  earn  in  tractatu  de  lentibus  vocavimus.  Ad  locum  igitur  istius  puncti  F 
inveniendum  consideretur  triangulum  EaF,  cuius  angulus  EaF  bisect  us  est 
recta  Oa,  unde  notum.  theorema  geometricum  praebet  lianc  proportionem: 

Ea:  EO  =  Fa:FO] 

deinde,  quia  in  triangulo  EaO  anguli  ad  E  et  ad  a  sunt  infinite  parvi,  in 
triangulo  autem  OaF  anguli  ad  0  et  a,  erit  Ea  «*=  EO  +  f  ("t  Fa  **  f—  OF, 
unde  ilia  proportio  abit  in  hanc: 

JSO  +  f:  EG  «  f~  0  F  :  OF 
et  coraponendo 


Cum  iam  sit  JKO  —  MA  —  AO^a  —  f\    fiet 


2a—  f 
sicque  locus  p\in<iti  F  Innotkwcit,  <uiiun  cliHtanfeia  a  ptmeto  A 


OOBOLLABIUM  1 

2,  Kx  data  ergo  distantia  puncti  lucidi  E  a  Rpocuio  'KA  «**  n  invcmitnuH 
distantiam  imaginiB  principalis  super  aice  A  F;  quam  cum  In  lenfcibun  Htt^ra  a 
denignaverimuB,  etiam  bio  eadem  littera  utamur,  ita  ut  Bit 


|V  m» 


OOBOLLABIUM  2 

3.    Speculum  Me  fcanquam    ooncavum  spectavimuH,    euiiw  ratiiiw    68«efc 
—  f,  unde  valores  positivi  huiua  litterae  /"specula  concava,  valorm  vero 


471—473]  DE  IMAGINIBUS  PEE  SPECULA  SPHAEKICA  FORMATIS  103 

negativi  specula  convexa  denotabunt.  Turn  vero  etiam  distantia  a,  quatenus 
valorem  habet  positivum,  distantiam  imaginis  ante  speculum  indicabit;  sin 
autem  prodeat  negativa,  id  indicio  erit  imaginem  post  speculum  cadere 
eamque  fore  fictam,  cum  praesens  sit  realis.  Hinc  autem  intelligitur 
imaginem  fore  realem,  si  fuerit  &>--/*,  siquidem  sit  f>Q;  sin  autem  sit 
/'<0  seu  speculum  convexurn,  turn  imago  semper  post  speculum  cadet 
eritque  ficta,  non  realis. 

OOEOLLARIUM  3 


4.  Si  puncti  lucidi  distantia  AE  =  a  fuerit  infinita,  turn  distantia 
imaginis  principalis  a  speculo  erit  AF=~ff,  ita  ut  haec  distantia  AF '=>  ~f 
pro  distantia  focali  speculi  sit  habenda;  bine,  si  speculi  distantiam  focalem 
ponamus  =  p,  erit  radius  speculi  f=2p.  Turn  vero  in  genere  distantiae  a 
et  a  ita  a  se  invicem  pendebunt,  ut  sit 

ap        ,  .  aa 

a  =  .  -*       hincque     p  ==  — r— 
a  —  p  u  « +•  a 

et 

i        1,1 


a 


prorsus  uti  in  lentibtts  usu  venire  supra  vidimus. 

SOHOLION 

6,  Hie  notatu  inprimis  dignum  occurrit,  quod  tres  istae  distantiae  a, 
a  et  p  eodem  prorsus  mode  a  se  invicem  pendent  uti  in  lentibus;  ex  quo 
widens  eat  ratione  calculi  specula  perinde  tractari  posse  ac  lentes,  quae  cal- 
culi convoniontia  adhuc  in  sequentibus  magis  illustrabitur.  Hie  tantum 
notaBBO  iuvabit  lentibus  convexiB  respondere  specula  concava;  uti  enim  lentibus 
convexin  (listantiaB  focales  ponitivas  tribuimus,  quippe  quarum  foci  stmt  reales, 
ita  etiam  specula  concava  realem  habent  focum  ibique  aeque  vi  urendi  pel- 
lent  atquo  leu  tea  convexae  in  suis  focis;  discrirnen  tamen  in  eo  situm  est, 
quod  In  speeulis  concavin  focus  ante  ©a  cadat,  cum  in  lentibue  convexis  post 
eas  formatur;  atque  siinili  mode  specula  eonvexa  ad  lentes  coacavas  referentur, 
dum  in  utrisque  focus  tantum  fictaa  date,  in  quo  scilicet  radii  non  revera 
congregentar*  Quando  ergo  da  apeculis  sermo  erit,  distantia  focalis  positiva 
Bpeculum  eonca?um»  diitaatia  vero  foealis  negativa  speculum  con- 


104  LIBBI  SECUNDI  APPENDIX     OAPUT  I     §  5-8  [473-474 

vexum  indicabit,  ac  si  distantia  focalis  evadat  infmita,  speculum  erit  planuin; 
simili  modo,  quo  lens  distantiam  focalem  batons  infinitam  est  plano-planu. 
Praeterea  vero  etiam  observasse  iuvabit,  si,  uti  in  Dioptrica  fecimus,  statuamus 


et    8t  =5S5  yi  , 


turn  etiam  fore 


PEOBLEMA  2 

6.  Si  non  amjolius  lucidum  punctmn  M,  sad  oUectwu  JWa  cm  specMti  per- 
pendiculariter  inslstat,  ems  imaf/inem,  qme  in  jpuneto  F  situ  inverse  wprMuseM* 
tabitur,  definire. 

SOLUTIO 

Ponatur  iterum  distantia  huius  obic^cti  a  npocmlo  MA  ^  a  (Fig,  2)  Bttquo 
eius  magnitude  JSs  ~  ^,  quippc^  qua  clonornituitkmo  nupru  d("  loulibiiH  HUIWIH 


usi,  ita  ut  ^  Hamper  nit  quantitaH  valdo  parva  roHpiwAu  diHtaittiao 
seu  aogulus  jE?^t«  quasi  infinita  parvtis.  Doindo  nit  ni  a?ifc<*  racHun 
OJ«»f?  oius  distantia  focaliB  —jp,  ito  ufc  Bit  /'"*2;>,  ofc  dintaiitia 
principalis  a  Bpeculo  AF^a}  ita  ut  sit  a—  ^  *  HIB  ponitiH  fucih*  tntolli* 
gitur  imaginom  quaesitam  in  punctum  F  incidera  atquo  acl  controriom  partont 
axis  fore  diroctara;  ductti  enim  recta  %A  roforot  radium  incidtmtom*  cm  con- 
venit  mdiuB  reflexus  A^y  qui  ergo  par  imafinis  eictreniitatein  trausiro  debobii; 
unde,  ei  in  puncto  F  normaliter  ad  axem  ducatur  recta  F^  ad  radium  rtv 
flexum  A£  terminata,  haec  rocta  ]?%  imagmeni  principalam  oblecti  oxhibebit; 
cinms  ergo  magaitudo  ex  similitudine  triangulorum  A  KB  at  AJF£  ita 
it  sit 


474—475]  DE  IMAGHttBUS  PEE  SPECULA  SPHAERICA  FOEMATIS  105 

AF-Es       a-t 


quod  idem  etiam  hoc  modo  ostendi  potest.  Ex  puncto  e  per  centrum  speculi 
0  ducatur  etiam  radius  incidens  e0a;  qui  cum  sit  normalis,  eius  reflexus  in 
ipsum  cadet  transibitque  etiam  per  punctum  £,  unde  similitudo  triangulorum 
OEe  et  0J?t  dabit 


Est  vero  OF=f-~-a    et   OE=a  —  f,  ex  quo  fit 


Cum  ex  superiori  problemato  sit 

af         T  .  /»        2  ace 

a  «=       '  -,     hincque     /=  ~~  r-». 
2a  —  /  ^         '        a  +  a  7 

erit 

/*  (a  —  a)  «        ,  y.      (a  —  a)  a 

f  —  a  =  ^         -        et     a  —  /  = 

a  +  a  a  +  # 

hincque  stibstitutiB  his  valoribus  fiet 


ut  ante;   quo  ipso  confirmatur  rectam  F%  axi  recte  normalezu.  esse 
duotam. 

COEOLIARIUM  1 

7.    Hie  ergo   etiam  magnitudo   imaginis   principalis  eodem  plane  modo 
ox   obiocti   magnitudine   determinatur,   quo  in  Dioptrica  id  fieri  supra  osten- 
H;  unde,  Bi,  ut    ibi  fecimuB,  statuamus  a  «•  Aa,  habebimus  etiam  hie 


OOKOLLAKIUM  2 

8.  Quia  iiOBtra  figura  speculum  concavum  refert,  eius  analogia  cum 
lentibuH  cunvexin  etiam  hie  manifesto  cernitur;  quemadmodum  enim  lentes 
convexaa  imagines  inversaB  post  se  repraesentant,  ita  specula  concava  ima- 
ginei  itidam  inyeraas  ante  se  reformat;  iam  enim  observavimus^  quae  post 
lentes  confcingirat,  cum  iis  comparari  debate,  quae  ante  specula  contingunt 

o^nia  Ml  4  Dioptriea  14 


106 


LIBJil  SEUUND1  APPENDIX     CAPUT  I     §  9 


[475-476 


PROBLEMA  3 

9.  Si  a  puncto  lucido  E  in  axe  speculi  sito  radii  incidant  in  extremtatem 
speculi  P,  eorum  cum  axe  concur  sum  in  puncto  f  investigare  indeque  spatium  dif- 
fusionis  determinare.' 

SOLUTIO 

Sit  iterum  distantia  JKA^a  (Fig.  3)7  radius  speculi  QA*«*  ()£>***  f«*  2  p 
denotante  p  distantiam  speculi  focalem.  Tarn  tantuin  sit  speculum,  ut  sit 


Fig,  8. 

angulus  AQP^Wy  et  cam  porpondieulmn  1*X  <lonot(^t  Honii<iianiottuiu  n. 
turae  Hpeculi,  sit  haoc  linoa  PJ(««a;  ^rit<{UH  #  ^»/fHin.  (^»  DmniHHn  iaui 
puncto  lucido  M  in  radium  J*0  procluctuni  parpomlicmlo  Kti  <*b  M ()*>•'*  a 
et  anguluiu  KOli »  o>  erit 


hincque 

unde  invanitur 

MP^ 


'Kli  ^  (d  —  /)  Bin. 


0  It  •»«  (H      fj  (t<m.  ca 


2f(a  ™  f )  <m  en)  f 


(juae  brevitatis  gratia  Bit  «••  0,  atque  lano  erit  anguli  incidontiae  KI*O  u 
atiam  anguli  reflexiomn  OJ*f  sinus 

Ktt      (a-^/^iin.a? 


et  cosinui 


476-477]  DE  IMAGINIBUS  PEE  SPECULA  SPHAEEICA  FOEMATIS  107 

Cum  iam  in  triangulo  OPf  detur  angulus  OPf  una  cum  angulo  P0f=w  et 
latere  OP  =  f,  si  vocetur  angulus  AfP^y,  ob  yj  =  co  +  OPf  erit 


f  sin.  o  -f  2  (a  —  •  f)  sin.  oo  cos. 
sin.  i//  =====  -  ---  —  ^  -  u 

r  v 


atque  hinc  ex  natura  trianguli  erit  sin.  ip  :  OP  =  sin.  OPf:  Of,  ex  qua  analogia 
colligitur 


/'+  2(^  — 

hincque  intervallum 

A* 

/I   /     r::.1.'1:     • 

1  —  . 

haocque  est  solutio  generalis  nostri  problomatis. 

Cum  autom  in  praxi  angulus  AOP  nunquam  tantus  assumatur,  ut  non 
liceat  potestates  anguli  co  quadratica  a/ltiores  negligere,  expressio  inyenta 
commode  ad  formam  simpliciorem  sequent]  moclo  reducetur.  Cum.  sit 

cos.  co  =  Y(l  —  sin.  a?2)  *»  1  —  -  2  sin,  co2, 

ob  sin.  a>  —  ^  erit 

/  ^ 

cos. 


hincque  ille  denominator  /*  +  2  (a  —  /*  )  cos.  a?  fiet 


ex  quo  pariter  proxime  erit 


)  cos.ro        2a_/-_«- 
Undo  intervallum  modo  inventum  fit 

f(a-f') 


hinc  intervallum,  quod  potissimum  quaerimus, 


108  LIBBI  SBCUNDI  APPENDIX     CAPUT  I     §  9-14  [477-479 

Quare,    cum  ante  locum   imaginis   principalis  tf  ita  invenissemus,    ut    osset 
^L     nunc  innotescit  spatium  diffusionis 


JPraeterea  cum  etiam  plurimum  intersit  angulum  y>  nosse,  quo  radii  refiexi 
Pf  ad  axem  inclinantur,  ex  formula  supra  inventa  colligemus  itidotu  proximo 

(20  —  /> 

w  =  v   -    >  7    • 
/  af 

Quoniam  enim  potestatos  ipsius  M  quadrate  maioros  tK^gligimus,  tuimerator 
ibi  invent  us  fit  wa~~')x  ot  in  denominatore,  ubi  iam  Ipnum  quadratum  ^ 
nogligere  licet,  tit  simpliciter  =  a. 


1 


10.   Quo  haoc  ad  formulan  pro  lontibim  datas  acconnnodotiniH,  uhi  tantaim 
tantiiiw  a 
;  undo  fit 


binas   distantiiiw  a   ot  a  in  computum  itHluxiniuH,   oh   ^J'-*"»>rt  .  /•  lu 


a-"  •#)#       ,  «        2  a* 

v       ot     2a  —  /  ^      . 
a  4-  <^  a  f*  ofi 


atque  hinc  apatium  diffusioniB  erit 


quod  ergo,  perhuif*  ac  in  lentibus  UBU  venitf  quailmto  Houudiatiu^ri  aporturan 
^  0nt  proportionalo;  quin  etiam  ipsum  hoc  Bpatium  Iff  in  ounciom 
cadit  ac  in  lentii 


OOItOLLAIUUM  2 

11.    Simili   modo  poterimuB   etiam   angulum    obliquitatiH   ^    por 
distantiaa  ^  at  a  itemque  ^  exprimara;  prodibit  enlm  1/1**  x*     If  tine  aufcam 
aagulum  supra  in  ealculo  circa  lantas  mstituto  aollicite 


479-480]  DE  IMAGINIBUS  PEE  SPECULA  SPHAEETCA  FOEMATIS  109 

SCHOLION 

12.  Cum  quaestio  esset  de  lentibus  earumque  apertura  maxima,  quam 
capere  possent,  sumsimus  x  aequale  parti  quartae  radii  curvaturae;  quodsi 
ergo  hie  idem  institutum  sequamur  et  sumamus  x  =  ~f,  hinc  reperietnr  an- 
gulus  o>  =  14°  30',  ita  ut  totus  arcus  PAP  infra  30°  capi  debeat.  Quando 
autem  hoc  speculum  locum  lentis  obiectivae  sustinet,  eius  apertura  longe 
aliam  determinationem  postulat,  quam  scilicet  ex  mensura  confusionis  definiri 
oportet,  unde  huius  speculi  apertura  ad  multo  pauciores  gradus  reducetur, 
uti  in  sequentibus  docebitur.  Nunc  autem  etiam  opus  est,  ut  ostendamus, 
quemadmodum  radii  a  nostro  speculo  reflexi  et  imaginem  diffusam  formantes 
porro  ab  alio  speculo  denuo  reflectantur  et  qualem  imaginis  diffusionem  turn 
sint  producturi,  Hunc  in  finem  bina  sequentia  lemmata  perpendi  conveniet. 


LEMMA  1 

13,  Si  distantia  obiecti  a  speculo  EA  «»  a  particula  minima  da  ulterius  a 
speculo  removeatur,  turn  imago  principalis,  cuius  distantia  a  speculo  erat  AF=a, 
ad  speculum  propius  accedet  particula  da,  ita  ut  sit  da  =  ""^,  a> 

DEMONSTRATE 
Cum  enim  sit 

11^1^2 
a        cc       p        f 

atque  radius  f  idem  maneat,  utcunque  distantiae  a  et  a  inter  se  varientur, 

differentiatio  dabit 

da    ,   dec      A  ^        -,  a* da 

j-       »«()      unde    aa»=»—     fi  - 
a3       <z*        '  a1 


LEMMA  2 

14,  Hi  radii  iv  spevulum  imidentes  ad  awem  Bint  inclinati  angulo  —  <f>7  in- 
wnire  angulwn  y,  sub  quo  radii  reflexi  ad  axem  speculi  erunt  inclinatL 

SOLUTIO 

Sit  igitmr  imgnlus  AMP—  *  (Pig.  3,  p.  106),  quo  radii  incidentes  MP  ad 
axem  speeuli  incliBantur,  eritque  proiime  *  —  -^  ideoque  %  —  a*,   Turn  vero 


110 


LIBBI  SECUNDI  APPENDIX     CAPUT  I     §  14-16 


[480-481 


vidimus    angulum,    quo    radii    reflexi    ad    eundem    axem    inclinantur,    fore 
ifj  =  ~~ ;  quocirca  erit  y  =  a<a    sen  erit 

cl> :  yj  —  a :  a 
sen  reciproce  ut  distantiae  a  speculo. 


PRO  BLEW  A  4 

15*  Si  radii,  postquam  a  primo  xpeeulo  reflexi  imaginew  diffusam  formawrunt, 
in  al'ktd  speculum  super  eodem  awe  constMutum  incidant,  detenniware  tarn  iwaffiwW' 
principal  em  quam  eius  diffusionowi,  ^M&W  radii  a  secundo  speculo  reflexi  &x* 
hibebunL 

SOLUTIO 

Cam  jP£  (Fig.  4)   sit  imago  principally  a  pritno  H])oculo   forrna.tji,   qua,m 

in 


mvenimuB  l^»»"a  9  sit  eius  distantia  a  secundo  apeculo  A7J»-6  al.<ju(^  ipsu 


T 


Fig,  4. 


hoc  speculum  ita  Bit  comparatum,  ni  ah  eiun  rcfloxiono   imago 
formetur  G?j,  sitque  disfcantia  B  (?•«•/?  atcjue,  uti  iam  viclimuH,  roporiotu 


quae  imago  iterom  erifc  erecta  atqua  a  radiis  axi  proximtB  formata.  Nune 
etiam  consideremtis  in  gpatio  diffusioniB  dato  eitremitatem  ff  unde  radii  tmimi 
cum  axe  faciant  angulum  —  i//  —  * ;  verwrn  antequam  huius  obliquitatin 
rationem  habeamus^  ftngamu»s  punctum  /*  etiam  radios  axi  proximoH  emittore, 
et  cum  id  a  speculo  B  longius  sit  remotum  quam  F9  eius  radii  concurrent 
in  puncto  huic  speculo  propiore  y$  ad  quod  inveniendum  referet  hie  db*»  Ff 
at  dft  —  ™  Gy\  unde  colMgitur  {?y  —  $*  *  JP/.  Quare,  si  in  f  obioctum 


481—482]  DE  IMAGINIBUS  PEE  SPECULA  SPHAEEIOA  POEMATIS  HI 

esset  constitutum,  eius  imago  principalis  caderet  in  y\  quatenus  autem  ex  f 
nulli  alii  radii  emittuntur,  nisi  qui  cum  axe  faciant  angulum  =y>,  ii  denuo 
reflexi  incident  in  axem  in  puncto  g  ipsi  speculo  B  adhuc  propiore  quam  y, 
ita  ut  hie  casus  similis  sit  praecedenti  problemati,  quo  punctum  f  respondet 
puncto  E,  punctum  y  puncto  F  et  punctum  g  puncto  f,  hoc  solo  discrimine, 
ut,  quod  ibi  erat  a  et  a,  hie  sit  "b  et  {3;  licebit  enim  utique  hie  pro  distantia 
Bf  sumere  BF=b  et  pro  distantia  By  sumere  /?;  hinc  ergo  per  formulam 
supra  inventam,  si  loco  x  hie  scribatur  y,  fiet 


Quid  autem  nunc  sit  y,  ex  angulo  ip  facillime  definitur.  Ducto  enim  radio 
fQ  sub  angulo  BfQ^y***^  erit  y  semidiameter  aperturae  huius  speeuli 
QBQ  ideoque 


quo  valore  substituto  prodit 


Quocirca  totum  spatium  diffusionis  iam  orit 


sou 

aa      P*    (*  +  *)(*-*?&    * 

^ffmm  I*  *  808«"  " 

Nunc  autem  post  secundam  reflexionem  augulus,  sub  quo  radii  extremi  ad  axem 
orunt  inclinati,  colligitur  ex  lemmate  2 


SCHOL10N  1 

Ul    Cum  igitur  speculum,  ad  quod  referuntur  binae  distantiae  a  et 
at  cuiuB  seinidiameter  aperturae  eat  —  ai,  gignat  spatium  diffusiords 


112  LIBEI  SECDNDI  APPENDIX     CAPUT  I     §  16—18  [483—484 

comparemus  hoc  spatium  cum  eo,  quod  lens  sub  similibus  circnmstantiis  pro- 
ducit,  atque  in  prime  libro  (§  49)  vidimus  pro  tali  lente  esse  spatium  diffusionis 


quod  quidem  iam  est  minimum,  quod  a  lente  ad  has  distantias  a  et  a  rolata 
cum  apertura,  cuius  semidiameter  est  x,  generari  potest.  Quo  autem  facilius 
hanc  comparationem  instituere  valeamus,  ponanms  utrinque  distantiam  obiocti 
a  esse  infinitam  atque  e  speculo  nascetur  spatium  diffusionis 


quod  autem  a  lente  nascitur,  erit 


ubi  n:l  denotat  rationem  refractionis,  ot  suinto  n  =«  1,55  hoc  spatium  inventum 

est   */—  079S8191  -*1- 
7        J  tc 

Undo  patot  a  spoculo  multo  ttiinorotn  (lijfTttBiozu^ai  oriri  qiuun  a  lontc^ 
quandoquidem  ilia  erit  arl  hanc  ii^(  *  :  0,{)«H81S)1  ,  hoc  est  propcunodum  tit 
1:7,505528  sou  ut  l-*?^;  quae  orgo  proportio  cum  proprio  in  Hpoculw  vol 
lentibus  obiectiviB  locum  haboat,  liino  praoaipua  cauna  innotoHcHi,  cur  np<«nila 
loco  Itmtium  obic^ctivarum  Hui)Btituta  multo  brtwiora  tohw-opia  nuppcdiiavorint, 
quandoquidem  ob  minoroni  confuBionem  tlisfcuitiam  ftnuiloia  minortnu  a<'cipore 
licet,  ad  quod  acoodit,  quod  in  hin  fceloHoopiiH  <*.alopirir.iH  ra<lii  in  Npwulum 
obiecti?ma  incidenteB  prime  ad  altorum  Bpomilum  rott<u*.fciintur,  inula  thmuo 
per  eandem  viain  revortnntur,  antoquam  par  lenteB  ocularon  fcninMourit,  ifca  ut 
distantia  amborum  speculorum  bis  nit  compuianda  sicquo  longiiudo  inatru- 
inenti  denuo  fere  acl  semissem  raducatur,  Hoc  ergo  commodum  apwrnla  pnuv 
starent  etiam  sine  tillo  respectu  ad  eorum  qualitatent  habito,  qua  radii  diver- 
sorum  colorum  a  retiexiona  non  disperguntur,  uti  fit  in  refractions.  Vorum 
tamen  hie  etiam  insigne  Bpeculorutn  incommodum  non  out  reticonduuiy  in  <«> 
consistens,  quod  speculum  etiam  maxima  politum  temper  multo  pancioraH 
radios  raflectet,  quam  per  lantern  eiuedem  magnitudiniA  transmittuntur.  Att]tto 
haec  causa  est,  quod  telescopia  catoptrica  plerumque  multo  minoreni  claritntiB 
gmdum  largiantur* 


DE  IMAGINEBUS  PER  SPECULA  SPHAEEIOA  FOEMATIS  113 

SCHOLION  2 

17.  Quemadmodum  hoc  postrenium  problema  resolvimus  atque  etiam 
diffusionem  imaginis  a  secundo  speculo  natam  definivimus,  ita  eadem  investi- 
gatio  ad  plura  specula  accommodari  posset,  nisi  ipsa  rei  natura  speculorum 
usum  ad  binarium  restringeret.  Quamobrem  coacti  sumus  radios  a  secundo 
speculo  reflexos  ad  lentes  vitreas  dirigere,  per  quas  demum  ad  oculum  propa- 
gentur,  atque  ob  hanc  ipsam  rationem  ipsum  speculum  obiectivum  circa  medium 
perforatum  esse  debet,  ut  radiis  a  secundo  speculo  reflexis  transitus  per  hoc 
foramen  concedatur,  ubi  simul  a  lentibus  excipiantur.  Quare,  cum  hactenus 
speculum  obiectivum  tanquam  integrum  simus  contemplati,  nunc  superest,  ut 
etiam  foraminis,  quo  illud  est  pertusum,  in  calculo  rationem  habeamus,  ubi 
simul  erit  disquirendum ,  quomodo  speculum  secunduin  respectu  huius  fora- 
minis  comparatum.  esse  debeat,  ne  scilicet  nirniani  radiorum  copiam  intercipiat 
ac  tamen  sufficiat  omnibus  radiis  a  primo  speculo  reflexis  excipiendis;  haecque 
ergo  momenta  in  sequenti  problemate  accuratius  perpendemus. 


PEOBLEMA  5 

18*  SH  in  telescopic  loco  lentis  obieetivae  adhibeatur  speculum  concavum 
PrtAnP  (Fig.  5,  p.  114)  in  medio  pertusum  foramine  nAn,  cuius  centrum  sit  in  axe 
A  /$,  in  quo  ad  distantiam  guasi  infinitam  oUectum  seu  punctum  lucidum  concipiatur, 
&&  guo  radii  axi  paralleli  in  istud  speculum  PnnP  incidant  indegue  refleaci  ad 
speculum  minus  super  eodem  axe  normaliter  positum  QBQ  dirigantur?  unde  porro 
ad  lentem  mtream  prope  foramen  nn  itidem  super  eodem  axe  normaliter  sitam 
reflectantur,  determinare  imagines  per  duplicem  refleocionem  formatas  earumque 
diffusionem. 

SOLUTIQ 

Sit  Bomidiameter  totius  speculi  obiectivi  AP*e**$  et  semidiameter  fora- 
minis  An***  ii)  radius  vero  curvaturae  speculi  ««/'  ideoque  distantia  focalis 
p  mm  *  f9  turn  vero  speculi  minoris  QB  Q  sit  distantia  focalis  —  #  et  distantia 
horam  speculoram  AB^k*  His  positis,  cum  obiectum  in  axe  AB  ad  distan- 
tiam inftnitam  remotum  concipiatur,  radii  inde  axi  parallel!  ad  speculum  ob- 
iectivum PP  pervenient;  qui  ergo  ut  totam  eius  superficiem  reflectentem  Pn 
quaqtaaversus  adimpleant^  speculum  QB  Q  mains  esse  non  debet  quam  foramen 

Opera,  omnia  I1U  Dioptrica  16 


114 


LIBEI  SECUNDI  APPENDIX     CAPUT  I     §  18 


[486—487 


nn  neque  etiam  id  minus  esse  conveniet,  quia  alioquin  radii  ab  obiecto  directe 
in  foramen  lentemque  ibi  sitam  ingrederentur  et  repraesentationem  inquinarent; 
ex  quo  intelligitur  semidiametrum  aperturae  huius  speculi  minoris  esse  clebere 


Fig,  5, 

£g*~sy  vol  saltern  eo  non  multo  inaiorem.  Quoniam  igitur  hie  distant! a. 
obiecti,  quae  supra  posita  est  «*  a,  nostro  casu  est  infinita,  si  radii  axi  proxhni 
in  speculum  incidere  possont,  iis  formaretur  imago  prmcipalis  in  F,  ita  ut 
esset  distantia  AF***a*=*jp.  Quia  autem  radii  axi  proxiuii  oxcludvintur,  nulla 
imago  principalis  formabitur,  Prima  ergo  imago  a  radlin  circa,  oram  (bra- 
minis  reflexis  formabitur  in  <T>,  ita  ut  sit  intervalluni  /<T</> :  ^  «;  »  <i»i»'  hie 
est  y,  quod  supra  orat  x,  et  distantia  obiecti  a  —  ess.  Imago  autom  oxtroma 
a  radiis  circa  oram  speculi  /}P  roftoxis  formotitr  in  puncto  f  erit<juo  int<n'- 
vallum  J&/—  ^  ;  quare,  cum  ipna  imago  principaliB  hie  deHit,  totum 
diffusionis  hie  tantum  erit 


Interim  tamen  haee  puncta  1/T,  0,  /*  inter  HO  tarn  orunt  propinqua,  ut  in  ntl- 
culo  pro  eodem  haberi  queant.  dun  ergo  omnos  radii  a  npoculo  niaioro 
reflexi  per  punctum  1?  transire  Hint  censendiy  ut  in  Hpeouluni  QttQ  hicidaut, 
eius  semidiameter  BQ  tanta  osse  debet,  ut  Bit 


unde  fit 


quae  eum  ipsi  y  debeat  ease  aequalis,  habebimua 

2,..  *--«.*     hincque     *- 


487—488]  DE  IMAGINIBIJS  PER  SPECULA  SPHAERICA  FORMATIS  H5 

Sin   autem   minus   speculum    intra   A  et  F  (Fig.  6)    esset   constitutum, 
reperiretur 

2=*..v-y     Mncque     *- 


X 


nil 

f- 

?tn 

,     *         B                  1 

UQ 

Fig.  6. 

quae  vero  expressio  in  superiori  contenta  est  censenda,  propterea  quod  radium 
foraminis  y  tarn  positive  quam  negative  capore  licet.  Cum  igitur  nnnc  pri- 
mae  imuginin  1?  distantia  a  speculo  secundo  sit  k  —  a=?J,  quam  supra 
vocavinms  =Z>,  ita  ut  sit  1=="^  ,  secunda  imago  a  speculo  QSQ  reflexa  cadet 


in  punctum  G9  ita  ut  sit  ##*»/?««  &f  ,  ita  ut  radii  a  speculo  QBQ 
rellexi  omnes  per  punctum  hoc  <?  trannire  sint  censendi,  siquidem  hie  ani- 
tnnm  a  diffusione  iraagmis  abstrahimuB.  Nunc  igitur  insuper  efficiendum  est, 
ut  isti  radii  onmes  in  ipsum  foramen  nAn  ingrediantur,  id  quod,  cum  sit 
j£f<y  —  .4tt,  eveniet,  si  modo  punctum  0  propius  versus  A  cadat  quam  versus 
B,  sen  debebit  esse  /?>  -A?»  Invenimus  vero 


'        fe—^      uy—qx  x 

ita  ut  nunc  esse  debeat 

#(«  +  #)         T       ..         ^  a 
.  >  ,  A*f  T..  .  ;      unde  ontur    #  > 

«3/  —  ff^  2#      *  ^      ^? 

ex  qua  ergo  formula  distantia  focalis  speculi  minoris  deftairi  poterit,  quae 
ergo  deterim&abitur  per  semidiametros  foraminis  et  ipsius  speculi  maioris 
una  cum  foeali  distantia  speculi  maioris  p  —  a;  sin  atitem  speculum  minus 
aonstituatur  mtea  1"  ©t  ^i,  iam  vidimus  fore  ^J9«&  —  2~il3y  et  cum  mmc 

15* 


116  LIBEI  SECTOTDI  APPENDIX     CAPUT  I     §  18-22 


sit  distantia  6--^,  distantia  BG-fl-^ffrf  q«ae  ut  maior  sit  quam 
-i-fc,  necesse  est  fiat  2>J$|E§;  unde,  si  x  sit  >  By,  debebit  esse  g  nega- 
tivum,  ita  ut  sit 

«^    Ky(x^j>>- 

1>~  x(x-  Sy)  ' 

at  si  esset  x  =  By,  capi  posset  #  =  oo  sicque  speculum  minus  fieret  plantim. 
Quod  denique  ad  diffusionem  imagmis  secundao  in  G  repraesentatae  attinet, 
ea  iterum  erit  quasi  truncata  sna  imagine  principal.!  ;  quod  si  littoris  G&g 
repraesentetur  ad  similitudincm  litterarum  F<Pf,  totum  spatium  diffuaionis 
tantum  erit  censendum  =  <&g,  cuius  quantitas  ex  formula  praecedentis  pro- 
blematis  reperietur,  si  loco  a?  scribatur  Xs—  ?/;  unde  ob  a  «*  eo  erit  hie 

__  ^  (^  -  y*)       (b  ±  ftp  -  W(<*-f) 
py~-l*       8a"  ~T~    ......  ""."""  8«2&/i  ' 

atque  nunc  radiorum  in  *  concurrontimn  obliquitas  ad  axom  erit.  ^~-  K(1  •;'/, 
obliquitas  vero  radiorum  in  #  =  a^  •  x. 

COKOLLAMUM  1 

19.    Si    ergo   minus   speculum    ultra  locum  imagrnis    F  collocotnr,   eiim 
distantia  a  primo  spoculo  dobot  osso 


a? 


ita    ut    sit    F  ft****?,    hocque    ergo    cami   dintaintia   /<  //   maior   wit,    qimm 
distantia  focalis  speculi  principal  IB;  tiun  VITU  huitw  Hoomuli  Kpoculi  diHti 
focalis  esse  debet 


COEOLL4EIUM  2 

20.  Hie  autem  manifesto  supponitur  punctum  <5  a  puncto  B  versus  /< 
cadere,  ifca  ut  distantia  ^  evadat  positiva;  si  enim  esset  q  >  &,  punctum  6* 
ad  alteram  partem  speculi  <?B^  eaderet  radiique  (}Q  product!  manifesto 
eitra  foramen  praetergrederentur*  Quare  hie  pro  q  alteram  limitem  probe 
observari  oportet,  ut  sit  q  <  b  awe  g  <  */,  turn  vero  atiam  f  >  y^fy 


489-490]  DE  IMAGIKEBUS  PER  SPECULA  SPHAEBICA  FORMATES  117 

COEOLLARIUM  3 

21.    Sin  autem  speculum  QBQ  intra  focum  F  collocetur,   oportebit  esse 

distantiam 

A  -n        a(%  —  y)  y 

A    H      ---         ::  __  _  *  '  '         •-  sv  _     J    .  /v 
JLA.  JLJ   -    "       "  -  t£  ~~~""  ~~         tv  . 

X  X 

ita  ut  sit 

FS  =  -^ 

X 

tantoque    intervallo    prima    imago    post    secundum    speculum    cadat    fiatque 
1)  =  —  ?$  ?  unde  deducitur  distantia 

X 

jB0-/9--^    ; 

<*y  +  qa> 

quae  distantia  semper  est  positiva  seu  versus  A  dirigitur,   nisi  forte  %  sit 
quantitas  negativa;  quae  cum  superare  debeat  ifc,  debet  esse 


«jy(o5  —  y)  +  j»(a? 
deberet  ergo  esse 

2a?y  >  #(#  —  y)     seu    y  >  -™a?. 

Quaro  si,  ut  semper  in  praxi  evenit,    sit  y  <  -y#,   huic   condition!  satisfleri 
nequit,  si  scilicet  alterum  speculum,  sit  concavum, 

OOBOLLABIUM  4 

22.    Hoc  ergo  casu  necesse  est,  ut  minus  speculum  sit  convexum  eius- 
que  distantia  focalis  negativa.    Statuatxir  ergo  gr«  —  q,    ut  fiat 
qui  valor  ob  &  —  —  a-  abit  in  hunc  : 

J.  #; 


qui  valor  ut  primo  sit  positivu8?  debet  ease 


dainde,  ut  flat  2/?  >  k,  debet  ease 


118  LIBRI  SEOUNDI  APPENDIX     OAPUT  I     §  22-23  [490-492 

ex  qua  fit 

(x  —  y}>x(x 


unde  pro  q  elicitur  alter  limes 

Q<5fl^Zl).      altero  existente     q>^-- 
1       x(x  —  3y)  '        a? 

COBOLLAEIUM  5 

23.  Sin  vero  praeter  consuetudmem  foramen  tantum  fiat,  ut  sit  Sy>x<, 
turn  speculo  minori  concavo  uti  licebit,  dummodo  eius  clistantia  focalis 
sit  #>£f3fZ^?  quemadmodum  ex  corollario  3  est  manifestxim,  atque  hoc 
casu,  quoniam  littera  q  nulla  alia  conditions  restringitur,  hoc*  speculum  adeo 
planum  fieri  potent. 

SOHOLION 

22.1)  Haoc  duo  specula  ita  hie  sumus  contornplati,  quomuclmodum  in 
telescopiis  GBEGOEIAKIS  usurpari  sclent,  atquo  hie  tantum  ad  obiocti  punct.uiu 
medium  in  axe  tubi  situui  Bpoctaviraus,  undo  radii  axl  paralloli  iii  Hpoouluni 
principale  incidant;  altcrum  voro  speculum  ita  hiHtrnximuB,  ut  ornticis  ra<liu« 
a  priori  reflexes  rocipiat  eosquo  porro  in  foramtm  proilciai  (lum  autom 
etiam  parten  obiecti  extra  ax  em  »itao  visui  off  err  i  dobeant,  quoniam  itide 
radii  sub  aliqua  exigua  obliquitate  in  speculum  incidunt,  tubum,  in  <juo  haoc 
duo  specula  inseruntur,  aliquantillutn  divorgentom  confici  oportorofe  vol,  quod 
eodem  redit,  tubum  aliquanto  ampliorem  offici  convcmiot  (ptarn  oai»  <!iam6ter 
speculi;  deinde  ob  eandetu  rationom  otiani  Hpeculuin  minuH  ultra  limi^w  ipni 
assignatoB  extendi  doberet,  ut  otiain  iston  radion  obltquon  pont*  rofloxiou^tu 
recipere  posset;  sod  quoniam  parum  iaterewt,  Bivc^  oxtiT*mitates  obiecti  pari 
lumine  conspiciantur  atque  eius  medium,  sive  niinore,  hae  ani]>liticationo 
facile  eo  magis  carero  pofcerimus,  quod  tota  haac  obliquitas  non  ultra  aliquot 
minuta  in  magnis  praesorthn  multiplicationibus  excreBcat.  Longs  aliter  autem 
se  habitura  asset  huiu«  rei  tractatio,  si  etiam  specula  acl  uxcm  instrumaiiti 
oblique  posita  in  usum  vocarentur,  quemadmodum  in  ipso  huius  mvantionin 
principio  a  NBUTONO  est  factum;  sad  quia  reflexio  radiorum  oblique  inciden* 
tium  haud  exiguam  gignit  confusioneni,  hoc  argumentum  hie  noutiquam 
attingimus, 

1)  In  ©cUtione  prinoip©  loco  numerorum  84  at  qui  saqtiuntur  fako  numtri  93  «i  qui  saquuntttr 
scripti  suat,     Falioi  paragrapborum  numeros  retinendoa  MI©  putavimus.  E.  Oh. 


CAPUT  II 

DE  COMPUTO  OONPUSIONIS 

DUM  PRAETER  LENTES  ETIAM  SPECULA 

AD  INSTRUMENTA  DIOPTRICA  COOTICIENDA 

ADHIBENTUR 

PKOBLEMA  1 

28.  Si  loco  primae  et  secundae  Icntis  specula  usurpentur,  invenire  formulas, 
quae  ob  Jiaec  duo  specula  in  expressionem  supra  in  Libro  I  inventam,  qua  scilicet 
semidiameter  confusionis  est  inventa,  introduci  in  calculum  debent. 

SOLUTIO 
In  primo  libro  (§  91)  ostendinius  a  duabus  lentibus  oriri  spatiura  diffusionis 


quae  expressio  ponendo  a 
abit  in  hanc: 


J56,  turn  vero  etiam 

b     /  lf 
i  -h 


atqtie  si  Me  porro,  uti  dainceps  in  tractatu  de  telescopiis  fecimus,  ponamus 
?~mm,mm  —  p9  ista  expressio  induofc  hanc  formam; 


12() 


LIBRI  SECUNDI  APPENDIX     CAPUT  II     §  23-27  [494-495 


Si  nunc  loco  duarum  harum  lentium  duo  substituantur  specula,  ad  quae 
litterae  a,  a,  I,  {3  cum  x  similiter  sint  relatae,  in  problemate  4  capitis  prae- 
cedentis  (§  15)  invenimus  fore  spatium  diffusionis 

^     (a  +  «)  (a  ~  «)  V;    , 
"""~      " 


quae  forma  posito  «  =  Aa,  /?  =  Bl)  et   J  =  —  1>  induet  hanc  formam: 

/(I  +  A}  (1  -  ^)2  _  (1  +  If)  (I  - 

.  ..... 


ex  qua  cum.  superior!  collata  cognoscimus,   si   loco  primae  lentis   speculum 
substituatur,  turn  in  compute  co'nfusionis  loco  formulae 

W 


8       A 
scribi  clebero  lianc: 


ac  si  etiam  loco  lentis   secundae  speculum,   substituatur,  turn  simili   inodo 

loco  formulae 

/  T         v  \ 
'"'UV"1"  IW 

scribi  debere  hanc: 


8  //!1 


ac    si   circumstantiao    permitterent,    ut   etiaiu    loco    tertiao   lenfciw   spocuhun 
simile  substitueretur,  turn  in  compute  confusionis  loco  formulae 


scribi  deberet  haec  formula; 


unde  satis   superqua   intelligitur,   quomodo  ,quantitaa   cowfuBioni»    t&Btimari 
debeat,  quando  loco  lentium  specula  adhibantur* 


495-496]    DE  OOMPUTO  OOHTUSIONIS  DUM  LENTES  ET  SPECULA  ADHIBENTUR    121 

COBOLLABIUM  1 

24.  Quatenus  autem  speculum  obiectivum  forarnine  est  pertusum,  cuius 
radius  =  y,  eatenus  in  factore  communi  loco  x?  scribi  oportet  x*  —  ?/2,  ita 
ut  iam  expressio  pro  spatio  diffusionis  inventa  futura  sit 


/(i+^)(i-^)2  _  (i+I?Ki~-B)2\ 
\  8  A*  SA*B*P       /' 


ubi  notandum  est  formulam  %2  —  y2  proportionalem  esse  superficiei  reflectenti 
in  primo  speculo,  prorsus  uti  x*  proportionate  erat  superficiei  refringenti 
lentis  obiectivae. 

COROLLAEITJM  2 

25.  Atque  haec  formula  oc?—y2  etiam  extenditur  ad  omnes  lentes  se- 
quentes,  quotquot  binis  speculis  insuper  adiunguntur;  ita,  ex.  gr.?  si  duae 
lentes  praeter  specula  adMbeantur,  to  turn  spatiurn  diffusionis  li  ita  exprimitur: 


a 


/  /I  ff  \ 

I  /*  (I        ,         V    \ ft 

"•"  A'IPPQ \<S8'  "^  0(£  /       2s «8 G'fPQS  V '£>» 


unde   patet,    quid   propter   specula   in   nostris  formulis  generalibtis  immtitari 
dobeat. 

OOEOLLAEIUM  3 

26.  Cum  autem  nostra  specula  tantum  ad  telescopia  aceommodari 
queant,  ubi  est  a—  •  ess,  ,4  —  0  et  ^(a-=a»=>^,  ex  formulis  vinculo  inclusis 
denominator  A*  in  factorem  communem  transfertur  sicque  pro  spatio  diflfu- 
sionis  a  binis  speculis  et  duabus  lentibus  orto  kabebitur  haec  expressio: 


M 
C/<5/ 


SOHOLION  1 

rt 

27,   Quoniam  autem   pro   secundo    speculo    tarn   littera    J?-*-|-    quam 
.<*. 


p  «  —  .<*.  non  amplius  ab  wbitrio  nostro  peBdet,  sad  earum  valores  iam  ante 


Opera  omnia  HI  4  Dioptrica  16 


122 


LIBBI  SECUNDI  APPENDIX     OAPUT  II     §  27 


[496-498 


sunt  definiti,  videamus,  quoruodo  isti  valores  in  computum  sint  introducendi, 
atque  hie  duos  casus  evolvi  conveniet,  prouti  minus  speculum  sive  ultra 
focum  speculi  principalis  constituitur,  sive  citra.  Quod  quo  ad  nostras 
formas  succinctius  exprimi  possit,  ponamus  in  genere  y  =  sx,  ita  ut  sit 
#2_  y2=  (l  —  £*)#*,  ubi  scilicet  e  denotat  fractionem  foraminis  magnitudinem 
definientem. 

I.  Primo  igitur,  quando  distantia  minoris  speculi  AS  maior  est  qmtm 
distantia  focalis  p  (Fig.  5,  pag,  114),  turn  vidimus  (§  19)  esse  hanc  distantiam 
AS  seu  primum  intervallum  =  (1  +  s)a  —  (1  +  «)#;  quod  cum  per  formulas 
nostras  generates  sit  =  Aa(l  -A)=^(l  —  ^  ,  erit  -,-  —  —  *.  Deinde  vero 
etiam  vidimus  esse  b  =  $p  et  porro,  si  distantia  focalis  minoris  speculi 
ponatur  =  q,  erit  ft  =  ^-  hincque 


"^/5  (illil)UH  valoribus 


At  vero  pro  q  hos  declimus  limites:   g  <  $p  ^  ff^* 
substitutis  spatium  illud  diffusionis  li  ita  exprimofcur; 


JT  ^ 


II.  Sin  auttm  distantia  wocundi  spoouli  yJJ^  minor  fuorit  quuin  •}> 
(Fig.  0,  pag.  115),  turn  primo  orit  haoc  ipHa  distantia  •«  (I  •-•  <;)jp;  tjuao  cutn 
sit  —  jp(l—  i-),  erit  p  •«=  a.  Deitido  erit  distuntia  A=»  --«p,  ci  quia  attcuudutu 
speculum  debet  esse  convoxura,  poaito  q  —  ~~  q  Het 


/?. 
' 


-I 

- 


verum  pro  q  hos  dedimus  limites:  q>«|>  et  q<"jl£;g</;   quibus   valoribuH 
substitutis  spatium  illud  diftusionis  ita  exprimetur: 


8q» 


498—499]    DE  COMPUTO  CONFUSIONIS  DUM  LENTES  ET  SPECULA  ADHIBENTUE     123 

Quodsi  lens  in  ipso  foramine  speculi  obiectivi  constituatur,  turn  insuper 
datur  intervallum  secundum,  primo  quippe  aequale,  ac  primo  quidem  casu 
erit  =(l  +  e)#-  Quod  cum  per  formulas  gen&rales  sit 


Q 
hinc  reperitur 

I  _  i  _ 

"« 
seu 

_1    _(2£  + 
Q 

hincque 


ubi  notandum  est  Q  fieri  non  posse  positivum   nisi  q  contineattir  intra  hos 

limites  : 

c(i  +  s}p        ,        ^    «(i  4-s)p 

*<    i+V.      et    2>    iTsf  ' 

Haec  scilicet  valent  pro  casu  priore;  pro  casu  vero  posteriore  reperitur 

1        fi(l— 

3S?"  ' 

Q 
et 

1         (2s  — 


ubi  pariter  notetur  Q  fieri  negativum,  si  q  capiatur  intra  hos  limites: 

„>•£:#     et    q<5t-3f- 

at  vero  Q  fieri  positivum,  si  capiatur  intra  hos  limites: 

q  <•'•£--']*     et     q>8^. 

JL   *^™^  d»  <J 

SCHOLIQN  2 

27.  x)   Quae  hie  attulimus,  ad  spatia  diffusionis  ex  speculis  et  lentibus 
quotcunque  ortae  pertinent     Oonclusio  yero,  qnae  in  superiors  libro  hinc  ad 

1)  Ntimerus  falius  ©ditionls  prbxoipia}  vide  notam  p»  118.         B.  Oh* 

16* 


124  LIBBI  SECUKDI  APPENDIX     CAPUT  II     §  27-28  [499-500 

semidiametrum  confusionis  ipsam  determinandam  est  deducta,  etiam  hie 
quandam  mutationem  patitur.  Quoniam  enim  semidiametrum  confusionis  ex 
ultimae  imaginis  diffusione  conclusimus,  notandum  est  etiam  hoc  ultimum 
spatium  diffusionis  sua  imagine  principali  fore  truncatum.  Quoniam  enim.  a 
primo  speculo  nulla  gignitur  imago  principalis  ob  defectum  radioruiu  axi 
proximorum,  etiam  sequentia  spatia  diffusioniB,  quotcunque  fuerint  lentes, 
imagine  principali  destituentur ;  unde  cum  horum  spatiorum  ultimum  minus 
sit  propter  ipsam  hanc  mutilationem,  inde  etiam  minor  confusio  in  oculo 
orietur,  quam  ob  causam  etiam  semidiameter  confusionis,  prouti  earn  in  prime 
libro  definivimus,  minorem  valorem  adipiscetur;  quam  investigationem  sequent! 
problemate  suscipiemus. 


PEOBLBMA  2 

28.  Data  ultima  imagine  diffusa,  guae  tam  per  bina  s$c,ci<la  guom  omnes 
lentes  sequentes  formatur,  invenire  confusionem  in  ipso  wuk  inde  oriwidam,  qua 
scilicet  msio  immediate  afficitur* 

SOLUTIO 

Repraesentet  LM  ultimum  spatimn  diff'usionis  tarn  pc^r  npccula  (juain  oninon 
sequentes  lentes  fownatum,  quippo  quod  oat  obiocturn  hnniodiatum  visionm, 


Fig.  7, 

unde  radii  immediate  in  oculura  ingrediuntur;  in  quo  npatio  punctum  L 
denotet  locum  imaginis  principalis,  ubi  radii  axi  proximi  concurrercmt,  ni 
speculum  obiectivum  asset  integrum;  ob  foramen  autem  hums  speculi  ista 
imago  principalis  plane  deerit  ©t  imago  diffusa  demum  in  puncto  A  incipiet, 
ubi  radii  circa  orain  foraminis  refiexi  at  per  omnes  lentes  tranimissi  concur* 
runt,  alter  vero  terminus  sit  in  l>  ubi  radii  ab  eatremitate  speculi  obiecfcivi 
reflexi  ac  per  lentas  transmissi  umuntur.  Quod  mine  primo  ad  magnitadmem 
huius  spatii  M  attinet^  supra  vidimus  id  esse  proportionale  formulae  a^~j^ 


500—502]    DE  COMPUTO  CONFUSIONIS  BUM  LENTES  ET  SPECULA  ADHIBENTUR    125 
sive  posito  y  =  sx  huic  (1  —  ee)xx,  unde  statuamus  hoc  spatimn: 


Deinde  radiorum  in  termino  A  cum  axe  concurrentium  obliquitas,  quam  supra 
ipsi  y  proportionalem  esse  vidimus,  ponatur  =  %$y  =  e%$x;  obliquitas  vero 
radiorum  extremorum  in  puncto  I  concurrentium  erit  =  SJ#,  ubi  litterae  V 
et  33  eosdem  valores  habent,  quos  in  primo  libro  (§  165)  assignavimus. 

His  praemissis  quaeramus  eum  oculi  locum,  unde  haec  imago  diffusa 
minima  cum  confusione  conspiciatur.  Hunc  in  finem  concipiamus  punctum 
quoddam  medium  in  imagine  £,  a  quo  oculus  ad  distantiam  suam  iustam 
=  £  sit  remotus,  ita  ut  sit  £0  =  Z  radiique  ex  hoc  puncto  £  emissi  praecise 
in  puncto  retinae  V  congregentur.  Hinc  ergo  puncta  cis  et  ultra  hoc  punc- 
tum £  vel  A  vel  I  versus  sita  non  in  ipsa  retina  V,  sed  vel  post  earn  in  tf 
vel  ante  earn  in  v  repraesentabuntur  radiique  in  his  punctis  se  decussantes 
in  ipsa  retina  circellos  sive  maiores  sive  minores  referent;  atque  nunc  totum 
negotium  hue  reducitur,  ut  hi  circelli  quam  minimi  evadant,  quia  hoc  modo 
in  oculo  minima  confusio  producetur.  Primuin  igitur  videndum  est,  quanti 
huiusmodi  circelli  a  punctis  intra  £  et  A  sitis  in  retina  oriantur  et  quinam 
eorum  futurus  sit  m  axioms;  quoniam  enim  hi  circelli  partim  a  distantia  a 
puncto  £,  partim  a  radiorum  obliquitate  pendent,  quae  a  A  versus  £  pro- 
grediendo  continue  crescit,  facile  mtelligitnr  ex  puncto  quodam  medio,  puta  co, 
maximum  circollum  oriri,  quandoquidem  tarn  ex  ipso  puncto  Ly  ubi  obliquitas 
est  nulla,  quam  ex  puncto  £  nullus  tails  circellus  oriretur,  Deinde  a  £  ad  I 
regrediendo  continue  maiores  huiusmodi  circelli  orirentur,  ita  ut  radii  ex 
ipso  puncto  I  emissi  ab  hac  parte  maximum  circellum  gignant;  ex  quo  mam- 
festum  esty  si  punctum  £  ita  fuerit  assumtum,  ut  maximi  modo  dicti  circelli 
ex  punctis  co  et  /  orti  flant  inter  so  aequales,  turn  confusionem  in  ipsa 
visione  natam  omnium  fore  mimmam.  Si  enim  punctum  £  propius  ad  co 
moveretur,  turn  circellus  quidem  ab  hac  parte  ortuB  floret  minor^  alter  vero 
ex  puncto  I  ortus  tanto  maior  evaderot;  atque  contrarium  eveniret,  si  punc- 
tum £  propius  versus  I  caperetur.  Ut  igitur  nunc  tarn  locum  puncti  £  quam 
ei  respondents  puncti  ct»  investigemus,  totum  spatium  LI,  etsi  id  nostro 
casu  parte  Lh  est  truncatum,  in  computum  ducamus  ponamusque  brevitatis 
gratia  Ll~*f  eritque  ex  principiis  supra  expositis 


f  *»*¥%*    et    Ll—Vtf—f 


126  LIBBI  SECUNDI  APPENDIX     CAPUT  II     §  28-29  [502-503 

unde  fit,  uti  initio  commemoravimus, 


Praeterea  yero  vocemus  spatia  .££  =  £  et  LCD  =  at,  et  quia  radii  ex  hoc 
puncto  (o  egressi  super  retina  maximum  circellum  producere  ponuntur,  ad 
hunc  inveniendum  obliquitatem  radiorum  in  puncto  lioc  w  nosse  oportet. 
Quia  autem  obliquitas  in  L  est  nulla,  in  I  vero  —  %$x  et  in  A  =  e$8$,  ovideua 
est  obliquitatem  crescere  in  ratione  subduplicata  distantiae  a  puncto  L;  unde 

obliquitas  radiorum  in  a?  erit  =  $#|/y« 

Radii  igitur  ex  o>  egressi  concurrent  post  oculum  in  puncto  v,  ita  ut 
sit  per  principia  supra  satis  stabilita  Fv  «=  u^  •  £o>  denotante  u  profunditatem 
oculi  0V.  JRadiorum  autern  in  hoc  puncto  v  concurrentium  oblicjuitas  ex 
iisdem  principiis  erit 


ex  quibus  duobus  momentis  concluditur  circelli  in  retina  depicti  radiiiH 


ass      .     •  L,  (0  "   KJ  ^    I/       /.  > 
4  f       / 

et  quia  est  £to««£  —  o>,  erit  radius  istius  circelli 

/'"' 

qui  ergo  at  maximus  evadat,  spatiuin  <w  ita  anftumi  oportot,  ut  fiat 
(^ — co)  I/a;  —  maxima,  quod  evenit  sumondo  a>  ««  3  ^;  quocirca  tmtxinii  huiun 
circelli  erit  radius 


Nunc  vero  ex  altera  parte  radii  ax  altero  puncto  I  in  oculum  incidents 
considerentur,  qui  ante  retinam  in  puncto  v  colligentur  nxiBtonto  Rpatio 
Vvmm*£*%lmm  u^ (f  —  Q  ibique  radiorum  obliquites  arit  —  ^  1Bxi  undo  circelli 
super  retina  depicti  radius  erit  «**(/—  Q$B$,  qui  consequenter  radio  priorii 
circelli  invent!  aequalis  statui  debet;  ex  quo  obtmabitur  haec  aequatio: 


503—504]    DE  COMPUTO  COKPUSIONIS  BUM  LENTES  ET  SPECULA  ADHIBENTUR    127 
ex  qua  intervallum  £  definiri  oportet.     Sumtis  autem  quadratis  habebimus 


sve 


quam  perpendenti  mox  patebit  divisibilem  esse  per  f—  -~£;  divisione  autem 
facta  prodit 


quae  denuo  per  f—\t,  divisa  praebet 


quia  vero  bini   priores  factores   hie  locum  habere  nequeunt,   quia  absurdutn 
foret  esse  £  =  Bf,  ultimus  factor  nobis  verum  praebet  intervallum 


ita  ut  sit  l£****£f  et  Lot  «*  co  ««  i/*;  his  valoribus  inventis  circelli  minimi  in 
oculo  desoripti  radius  erit  —^/"SBo?,   et  cum   sit   f**=*Vx*,    erit  iste  radius 

—  ^  KSBsrA    lam  vero  si  in  coelo  circulum  conspiceremus,   cuius  radius  ap- 
parens   •-  <l>?   eius  imago   super   retina   etiam    esset    circulus,   cuius   radius 

—  u<&i  hoc  ergo  circulo  illi  aequali  posito  fit  <!>«»  -^  *-  et  singula  imaginis 
nostrae   puncta  ab   oculo   cernentur    tanquam    maculae    circulares,    quarum 
semidiameter  apparens  sit  —  ~p»  quam 

nominavimus  semidiametrum  confusionis. 


semidiameter  apparens  sit  —  ~p»  quam  expressionem  supra  [Lib.  I,  §193,194] 


OOEOLLARIUM  1 

29,  In  hac  solutione  assumsimus  punctum  w  intra  A  et  I  cadere;  si 
enim  termino  L  propius  esset  quam  punctum  A,  quoniam  imago  tantum 
per  spatium  LI  est  dijSFusa,  istud  punctum  w  prorsus  non  in  compufram 
venire  posset,  sed  maximus  circellus  in  oculo  ex  hac  parte  ab  ipso  puncto  A 
oriretur;  atque  pro  hoc  casu  peculiaris  solutio  requiretur,  quam  mox  sumus 
daturi, 


128  LIBRE  SEOUNDI  APPENDIX     CAPUT  II     §  30-33  [504-506 

COROLLARITJM  2 

30.  Cum    autem    sit    La>  =  y££  =  ^Ll,    pro    termino    autem    A    sit 
Lh  =  s8-Ll,  punctum  CD  intra  terminos  I  et  A  cadet,  quoties  fuerit  La)>Lh 
ideoque  quoties  fuerit  s  <  y,  quamobrem,  quia  in  praxi  a  semper  assumitur 
<Y?  solutio  problematis  ad  praxin  utique  est  accommodata. 

COROLLARIUM  3 

31.  Quoties   igitur  fuerit   s<  *-,  turn  certo  affirmare  licet  ob  foramen, 
quo  speculum  est  pertusum,   confusionem  nullo  modo  imminui.,   sed  semper 
tantam  esse,   ac  si  speculum   asset  integrum   totaque   sua   superficie   radio** 
reflecteret,   ideoque  aequatio  genaralis   supra  inventa  pro  somidiamotro   con- 
fusionis   etiam  pro   speculis  valobit,  si  modo,   ut  supra  Jam  invenimuH,   loco 
formularum  ad  lentes  pertinentium  formulae  ibi  assignatae  §  23  *)  substituantur. 

COEOLLAEIUM  4 

32.  Atque   Mnc    etiam    eognoscimus,    si  teloscopium   ex  merin  lontihun 
constet,  confusionem  neutiquam  diminui,  etiamwi  Ions  o))ioctiva  circa  medium 
obtegatur,  quemadmodura  noninilli  auctoros  Htuuscrunt,  nod  optimum  remedium 
confusionem  diminuendi  corto  in  hoc  con«tat,  ut  lenn  obiocfciva  circa  niargluoiu 
obtegatur,   quippe   quo   pacto   ipsa  Homidiamotor  aporturao  ^   diminuitur   ot 
confusio  adeo  in  rationo  triplicata  minor  rodditur,   cum  o  contrario,   HI   U^nn 
circa  medium  obtogorotur,  ne  minima  quitlem  confuHioniH  <Uiuitintio  Hifc  t*x- 
spectanda,  nisi  forte  parti  obtecta  sotnisHOtu  totiun  lantin  nuporot,   quo  pacto 
autem  claritas  nimium  diminueretur* 

SCHOLION  1 

33.  Sin  autem  sernidiameter  foraminis    y  «•  a$    semissewi    totiuB  apw- 
turae  #  superet,   ita  ut  punctum  c/>  inter  L  et  A  cadat,  probloma  nostrum 
aliam  solutionem  postulat    Cum  enim  nunc  ex  parte  ^  inaximus  circaliuH 
in  oculo    ab  ipso    puncto  A    oriatur  sitqua   LX  —  aa/'  ob    !/!«/*    hincquo 
spatium  ^A  — 5"  —  ssf9   spatiolum  post  oculum  fiat  Fv  — ^(f—-  %nf)   ibique 


1)  Pag,  119,    ¥ide  notam  p*  118,         B.  Ob. 


506—507]    DE  COMPUTO  CONFUSIOOTS  DUM  LENTES  ET  SPECULA  ADHIBENTUR    129 


radiorum  obliquitas  =  --£$#,  circelli  hinc  super  retina  format!  erit  radius 
==y£(£  —  8sf)%$x.  At  ex  altera  parte  a  termino  I  nascitur  in  retina  cir- 
cellus,  cuius  radius  =  y(/'—  £)$#;  qui  duo  radii  ob  rationes  ante  allegatas 
inter  se  aequales  sunt  statuendi,  ex  quo  consequiraur 

/•-£-fi£-fiV 
Mncque 

t-fSL+p-n-.  +  f).. 

hinc  ergo  erit 

f-t-e(l-e)f 

sicque  semidianaeter  circellorum  in  retina  erit 


Oonsequenter  hoc  casu,  quo  a>  *  ,  semidiameter  confusionis  erit  =fi^^" 
quae  casu  praecedente,  quo  e<^9   6rat  =  ti"®**    quamdiu  ergo  est 


»- 


semper  valet  formula  4?  -as3,  quao  etiamnum  locum  habet?  si  s  ==  ^  ;  verum 
statim  ac  jfit  a  >  6^;  turn  demurn  confusio  diminui  incipit  atque  tandem 
prorsus  evanescit,  si  fiat  «  ««  1.  Qxzia  autem  claritas  quoque  diminuitur  et 
tandem  evanescit,  hinc  nullum  .plane  lucrum  in  praxin  redundare  potest; 
siquis  enim  adhuc  dizbitet?  utrum  loco  lentis  solidae,  cuius  radius  sit  $,  non 
adhiberi  possit  limbus  vitreus  paris  superficial,  cuius  radius  exterior  sit  »»  q 
et  interior  —  ##,  ita  ut  sit  jp2—  j9(l  —  ss)  atque  confusio  istius  limbi  minor 
evadat,  hoc  dubium  nunc  facile  erit  resolvere;  a  lente  enim  solida  nascetur 
confusio  ut  4jp8,  ex  lirnbo  autem  ut  a(l  —  $)g*i  unde  ob  #  —  #]/(!  —  «e) 
erit  confusio  ex  lente  solida  nata  ad  confusionem  ex  limbo  oriundam  uti 
(1  +  a;  1/(1  —  a  a)  :  4a  ;  quare,  cum  sit  per  hypothesin  s>  ^  (quia  altero  casu 
a  <  ^  ne  dubium  quidem  exsistere  potest),  posterius  membrum  4a  manifesto 
erit  maius  quam  2;  at  quia  simul  *  <  1,  erit  1  +  a  <2  ideoque  multo  magis 
(1  +  $)V(1  —  se)  <  2,  ex  quo  perspicuum  est  prius  membrum  semper  esse 
mnlto  miaus  posteriore  sive  confosionem  limbi  multum  excedere  confusionem 
lentis  solidae. 

Opem  omiifa  III4  Dioptries  17 


130  LIBRI  SEOUNDI  APPENDIX     CAPUT  II     §  34-35  [507-508 


SCHOLION  2 

34.  Cum  autem  pro  usu  practice  tuto  sumere  queamus  «  <  2  ,  quo 
casu  speculum  obiectivum  perforatum  aeque  magnarn  gignit  confusionem,  ac 
si  esset  integruru,  si  in  formula  general!  supra  pro  telescopiis  exhibita,  qua 
semidiameter  confusionis  exprimitur,  loco  duarum  priorum  lentium  nostra 
specula  introducamus,  aequatio  hinc  nata  sequent!  moclo  se  habebit: 

l  (i  - 

j  .     p    /  r  .    v  \          ii      /r"  .    v  \  ,    , 

^.     ^     f       j-  -  -  .  j  —    ^     ^     ,   i   -  8  -(-     _  )  -~|-  etc, 


ubi  notari  convenit,  si  forte  lentos  post  specula  adhibitao  ox  vario  vitro  con- 
ficiantur,  turn  pro  qnalibet  lento  litteras  p  (rt>  v  ox  oo  vitri  generic  Buuii 
clebere?  ex  quo  Ions  fuerit  fiu*fea. 

Eeliqua  autem  praocopfca  general ia  pro  txmstrurtione  {'(^(ssr.opiorutn  luillam 
mutationem  ob  spooul.it  requirent,  i^xceptis  iis  tantum  formal  is,  quibuB  t.am 
margo  coloratus  tollitur,  quaui  onnriB  confuHio  a  divorna  radiorum  refrangibili- 
tate  oriunda  ad  mhihrm  rodigitur.  Cum  onim  iti  haw  ibrniulan  \\ 
pro  singulis  lentibuB  Httoras  N}  N\  JV",  A?w  otc,.,  quao  littorao 
sunt  sumtae  ibniiulin  difforontialil)us  0\,  (>n .  ot.c.,  wi  loco  duarum  priorum 
lentium  Bpocnla  substitmmtur,  ob  deibctiun  nifract»ioniH  iHi.ao  bhuto  lU,i,ora-o 
prioren  N  ot  JV'  nihilo  aequaloB  suut  ceuBcmdao;  quo  ol)H<»rvato  omnibuH  iilin 
fonnulis  gctnwalibuw  pro  Hpcculin  porhulo  uti  poterimuB,  uAt\\M  in  Bocuudo 
libro  est  factum,  diunmodo,  quao  circa  <listnntiaH  fo<5al(^  Hpoculorum  c^t  cirra 
duo  intervalla  ]>riora  in  capita  praocedeuta  nunt  allatai,  prolrn  obnorvowtur. 

SCHOLION  3 

35.  Telescopia  autem  catadioptricu  btiiua  generiB  Bponte  a<l  duo  genera 
prlncipalia  revocantur,  Riquidom  supra  vidimus  Beetmdum  Hpoculum  vol  ultra 
focum  primi  conBtitui  poa^a  vel  intra  eumf  att}ue  priori  casn  Bocunclum 
speculum  fore  concavum,  altero  voro  convexunu  Deinde  cum  pro  priori 
hos  limites  pro  secundi  speculi  diBtantia  focali  q  inveneriinas 


509—510]    DE  COMPUTO  CONFUSIONES  BUM  LENTES  ET  SPECULA  ADHIBENTUE    131 

existente  primo  intervallo  =  (1  +  s)p,  cui  secundum  debet  esse  aequale,  turn 
vero 

&  =  en   et   -—  ==  ~  ^  —  =  B, 

*          I       b  —  q 

quo  hoc  prius  genus  debite  evolvamus,  tres  casus  constitui  conveniet:  primo 
scilicet  sumamus  q  =  ep,  secundo  q=~Q^*^p  et  tertio  2  =  ^—}"?^.  Pro 
altero  vero  genere  secundum  speculum  intra  focum  prioris  collocabatur,  ita 
ut  esset 


ibique  cum.  distantia  focalis  q  hoc  casu  evadat  negativa,  posito  q  —  —  q   hos 
ibidem  dedimus  limites: 

q>«jp    et   q<^£^, 

unde  iterum  tres  casus  evolvamus:  primo  scilicet  sumamus  </  =  —  ep,  secundo 

""  >  ""  ' 


casu  er^  intervallum  pri- 
mum  ««  (1  —  s).p,   cui  etiam  secundum.  aequale  esse  debet. 

Ceterum  in  priori  genere  erat  ^  ««  —  «,   ita  ut  in  primo  statim  inter- 

vallo reporiatur  imago  roalis;  in  altero  vero  genere  erat  p  =«  i?,  ita  ut  in 
primo  intervallo  nulla  occurrat  imago  realis;  praotoroa  vero,  uti,  inm  xuonuimus, 
sumiintis  hie  semper  s  <  a  ,  undo  postrcmus  aclhuc  casuB  coiiBiderari  mere- 
bitur,  quo  scilicet  sit  a  —  •  J  ,  quoniam  turn  secundum  speculum  planum  ac- 
cipere  licebit;  quocirca  secundum  hos  sop  tern  casus  haec  telescopia  cata- 
dioptrica  sumus  pertractaturi. 


17* 


OAPUT  III 

DE  TELESCOPES  CATADIOPTRICIS 
MENOKB  SPECULO  CONCAVO  INSTRUCTS 

PROBLEMA  1 

36-  Si  ante  speculum  prindpak  PP  (Fig,  8)  foramina  nn  yertumn  ad 
distantiam  J.J3  =  (1  +  e)jjp  constituatur  minus  speculum  concaww,  QJ>Q,  cams 
distantia  focalis  (t*^ep,  ciefinire  Unas  kntes  0  et  D,  if  a  ut  quaevis  ohiecta 
distincte  repraesententur. 

SOLITTIO 

Hie  denotat  p  distantiam  focalem  malorlB  apeculi,  CIUUH  nemidiamet^r 
J.P  M  $  eiusque  foraminis  An  «  y  »»-  fu?,  ita  tit  radius  curvaturae  huius 


Pig,  «. 

speculi  «2jp*  Obiectorum  igitur  imago  principalis  ab  hoc  speculo  repraesen** 
tabitur  IE  F,  ut  sit  AF"*a~*p,  cuius  ergo  distantia  a  rninore  spacttlo  debat 
ease,  uti  ajite  est  ostensum,  J?J?  —  ^jpf  et  semidiameter  huiu^  speculi 
J5  ^  „  ^  mm  e^  Gum  igitur  distantia  focalis  hums  upeculi  sit  —  f  —  0$  —  JP*J5» 
radii  Mno  reflezi  inter  se  fie&t  paraleli^  donee  in  lentem  (/  mcidMit;  pro 


512-513]     DE  TELESCOPIES  CATADIOPTEICIS  SPECULO  CONCAVO  INSTKUCTIS     133 


formulis  ergo  nostris  generalibus  erit  -p  =  —  «  et  FJ3  =  b  =  ep,  unde  utique 
ob    P  =  —  y    fit    P=  —  -i-      Deinde,    cum    fiat    ft  =  ^-  =  <™    hincque 

/>  * 

J5  =  y—  CND,  iam  quia  intervallum  secundum  in  genere  est 


hocque  primo  intervallo  aequale  est  ponendum,  flet  Q  =  1,  sed  ita  tamen,  ut 
sit  S(l  —  1)  =  -  Y  -  ;  per  formulas  autem  generates  hoc  secundum  intervallum 

=  /?  +  o  =  (1  +  e)p  ;  unde  ob  /?  =  oo  fit 

c  =  (l-f  €)jp  _/:?  =  _  CSD    ideoque    <7=£=0    et    (£  —  0. 
Quare  posita  lentis  in  foramine  constitutae  distantia  focali  =  r  erit 


unde,  cum  sit  J5  «=  C\D  et  S  =  0,  vicissim  colligitur 


atquo  hinc  pro  quarta  lente  8  DM  habebimus  distantiam  focalem  5««  —  ^ 
et  intervallum  6yD  ™  r  (l  —  j^)  .  Ut  ergo  postrema  lens  fiat  convexa,  lit- 
tera  J2  debet  esse  negativa  sive  in  intervallum  CD  incidit  imago  realis 
m  puncto  H  atque  ex  data  multiplicatione  m  formulae  generales  prae- 
bent  PQXt  «•  m,  quondam  ob  binas  imagines  reales  repraesentatio  erit 
erecta.  Hinc  ergo  fiet  R  —  ^  -»  —  am;  ita  ut  nunc  sit  a  -«  ^  et  inter- 
vallum 6VD  «»  r  (l  +  -  )  —  ^  4  $;  quandoquidem  hie  fit  ex  natura  rei  (7JI  —  r 
et  SD  —  «. 

Contemplemur  nunc  campum  apparentem  et  secundum  formulas  nostras 
generales  secundo  speculo  tribuamus  litteram  q,  lenti  (7  litteram  t  et  lenti  D 
litteram  8  et  semidiameter  campi  apparentds  erit 


134  LIBEI  SECUNDI  APPENDIX     CAPUT  III     §  36  [513 

sumto  |  pro  fractione  ~;    litterae    autem    q,   r   et   g    ad    summum    unitati 
aequales  fieri  possunt.     Posnimus  yero  [Lib.  II,  §  265]  brevitatis  gratia 


ut  sit 

*  =  Jtf  |, 

atque  formulae  nostrae  generales  has  suppeditant  aequatkmes: 

93q  -  (P-  1)  jf  ,      Sr  -  (PQ  ~  1)  M-  q, 
quae  ob  valores  iam  inventos 

$^1,     ^=-1     ot     (S=-0 
praebent  ambae 


Hinc  autem,  invenimus  distantiam  oculi  post  lentem  1),  Bcilicot. 


quae  distantia  cum  sit  positiva,  quandoquidom  nihil  impodit,  qnowimiH  ijmi  $ 
valor  positivus  dotur  isquo  unitati  aoqualin,  margmom  coloratnin  tolhfcmu», 
si  ob  N'^Q  et  JV7'««J\rw  (quandoquidom  nowtrao  duao*  lonleH  ex  oodoin  vitro 
parantur)  huic  aequationi  BatisfaciamuH; 

0  — ^^4" 
quae  ergo  reducitur  ad  hanc; 

O-r-/^ 

unde  colligitur 

«.  s  • 

quare,  cum  sit  q  — —  (i-f  -j-jjlf,  erit 


514]          DE  TELESCOPES  CATADIOPTBICIS  SPECULO  CONCAVO  INSTKUCTIS          135 
unde  sequitur 


m 


ita  ut  iam  sit  semidiameter  campi  apparentis 


Num  autem  hie  pro  §  unitas  scribi  queat,  intelligemus  ex  lente  C,  cuius  aper- 
tura  nobis  est  praescripta  et  cuius  semidiameter  =  y  =====  ex.  Iam  per  for- 
mulas nostras  haec  semidiameter  esse  debet 


ubi  sufficit  maiori  membro  uti?  ex  quo  sequitur  esse  debere  r  •  ^  <  e#,  unde, 
si  statuamus  g  «=  1  et  |  =»  4  ,  necesse  est,  ut  sit  r  <  4^m^;;  si  igitur  velimus 
smnere  r  >  4  «*#*#,  turn  g  unitate  minus  accipi  debet,  ex  quo  campus 
apparens  in  eadem  ratione  climinuotur.  Hie  autem  inprimis  quoque  ad 
ultimam  lontotn  attend!  oportet,  pro  qua  est  s~  r  ,  ita  ut  esse  debeat 


f^  BIVO  6*  <  4v/,  undo  patet  foramen  non  nimis  exiguum  statui  posse. 

Totam  autem  confuwioneia  ox  diversa  radiorum  refrangibilitate  oriundam 
ope  huius  aoquationis: 


n         N"      1          N 
quao  abit  in  hanc: 


quod  cum  nullo  mode  fieri  possit,  etiamsi  diverso  vitro  uti  yellemus,  hanc 
confusionem,  quae  semper  est  valde  exigua,  tolerari  oportet. 

His  observatiB  cardo  rei  yersabitur  in  semidiametro  confusionis?  quam 
insensibilem  reddi  conyenit  ope  huius  aequationis: 


136  LIBRI  SECUOT)!  APPENDIX     CAPUT  III     §  36-39  [515-516 

quae  aequatio  abit  in  hanc  formam: 


ex  qua  aequatione  reperitur  p\  verum  quantitatem  a;  ta,ntam  assumi  convenit, 
ut  inde  sufficiens  claritatis  gradus  obtineatur.  In  doctrina  de  telescopiis 
autem  pro  sufficiente  claritatis  gradu  sumsimus  o?«=^dig.;  quod  autoin  ibi 
erat  x  seu  Vo;2,  Me  nobis  est  1/(1  —  a9)  a/8,  ita  ut  hie  habeamus 


siquidem  eodem  claritatis  gradu  frui  velimus:  unde  foret  x*^         m         dig, 

60  Y(l  ~~  e*) 

ideoque  x  >  *'*  dig.  Quia  vero  specula  non  tantum  radiorum  rofloctunt,  qua.ii- 
tum  lentes  transmittunt,  tie  hoc  quidem  modo  tantum  claritatis  gradun) 
adipiscemur  quam  in  telescopiis  vulgaribus.  Sin  autism  tninori  claritatin 
gradu  contenti  ease  velimus  atque  statuamue  %  —  ^  dig,  sumaiu usque  ut  ibi 
ft  —  50,  aequatio  nostra  erit 


ubi  manifesto  debet  esse  *f  multo  minus  quam  priiiB  mombrwni  |4  nivn 
r8  >  a4w4  ideoque  r  multo  maius  quam  &#tj/$#i;  Btipra  v^ro  vidimuH  C^HH^ 
debere  r  <  4«8wa/;  quod  ut  fieri  posnit,  <lobet  OBHO  4«Bw^  tuulto  maiun  (|uun» 
Bmysm  sive  4em>  5()]/ifm  ideoque  *>  ^f  quod  in  magniw  niultiplicationibuH 
effici  posset. 

At  si  haec  conditio  non   observotur,  effectue  in  eo  consistet,    ut  non 
amplius  sit  8  —  1  hincque  campus  apparens  multo  minor  existat  quam 

<^  «.  *     give     *  ••  869  min. 
m  m 

OOBOLLABIUM  1 

37,    Cum  in  telescopiis  id  semper  inprimis  sit  officiendum,   ut  aoram 
longitude  hincque  praeciptie  distantia  focalis  p  qaam  minima  reddaturf   in 


516—517]     DE  TELESCOPIES  CATADIOPTEICIS  SPECULO  CONCAVO  I^STRUCTIS     137 

aequatione  ultima  confusio  a  lentibus  oriunda  tantopere  diminui  debet,  nt 
prae  confusione  speculoram  quasi  eyanescat;  quare,  cum  in  ista  formula  ex 
primo  speculo  nascatur  portio  -*-,  ex  secundo  vero  y,  necesse  est,  ut  por- 
tiones  sequentes  ex  lentibus  oriundae  multo  fiant  minores,  ex  quo  littera  r 
multo  maior  esse  debet  quam  2ep  ideoque  r  vix  minus  capi  poterit  quam  p. 

COROLLABIUM  2 

38.    Quodsi    igitur    statuamus   r=#,    cum  e,   uti   vidimus,    minus    esse 
soleat  quam  y,  pro  confusione  definienda  tuto  uti  licebit  hac  aequatione: 


unde  colligimus 

Jcx^/    /.,    .     N 
^  =  y]/m(l  +  e); 

unde,   si  pro  dato  claritatis  et  distinctionis  gradu  capiatur  ##  =  mdig.?  erit 

jp—  -2-mVW(l  +  a), 

quae  quantitas  circiter  duplo  minor  est   quam  in  telescopiis  dioptricis  com- 
munibus,  ita  ut  hoc  nxodo  tota  longitudo  fere  ad  partem  quartam  reducatur, 

COBOLLARIUM  3 

89*    Sumto    autem  r  «—  p   pro   campo   definiendo   littera  8  maior   accipi 
nequit,  quam  ut  fiat 


Mnc  ergo  pro  exemplo  speciali,  quo  a=  ^   et  w  —  100,  colligetur 


ex  quo  patet  hoc  casu  fore  campum   quinquies  minorem,    quam  si  capere 
liceret  8  —  1,  sicque  in  genera  patet  hoc  modo  nimis  exiguum  campum  obtineri. 

l)  Bditio  prinosps:  %*»*  ^-~    *»—  oiroiter.          Oorrexit  E,  Ok* 

Eur^ai  Opora  omnta  III  4  Bfopfcriofc  18 


LIBEI  SECUNDI  APPENDIX     OAFUTjn_§  40-42       [517-519 


COBOLLARIUM  4 

40.  Sumto  autem  r=p  pro  construction  huiusmodi  telescopii  distantiae 
focales  sequenti  modo  se  habebunt: 

v)  - — •  ~-  wi/y  yyi\\  —I-  s ) ,    o  s^5  s*p  *    T  '==='  ip    et>    B  :K==  ~  "  y 

jr  2  £W 

turn  vero  intervalla  lentium  seu  speculorum 

AB-(l  +  a)jp  =  JB(7,      CD-r  +  8~p(l  +  -/J 

et  distantia  oculi 

O    s*53    S    s85^  7 

cm 

unde  patet  tubum  arcae,  in  qua  specula  continents,  adiungendum  admoduin 
fore  longum. 

SOHOLION 

41.  Praeter  iacommoda  vero,  qun,o  hie   iam    commomoravimuH,   huhiH- 
modi  telescopia  maxitno  vitio  iaborarent,   proptcrea  quod  radii   in  lentmn  C 
incidentes  int(u-  se  snnt  parallel!;   tinn  enim  radii   porogrini,  qui  ab  obiwfciN 
viciuis  directe  in  tandem  l<uxtoin  incidunt,  quia  (Attain  Hunt  parallel!  inter  B<^ 
in  transitu  pcjr  LmtoH  Hiiwili  modo  refrhtgtmfeur  uc.  radii  proprii   idooque  cuun 
iis  simul  ad   oculum   deforentur,  et  quonium  hi  radii   pon^griui    mtdto   Hunt 
fortiores  quam  proprii,  siquidom  hi  duplicom  rufioxionoiu  iam  Hunt  paHni,  in 
oculo  irnpressionam  intorum   penituB  oxtinguent     Interim   tuiw»nf   <juia  radii 
peregrini  ad  axom   magis  Bunt  obliqui   afajuo  otiam  hi   ri^ractiono  imt-ioroin 
obliquitateua  conservant,   ab   (»gre«su  in  oculum  oxcludi   poBBeitt  ope  oxigui 
foramintili,  cui  ocuhm  adplicatur;  hoc  antom  modo  mm  solum  clarita»  nimium 
detrimentunx  paterotur,   nod  otiam  campus  insupor  restringorotur;   quam  ob 
causam  in  huiusmodi  teleBcopiin  inprimis  cavendura  eat,   no  radii  peregrini, 
qui  circa  minus  speculum  praeterlabentes  ab  introitu  in  0  arceri  nulIo  modo 
possunt,  cum  radiis  propriis  aimilmn  rofractionom  patiantur.     Quod  prawtari 
potent,  si  modo  radii  proprii  in  lantern  O  incideritas  fuerint  vd  divorg«mte» 
vel  convorgentes,  ut  post  refiractionem  in  alio  foco  congrogontur  ac  paragrini; 
turn  enim  diaphragma  debito  foraEiine  in  isto  foco  ccmstitutuin  facile  radioH 
peregrinos  ab  ulteriori  progressu  ad  oculum  excludefc.    Perapicuum  autem  estf 


519—520]     DE  TELESCOPIES  CATADIOPTEICIS  SPEOULO  CONGA VO  INSTRUCTIS     139 

quo  hoc  remedium  certius  succedat,  illam  sive  convergentiam  sive  diver- 
gentiam  satis  notabilem  esse  debere,  sive  efficiendum  est,  ut  per  refractionem 
huius  lentis  C  imago  a  radiis  peregrinis  formata  multum  distet  ab  imagine 
a  radiis  propriis  formata,  id  quod  in  sequentibus  casibus  usu  veniet. 


PKOBLEMA  2 

42.  Si  ante  speculum  principale  PP  (Fig.  8,  p.  132)  foramine  nn  pertusum 
ad  distantiam  A  B  =====  (1  +  s)p  constituatur  minus  speculum  concavum  QBQ,  cuius 
distantia  focalis  #  =  ~y~^y  •#,  definire  binas  lentes  C  et  D,  ita  ut  quaems  obiecta 
distincte  repraesententur. 

SOLUTIO 


Hie   ergo   ut   ante   est   distantia  AF^a^p  et  FS  =  b  =  sp   hincque 
—  B  ob  AS  =  1      «- 


ita  ut  iam  sit  /?  «=  (1  +  «)jp,  quae  distantia  ipsi  secundo  intervallo  BO  est 
aequalis,  sicque  secunda  imago  in  ipsam  lentem  0  incidet,  undo  fiet  c  »«  0; 
unde,  cum  posuerimus  ^  -»  —  Q,  fiet  hie 


turn  vero  pro  tertia  imagine  erit 


cr 


A 

y  —  -       «-«  0, 
/       c  —  r 

ita  ut  sit 

(7—  —  1     et    (§;« 
Quare,  cum  sit 


vicissim  adparet  fore 

£ 


18* 


140  LIBEI  SECUNDI  APPENDIX     CAPUT  III     §  42-43  [520—521 

His  inventis  distantiae  focales  erunt 

s(l  +  s]  ,  J3  l+£  i          TW*  r> 

P-P,    ff—  t+aT^'     r==T     et     8mmPQR'*-  -in*"*   ob   pUM-m- 

Intervalla  vero  ita  erunt  expressa: 

A  B  =  (1  +  s}p  —  B  G,     CD  =  1  +  *•  p  =  s, 

V,         I         M  £m        J.  / 

uti  rei  natura  postulat,  quandoquidem  ultima  imago  in  ipsa  Unite  C  nianot 
constituta.  Oeterum  patet  hie  duas  occurrere  imagines  reales,  aitoram  in  /', 
alteram  in  C,  ideoque  imagines  situ  orecto  repraesentati  ot  rocto  HOB  assuui- 
sisse  PQR  =  m. 

Pro  campo  diiudicando  erit 

JMT-(!  +  t  +  *, 

m  *1 

unde  fit  *  =«  Jfefg;   turn  vero   esse  debet 


hinc 

et 
hinc 


Quia  vero 

©~<x>      et       ,. 
(f 
ent 


hinc  ergo  fit 

a  +  t  +  « 

unde  reperitur 

curca  8  autem  nihil  adhuc  deflnitur,  sed  cum  lentia  C  semidiameter  aperturae 


521-522J     DE  TELESCOPIES  CATADIOPTRICIS  SPECULO  OONOAVO  INSTRUCTIS     141 
revera  sit  =  ex,  per  formulas  autem  nostras  esse  debeat 


4s 


sive  ipso  campo  introducto  haec  semidiameter  erit  =  Q-~^ 8^)~,  quae  cum  ex- 
cedere  nequeat  BX,  hoc  non  est  verendum,  nisi  esset  <£  =  /rrrr-  vel  maius. 
lam  ut  margo  coloratus  evanescat,  debet  esse 


ideoque  esse  deberet 

a 

0; 


m 


unde  patet  hoc  modo  marginem  coloratum  evitari  non  posse,  sed  tamen  eum 
fore  minimum  et  vix  sensibilem  ob  denominators  PQ  et  PQli  maximos. 

Sumta   porro   littera   g,    uti   circumstantiae   permittunt,   pro   loco   oculi 
habebimus 

n        &s 

\J    =»=9    ""-._        '    * 

Mm 
Denique  conditio  confusiouis  tollendae  praebet  hanc  aequationem; 

1        ma?  (  1    ,    (l  +  2«)«\ 
A8  """  jp»"  \8  +   8(l+«)8/ 

sequentibus  partibus  sponte  evanescentibus,  ita  ut  statui  possit 


OOROLLARIUM  1 

43*  Oum  lentis  in  C  positae  semidiameter  aperturae  esse  debeat 
—  ^tr,  ea  vero  revera  sit  —  aa?,  hinc  colHgitur  r  —  4^.  Veram  ante  inve- 
nimtis  t»-™^£*Jkf;  Ms  ergo  duobus  valoribus  aequatis  prodit 


142  LIBEI  SEODNDI  APPENDIX     CAPUT  III     §  43-45  [522-523 


unde,  si  esset  r  =  l,  foret  r  =  4£#,  turn  vero  r^-—*~-',  quia  vero  est 

„ 

habebimus  nunc  substitute  pro  r  illo  valore 


qui  valor  in  ilia  aequatione  substitutus  dabit 


GOROLLARiUM  2 

44.     Quia    autem    S    unitate    maiuB    esse    ncquit,    hoc    valore    unifatti 
aequali  posito  prodibit 

40*6*0  —  2(1  +  s)p  ~  4a(l  +  a)  a? 
hincque 


quae  aequatio  Bubsistere  noqnit,   nisi   rrmltlplioatio  m  aliquot*  millia  e^ceclat, 
quod  in  praxi  imnquam  locum  habero  potest, 

4 

SOHOLION 

45,  Huiusmodi  vero  telescopia  duplici  laborant  ciefectu;  priiuo  aniin, 
quia  lens  C  in  ipso  imaginis  loco  conatituitur,  nisi  10ns  ox  purissimo  vitro 
sit  confecta»  repraeaentatio  vehemonter  erifc  inquinataj  ufci  iam  saopius  obsei> 
vavimus;  deinde  etiam  haud  oxiguum  vitium  in  ao  consistit,  quod  margmam 
coloratum  non  licuit  ad  niMlum  i4educere;  quam  ob  causam  haec  teloscopia 
superfluum  foret  uberiua  prosequi,  sed  potius  eiusmodi  casum  evolvamus,  in 
quo  seeunda  imago  post  lantern  C  cadat  simulque  raargo  eoloratus  feliciter 
tolH  queat  Quare,  cum  pro  hoc  praestando  habeatur  aequatio 


523-525]     PE  TELESCOPES  CATADIOPTRICIS  SPECULO  CONCAVO  INSTRTJCTIS     143 

necesse  est,  ut  fieri  queat  r  +  -^  =  0,  quod  commodissime  fieri  poterit,  si 
fuerit  JS  =  —  1;  quia  enim  turn  erit  r  =  §,  maximum  campum  adipisci  pote- 
rimus,  si  sumere  liceat  r  =  §  =  l;  turn  enim  fiet 


m  — 


et  quamvis  q  sit  fractio  negatiya,  tamen  campus  hinc  orietur  satis  magnus; 
ut  vero  fiat  It  numerus  negativus,  secunda  imago  in  intervallum  CD  cadere 
debet,  ita  ut  Q  maneat  quantitas  positiva,  et  quia  multiplicatio  dat  m  =  P$JR? 
ob  P==—  s  ,  si  sumamus  _R  =  —  1,  necesse  est  fiat  $  =  m;  unde,  cum  sit 

Q  =  —  ~  9  erit 

c  «,  _  JL  - 
$w? 

at  vero  secundum  intervallum  1?  (7=  /?  +  <^;  quod  cum  prhno  (1  -f  s)p  aequale 
esse  debeat,  elicimus 

/?  =  (!  +  e)$  —  c  =====  -  • 
Cum  vero  sit 

sivc  etiam 

1        i        i 

hinc  erit 
turn  vero  erit 

unde  lit  #  ««  33&. 

Porro  vero,  cum  sit  r««l£6'?  erit 

(£  «•      Mffi    ,\  .    x          hincque     6y 
^          (l  +*)p  a 

Pro  intervallo  autem  (JJ),  quod  est  ^  +  rf~y  +  $,  quia  est 

quia  vero  etiam  esse  debet   J8»  — -J  — — - 1,  hinc  erit  a«y  sicque  inter- 


144  LIBBI  SECUNDI  APPENDIX     OAPUT  III     §  45-46  [525-526 


vallum  (7D-2y-2a    -(i+. 

Quia   autem  porro    est    M  =  ~^  *    sumto   scilicet   r  =  §  =  1  ,  erit 


hincque 

q  +  2  -  --feM!l-  „  jf  (m  _  i); 

Mr                                    £  \             /- 

unde  sequitur 


ex  quo  vicissim  concludimus 


Praeterea  vero  adhnc  habetur  haec  acquatio  (S  --  f/}^      I)  7^7--  q,    quao  abtt 

in  hanc: 

(£^.,    (w 

seu  substitutis  valoribuw 


undo  concludimus  foro 

2  (*»>*—  (i-|-*)^'f 
f  M  («  w  -  -  l)(«w**  +  (l  f 

hinc,  cum  sit      »-•«     —     ,  roperitur 
7  #•«'•* 


unde  porro  concluditur  distantia  oculi 

n        $s          sm*+(l  -f  «)>«  —  !  1     A    ,    1  f 


Quod  autem  ad  cainpmn  apparentom  attinefc,  quoniam  Bumsimun  r  *»•  0  «^  t  , 
dispiciendum  est,  num  etiam  ponera  liceat  |  •«•  J  *  Hoc  jtutom  patebifc  ex 
lante  Cy,  cuius  semidiameter  aperfcarae  -•  |r  excedera  nequit  aa?;  posito  Igitur 
|r»w  colliptur 


DB  TELSOOpns  CATADIOPTKICIS  SPECULO  CONCAVO  INSTRUCTIS     145 


qui  valor  si  fuerit  minor  qnam  »-,  eo  erit  utendum,  ita  ut  turn  sit  # 

sin  autem  ille  valor  prodeat  maior    quam  ~,  nihilominus  sumi  debet  £  =  — 

Si  tanquam  exemplum  sumatur 

e  ==  —  ,     m=>  100,     x  =  ~  dig.     et    p  =  25  dig., 

revera  prodit  £  =  --  ,  ita  ut  haec  positio  I  =  j  parum  a  praxi  discrepare 
videatur;  unde  operae  pretium  erit  has  determinationes  coniunctim  ob  oculos 
ponere. 

EXEMPLUM  TELESCOPII  C1TADIOPTKICI 
46.    Ex  modo  allatis  prima  elementa  huius  telescopii  ita  se  habebunt: 


a  « 


^_ 

r- 

Bx  quibus  deducuntur  sequentes  valores: 


m 


Pec  y-v 

._^«_v,     ^«_.J 

Ex  his  vero  colliguntur  distantiae  focales 


et  pro  earum  aperturis 

—  «)w---l)  1       fi        t 

'  '     t""1'    S" 


hincque 

"q  +  t  +  8- 

VUV  |       \    J,        |       v J   f*W  *. 

EULKKI  Opera  oamia  III 4  Dioptrics  19 


146  LIBEI  SECUNDI  APPENDIX     CAPUT  III     §  46-48  [527-528 

ideoque 

M  = 5-T 


ex  quo  elicitiir  seinidiameter  campi  apparentis  <£>  —  M£,  ac  si  liceat  sumere 

|  _  A     get 

4  ,,  1718  am  .      , 

<£>  —  —  r"T77"T"T"~  '  ,   nimut.; 
ewa  +  l+fi)M  —  1 


at  pro  loco  oculi  invenimus 

n        1      /'      ,    1  +  t 

0  =  -  .$(1+  -^   — 

2     \          $m        s 

Superest  igitur,  ut  ex  conditions  confusionis  definiatur  distantia  focaliw  p, 
quae  reperitur 


ubi  si  tantam   claritatcm   desideromus,   qualem   supra  teloaeopiiR  tribuimuH, 
sumi  debet  ^"-^dig.  et  pro  gradu  distinctioniw  A^fX),  ut  Hit  l*x-^w, 

Sin  autem  minori  clarifcatis  gradu  content!  OHBO  volimun,  ibrta«HO  suflioitil 


ponere  ««-/0Uig.  vol  adeo  0  — 


CONBTBUCTIO  HUIUSMOD1  TKLKS^OWI 
PEG  MULTIPLJOATIONK  w  -    1(X)  SUMTO  *       J 

47.  Pro  maiori  ergo  speculo,  cuiua  Bomidiamotor  Bit  —  ,r,  tbraminiH 
semidiameter  erlt  «  ^,  ems  veto  distantia  focalis  in  genere  ponatur  —pi 
ex  qua  sequentee  distantlae  focales  ita  deflnientur: 

f  -         y 


528—530]     DE  TELESCOPIES  CATADIOPTEICIS  SPECULO  CONCAVO  TNSTKUCTIS     147 
Intervalla  autem  sequent!  mo  do  definientur: 


2.  JJ6y—  ~j?  = 

3.  CD  =  2s  =  0,0671  p, 

4.  0  =  0,5248  s  =  [0,0176#]. 

Praeterea  uti  speculi  maioris  semidiameter  aperturae  est  =====  #,  ita  minoris 
erit  =  *•#,  cui  etiam  aequatur  apertura  lentis  (7;  lentis  vero  ocularis  D  se- 
midiameter  aperturae  poterit  sumi  =  -£-$,  unde  campi  apparentis  semidiameter 
erit  circiter  <P  =  16,368  minut.?  qui  campus  locum  habet,  nisi  sit  ~  x<~r  seu 
a/  <  y;  hoc  enim  si  evenerit,  ut  sit  35  <  r,  turn  campus  in  eadem  ratione  di- 
minuetur  atque  in  eadem.  ratione  aperturam  lentis  D  diminui  conveniet. 
At  vero  pro  definienda  distantia  focali  p  habetur  ista  aequatio  : 


19,45  +  0,0095,1*  (r—  5y)  +  0,211  ^r), 

ubi,  cum  partes  ex  bims  lentibus  oriundae  vix  ad  dimidium  accedant,  tota  haec 
quantitas  radicalis  certe  non  ad  5  exsurget,  ita  ut  tuto  sumi  possit  j^  =  ^  &$; 
supra  autem  notavimus  esse  circiter  k  —  50. 

SCHOLION  1 

48,  Quods!  hie  statuamus  ft  —  50  et  x  —  2  dig,,  distantia  focalis  speculi 
obiectivi  ex  hac  formula  prodit  p  -»  250  dig,  ideoque  raaius  viginti  pedibus, 
quod  merito  maxima  inirum  videbitur,  cum  talia  telescopia  circuraferantur, 
in  quibuB  p  non  suporat  24  dig,  atque  a?  adeo  duobus  digitis  maior  reperitur 
ot  quae  nihilominus  centies  multiplicant;  cuius  ergo  phaenoineui  causam 
scrutari  oportet  Primo  autem  rnanifestum  est  earn  non  in  hoc  esse  sitam, 
quod  numerum  k  nimis  magnum  assumsimus;  etsi  enim  pro  microscopiis 
content!  esse  soleamus  valore  ft««20,  tamen  fateri  debemus  confusionem 
turn  satis  esse  sensibilem,  qualem  tamen  in  his  telescopiis  non  deprehendi- 
mus,  et  quamvis  pmeterea  sumeremus  ft  —  20,  tamen  adhuc  prodiret 
p  —  100  dig*  Evidens  ergo  est  causam  necessario  in  eo  sitam  esse  debere, 

10* 


148  LIBET  SECUNDI  APPENDIX     CAPUT  HI     §  48—49  [530-531 

quod  post  signum  radicale  cubicum  binae  priores  partes  ad  specula  relatae 
non  solum  multo  sint  minores,  quam  Me  assumsimus,  sed  adeo  nihilo  aequa- 
les  poni  debeant.  Interim  tamen  certum  est,  si  haec  specula  haberent  figu- 
ram sphaericam,  uti  in  calculo  nostro  assumsimus,  partes  inde  in  confusionem 
influentes  minores  non  fore,  quam  hie  sunt  definitae;  ex  quo  tuto  concludere 
possumus  in  his  instrumentis  specula  non  ad  figuram  sphaericam  esse  elabo- 
rata,  sed  iis  ab  artifice  figuram  parabolicam  esse  inductam,  in  quo  Gel. 
SHORT*)  gloriatur  se  modum  invenisse  specula  ad  figuram  parabolicam  ela- 
borandi,  cui  invento  sine  dubio  exiguus  valor  litterae  p  tribui  debet;  quodsi 
enim  post  signum  radicale  binas  priores  partes  omittamus,  totus  valor  huius 

q  o 

formulae  radicalis  sumto  X'  =  X"  =1  ob  /LI  =  -^  circiter  reducetur  infra  -^ ; 
sumto  autem  hoc  valore  sequitur  fore  p  =  30  dig.  prorsus  fere,  uti  experientia 
testatur;  facile  enim  licet  Jc  assumere  minus  quam  50;  turn  vero  etiam  aliae 
constructiones  proferri  possunt,  in  quibus  haec  duo  membra  posteriora  adhuc 
minores  sortirentur  coefficientes.  Quodsi  ergo  ambo  nostra  specula  figuram 
habuerint  parabolicam  sumereque  liceat  p  =  30  dig.,  existente  x  =  2  dig.,  erit 
r  =  2,829  dig.  eiusque  aperturae  semidiameter,  quam  scilicet  foramen  suppe- 

ditat,  =£#=y  dig.,  unde  utique  sumi  non  licebit  £  — -|  ,  sed  tantum  |™~~, 

*t       '-i 

et  campus  supra  inventus  diniinui  debet  in  ratione  —:—  sive  17:12  sive 
suo  triente  propemodum,  ita  ut  adhuc  sit  eius  semidiameter  <$  =  11  minut, 
Quodsi  autem  distantia  focalis  p  naaior  assumi  debeat,  turn  pro  |  adhuc 
minor  valor  reperietur. 

SCHOLION  2 

49.  Telescopia  autem  vulgaria  huius  generis  non  mediocriter  discre- 
pant a  mensuris  supra  descriptis,  unde  operae  pretium  erit  mensuras  talis 
telescopii,  quod  pro  excellent!  habetur,  accuratius  examinare.  Erat  autem 
speculi  maioris  distantia  focalis  duorum  pedum  seu  p  ***  24  dig.,  semidiameter 
eius  #  =  2y  dig.,  foraminis  vero  semidiameter  y  —  A  dig,,  unde  sequitur  fractio 

3  speculum  a  maiore  distabat  intervallo  A B  —  27  ^  dig., 


l)  JAMES  SHORT  (1710—1768),  Edinburgensis,  telescopiis  excellentibus  fabrlcandis  insignem 
laudem  adeptus  nonnullas  etiam  de  rebus  dioptricis  dissertationes  scripsit  in  Philosophical  trans- 
actions a.  1753  et  1769,  E,  Ch. 


531-533]     DE  TELESCOPES  CATADIOPTRICIS  SPECULO  CONCAVO  INSTEUCTIS     149 

unde,  cum  sit  AF  =  p  =  24  dig,,  sequitur  distantia  FB  =  b  =  3~  dig.  (Fig.  8, 
p.  132).  Quare,  cum  posuerimus  6  =  «^?  Mnc  non  amplius  fiet  e  =  y,  sed 
tantum  s  =  ^  ,  ita  ut  in  praxi  recepta  minus  speculum  propius  collocetur, 
quam  ratio  foraminis  postulat.  Verum  rationes  non  desunt  a  regula  supra 
stabilita  recedendi.  Supra  enim  hoc  speculum  minus,  quod  etiam  in  praxi 
foramini  aequabatur,  ita  constituimus,  ut  omnes  radios  axi  parallelos,  qui  a 
maiore  speculo  reflectuntur,  non  solum  reciperet,  sed  etiam  ab  iis  quasi  im- 
pleretur.  Cum  autem  ob  campum  apparentem  etiam  radii  ad  axem  obiiqui 
a  maiori  speculo  reflectantur,  quorum  plures  in  nostra  constructione  minus 
speculum  praetergrederentur,  utique  consultum  erit  istud  speculum  aliquanto 
propius  admovere,  ut  etiam.  hos  radios  recipere  queat.  Quamobrem  conveniet 
litterae  s  duplicem  valorem  tribui,  alterum  ex  ratione  foraminis  petitum, 
alterum  vero  ex  loco  minoris  speculi,  quos  ne  inter  se  confundamus,  in  po- 
sterum  statuamus  y  =  dx,  at  vero  6  =  ep,  ita  ut  hoc  casu  futurum  sit 
d  =  y  et  e  ==  3£  •  Neque  vero  hinc  in  nostras  formulas  alia  mutatio  infere- 
tur,  nisi  ut  in  locis,  ubi  formula  ex  seu  y  occurrit,  eius  loco  scribamus  dx, 
quod  quidem  tantum,  ubi  de  quantitate  foraminis  et  minoris  speculi  sermo 
est,  occurrit;  in  reliquis  vero  omnibus  formulis,  ubi  s  cum  littera  p  coniun- 
gitur?  nulla  fit  mutatio,  ita  ut  nostrae  formulae  generales  etiam  hie  valeant. 

Verum  ut  ad  istud  telescopium  revertamur,  distantia  focalis  speculi  minoris 
erat    ^  =  3  dig.,    unde    concluditur    distantia    J?  (?  =  /?  =  g^™--^  30    hincque 

2 

(7(?«=2-g  •  Hie  autem  probe  notandum  est,  si  vel  levissima  mutatio  in  loco 
minoris  speculi  fiat,  turn  in  hoc  intervallo  CG-  insigneru  mntationem  oriri; 

1  o  o 

si    enim    loco    3y    sumatur    jFJ?  =  &  ««  3-g-  ,    ut    sit   BC=<27-g-,   reperietur 

q 
5(^=^^  =  27  hincque  CGr  =  —  -•     Quam  ob  causam  etiam  minus  speculum 

ita  constitui  solet?  ut  eius  locus  ope  cochleae  tantillum  immutari  possit.  In 
isto  autem  exemplo  speculum  minus  ita  est  constituendum,  tit  inde  prodeat 
=1^-  dig.  Unde  vicissim  verus  valor  ipsius  &  definiri  poterit;  quia  enim 


fit  J5G^~~,  ob  OB-24  +  &  erit  a(?  =  ^~  —  6  —  24;  quae  distantia  ut 


fiat  —  -y-  dig.,   elicietur 

1/"KOC   ^.=.3,35041, 


150  LIBBI  SECUNDI  APPENDIX     CAPUT  HI     §  49 [533-534 

qui  valor  assumtum  3  y  tantum  superat  particula  ^ ,   ita  ut   in  reliquo  cal- 

^ 
culo  sumi  possit  &  =  3y 

Pergamus  nunc  in  nostro  examine,  et  quia  lentis  in  G  distantia  focalis 
erat  =4  dig.  =  r,  ob  c  =  — y  dig.  fiet  CH=y  =  l  dig.  Deinde  vero  erat 
intervallum  CD  =  3  dig.  et  lentis  ocularis  D  distantia  focalis  s  =  2  dig.  sicque 
prodibit  distantia  HD  =  d  =  2  dig.  ideoque  d  =  s,  uti  natura  telescopii 
postulat.  Quocirca  singula  huius  telescopii  elementa  ita  se  habebunt: 

a  =  24,     6  =  3,35041,     c  —  — 1,33333,     d  — 2,     /?  =  28,68374,     ;/ =  1 
et  distantiae  focales 

p  =  24,     #==3,     r==4     et     5  =  2  dig., 
intervalla  vero 

AB  =  BC=  27,35041 ,     CD  =  3  dig, 

Hinc  vero  reliquae  nostrae  litterae  invenientur 

B  =  4  -  8,5613,         SB  =  0,89541 , 

0 

C  =  y~ 0,75,       <£  =  —  3 

et 


ac  denique 

P  =  —  -£---  7,1633,     $  =  -  -£  =  21,51281,     JB  =  -  r.  -  -  J  - 

0  C  <*  ,2 

His   inventis   valoribns   proprietates   huius  telescopii   sequenti    mode    definiri 
poterunt: 

1.  Quod  ad  multiplicationem  attinet,  quia  est  m***PQll,  erit  m^  77,05. 

2.  Ut  nunc  etiam  campum  apparentem  definiamus,    primo   ex   apertura 
lentis  (7,  cuius  semidiameter  est  y  =  ^  dig,,  sumto  S  —  -J"    erit    J  rr  —  *  dig. 
ideoque  r=  ^  dig.;  turn  vero  est 


similique  mo  do 

<£r  «  (j?(j  —  i)  M~  q  --  143,99  Jf 

hincque  r=-  47,99  M. 


535—536]     DE  TELESCOPIIS  CATADIOPTRICIS  SPEOULO  CONCAVO  INSTfiUOTIS     151 


Cum  igitur  ante  esset  r  =  ydig.?  hinc  concluditur 


96,00  76,05 

unde  elicitur 


qui  valor,  cum  unitate  sit  minor,  veritati  erit  consentaneus;  si  enim  unitate 
maior  prodiisset,  turn  litterae  r  valorem  semisse  minorem  tribnere  debuisse- 
mus.  Quocirca  semidiameter  campi  apparentis  erit 

&  _  jf  g  =  -L  M  =  859  M  min.  =  8'  57". 

sive  diameter  campi  erit  =  17'  54". 

3.  Videamus,  an  per  hoc  telescopium  etiam  margo  coloratus  destruatur; 
quae  conditio  cum  postulet 

0=pV+p^  sive  r=2§' 

quod  cum  non  multum  a  veritate  discrepet,  margo  utique  debebit  esse  in- 
sensibilis;  interim  tamen  perfectius  margo  coloratus  toller  etur,  si  prodiisset 
exacte  r«*23;  id  qnod  quidem  levissima  mutatione  fieri  posset. 

Tandem  autem  restabit,  ut  etiam  investigemus,  quam  exacte  aequatio  semi- 
diametrum  confusionis  complectens  hie  impleatur,  sive  cum  hie  iam  cognoscamus 
litteras  m,  x,  p,  B,  G  una  cum  ^?  v  et  A  ex  indole  vitri  et  figura  lentium, 
definiemus  inde  litteram  Jk,  quam  novimus  vix  infra  50  admitti  posse.  Sumamus 
autem  primo  ambo  specula  ad  figuram  sphaericam  esse  elaborata,  quoniam 
facile  erit  facto  calculo  duos  terminos  priores  reiicere,  quando  noverimus 
haec  specula  esse  parabolica.  Ex  forma  autem  generali  supra  §  34  data 
patet  fore 


ob 

0  — JL      p_24    et    w  — 77,05. 


152  JJBEI  SEGUTOI  APPENDIX     OAPUT  in     §  49  ___  [536-537 

Deinde  cum  sit 

6  =  0,1396,     J?  =  8,5613,     93  =  0,89541,     £  =  —  3     et     <7=-~, 

singuli  hi  termini  ita  in  numeris  evolrentur: 

4-  =  0,222  f(l  +  0,1216  +  0,000003,1*  (A"-  12  v)  +  0,00039^  A'"); 

/C 

hinc  ergo  colligimus,  si  primum  speculum  esset  sphaericum,  certe  proditurum  esse 

1  12  9 

,  >  0,222  ,     hoc  est     -=-  >  —     ideoque     Jc  <  -0-, 
/j  /c        y  ^ 

unde  certe  confusio  enormis  nasceretur;  quod  cum  neutiquam  fieri  debet, 
necesse  est,  ut  primum  speculum  sit  parabolicum  vel  proximo  saltern,  ut 
primus  terminus  evanescat.  Si  porro  speculum  minus  esset  sphaericum,  pro- 
diret  adhuc  -^>  0.1  11  seu  A<9?  unde  confusio  adhuc  intolerabilis  nasceretur, 

fc 

ex  quo  concludimus  etiam  a  secundo  speculo  nullam  confusionem  nasci. 
Eeiectis  ergo  binis  prioribus  terminis  habebitur 

4-  -  0,222  f  (0,000003  ^(r-  12  r)  +  0,00039  ^r'), 

K 

ubi  statim  patet  solum  postremum  membrum  in  computum  venire;  unde  ergo, 
cum  sumi  possit  ^^'"=1,  prodit 


-  0,073  --.. 

sive 

A-=597 

qui  valor  iam  tantus  est,  ut  nulla  confusio  sit  metuenda,  atque  hinc  iam 
multo  magis  intelligimus  summam  sollertiam  ad  huiusmodi  telescopia  confi- 
cienda  requiri,  quae  si  ab  artifice  exspectari  potest,  nullum  est  dubium,  quin 
species  telescopiorum  a  nobis  ante  exposita  his,  quae  passim  reperiuntur, 
longe  sit  anteferenda.  In  paragrapho  igitur  superior!  46,  ut  earn  ad  mode 
examinatum  telescopium  accommodemus,  sumi  poterit  a,  quatenus  ad  p  refer- 


537-538]     DE  TELESCOPES  CATADIOPTRICIS  SPECULO  CONCAVO  INSTRUCTIS     153 

tur,  =  y,  quatenus  autem  ad  x  refertur,  =-~,  ut  fiat  y  =  ^-x,  unde  pro 
quavis  multiplicatione  huiusmodi  telescopia  formari  poterunt,  quae  certe 
multo  maiorem  campum  patefacient  simulque  marginem  coloratura  perfecting 
tollent.  Verum  si  speculum  minus  fiat  convexum,  multo  maiora  commoda 
inde  sperare  licebit,  uti  in  sequente  capite  ostendemus.  Casum  enim,  qui 
hie  adhuc  desiderari  posset,  quo  imago  realis  in  intervallum  SO  caderet,  ne 
quidem  attingemus,  quoniam  tarn  campum  nimis  parvum  produceret,  quam 
vitio  marginis  colorati  vehementer  laboraret.  Cum  enim  turn  esset  jR>0, 
aequatio  pro  margine  tollendo  0  =  r  -f  ^  subsistere  non  posset,  nisi  r  foret 
negativum,  et  quia  q  etiam  est  negativum,  campus  fere  ad  nihilum  redigeretur. 


20 
Opera  omnia  IHi  Dioptrica 


CAPUT  IV 

DE  TELESCOPES  CATADIOPTEICIS 
MINOBE  SPECULO  COWEXO  INSTRUCTS 

PROBLEMA  1 

50.  Constructionem  Jiuiusmodi  telescopiorum  describere,  quibus  obiecta  situ 
inverse  repraesententur  seu  ubi  unica  imago  realis  occurrat, 

SOLUTIO 

Cum  in  hoc  genere  distantia  amborum  speculorum  sit  AB  ~  (1  —  a)jp 
ideoque  &  =  —  ep,  ob  a=p  erit  P  =  —  ^=4.^.,  ubi  e  designat  fractionem 
aliquanto  minorem,  quam  ratio  foraminis  ad  speculum  maius  y  designat,  ita 
ut  posito  y==^  sit  e<d  ob  rationem  ante  allegatam  §  49  ?  qua  scilicet  ob- 
tinetur,  ut  etiam  radii  obliqui  a  minore  speculo  excipiantur.  Interim  tamon 
semidiameter  aperturae  minoris  speculi  maneat  ==Sx^y,  ita  ut  hoc  specu- 
lum foramini  aequetur,  uti  initio  assumsimus. 

Nunc  statim  consideremus  aequationem,  qua  margo  coloratus  destruitur; 
quae,  si  praeter  specula  duae  lentes  adhibeantur,  reducitur  ad  hanc  formam: 


undo,  ut  ambae  litterae  t  et  §  valores  positivos  habere  queant,  uti  ratio 
campi  postulat,  conveniet  litterae  JB  valorem  tribui  negativum  et  quidem 
uxdtate  non  minorem,  ut  sumto  g  ««  1  prior  lens  0,  cuius  apertura  iam  per 
foramen  determinatur,  campum  non  restringat.  Ponamus  igitur  JB  —  ~  i,  et 


540-541]     DE  TELESCOPnS  CATADIOPTRICIS  SPECULO  OONVEXO  INSTRUCTIS     155 

cum  ex  data  multiplicatione  m  ob  repraesenfcationem  inversam  sit  PQR  =  —  m, 
Set  hinc  P<?=^  et  <?  —  ^     Est  vero  0  =  —  |-,.  et  quia  est 


hinc  colligimus 


sm  —  f( 


quare,  cum  in  genere  sit  —  =  y  +  -j  ?  eri 


T. 

hincque     g  == 

^  a 


Porro  ex  valoribus  6  et  /?  colligimus 


p   _  -m^-e)          ,       „  _     -1-^i~-t; 
^  — T~      «w-t  ^— (i-2*)m+; 

Deinde  cum  sit  (7=  ~    et  (£c  =  r,  Mnc  invenimus 


ideoque 


i(l  —  fi)j{?  +  (^m  —  f)r        c 
ex  quo  porro  colligitur 

Denique,  cum  sit  R  =*  —  ^  =  —  ~-  ob  s  ==  ^,  erit 

y  y  (1  — 

hincque  tertium  intervallum 


Nunc  autem  aperturae  praebent  has  aequationes: 

1.  »,  _  (?-  i)M,    mde  fit    q  -  !» 

2.  «, 


20* 


156  LIBEL  SECUNDI  APPENDIX     CAPUT  IV     §  50  [541—542 

sen 

~         (w  +  Q(>0t--i)  M 
sim  7 

unde  elicitur 


smr 


unde,  cum  sit  §  =  it  ideoque  r  +  §  =  (1  +  i)r,   erit 


v  _L   P  \     _____/  '  v_ i     vy-     i     yy*          -vx-       TT0- MY/iM 

•L    — —   v   === ~~ ~ " " JXL    J-W-  \titt  . 

smr  N 


sicque  facta  divisione  per  M  inveniemus 


qui  valor  cum  sit  negativus,  ex  eo  etiam  prodibit  intervallum  CD  negativum, 
unde  patet  hunc  valorem  in  praxi  locum  habere  non  posse.1) 

Verum  cum  saepenumero  problemata  duas  pluresve  solutiones  admittant, 
idem  etiam  Me  usu  venit  hocque  problema  praeter  solutionem  hie  inventam 
insuper  aliam  complectitur,  quam  per  divisionem  ex  calculo  expulimus.  Quod 
quo  facilius  appareat,  calculum  ita  instituamus.  Cum  primo  sit 


erit 

q  +  r  +  §  «  -- "~-  £-  —*  •  JMT  +  (i  +  l)r  =  Jtf(m  —  1), 

unde  colligitur 
ideoque 

altera  vero  aequatio  dabit 


1)  Haec  supra  diet  a  non  generalitervalent:  intervallum  CD  fitpositivum,  quando  $  <—y^   ,-Vc 

"-  1) 


ac  quando  £>>pjy?  priore  casu  evadit  r>0  slmulque  CD>0,   posteriore 
casu  evadit  r  <  0  simulque  denominator  valoris  <7  JD  negativus  ideoque  OD  positivus,          E*  Oh, 


542-543]     DE  TELESCOPIIS  CATADIOPTBICIS  SPECULO  CONVEXO  INSTRUCTIS     157 

~    (m  —  J)€m(l  +  f)r  —  i(l  -f  j)((l  — 2g)w  +  i)r 

Ur~  *<roa-(l-*>'«»-*8 ? 

unde  fit 

~  =  (l+fr)(m  +  {)(>w~-fr). 
i(£#&2  —  (1  —  s)m  —  i)  ? 

supra  vero  iam  invenimus 

ff  _-(*»»-»> 

e-T(r=r*>-' 

unde  patet  aequalitatem  horum  duorum  valorum  duplici  modo  obtineri  posse: 
1.  scilicet,  si  fuerit  i  =  em,  quo  quippe  uterque  valor  evanescit,  2.  autem, 
quo  facta  divisione  per  em  —  i  fit 


£  w2  —  (1  —  e)  m  —  i       (1  —  $)j9  ' 

haecque  est  solutio  incongrua  ante  inventa.1)  Statuamus  igitur  nunc  i==sm 
fietque  (£  =  0,  littera  vero  r  hinc  plane  non  determinatur  et  nostra  solutio 
sequenti  modo  se  habebit: 

T 

f}7l 

ubi  notetur  fore  /?  -f-  c  =  (1  —  s)p. 
Hinc  porro  erit 

j5=:cv)      SB==1      (7=0      (y      Q 
turn  vero 

p=— ,     ^==1,     jR  =  —  em, 


ita  ut  sit 

Quia  vero   ^-=00   et   C=^  =  0;   productum  in  se  manet  indefinitum; 
verum  cum  sit 


hinc  vicissim  erit 


1)  Hanc  solutionem  inoongrtLam  noil  esse  Eota  p.  156  indication  est.          E.  Ch. 


158  LIBBI  SECUNDI  APPENDIX     CAPUT  IV     §  50—51  [543—544 

Praeterea  vero  erunt  distantiae  focales 

L  T        r 

g  =  —  $p     et      $  =  $  =  — 

a  -^  sm 

atque  intervalla 

4JB  -  J3C—  (1  —  e}p     et     CD  =  r  (l+  —  Y 

\  J-r  \  £mj 

Denique,  cum  sit 

(l  +  cm)(l—  «)r  , 
q  =  ^~I  —  A  .  ;  et 
^  em  —  1 

erit 

,,-  _  €(gm  +  l)r 


em  —  I  7w(fim  —  1) 

ideoque  semidiameter  campi  apparentis 


ubi  sumere  licebit  8  =  1,  si  modo  lens  ocnlaris  utrinque  fiat  aeque  convexa. 
Oculi  vero  post  hanc  lentem  distantia  reperitur 

~ 

ft    ..__ 


Quia  autem  lentis  C  semidiameter  aperturae  maior  esse  nequit  quam  y*==*dx, 
ponamus 

-r-ir  =  dx    sive    ——  =  J^;; 
4  Asm 

unde  sumto  §  «=  1  definitur 

r  =  4^emo?     hincque     s  =  4(J"a;. 

Verum  etiam  ad  aperturam  minoris  speculi  est  attendendum,  CUIUB 
semidiameter  revera  est  =3%  et  quae  ob  campum  esse  deberet  ««  J  q^;  quam 
ob  causam  necesse  est  sit 


ideoqne 


544-545]     DE  TELESCOPES  CATADIOPTBICIS  SPEOULO  CONYEXO  INSTRUCTIS     159 
Tuto  igitur  sumere  licebit  g  —  1,  si  modo  fuerit 

>  (1  —  a)  (em 


Contra  vero  §  unitate  minus  accipi  deberet. 

Tantum  igitur  superest,  ut  ex  formula  semidiametri  confusionis  definiamus 
distantiam  focalem  speculi  principals  p,  quae  ita  reperitur  expressa: 


—  s 


siquidem   ambobus   speculis  figura  sphaerica  inducatur;    at   si  ambo  habeant 
figuram  parabolicam,  debebit  esse 


ita  ut  iam  aliter  non  definiatur  nisi  ex  quantitate  speculi  ,  cum  sine  dubio 
semper  esse  debeat  p  multo  maius  quam  ^.  Quia  vero  iam  ante  definivimus 
r  =  Adsmx,  habebitur  nunc 


Cum  nunc  sit  proximo  ^  =  1  sumique  possit  A"  =  l  et  X"  binario  sit  minus, 
k  vero  infra  50  capi  non  debeat,  valorem  ipsius  s  aestimare  poterimus;  tantus 
enim  esse  debet,  ut  numerus 


non  minor  prodeat  quam  50;  unde  patet  pro  s  sumi  debere  fractionem  valde 
parvam;  si  enim  esset  <?  —  -J-  et  m  —  100,   colligitur  circiter  £  =  55- 

EXBMPLTJM 
51   Ponamus  w  —  100,   a?  -2  dig.,   y  —  \tt%.  ideoque  <>  —  -j-,  et  ut 


160  LIBEI  SBCUNDI  APPENDIX     OAPUT  IV     §51-52  [a]  [545-546 

1  JM.      1  10° 

satis  magnum  obtineat  valorem,  sumamus  e  =  ^;  sic  emm  prodit  *  — ^~ 
seu  fc>50;  hinc  ergo  erit  r  =  10dig.  et  5  =  2  dig.  Deinde  cum  pro  speculo 
minore  debeat  esse  8000  >57j?,  erit 

8000 
P<~trf-' 


Unde  tuto  sumi  poterit  p  =  25  dig.  sicque  erit  y  =  -  ~  dig.  et  intervallum 
AB  =  BC=23-  dig.  et  CD  =  12  dig.  Oculi  vero  distantia  0  =  ~  dig.,  at 
campi  apparentis  semidiameter  #  =  12'53"?  ubi  probe  notandum  hie  ambo 
specula  assumi  perfecte  parabolica. 

SCHOLION 

52.  Quamvis  autem  haec  constructio  perfecte  succedat,  tameii  tale 
telescopium  tam  insigni  vitio  erit  praeditum,  ut  omni  usu  destituatur;  cum 
enim  radii  a  minore  speculo  reflexi  iterum  fiant  inter  se  parallel!,  radii 
peregrini  circa  hoc  speculum  transeuntes  et  in  lentem  0  incidentes  cum  illis 
refractionem  communem  patientur  simulque  cum  iis  in  oculum  deferentur, 
ita  ut  verum  obiectum  cum  vicinis  prorsus  permixtum  Tisioni  repraesentetur, 
neque  ullo  modo  separari  poterunt.  Cum  igitur  huius  vitii  causa  in  eo  sit 
sita,  quod  radii  a  minore  speculo  reflexi  fiant  parallel!  seu  intervallum 
fi  =  <x>,  ne  hoc  fiat,  diligenter  erit  cavendum,  quod  fiet,  si  distantia  fl  minor 
fuerit  intervallo  B  C,  ita  ut  in  hoc  intervallum  imago  realis  incidat  litteraque 
Q  negativum  obtineat  valorem.  Praeterea  vero,  quia  etiam  11  negativum 
valorem  habere  debet  ob  marginem  coloratura,  duae  iam  habebuntur  imagineB 
reales  et  obiecta  situ  erecto  cernentur.  Neque  vero  duabus  tantum  kntibus 
adhibendis  scopo  nostro  satisfacere  poterimus,  sed  tertiam  insuper  lentem  in 
subsidium  vocari  oportebit,  quae  commodissime  ita  instrui  poterit,  ut  aper- 
turam  quam  minimam  requirat,  siquidem  hoc  modo  segregatio  radiorum 
peregrinorum  felicissime  succedet,  quemadmodum  in  sequente  problemate 
ostendemus. 


547]          DE  TELESCOPIES  CATADIOPTRICIS  SPECULO  CONVEXO  IKSTEUCTIS          161 


PROBLEM! 2 

52  [a]1).   Suiusmodi  telescopium  cum  sjpeculo  minore  convexo  et  tribus  lentibus 
vitreis  construere,  quod  obiecta  situ  erecto  distincte  repraesentet. 

SOLUTIO 

Maneat  ut  ante  y  =  dx  et  intervallum  speculorum  AS  =  (1  —  s)p  =  BC, 
ut    sit    fc  =  —  ep .      lam    cum    debeat   esse    /3  <  (1  —  s)p    et   tamen   superare 


\\ 

s 

«             * 

;?r 

T 

u 

V                J- 

C 

D 

E 

F 

4 

3t 

T 

U 

Fig.  9. 


debeat  ems  semissem  -|-(1  —  e)jp,    statuamns   /3  = 
limites  1  et   c    contineatur;  hinc  ergo  fiet 


—  s)p,   ita   ut   ^  inter 


6- 


Turn  vero  erit 


Porro  vero  erit 


sicque  habebimus 


Statuatur  igitur  praeterea  JB  =  —  ft  flatque 


1)  Editio  prinoeps  falso  pro  numero  68  iterat  numerum  52.          E.  Oh. 
Opera  omnia  lU*  pioptriea 


162  LIBEI  SECUNDI  APPENDIX     CAPUT  IV     §  52  [a]  [547—54 

unde  reliquae  distantiae  focales  erunt 

(1  —  «)(!— 


- 

r  =     —  s      —          ,       s  =  - 
et 


em 
reliquaque  intervalla 


unde  intelligemus   esse   debere    C  >  0    ideoque    E  <  1    et    (l  —  -~)  D  >  0.     U1 
vero  fiat  t>Q,  debet  esse  D<0  ideoque  S<1. 

Consideretur  nunc  aequatio  pro  margine  colorato  tollendo,  quae  est 


sive    r  =  T  +  ;' 
ut  iam  secunda  lens  nulla  apertura  indigeat,  statuatur  §  =  0  eritque 

r--L- 

r      *8' 

aequationes  autem  pro  litteris  r,  §,  t,  posito 


m  —  1 
sunt 


1.    Sq--. 


. ).,_,, 


Ex  prima  autem  habetur 
Ex  tertia  autem  fit 


548—549]     DE  TELESCOPHS  CATADIOPTBICIS  SPECULO  CONVEXO  INSTEUOTIS     163 
qui  duo  valores  inter  se  aequati  dant 


Mncque 


Turn  vero  ob    if=l±lii±M).  reperietur  etiam 


ex  quorum  valorum  aequalitate  ob   m  =    .^^  -  8  reperitur  tandem 

Y  ^/  s1  \          I          /       i          /  \  O    y^1*        I          y 


seu 

S'- 

unde  concludimus  esse  debere 

c>^>  +  6     sive 


Praeterea  vero7  ut  ex  secunda  aequatione  pro  (£  prodeat  valor  positivus, 
necesse  est,  ut  sit  q  <  0  ideoque  etiam  33  <  0,  unde  speculum  minus  foret 
concavum;  verum  ut  fiat  85  <  0,  debet  esse  £<  $(£  +  !)  seu  €  >  ^f-j-  Hoc 
vero  non  sufficit,  sed  insuper  necesse  est,  ut  sit 


seu 


unde  sequitur  e>  l^;  quod  cum  nullo  modo  fieri  queat,  quia  ^  intra  limites 
1  et  -J  continetur  et  8  unitate  minus  esse  debet,  nunc  demum  intelligimus 
hunc  casum  locum  habere  Eon  posse, 


LIBEI  SECUNDI  APPENDIX     CAPUT  IV     §  53-54  [549—550 

ALIA  SOLUTIO 

53.  Quondam  igitur  hoc  incommodum  inde  nascitur,  quod  snmsimus  E 
negativum,  consideremus  alterum  casum,  quo  8  fit  negativum  manente  R 
positivo,  et  quoniam  Q  positum  est  negativum,  ponamus 

Q  =  —  i     et     S=  —  k, 
ut  sit 


calculus    autem    commodior    evadet,    si    littera    i    retineatur,    et    cum    sit 

i  =  -£  et  (3  -f  c  =  (1  —  e)_p,  evidens  est  capi  debere  i  >  1  eritque 

unde  fit 

5  =  +  A  =  _  i(1~~£)     et    S  —  +  -r--^-1-—^— 

hincque 

ififi— a) 

xv  .  >  / /n 


M  _____.. 
Eeliquae  vero  distantiae  focales  erunt 


et  duo  reliqua  intervalla  erunt 


Ut  igitur  fiat  #  >0,  debet  esse  OD  negativum,  quo  ipso  etiam  ultimum 
intervallum  fit  positivum.  Ut  vero  et  penultimum  fiat  positivum,  debet  esse 
C(l  —  -g-)  positivum. 

Conditio    porro    marginis    colorati    sumto    $  —  0   praebet    r  —  m    sive 
t  «=  Ekx,  et  cum  sit 

L±I±* 


551—552]     DE  TELESCOPES  CATADIOPTKICIS  SPECULO  CONVEXO  INSTEUCTIS    165 
satisfieri  oportet  his  tribus  aequationibus  : 


3. 

Ex  tertia  ergo  fit 


Mncque 

q  +  r(l  +  Rfy  _  _  *..  jf  +  jsjr  =  Jf  (m  —  1), 

unde  colligitur 


simulque 


ex  quo  valor  ipsius  q  prodit  negativus;  qui  cum  ex  prima  forma  prodeat 
positivus,  siquidem  est  33  >  0,  patet  etiam  hanc  solutionem  locum  habere 
non  posse,  siquidem  secundum  speculum  est  convexum,  uti  assumsimus. 

TERTIA  SOLUTIO 

54    Pro   repraesentatione   igitur  erecta  unicus   tantum    casus   superest, 
quo    sumto    Q  positivo    ambae   litterae   E   et  S  negatives   obtinent  valores. 

Statuamus  igitur 

#«=  +  *,  R^  —  Jc  et  S***  —  V, 

ut  sit 

PQR8-m~~t    hincque    ^-7"- 

Porro  erit 

/^(Lz:*)  «    CJ    .(i-^.g      ,      - 
0_  .__.£,    c«       i_i    f, 

unde  fit 

^«JZ!^Z±    et    »-     *^L-; 

«(*—!)  »(1  —  2a)  +  a 


166  LIBEI  SECUNDI  APPENDIX     CAPUT  IV     §  54  [552-553 

quare  distantiae  foeales  sequent!  modo  se  habebunt: 
-stfi-e)  -(!-£)(£ 

/y  -  _  i  _  <_  .  /vj  /y  -  ,  ^  _  ' 

2~i(l-2i)  +  eP' 
et 

-(l 


e  -—•_  • 

-l  '      S~ 


*(»-!)»» 
Intervalla  vero  lentium  erunt 


unde  intelligimus  esse  debere  C  <  0  et  D  >  0  ideoque  S)  <  1  et  3)  >  0. 
Nunc  autem  conditio  marginis  colorati  dabit 


unde  patet  esse  debere  r  <  0  seu  ob  lentem  G  campum  diminui.  Ponamus 
ergo  hie  r  =  —  co,  tit  fiat  t  =  wfc#  =  -^-o>,  quandoquidem  etiam  hie  assum- 
simus  §  =  0;  pro  campo  ergo  apparente  erit 


cui  sequentes  tres  aequationes  sunt  adiungendae: 


1.    8q.Lpf.jf, 


2.    —  eo,.*Z.i.j|f 

£ 


3.    0= 

Ex  hac  ultima  ergo  concludimus 

q  M  a, 


553—554]     DE  TELESCOPES  CATADIOPTRICIS  SPECULO  CONVEXO  INSTRUCTIS     167 
addatur  utrinque  a>  (~ ~J-  —  l)    eritque 


ex  quo  colligitur 


i(ms  +  ik)  ' 
unde  vicissim 

q  ^  gm (a  -- %    ~-  gj  +  i — ^^ 

Ex  prima  vero  aequatione  fit 


quorum  valorum  aequalitas  suppeditat  hanc  aequationem: 

aim(i  —  ik  — 


seu 


ex  qua  aequatione  mvenimus 

t        sm(i*  —  i(l  —  c)~  c) 

=  -        -  -  - 


seu 


qui  valor  debet  esse  positivus;   quern  in  finem  sumi  debet   i>l   et   i<em. 
lam  substituto  valore  ipsius  k  reperitur 


Ex  secunda  denique  aequatione  colligimus 

Securida  vero  aequatio1)  dat 

re mv  +  e)(*~~""1) 


1)  SciHoet  aequatio  *  ^  SSt^li ,         E.  Oh. 


168  LEBBI  SECUNDI  APPENDIX     CAPUT  IV     §  54-59  [554-555 

qui  valor  ergo  est  negativus  ideoque  et  (7<0,  uti  supra  iam  requirebatur. 
Litterae  autem  ©  et  D  arbitrio  nostro  manent  permissae,  dummodo  D  po- 
sitive capiatur;  quod  tandem  ad  ipsam  quantitatem  p  attinet,  earn  ex  con- 
fusione  definiri  convenit  ope  formulae  notae?  ubi  inprimis  dispiciendum  erit, 
utrum  speculis  figura  sphaerica  inducta  sit  an  parabolica. 

COROLLARIUM  1 

55.    Si   ergo    littera   t   in   calculum   introducatur,    quam    licebit   unitati 
aequalem  sumere,  pro  campo  apparente  habebimus 


m(sim  —  i(l  —  s)  —  s)     9 

quippe  qui  valor  per  859  min.  multiplicatus   dat  semidiametrum  campi    <£. 
Yidimus  autem  litteram  i  intra  limites  1  et  em  capi  debere. 

COEOLLARIUM  2 

56.  Si  caperetur  i  =  l,  foret  /?  =  oo   et  radii  a  speculo  minor  e  reflexi 
flerent  inter  se  paralleli,  unde  vitium  supra  memoratum  oriretur,  quod  scilicet 
radii   peregrini   ita    cum    propriis    permiscerentur,    ut   nullo    modo    separari 
possent;    qui   casus   cum  sit   sollicite    evitandus,    litteram  i    unitate    multo 
maiorem    accipi    conveniet,    neque  tamen   alteri  limiti    em    aequalis   assumi 
potest,  quia  alioquin  campus  prorsus  evanesceret. 

COROLLABIUM  3 

57.  Calculum   instituenti    facile   patebit  maximum    in   hac    expressione 
M  locum  non  habere  et  eius  valorem  eo  magis   diminutum   iri,   quo   maior 
littera  i  accipiatur.     Quare,  cum  esse  debeat  i>l,  si  sumamus  i  —  2,  erit 


—  2) 

sicque   pro  magnis   multiplicationibus   Jf  —  ^--t,  qui  valor  etiam  prodit,   si 
capiatur  i«3  vel  4  eta,  dummodo  i  sit  multo  minus  quam  em,  qui  campus 


555—556]     DE  TELESCOPIIS  CATADIOPTBICIS  SPECULO  CONVEXO  INSTRUCTIS     169 

simplex   censeri   solet.     Sin   autem   medium   inter  limites   sumendo  capiatur 
i  —  £W  + 1     ge-|- 


et  pro  magnis  multiplicationibus  campus  ad  dimidium  redigetur. 

COEOLLABIUM  4 
58.    Idem  etiam  patet  ex  primitive  yalore  ipsius  M,  qui  est 


_ 

m  —  1 

pro  quo   r  =  —  a>  =  —  ~^  •     Etsi  autem  q  addi  debet,  tamen  ex  superioribus 
patet  esse  q  <  o>;  erat  enim  ex  tertia  aequatione 


(iJ  -,r 

q  =  03  —  ±  —  -!—z  •  M  . 

n 


SCHOLION  1 

59.  Circa  campum  autem  inprimis  est  inquirendum,  an  loco  t  scribere 
liceat  unitatem,  quod  iudicium  ex  prima  lente  G  est  petendum,  cuius  semi- 
diameter  aperturae  revera  est  =  dx,  ob  campum  autem  esse  debet  ==~xr. 
Cum  igitur  sit  r  =  —  **  et 

0  stn 

—  (1  —  «)  6  em  (1  —  c)  (f  +  *) 

—    _^r  .    J—  .  -  .A..  -  -Z^."/   .   -M 


iam  supra  autem  mvenerimus  esse 

c^  j.  ^^       swO'Ow  +  s--  1) 

o  //§»  "™r"  d-  /v  -—  "^  ***   """"  —"—  .  .,~~™~-—  «  -~  ---...— 

*(6«w  —  *) 
quocirca  erit 


unde;  nisi  fuerit 

EULBBI  Opera  omnia  III  4  Dioptrica 


170 


LIBEI  SECUNDI  APPENDIX     CAPUT  IV     §  59-61 [556—557 

turn  sumere  licebit  t  — 1.  Contra  vero  t  tanto  minus  imitate  capi  debebit, 
ubi  notasse  iuvabit  esse  <?>£.  Quoniam  autem  hae  formulae  nimis  sunt 
complicatae,  quam  ut  in  genere  omnia  momenta  pro  constructione  telescopii 
commode  exprimi  queant,  statuamus  i  =  -^-(sm-\-l},  ut  intervallum  CD 
minus  evadat,  etsi  campus  ad  semissem 'redigitur;  deinde  enim  videbimus, 
quomodo  campus  amplificari  possit.  Posito  autem  i  =  — g —  erit 


qui  valor  abit  in  k  =  2  pro  magnis  multiplicationibus. 
Deinde  vero 


-~l)2  _    T      _  (gw  +  2g  +  l)(m  —  1)1  ? 
—  1"—  2  a     L  2«m+  lfiW  +  fi  +  i)J  ' 


_ 
1)"—  2  a) 

unde  (7  reperitur. 

SCHOLION  2 

60.  Quia  vero  valor  i  =  ^ii  merito  nimis  magnus  videri  potest, 
pro  i  potius  medium  geometricum  sumamus  sitque  i  =  Yem,  ac  primo  pro 
campo  apparente  fiet 


+  s 
Deinde  vero  habebimus 

,  _  g  +  ysm 

A/   -  ~~~.         " 

yem 
hincque 

et 


Ex  his,  si  ponamus  J)  =  0,  ut  sit  S)  —  ^?^,  reperientur  distantiae  focales 

) 
>  p, 


557—558]     DE  TELESCOPHS  CATADIOPTEICIS  SPECULO  CONTEXO  INSTKUCTIS     171 
Intervalla  vero  lentium  erunt 


2  sm 


£«(£ 
Pro  loco  autem  oculi  erit  .      .       . 

n  __  «  __  em  +  Yem  +  s  ±_J^    ,       1       ,     1\ 
M  m  ~  am  '  t~t  \L  +  y^  +  W' 

Pro  aperturis  autem  invenimus 

t  , 

I,  t      -      --  "  -  t/U  &      -      \J  . 


y  , 

(fm+  K  £m  +  fi)]/« 
Licebit  autem  sumere  t  =  l,  nisi  prodeat 


Lenti  autem  in  D?  pro  qua  est  g  =  0,    apertura  tribui  debet,  cuius  semidia- 
meter  sit  S==:P^  =  —  ^  —  ,  ita   ut  huius  lentis  apertura  sit  tarn  exigua,   ut 


ad  radios  peregrinos  arcendos  apprime  sit  accommodata.  Interim  tamen,  quia 
campus  apparens  hie  nimis  est  exiguus,  utique  operae  erit  pretium  huic 
goneri  telescopiorum  maiorem  campum  procurare,  quod  in  sequente  proble- 
mate  praestabimus. 

PEOBLBMA  3 

61.    Telescopiorum  generi  in  problemate  praecedente  descripto  novum  gradum 
perfections  addere,  dum  eius  campus  apparens  amplificatur. 

SOLUTIO 

Fit  hoc  additione  novae  lentis,  ita  ut  nunc  telescopium  ex  duobus  spe- 
culis  et  quatuor  lentibus  componatur.    Maneat  autem  ut  ante 

P—  -I,     Q^i,    R 


172 


UBEI  SEOUNDI  APPENDIX     CAPUT  IV     §  61  [559 


quibus  accedente  littera  I  sit 

ikVT 
-  =  m] 

c 

deinde  sit  etiam  ut  ante 


ex  quibus  distantiae  focales  ita  formabuntur  : 

.      eBCD® 


et 

sBODE  BCDE 


et  intervalla 


ubi,  cum  sit  B  <  0,  debet  esse  C<  0,  deinde  D  >  0.  Porro  ut  fiat  u  posi- 
tivum,  debet  esse  E<0  Mncque  ob  ultimum  intervallum  T<1.  Nunc 
statuatur  etiam  t  =  —  co,  §  =  0,  et  ut  campus  maximus  evadat,  ii  =  t,  ut  sit 


Ut  vero  margo  coloratus  evanescat,  debet  esse 


„  _  _*- + _«_  _  .t-/i+-M 

If  IP  If  If    ^p  If  If      \  1^  J   ^ 

iv  fu  tv  IV   JL  fu  iv      \  JL    / 

et  quia  debet  esse   T<I>   sumatur  statim   T«=*  J  ,   ut  sit  m^*^c    hincque 


'=2-;~;  turn  igitur  erit  w-^'-t  ac  yicissim  t  — s *8**;  unde  fit 


560-561]     DE  TELESCOPHS  CATADIOPTEIGIS  SPECULO  CONVEXO  INSTEUCTIS    173 
Nunc  antem  considerari  oportet  sequentes  quatuor  aequationes: 

1. 


e 


o        A  ik+ 

3.    0  =  — 


4.    (gt~ 


£ 

Ex  tertia  igitur  habemus 


s 

addatur  utrinque   *gm<0    ac  prodibit 


unde  invenitur 


seu  substitute  valore  ipsius  co 


M--    2£     -t 

^K4L  -  ""•;"  ~-~z~     i 


atque  insuper  ex  eadem  aequa^one  erit 


at  vero  prima  aequatio  dat 
quorum  valorum  aequalitas  praebet 
unde  fit 


174  LIBEL  SECUNPI  APPENDIX     CAPUT  IY     §  61-62  [561-562 


qui  valor  ut  sit  positivus,  debet  esse 

i  <  —  em     simulque     i  >  —  (l  —  e  +  Vl  +  e  + 

o  £> 

Hinc  autem  valore  ipsius  k  definite  secunda  aequatio  dabit 

«,       —  4  s  m  i*  —  i(l  •—  g)  —  a)       •— 


_ 

=  ____  _        _____ 

sive  ex  altero  valor  e  ipsius  q 


erit  ergo  ob  (S<0  etiam  C<0,  uti  requiritur;  ex  quorum  valorum  aequalitate 
idem  valor  pro  k  qui  ante  prodit.     Notetur  autem  hie  esse 


-  -    T-.  --  w 

1  ^(4:sm  —  3z) 

unde  fit 


2m  (aim  —  i(l  —  g)  —  g) 

Deinde  vero  littera  D  arbitrio  nostro  permittitur,  dummodo  sumatur  positiva. 
Quarta  denique  aequatio  nobis  praebet  valorem  litterae 


~,  _ 

-(1  —  g)i  — 


qui  valor  sponte  positivus  et  unitate  maior  est;  quare  -2/<07   uti  oporfcet.1) 

1)  Editio  princeps:  Quarta  denique  aequatio  nobis  jpraebct  valorem  litterae 

4,eim  —  2i(l  —  e)  —  2  e 


a* 

8 

guare  ut  E  prodeat  negatimm,  ojportet  esse  (£  >  1  sive 

4:Siwi  —  2^(1  —  s)  —  25  >  ^(gm  +  *&) 
ipsius  em  +  iJc  substitute 

(4csm  —  3i)(4gfm  —  2i(l  —  g)  —  2g)  >  4gm(gim  —  i(l  —  g)  — 
?a#  necesse  est  sit 


gponfa  cvewft,  cwm  certo  sit  i  <  g?n,  Oorrexit  E,  Oh. 


562—563]     DE  TELESCOPES  CATADIOPTBICIS  SPECULO  OONVEXO  HTSTRTTCTIS    175 
Tandem  pro  loco  oculi  habebimus 

ft  =    iu    2  (sim—i(L  —s)  —  E) 

~  Mm  ~        »(4«f»-3i) U 
sive 


Superest    porro,    ut   diiudicemus/  an    pro    t  unitas    accipi    queat/  quod 
licebit,  si  fuerit 


seu 


Contra  vero  accipi  debet  t  =  ~-^~,  quo  casu  campus  in  eadem  ratione  dimi- 
nuetur,  in  qua  t  ab  unitate  deficit.  Quod  autem  ad  quantitatem  p  attinet, 
ea  ex  aequatione  nota  definiri  debet  speculorum  ratione  habita,  utrum  sint 
sphaerica  an  parabolica. 

COROLLARIUM  1 

62.     Quia    lens    in    D,    quam    minimo    foraminulo   pertundi    sufficit,    a 
lente  C  distat  intervallo 


radii  autem  peregrini  in  lentem  C  incidentes  post  earn  colliguntur  ad  distan- 
tiam  r  —  8  /  -jp?  ut  hi  radii  excludantur,  necesse  est,  ut  hae  duae  distantiae 
a  se  invicem  discrepent,  seu  notabilis  differentia  esse  debet  inter  has  quanti- 
tates  C7(l  +  -J")  et  (£,  hoc  est  inter  1  +  y  et  1  —  ®  seu  inter  -™  et  —  (£. 
Est  vero 

1  =     _^!(ii?lZLl*)  __         t     —  Cf  =  ( 
k        7m(8i*  —  4i(l—  «)—!:«)  3 

quare,  cum.  ratio  inter  has  quantitates  debeat  esse  admodum  inaequalis, 
haec  fractio; 


^_ 
«w(Sr 

plurimum  ab   unitate  discrepare  debet;    at  differentia  inter  numeratorem  et 
denominatorem  satis  est  uaagna,  ut  aequalitas  non  sit  metuenda. 


176  LIBRI  SEOUNDI  APPENDIX     CAPUT  IV     §  63-64  [563-565 


COB.OLLAKIUM  2 

63.  Quodsi    autem    sumamus    i  =  2,     fractio    ilia    ab    unitate    diversa 
evadet   =  Q^sm  +  *  —  ?L9    quae  utique  satis  ab  unitate  discrepat,   ut  transitus 
radiorum  peregrinorum  neutiquam  sit  metuendus.    Campi  autem  ratio  maxime 
exigit,   ut  ipsi  i  tarn  parvum  valorem  tribuamus,    quam  circumstantiae  per- 
mittunt.     Ceterum  multo  magis  ille  transitus u  evitabitur,  si  capiatur  i  <  2. 

EXBMPLUM  1 
Pro  multiplicatione  w  =  50 

i  i  *  ... 

64.  Ponamus   Me   $  =  ~~ ,    £  =  ™ ,  et   quia   haec    multiplicatio    postulat 

#==ldig.,  erit  2/  =  ~dig.     Deinde  statuamus  ^  =  3;   erit 

(i  +  8)(i  —  1)  =  6,4,     3i2—  4i(l  —  e)  —  4^  =  16,6,      em  =  10,      4=sm  —  3i  =  31, 


JL^  \/  •  <Vx  £ 

7  0 

166 


1,78s1),      [k  =  0,595],     em  +  iJc  —  15,355, 
®  =  —  0,6175,     C—  —  0,3817,     @  =  2,4921,     J5—  —  1,6702, 
uncle   elementa   primitiva  sequenti  modo  definientur   ponendo  6  loco  D,    ut 


=  0,1526^, 


=      0,0855  dp?}       e  =  0,0229  0j», 
=  _  0,0382  ^i?,8)       /•==  0,0764  ^j3; 


1  fifi 

1)  Editio  princeps:  Jc «  — «     Ob  falsum  valorem  ^  et  inaccuratam  formulam  pro  @  (vide 
notam   pag.  174)   omnes  numeri  a  k  et  @  dependentes  in  §  64—72  inacourati  evadunt;   quia 
autexa  parvi  naomenti  esse  videtur  illos  numeros  accuratius  induci,  eorum  emendatio  hie  omittitur, 

E.  Oh. 

2)  Hac  in  paragrapho  littera  $  duos  differentes  valores  habet,  alterum  $  ~*      ,   altarum 
S  «=  ^D,  i.  e.  distantia  determinatrix  posterior  secundae  lentis  SS;  similiter  littera  s  denotatur 
modo  5  =  ~T,  modo  distantia  determinatrix  posterior  $***eE  tertiae  lentis  TT+  E.  Oh, 


565-566]    DE  TELESCOPIIS  CATADIOPTRICIS  SPECULO  CONVEXO  INSTRUCTIS     177 

ex  quibus  intervalla  colliguntur 

AB  =  SC=  0,8  ;p,     CD  =  0,2381  #,     J)E=  0,1084  ^jp,     EF=  0,03S2tf^, 

sicque  tubus  foramini  speculi  annectendus  erit  circiter  ^yjf?. 
Distantiae  vero  focales  erunt 

q  =  35&  =  —  0,24  j9,      r  =  &c  =  0,247^?,      s  =  Qd  =  0,0855 •  p, 

t=&e  =  0,0571  #£>,       u  =  f=  0,0764:6  p. 
Praeterea  pro  hoc  casu  habebimus 

M  ~  2?!o  *  =  °>0339  i  (8?53°  7323)  • 
Turn  vero 

q  =  0,113 1,     r  —  —  co  —  —  0,45 1. 

Nunc  igitur  videamus,  an  pro  t  sumi  possit  unitas  nee  ne?  Quern  in  finem 
consider  emus  valorem 

rr  =  4:dx     seu     0,111  jp  t  —  1  dig., 

unde  fit  t  =  ^]Q^  =  y,  unde  apparet,  si  p  fuerit  novem  digitorum  vel  minus, 
turn  sumi  posse  t  —  1,  sin  autem  fuerit  p  >  9  dig.,  turn  sumi  debet  t  =  - ,  et 
campus  tanto  fiet  minor.  Circa  locum  oculi  vero  notandum  est  esse 


Nunc  vero  restat  praecipua  investigatio  distantiae  focalis  p,  quae  ex 
mensura  confusionis  colligitur, 

0,125  —  0,0283  +  0,00131  /*  (A  +  y  (£  (1  • 
+  0,003 1  /u  (      ^  a     +    -  $     )  H — " — 2^—  ( Ar/+  v  @  (1  - 

Circa  hanc  expressionem  vero  sequentia  observemus: 

L  Si  speculum  principale  sit  parabolicum,  primum  membrum  post 
signum  radicale  0,125  omitti  debet;  ac  si  etiam  minus  speculum  esset  para- 
bolicum, turn  quoque  secundum  terminum  omittere  liceret  Consultius  autem 

Opera  omnla  III4  Dioptrica  23 


178  LIBEI  SEGUFDI  APPENDIX     CAPUT  IY     §  64-65  _  [566-568 

videtur  solum  primum  speculum  parabolicum  efficere,  alter!  vero  figuram 
sphaericam  perfectam  inducere;  turn  enim  sequentia  membra  ita  instrui  sive 
litterae  A,  A',  A"  cum  littera  6  ita  assumi  poterunt,  ut  ista  membra  a  secundo, 
quod  est  negativum,  perfecte  tollantur  sicque  tota  confusio  ad  nihilum  redi- 
gatur.  Quod  si  successerit,  sufficiet  litteram  $>  ex  sola  apertura  definire, 
sumendo  scilicet  p  =  4#  vel  Qx  vel  7#,  prouti  visum  fuerit.  Hoc  ergo  casu 
ob  x  =  1  dig.  distantia  focalis  p  tuto  minor  quam  9  dig.  accipi  poterit. 

II  Cum  igitur  suini  possit  p  <  9  dig.,  ponere  licebit  t  =  1  et  campi 
apparentis  semidiameter  erit  =  859  M  minut.  =  29  minut.  Turn  autem  binas 
postremas  lentes  utrinque  aeque  convexas  confici  oportet,  unde?  si  lentes  ex 
vitro  communi,  pro  quo  est  n  =  1,55,  parentur,  erit 


=  1,6299, 

at 

r  —  1  +  0,6299  (1  —  2  (£)2  =  10,9991  . 

III.  Quia  adeo  capere  liceret  jp  =  4dig.,  ne  distantia  focalis  ultimae 
lentis  fiat  nimis  parva,  sufficiet  statuere  6  =  1  atque  hinc  erit  ultimutn 
membrum  nostrae  formulae  =0,00055.  Pro  penultimo  membro  erit 


—  (g)  —  —  0,8649 
ideoque 

—  @)-  10,1342 


ac  propterea  totum  membrum  =0,00047.     Quocirca  ambo  postrema  membra 
iunctim  sumta  dabunt  0?00102. 

IV.    Pro  prima  autem  lente  erit 

y  (£(!  —  (£)-  —  0,2323, 
unde  totum  membrum  inde  natum  fiet 

=  0,00123^  —  0,00028. 
Pro  secunda  autem  lente  erit 


568—569]     DE  TELESCOPIIS  CATADIOPTRICIS  SPECULO  CONYEXO  INSTRUCTS     179 

hincque  totum  membrum  erit 

=  0,0232  A'  +0,00135. 
V.   His  ergo  inventis  litteras  A  et  A'  ita  deflniri  oportet,  ut  flat 

0,0283  =  0,00123  A  +  0,0232  A'  +  0,00209 
sive 

0,0262  =  0,00123  A  +  0,0232  A', 

ubi  notandum  litteras  A  et  A'  imitate  minores  esse  non  posse;  statuamus  ergo 
A'-=l   et  esse  debebit  0,0030  =  0,00123  A   hincque 

;  =  °>QQ3QQ  =  300  ^  o  44. 
0,00123  ~  123  ~    ' 

Hinc  igitur  consequimur  sequentem  constrnctionem: 

TELESCOPIUM  CATADIOPTRICUM  PEO  MULTIPLICATIONE  m  =  50 
65.   Ex  iis,  quae  modo  evolvimus,  obtinemus  sequentes  determinationes: 

L  Pro  speculo  principal!,  quod  exactissime  secundum  figuram  paraboli- 
cam  elaborari  debet,  distantia  focalis  accipi  posset  p  ==  4  dig.  Interim  tamen 
litteram  $  quasi  indeterminatam  in  calculo  retineamus. 

Semidiameter  aperturae  huius  speculi  x  ==  1  dig.  et  semidiameter  fora- 
minis  yM^ojfiss—  dig. 

II.  Ante  hoc  speculum  ad  intervallum  ==0,8jp  constituatur  speculum  se- 
cundum QBQ,  pro  quo  debet  esse  distantia  focalis  #  =  —  0,24j?,  ita  ut  hoc 
speculum  debeat  esse  convexum  et  ad  figuram  sphaericani  exacte  elabo- 
ratum.  Kius  aperturae  semidiameter  =  4  dig. 


III.    Post  hoc  speculum  in  ipso  foramine  speculi  maioris  ad  distantiam 
****  £$«0,8#  constituatur  lens  prima  ex  v 
cuius  distantia  focalis  sit  r  ««  0,247  j?,  capiendo 


$«0,8#  constituatur  lens  prima  ex  vitro  communi  w*==l,55  paranda, 


A 
.          uj 

t  <^-cr->i?-l 

radium  faciei  < 

posterioris  —  - 

—  ftr—  , 

23* 


180  LIBEI  SECUNDI  APPENDIX     CAPUT  IY     §  65—66  [569—571 

Semidiameter  aperturae  =  ~  dig.  ut  foraminis  et  intervallum   usque  ad 

lentem  secundam 

=  0,2381  jp=  CD. 

IV,    Pro   secunda   lente   SDS,    cuius    distantia    focalis    s  =  0,0427  p,    ob 
3)  =  -i-  et  X  =  1  capiatur 


radius  faciei  < 


anterioris    =  — j =        Q    =  0,0469  7  p 

posterioris  = ~ =  09090  =  Q'^697^. 

Eius  aperturae  semidiameter 

:  0,037  dig. 


PQE        26,775 

et  interyallum  ad  tertiam  lentem 


V.  Pro  tertia  lente,  cuius  distantia  focalis  t  =  0,0571  jp,  capiatur 

radius  utriusque  faciei  =  0,0628  jp. 

Eius  aperturae  semidiameter  =====  ~*  #  =  0,0142$  et  intervallum  ad  qnartam 
lentem  =  0,0382  p. 

VI.  Pro  quarta  lente,  cuius  distantia  focalis  u  =  0,0764  p,  capiatur 

radius  utriusque  faciei  =  0,0840  p. 

Eius  aperturae  semidiameter  ==  *  u  —  0,0191j>  et  intervallum  ad  oculum 
=  0,58^  =  0,0443^). 

VII.  Tubi  ergo  anterioris  ambo  specula  continentis  longitudo  aliquanto 
maior   est    quam   0,8^9.     Tubi   vero   posterioris   lentes   continentis   longitudo 
erit   —  0,4292  jp   sicque  totius  instrumenti  longitudo   erit   circiter  —  1,4292$), 
ita  ut  sumto  p  —  5  dig.  haec  longitudo  futura  sit  7  dig, 


571—572]    DE  TELESCOPES  CATADIOPTEICIS  SPEOULO  CONVEXO  INSTRUCTIS     181 

VIII.  Campi    autem    apparentis    semidianieter    iam    supra   indicata    est 
=  29  minut,  quae  pro  multiplicatione  m  =  50  satis  est  notabilis. 

IX.  Diaphragmatis  sive  septis  in  locis  imaginum  realium  collocandis  hie 
plane  non  erit  opus,  cum  secunda  lens  tarn  exiguam  habeat  aperturam,  quae 
radios  peregrinos  omnes  excludat.     Interim  tamen,  si  in  loco  primae  imaginis 
realis,  quae  post  primam  lentem  cadit,  ad  interyallum  jr  =  0?1526^>  collocetur 
diaphragma,  eius  foraminis  semidiameter  sumi  debet  =  0,127^;  hoc  vero  dia- 
phragmate   vix   erit    opus,    cum   radiorum    peregrinorum   in   lentem   primam 
incidentium  imago   cadat  post   hanc  lentem   ad   distantiam   r  =  0,247 p,    dum 
ea   radiorum   propriorum    cadit    ad    distantiam   y  =  0,1526 p,    quod    discrimen 
satis  est  notabile. 

X.  Si    quis   metuat,   ne   a   tarn  exiguo  speculo,   cuius  semidiameter  est 
=  1  dig.  quodque  adeo  foramine  est  pertusum,  nimis  exigua  luminis  copia  ad 
oculum  transmittatur,  is  tantum  mensuram  digitorum  pro  lubitu  augeat;  nihil 
enim   impedit,    quominus   mensura   digiti   adeo   duplicetur.    'Hoc  enim  modo 
claritas  ad  lubitum  augeri  poterit  neque  tamen  instrument!  longitude,    quae 
per  se  est  parva,  ob  hanc  causam  enormis  evadet. 


BXEMPLUM  2 
Pro  multiplicatione  m=— 100 

66.    Statuamus   hie    $=  r  et  £  —  -*-,   ut   sit  m  =  20.     Turn   vero  su- 

4  5  7 

mamus  i •*•  4,  quo  tubus  brevior  evadat,  atque  habebimus 

P-  1  =  5,     (?  -  *  -  4,     JB  -  -  ft  =  -  J-|  -  -  0,63235 

£  DO 

ob 

O 

porro 
Unde  fit 


20,     PQR 12,647,     PQRS^200     et 

Beliquae  vero  Htterae  reperientur 


182  LIBBI  SECUNDI  APPENDIX     CAPUT  IV     §  66          '  [572-574 


J3  =  -      =  -5,333, 

17.91  3^7 

(£  =  —  i-L-li  =  —  0,93211  (9,9694694)  ,      C  =  —  ^  =  —  0,4824  (9,6834398) 

OOG  *  4:U 


et 


=  3'4755  (O'5410119)1)'     %  =  -  -  -  U039  (0,1473490) 


unde  colligimus 


log.  B  (E  =  0,6964410  ,       log.  J?  (7©  =  0,9514233  , 
log.  S  C  =  0,4104114,       log.  BGE=  0,5577604  (-)  . 


His  praemissis  elementa  nostra  erunt 


b  =  -^^  —  ~ 
—  l,0666jp,  c  =  —  0,2666^, 

=  0,1286jp,  d  —  0,20344.p, 

=  0,20344  ^j>,  e  =  0,01286  tfj?, 

=  —  0,01806  dp,       f=  0,03612  tfjp, 


unde  statina  obtinemus  intervalla 


=  0,3320^, 
DE  =  0,2163  dp  ,     EF  =  0,01806  dp  . 

Distantiae  vero  focales  ita  se  habebunt: 

2  =  S$6  =  _  0,246  j>,    r  =  (£  c  =  0,2485  jp, 
5  =  2)^  =  0,2034^-^,     *  —  (£e-  0,044700,     w  —  /1—  0,036100. 

Praeterea  vero   erit  w  =  0,3t==  —  r,  unde  aequatio  'rr  —  4da;  abit  in  hanc 


1)  Vide  notam  1  p.  176.         E.  Oh. 


574-575]     DE  TELESCOPIES  OATADIOPTEICIS  SPECULO  CONVEXO  INSTOUCTIS     183 

0,07455  tp  =  x;  quare,  si  sumatur  x  =  2  dig.,  hinc  fiet  t  ==  0  Q7455  -  Dummodo 
igitur  fuerit  p  <  26  dig.,  capere  licebit  t  =  1  binasque  ultimas  lentes  utrinque 
aeque  convexas  fieri  oportet.  Verum  si  etiam  Me  liceat  totam  confusionem 
ad  niMlum  redigere,  ob  %  =  2  dig.  sumi  adeo  posset  jo  ===  8  dig.,  etiamsi  praestet 
ipsi  p  maioreni  valorem  tribuere;  unde  patet  tuto  assumi  posse  0  =  1. 

r*A 

Praeterea  yero  pro  campo  apparente  habebitur  Jf=^-^t;  quare,  si  capi 
poterit  t  =  l,  semidiameter  campi  apparentis  erit 

•z-        859-34 


et  pro  loco  oculi  habebimus 

0  =  0,563^  =  0,02037^. 

Denique  ut  tota  confusio  evanescat,  primum  speculum  perfecte  parabo- 
licum  confici  necesse  est  atque  turn  esse  debebit 


ubi  ut  ante,  si  refractio  vitri  sit  n  =  1,55,   erit 

A'"  —1,6299 

et 

A"  =  1  +  0,6299  (1  —  2@)2  —  23,308, 

unde  aequatio  nostra  praebebit 

0,02864  —  0,000382  A  —  0,00016 

+  0,034843  A' +0,00200 

-  0,00001 

+  0,00015 

+  0,00032 

sive 

0,02634  —  0,000382  A  +  0,03484  A', 

quae  aequalitas,  quia  A  et  A'  imitate  minores  esse  nequeunt,  subsistere  non 


184  LIBEI  SEOCNDI  APPENDIX     OAPUT  IV     §  66-67  [575-576 

potest.     Quamobrem  coacti  sunms  ipsi  6  maiorem  valorem  tribuere;  sit  ergo 
Q  =  2  et  nostra  aequatio  fiet 

0,02809  =  0,000382  A  —  0,00016 

+  0,01143   A'  +  0,00075 

-  0,00001 

+  0,00002 

+  0,00004 

sive 

0,02744  =  0,000382  A  +  0,01143  A'1). 

Ne    hinc    valor    ipsius    A    prodeat    nimis    magnus,    suraamus    A'  =  2    eritque 
0,00458  =  0,000382  A  hincmie  A  =  ^?  =  12.     Sin  autem  sumsissemus  A'=  2  -\  , 

71  •*•  6a&  o 

obtinuissemus   ^  =  332  =  2. 

Utamur  ergo  his  postremis  valoribus   A  =  2  et  A'  =  2y     existente    0  =  2 
hincque  ®  =  y ;  unde  colligitur  sequens 


CON8TEUCTIO  TELESCOPII  CATADIOPTEICI  PEG  w  — 100 
67.   Haec  ergo  constructio  constabit  sequentibus  determinationibus: 

I.  Primum  speculum  perfecte  secundum  jSguram  parabolicam  elaboretur, 
cuius  distantia  focalis  sit  =jp,  quam  ad  minimum  8  dig.  statui  oportet;  eius 
aperturae  semidiameter  =  %  =  2  dig.,  foraminis  autem  semidiameter  ««  J  dig. 
et  distantia  a  speculo  minore  AB  ==078jp. 

II.  Minus  speculum  figuram   sphaericam.  habeto,   cuius    distantia  focalis 
sit  #  =  —  0,246$    et   semidiameter  aperturae    =  y  dig.  indeque  distantia  ad 
primam  lentem 


1)  Huius  membri  accuratus  valor  est  0,014G99^,  aequatio  autem 
0,02744  «  0,000382 1  +  0,0146991' 

0 

existente  A/s»  2  praebet  negativum  valorem  quantitatis  X;    6  debet   igitur    surai  maior,  ex,  gr. 
0-3.  E.  Oh. 


576-577]    PE  TELESCOPIIS  OATADIOPTBICIS  SPECULO  CONVEXO  INSTEUCTIS     185 
III.   Pro  prima  lente,  cuius  distantia  focalis  r  =  032485jp,  numeri  vero 

E  =  —  0,9321     et     Ji  =  2, 
capiatur 

anterioris    = = =     o  1205p 

0 — ® (fi — p)it'^F  (^ — 1)        2j9666 — 0,9051  7 

radius  faciei  { 

posterioris  = = =  —  1  0210  # 

?  _  ,  /r/-      .N-T-    ^//^_1>)       -1;1486  +  0,9061  '         ^' 


Semidiameter  aperturae  foramini  aequalis    =y  dig.  et  distantia  ad  len- 
tem  secundam  CD  =  0,3320^  . 

IV.    Pro  secunda  lente,  cuius  distantia  focalis   s  =  0,1356  p  et  numeri 


capiatur 

radius  faciei< 


3)  —  4     et    ^'—2,3333, 

o 


O 

anterioris    ==  —  --  ----  -  ---  —  =  -  =  0,0791  v 

.-»(.-rt±.y(l'-i) 


0* 


Eius  aperturae  semidiameter  =  -~^  ==  0,16  dig.  et  distantia  a  lente  tertia 
DE  =  0,4326  p. 

V,   Pro  lente  tertia,  cuius  distantia  focalis  t  —  0,0894  jp,  capiatur 
radius  utriusque  faciei  =  0,0983  p. 

Eius  aperturae  semidiameter   ==  ^  t  =  0,0224jp    et    distantia    ad    lentem 
quartam 


VI.   Pro  lente  quarta,  cuius  distantia  focalis  u  «  0,0722  p,  capiatur 

radius  utriusque  faciei  —  0,0794  p. 

Eius  aperturae  semidiameter  —  ^  u  —  0,0181  jp  et  distantia  oculi 

0  —  0,563  w  —  0,0204jp. 

LUONHARBT  EuLBEi  Opera  <mmia  HE  4  Dioptrica  24 


186  LIBEI  SECTJNDI  APPENDIX     CAPUT  IV     §67-68  [577-579 

VII.   Longitudo  ergo  tiibi  prioris  aliquanto  maior  erit   quam  0,8^  ,   tubi 
autem  affix!  longitude  =  0,8211  p  hincque  totius  instrumenti  circiter  = 


VIII.  Campi  apparentis  semidiameter  =15—  min.,  et  quae  supra  observa- 
vimus,  praeterea  etiam  hie  locum  habent. 

EXEMPLUM  3 
Pro  multiplicatione  w  =  150 

68.  Maneant  ut  ante  3=*~  et  £  =  y,  ut  sit  em  =  30;  sumatur  autem 
i  =  5,  et  ut  claritate  sufficiente  fruamur,  sit  x  ===  3  dig.,  ut  sit  y  =  -|-  dig.,  et 
hinc  colligimus 

P  =  5,     ^  =  57     JB  =  —  A  =  —  0,6652, 

S=  —  #—  —  18,040     et     T-|; 

^ 

hinc 

P<?  =  25,     PQR  =  —  16,63,    P<?^^=300    et    PQKST=15Q; 

inde  vero  reliquae  litterae  reperientur 

$B  ==  A  =  1,25,     B  =  -  5, 


e  =  -  —^  =  -  0,9986  (9,9994001)      (7  -  —  ^g||  -  -  0,49966  (9,6986742) , 

0 

r+0'     =d> 

©  —  -bo  i!9n  =  3>5504 (0,5502750) l),     J?  —  —  |4s ?/  —  — 1,3921  (0,1436667) 

oo,o^u  ^,5504  ^  ^" 

unde  colligimus 

log  B  (£  -  0,6983701 ,    log  J5  6y  -  0,3976442, 
log  J5  a®  -  0,9479192,     log  5  CyJ£  -  0,5413109  (— ) . 

His  praemissis  elementa  nostra  erunt 


1)  Vide  notam  1  p.  176.          E.  Oh. 


579—580]     DE  TELESCOPIIS  CATADIOPTEICIS  SPECFLO  CONYEXO  INSTBTTCTIS    187 


,     &  =  —  0,2j>,     /3=jp,     c  =  —  0,2j>,     ^  =  0,099932^), 
d  =  0,15023  p  ,     c?  =  0,15023  dp,     e  =  0,00833  dp  , 

,     f= 


unde  colliginras  intervalla 

^.g  =  o,8_p  =  #  <7,         CD 

DE  =  0,15856  0.p,  ^J^=  0,01159  0j>. 

Distantiae  vero  focales  ita  se  habebunt: 

q  ==  —  0,25  j»  ,     r  =-  0,19972^  ,     s  =  0,15023  ^-^  p  , 
t  =  0,02956  6p     et     «  =  0,02318  dp  . 

Porro  est  co  =  -i-  1  =  —  r,  unde  aequatio  rr  =  4^0?  dabit 

,  12  60 


Q 

dum  ergo  ^)  sit  <  60,  tuto  sumere  licebit  t  =  l,  et  quia  turn  erit  -^==  166630^ 
hinc  semidiameter  campi 

<$  =  1Q  A  min. 

o 

et  pro  loco  oculi 

0  =  0,555^  =  0,01285^2?. 

Denique   si   primum   speculum   conficiatur   parabolicum,    omnis   confusio 
tolletur  huic  aequationi  satisfaciendo 

0,0288  =  0,00030144  A  —  0,00013994  +  0,0036177  ^1*^> 

+  0,00084146  i+?  +  - 
sive 

0,0289399  —  0,00030144  A  +  0,0036177  -  -        A'  +  0,00084146  -        + 

3 

Hie  patet  statim  sumi  BOB  posse  0-*l;  tentetur  ergo  positio  d  —  y  eritque 

0,0289399  —  0,00030144  A  +  0,0167487  X  +  0,00093495  +  0,0001013 
sive 

0,0279037  -  0,00030144  A  +  0,0167487  A'; 

24* 


188  LEBRI  SECTJNDI  APPENDIX     CAPUT  IV     §  68-69  _  [580-582 

quare,  si  Me  statuatur  A'=l,   fiet 

_  0,01115500  =  11155  =  37 
"~  0,00030144  ~     301     ~~      ' 

sin  autem  sumamus  A  =  1  ,  fiet 

,   0,0276023  ^  276023  _  -|  gdg 

""  0,0167487   167487 

Sin  autem  A  statueretur  2  vel  3,  valor  ipsius  A'  vix  inde  mutaretur,  unde 
pro  usu  practico  praestare  videtur,  si  ipsi  A'  certus  quidam  valor  tribuatur; 
quia  enim  turn  ob  levissimos  errores  A  multum  variare  potest,  plures  lentes 
pro  variis  valoribus  A  parari  poterunt,  ex  quibus  aptissimam  experientia  de- 

Q 

clarabit.     Statuamus  ergo  A'  =  -~  ac  ^eperietur 


~  0,0003014  ~    3014    ~     7 

nnde  in  praxi  ternae  lentes  parari  poterunt  ex  valoribus   A==8?    ==9,   =10. 

Posito  ergo  #  =  y,  ut  sit  2)  =  !-,  sumatur  A'  =  -|-  et  A  =  9,  unde  colli- 
gitur  sequens 

CONSTRUCTIO  TELESCOPE  CATADIOPTEIOI  PRO  m  —  150 
69.    Haec  constructio  sequentibus  determinationibus  continetur; 

I.  Speculum  obiectivum  accuratissime  secundum  figuram  parabolicam  ela- 
boretur,    cuius   distantia  focalis  minor  non  sit   duodecim   digitis^    quam   hie 
littera  p  designemus.     Eius  aperturae  semidiameter  vero  sit  %  «=  3  dig,,  fora- 
minis  vero  semidiameter  —  ^  dig.  et  distantia  ad  speculum  minus  AI$*^Q$p. 

II.  Speculum  minus  exactissime  ad  figuram  sphaericam  elaboretur,  cuius 
distantia  focalis  sit  j  =  —  0,25  p,  quippe  quod  est  convexum,    Eius  aperturae 

Q 

semidiameter  —  ~-  dig.  et  distantia  ad  primam  lentem  BC  »0?8$* 

III.  Pro  prima  lente,  cuius  distantia  focalis  est  r««  0,19972$   numerique 
(£  —  —  ,  0,9986  et  A  =  9,  capiatur 


582—583]     DE  TELESCOPIIS  CATADIOPTEICIS  SPECULO  CO^TEXO  INSTRUCTIS     189 


anterioris    =  — — — — *— 7-  =  nK^0,  =  0,39745  p 

5  —  g;  (<y  —  ?) -j- T  ys         0,5025          '  ^ 

posterioris  =      ,  ^  r  N^    ,/g  =  ~^  =  0,lSiSlp. 


radius  faeiei< 


Sin  autem  sumeretur  A  =  10,  prodiret 

anterioris    =     /"      =  0,57589  p 
radius  faciei  ' 

Y 

posterioris  =  =  0,13574p, 

JL  «tt  »  J.  O 

unde  concludimus  in  genere  sumi  posse 

p    .     f  anterioris     =  (0,39745  +  0,1  7844  co)p 
radium  faciei{  ~ 

I  posterioris  =  (0,15181  +  0?01607w)j?, 


ubi  co  per  experierttiam  definiri  conveniet. 

Huius    antem    lentis    semidia 
lentem  secnndam   CD  =  0,25016 p. 


n 
Huius    autem    lentis    semidiameter   aperturae    =  -^  dig.   et   distantia    ad 


IV.   Pro  secunda  lente,    cuius  distantia  focalis  s  =  0,090138 p   et  numeri 


o 


et  A'=  1,5,  capiatur 


. 
radius  iaciei 


anterioris    =  --------  —  ---------  ;  —  =     —  —  =  0,71880  p 

ty-5D(tf-P)±r  1/0,5         0,1254 

posterioris  —  —  ---  -  --  -.  —  =  —  -  --  =  0,05325  jp1). 

p  -I-  2)  (tf  —  9)  T  T  ]/0,5        1,69281  ' 


Eius  aperturae  semidiameter  =  p^-g  =  ^  dig.  =  0,18  dig.   et  distantia  ad 
lentem  tertiam  D^7=  0,23784^. 


V.   Pro  tertia  lente,  cuius  distantia  focalis  tf  =  0,04434  p,  sumatur 
radius  faciei  utriusque  =0,  048774  p. 

Eius   aperturae   semidiameter   —  •£-£  =  0,01108  p   et  distantia  ad   lentem 
quartam  JE7JP«*  0,01738^. 


1)  Editio  prinoeps:   —  oSs""""  2,8864^.         Oorrexit  E.  Ch. 


190  LIBRI  SECUNDI  APPENDIX     CAPUT  IV     §  69-71  [583-584 

VI.  Pro  lente  quarta,  cuius  distantia  focalis  u==  0,03477  p,    capiatur 

radius  utriusque  faciei  =  0,03824|>. 

Ems  aperturae  semidiameter  ===  ~  u  =  0,00869 p    et    distantia   ad   oculum 
0  =  0,555  w  =  0,01929#. 

VII.  Longitude   ergo   tubi  prioris   specula  continentis  aliquantum  supe- 
rabit  0,8 p,    posterioris  vero  erit  =  0,52467jp,  ita   ut  totius  instrumenti  longi- 
tude sit  circiter  =  1,32467^.     Turn  vero  semidiameter  cainpi  apparentis  erit 


10—  minut. 

o 


SCHOLION 


70.  Eemedium  in  subsidium  praxeos,  quod  hie  pro  prima  lente  attu- 
limus?  etiam  facile  ad  exempla  praecedentia  accommodative  Ponamus  enim 
pro  hac  lente  inventos  esse  radios  facierum  f  et  g  et  nunc  quaestio  eo 
redit,  quomodo  hos  radios  variari  oporteat,  ut  distantia  focalis  maneat 
eadem.  Ponatur  prior  ==/7+a;,  posterior  ==  g  —  y  et  necesse  est,  ut  fiat 


f  +  ff      f  +  ff  +  x-y' 
unde  sumto  x   pro   lubitu    sive   negative   sive  positive   capi   debebit 


quare,   cum  x  et  y  sint  satis  parva,  erit  y  =  ff.f   sive 


ita  ut  posito  #  =  /"2co  futurum  sit  y^(fw.  Pro  lente  ergo  prima, 
cuius  radii  supra  inventi  sint  f  et  g,  alias  successive  substitui  conveniet, 
quarum  radii  sint  f±f*w  et  g  +  g*to,  Deinde  hie  etiam  notasse  iuvabit 
pro  lente  prima  minorem  aperturam  sufficere  posse,  quam  hie  assigna- 
vimus  foramini  aequalem.  Sufficiet  enim  apertura,  cuius  semidiameter 
-  r  r  =  jg  r  =  0,01248jp  ;  unde,  si#=»12  dig.,  ista  semidiameter  foret  —  0,1497  dig. 


—  y  dig.  circiter;  ac  si  adeo  esset  #««20dig.,  foret  ista  semidiameter 


584—586]    DE  TELESCOPIIS  CATADIOPTRICIS  SPEOULO  CONVEXO  INSTBUCTIS     191 

ex  quo  concludimus  sufficere,  si  huic  lenti  apertura  tribuatur,  cuius  semidia- 
meter  sit  ~  dig.;  quo  pacto  ingentem  copiam  radiorum  peregrinorum  ab  in- 
troitu  arcebimus  sicque  reliqui  eo  felicius  a  secunda  lente  excludentur,  etsi 
eius  apertura  non  tarn  est  exigua  ut  in  praecedentibus  exemplis,  cuius  rei 
ratio  est,  quod  litteram  i  in  multo  minore  ratione  auximus  quam  multipli- 
cationem  m\  quam  ob  causam  in  sequente  exemplo  litterae  i  multo  maiorem 
valorem  tribuemus,  quia  inde  nihil  aliud  est  metuendum  nisi  exigua  dimi- 
nutio  campi. 

EXEMPLUM  4 
Pro  multiplication  m  =  200 

71.  Manentibus  litteris  d  =  ~  et  e  =  ~-  capiatur  i  =  10,  et  ut  suffi- 
ciens  claritatis  gradus  obtineatur,  sumamus  ^  =  5dig.,  ut  sit  semidiameter 
foraminis  =  dx  =  ^  dig.  et  em  =  40.  Hinc  ergo  colliguntur  valores 

p=5,     Q  —  1Q,     2Z-  —  ft  =  —  0,8221, 
^  =  —  ^=  —  9,7312     et     T—  4- 

6 

hincque 

—  41,105,     PQRS=m     et 


reliquae  vero  litterae  ita  determinabuntur  : 

$  -J?-  1,2903,     J?  =  -f  =  -4,4444, 

(£  =  —  1,0153  (0,0066052)  (—  ),  C  =  —  0,50381  (9,7022655)  (—  ), 

©  =  3,2841  (0,5164093)  J),  E  =  —  1,4377  (0,1576942)  , 

un.de  colliguntur  sequences  logarithmi: 

log.  B  (S  —  0,6544183  ,         log.  BG=  0,3500786, 
log.  BC&  =  0,8664879,      log.  BOB  —  0,5077728  (-)  ; 

hinc  elementa  sequenti  modo  definieatur: 


1)  Tide  notam  1  p.  176.  B.  Oh. 


192 


LIBEI  SECUNDI  APPENDIX     CAPUT  IV     §  71-72 


[586-587 


c  =  —  0,0889  p  , 
d  =      0,054473  p, 
e  =      0,005598  0  #  , 

Gi  /•=      0,016096  6p, 

ex  quibus  colliguntur  intervalla 

A  B  =  0,8j3  =  B  C, 
DE=  0,060071  ^j), 

distantiae  vero  focales 

q  =  _  0,2581^5  , 


0,8889j), 
0,04478  , 
0,054473  0p, 
0,008048  dp 


CLD  =  0,09925j?)  , 
=  0,008048  dp, 


s  =  0,05447  Y- 


r  =  0,09025j)  , 
<  =  0,01838  dp 


et 


=  0,016096  dj). 


1  fiO 


Porro  est  o>  =  —  r  =  ~g-^!  "^nde  aequatio  xr  =  4:dx  dabit  t  =====  -  -  dig.,  undo 
patet,  dummodo  $  minor  sit  quam  160  dig.?  tuto  sumi  posse  t==l;  at  si 
liceat  confusionera  ad  nihilum  redigere,  adeo  sumere  licebit  p  =  20  dig.;  turn 
autem  fiet  M  =  ^  ,  unde  semidiameter  campi  erit  -^  min.  ===  7  6  min.  Prae- 
terea  yero  pro  loco  oculi  habebitur  0  =  0,6^. 

Tantum   igitur   superest,    ut   confusionem   ad  nihilum   redigamus,    quod 
fiet  hac  aequatione: 


0,029074  =  0,00020418  A  —  0?0000972  +  0,0020329 


+  0,00047286   - 


+  .-  +  O.OOW0116 


sve 


0,029171  =  0,00020418  A  +  0,0020329  ^^  A' 
+  0,0004729^'+^-^. 

0/a  0 

ubi  iam  nihil  obstat,  quominus  statuatur  6  —  1?  hincque  habebimus 

0,028113  —  0,0002042  A  +  0,016264  /. 


587—589]    DE  TELESCOPIIS  CATADIOPTEICIS  SPECULO  CONVEXO  INSTEUCTIS    193 

Ne  igitur  Mnc  valor  Ipsius  A  prodeat  nimis  magnus,  Commode  statui  poterit 
^'=ly  atque  reperietur  A  =  -^-  =  18  proxime.  Commodius  vero  erit  su- 
mere  A'=l-|-,  unde  flet  A  =  ^  =  5.  Eetineamus  igitur  valores  6  =  1, 
A'=ly,  ut  fiat  A  =  5,  cui  adiungere  poterimus  valores  finitimos  A  =  4  et 
A  =  6,  quo  praxi  melius  consulatur;  atque  hinc  colligetur  sequens 

CONSTEUCTIO  TELESCOPII  CATADIOPTEICI 
PEG  MULTIPLICATIONS  m  = 


72.  Statuamus  hie  ut  hactenus  distantiam  focalem  speculi  principalis 
=  jp,  quam;  ut  vidimus,  minorem  quam  20  dig.  assuini  non  convenit.  Prae- 
stabit  autem  earn  haud  mediocriter  raaiorem  assumere* 

I.  Speculum   igitur   primum   adcuratissime  forma  parabolica   elaboretur, 
cuius    distantia   focalis    sit   =j?;    eius    aperturae   semidiameter    a?  =  5  dig.   et 
semidiameter    foraminis    y  =  \~  dig.     Distantia    vero    ad    speculum    minus 
AB  =  0,8jp. 

II.  Pro  secundo  speculo  minore  convexo  eius  figura  accuratissime  sphae- 
rice   elaboretur  ,   ut   sit  eius  distantia  focalis  £  =  —  0,2581  p.     Eius  aperturae 
semidiameter     =  1  ~  dig.    et     distantia     ad     primam     lentem     in    foramine 


III.    Pro   lente   prima,    cuius    distantia   focalis    r  =  0,09025#    et    numeri 
=  —  1,0153  et  A  =====  5,  capiatur 


anterioris    ===== f  r 


,.        ,     .   .  ._.,,_          8,0861  =F  1,8108 

radius  facieiJ 

posterioris 


Mnc 

„    .    f anterioris    =  0,0707340 
radius  faciei{ 

I  posterioris  =0,16639j). 

Sin  autem  sumeremus  A  =  4,  prodiret 

anterioris    —  — . 


radius  faciei< 

posterioris  —  ^TofigHXTTfiT?  =  0,30113  jp. 

LIOONHAEDI  EULERI  Opera  onmia  III 4  Dioptrica  26 


194  LIBRI  SECUNDI  APPENDIX     CAPTJT  IV    §  72  [589-590 


At  si  sumeretur  A  =  6  ,  foret 
radius  faciei 


anterioris    •  39  -0,08496^ 


posterioris  -_1>8680r±a>0289  -0,11940i>. 


Ex   quibus   casibus   deducimus  in   subsidium   praxeos    sequentes   conclu- 
siones: 

Prior:   Si  A  =  5 —  co  denotante  CD  fractionem  arbitrariam,  erit 

.  ^  i  anterioris    =  (0,07073  —  0,01129  a?)  jp 
I  posterioris  —  (0,16639  -f  0,13474  co)jp. 

Posterior:  Sin  autem  A  =  5  +  co,  erit 

...      „    .  .(anterioris    =  (0,07073  +  0,01423 o>W 
radius  faciei  ,  J 

I  posterioris  —  (0,16639  —  0,04699  a>}p. 

Eius  aperturae  semidiameter  =  1  -i-  dig.  et  distantia  ad  lentem  secundam 
CD  =  0,09925^. 

IV.  Pro  secunda  lente,  cuius  distantia  focalis  est  s  =  0,02723 jp  et  numeri 
S  — 1  et  A' =1,6667,   capiatur 

anterioris    = S—T =  — _— ?. 

radiu,  facieij  *<«+<.)T,Xo,6667       o,9o9OTo,,39o 

posterioris  = 


0,9090  ±0,7390 
seu 

..(anterioris    =0,01652:2? 
radius  faciei  ^ 

I  posterioris  =  0,16018 jp. 

Eius  aperturae  semidiameter  —  ^  =  i  dig.  et  distantia  a  lente  tertia 
jD^=  0,06007  jp. 

Y.   Pro  lente  tertia,  cuius  distantia  focalis  t  —  0,01838j),  capiatur 
radius  faciei  utriusque  =0,02022#. 

Eius  aperturae  semidiameter  —  »J  *  —  0,00459^>  et  distantia  a  lente  quarta 
i7— 0,007798  jp. 


590—592]    DE  TELESCOPIES  CATADIOPTRECIS  SPECULO  CONVEXO  INSTRUCTIS     195 

VI.    Pro  lente  quarta,  cuius  distantia  focalis  u  =  0,015596jp ,   capiatur 
radius  faciei  utriusque  =  0,01715^?. 

Eius  aperturae  semidiameter  =  —•  u  =  0,0039#  et  distantia  ad  oculum 
=  0,6  u  =  0,00936  p. 

VH.  Hinc  ergo  longitudo  tubi  prioris  erit  quasi  =jp,  quia  maior  esse 
debet  quam  yj??  posterioris  vero  lentes  continentis  =  0,17648  jp,  ita  nt  tota 
longitudo  futura  sit  circiter  =  1,17648^.  Campi  vero  apparentis  semidiameter 
erit  =  7  —  minut. 


6 


VIII.  Si  pro  lente  prima  tantum  ad  claritatem  spectemus,  eius  aperturae 
semidiameter  deberet  esse  =  ^  =  —  dig.,  sin  autem  ad  campum  spectemus, 
haec  semidiameter  esse  debet 


quae,  si  adeo  esset  p  =  40  dig.,  fieret 

0,3384  dig.  -  -i-  dig. 

Quare,  cum  semidiameter  foraminis  =  1  -j  dig.,  tuto  oram  huius  lentis  obtegere 
licebit,  donee  eius  aperturae  semidiameter  fiat  =  y  dig.,  quo  pacto  radii  pere- 
grini  iam  maximam  partem  excludentur. 

IX.  Cum  igitur  ne  opus  quidem  sit  tantam  magnitudinem  primae  lenti 
tribuere,  ipsum  foramen  maioris  speculi  multo  minus   statuere  licebit    quam 
1-i-  dig.  hocque  modo,   dum   ipsum  hoc   speculum   maiorem   superficiem   adi- 
piscetur,  etiam  claritatis  gradus  augebitur,   neque  vero  ideo  necesse  erit  et 
minoris    speculi    magnitudinem    imminuere,    cum    sufficiens    radiorum    copia 
in   speculum   cadere   possit.     Eadii  peregrini  colliguntur    post   lentem   C  in 
distantia  r  —  0,09025  jp,  radii  vero  proprii  in  distantia  7  =  0,0448#. 

X,  Cum  deinde  prima  imago  realis  post  lentem  primam  cadat  ad  distan- 
tiam  y  —  0,0448^,  radii  autem  peregrini  in  hanc  lentem  incidentes  suam  ima- 
ginem  forment  ad  distantiam  r  ==  0,09025  j?,   quae   cum  ilia  plus  quam  duplo 
sit  maior,   neutiquam   metuendum  erit,   ne  radii  peregrini  ad  oculum  usque 
propagentur. 

25* 


DIOPTRICAE 

PARS     TERTIA, 

CONTINENS 

LIBRVM     TERTIVM, 

CONSTRVCTIONE 

MICROSCOPIORVM 

TAM 

S  I  MPLICI  VM, 

QVAM 

COMPOSITORVM. 


A  V  C  T  O  R  E 

LEONHARDO    EVLERO. 

ACAD.  SCIENT.    BORVSSIAE    DIRE  CT  ORE  VI  CENNALI  ET  SOCIO 
ACAD.    PETROP.    PARISIN.  ET  LOND. 


PETROPOLI, 

Impends    Academiae    Imperialis    Scientiarum. 

I77I- 


INDEX  OAPITUM 
IN  TOMO  HI     CONTENTOEUM 

INTRODUCTIO 

DE  MICEOSCOPIIS  IN  GENERE 

UBI  TRADUNTUR  PRAECEPTA  GENEEALIA  Pag. 

CIECA  CONSTEUCTIONEM  MIOEOSCOPIOEUM 201 

SEGTIO  PRIMA 
DE  MICROSCOPIIS  SIMPLICIBUS 

Caput  I.      De  Microscopiis  simplicibus  unica  lente  constantibus 225 

Caput  II.    De  Microscopiis  simplicibus   duabus   pluribusve   lentibus   con- 

vexis  inter  se  proxime  iunctis  constantibus 241 

Caput  III.  De  Microscopiis  simplicibus  ab  omni  confusions  immunibus  .  .  266 

SECTIO  SEOUNDA 

DE  MICEOSCOPIIS  COMPOSITIS 
IN  QTJIBUS  NTJLLA  IMAGO  BEALIS  OCCUEEIT     281 

SECTIO  TERTIA 

DE  MICROSCOPES  COMPOSITIS 

IN  QTJIBTJS  UNICA  IMAGO  EEALIS  OCCUEEIT 

QUO  OMNIA  MICEOSCOPIA  HUCUSQUE  USITATA  SUNT  EEFEEENDA 

Caput  I    De  Microscopiis  simplicioribus  huius  generis 323 


200  INDEX  CAPITTJM    IN  TOMO  HI     CONTENTOEUM 


pag, 

Caput  II.    De  ulterior!  horum  Microscopiorum  perfectione,  dum  iis  maior 
claritatis    gradus    plures    lentes    loco    obiectivae   substituendo 

comparatur 343 

Oaput  III.  De    summa    horum    Microscopiorum    perfectione,     dum    ope 
lentium  ex  alia  vitri  specie   confectarum  omnis   confusio   ad 

nihilum  redigitur 390 

Caput  IV.   De  ulterior!  amplificatione   campi  huic  Microscopiorum  generi 

conciliandi     415 


SECTIO  QUAETA 

DE  MICBOSCOPIIS  COMPOSITIS 
IN  QUIBU8  DUAE  IMAGINES  REALES  OCCURRUNT 

Caput  I.      De  Microscopiis  simplicioribus  huius  generis     433 

Caput  II    De  Microscopiis  huius  generis  magis  compositis 464 

Caput  III  De  Microscopiorum  huius  generis  summa  perfectione,  dum  ea 

ab  omni  confusione  liberantur 516 


INTEODUCTIO 

DE  MICEOSCOPIIS  IN  GKENERE 

VEL  PEAECEPTA  GENERALIA 

CIRCA  CONSTRUCTIONEM  MICROSCOPIORUM 

DEFINITIO 

1.  Microscopium  est  instrumentum  diqptricum,  per  quod  obiecta  propinqua 
multo   maiora   quam  nudis   oculis    dare  et  distincte  conspicere  licet   quodque  una 
pluribusve  lentibus  super  eodem  axe  constitutis  constare  solet. 

COEOLLAEIUM  1 

2.  Quod  ad  magnitudinem  visam  attinet,  constat  quidem  idem  obiectum, 
quo  propius  oculo  admoveatur,  sub  eo  maiore  angulo  apparere,  verum  si  nimis 
fuerit  propinquura,  nou  sine  maxima  confusione  conspici  posse;  quare  ut  ob- 
iectum distincte  appareat,  per  microscopium  ita  debet  repraesentari,  quasi  in 
iusta  ab  oculo  distantia  existeret.     Hinc,  quia  oculus  bene  constitutus  in  di- 
stantia   maxima   distincte    cernere   solet,   iustam   illam   distantiam,   quam  in 
primo    libro    posuimus    =  I,    perinde    ac    in    libro    de    telescopiis    infinitam 
assumemus. 

COROLLARIUM  2 

3.  Sive  igitur  microscopium  una  sive  pluribus  lentibus  constet,   eae  ita 
dispositae  esse  debent,   ut  radii  ex  quolibet  obiecti  puncto  per  omnes  lentes 
transmissi  inter   se  reddantur  parallel!  ideoque   pro  lente    oculari    distantia 
determinatrix  posterior  fiat  infinita;  ex  quo  prior  ipsi  huius  lentis  distantiae 
focali  erit  aequalis, 

LEONHAKDI  EUL^EI  Opera  omnia  IE  4,  Dioptrioa  •  26 


202  LEBKE  TEETH  INTEODUCTIO     §  4-7  [4-6 

COROLLAKIUM  3 

4.  Multiplicatio    autem,    quam  hie  etiam  litter  a  m  indicabimus,   ita   in- 
telligi  debet,  ut  obiectum,  quod  per  micro scopium  contemplamur,  nobis  sub 
angulo  m  vicibus  maiore  appareat,  quam  si  idem  obiectum  ad  certain  distan- 
tiam   =  ~h    remotum   nudis    oculis   intueremur;    quae   distantia   h  vulgo    octo 
digitorum  assumi  solet. 

COROLLAEIUM  4 

5.  Turn  vero  etiam  lentes  ita  dispositas  esse  oportet,  ut  repraesentatio 
obiecti  flat  satis   distincta  seu  ut  confusio  certum  quendam  limitem  non  ex- 
cedat,   quern  in  finem  semidiameter  confusionis  supra  in  genere  inventa  infra 
certum  limitem  deprimi  debet;   praeterea  vero   etiam  hanc  repraesentationem 
a  margine  colorato  liberari  conveniet  ac,  si  fieri  potest,  omnis  plane  confusio  a 
diversa  radiorum  refractione  oriunda  tolli  debebit. 


SCHOLION 

6.  Quando  autem  insignis  multiplicatio  desideratur,  vix  ac  ne  vix 
quidem  effici  potent,  ut  claritas  ad  nostrum  arbitrium  determinetur,  quera- 
admodum  id  in  telescopiis  est  factum,  sed  plerumque  pro  maioribus  inulti- 
plicationibus  minore  claritatis  gradu  content!  esse  debemus;  cui  defectui 
autem  remedium  adferri  solet  ipsum  obiectum  forti  lumine  illuininando, 
quod,  quia  obiecta  vicina  in  nostra  sunt  potestate,  sine  difficultate  fieri 
potest.  Deinde  etiam  in  id  maxime  est  incumbendum,  ut  haec  instrumenta 
perinde  ac  telescopia  notabilem  campum  apparentem  obtineant  seu  ut  non 
nimis  exigua  portio  obiecti  obtutui  repraesentetur;  quae  portio  non  simpli- 
citer  per  angulum  ad  lentem  obiectivam  formatum  definiri  potest,  quia  etiam 
minima  portiuncula,  si  lenti  obiectivae  proxime  admoveatur,  ingentem  angu- 
lum formare  posset,  sed  vera  semidiameter  huius  portionis  visae,  quam 
supra  posuimus  =^?,  in  computum  duci  debet;  denique  etiam,  cum  distantia 
obiecti  a  lente  obiectiva,  quam  ponimus  *»  a,  ab  arbitrio  nostro  pendeat, 
haec  tractatio  plurimum  a  praecedente  discrepabit,  slquidem  non  solum 
gradus  claritatis,  sed  etiam  campi  apparentis  indicium  longe  aliam  investiga- 
tionem  requirat.  Quamobrem  in  hoc  primo  capite  formulas  generales  in 
primo  libro  inventas  ad  has  circumstantias  accommodari  necesse  erit^  ante 
quam  in  ipsam  constructionem  microscopiorum  inquiramus. 


6—7]  DE  MICEOSCOPHS  IN  G-ENERE  203 


PEOBLBMA  1 

7.  Ex  quotcunque  lentibus  microscqpium  fuerit  comyositum ,  singula  elementa 
exhibere,  quibus  tarn  lentiwn  dispositio  quam  earum  intervalla,  et  distantiae 
focales  determinantur. 

SOLUTIO 

Distantias  determinatrices  singularum  lentium  sequent!  modo  conspectui 
exponamus: 


Distantiae 


obiecti  a  lente  lma  =  &, 
ab  imagine  lma  ad  lentem  2dam  =  I 
ab  imagine  2da  ad  lentem  3tiam  =  c 
ab  imagine  3tia  ad  lentem  4tam  =  d 


ab  imag.  penult,  ad  lent.  ult.  =  I 


Distautiae 


a  lente  lma  ad  imaginem  lmam  =  a 
a  lente  2da  ad  imaginem  2dam  =/3 
a  lente  3tia  ad  imaginem  3tiam  =*y 
a  lente  4ta  ad  imaginem  4tam  =  $ 


a  lente  ult.  ad  imag.  ult.  =  A  = 


Hie  scilicet  intelligendum  est  a  singulis  lentibus  imagines  proiici,  sive 
eae  sint  reales  sive  fictae,  quarum  discrimen,  uti  iam  observayimus,  in  eo 
est  situm,  ut  imagines  reales  intra  lentem,  a  qua  formantur,  et  lentem  se- 
quentem  cadant,  fictae  vero  extra  hoc  spatium. 

Deinde  vero,  quo  commodius  haec  elementa  inter  se  comparemus,  litteras 
maiusculas  duplicis  generis  introducamus: 

etc., 


T=-P-  4—  «•  i—  R>  4—  « 

ubi  litterarum  A9  B,  C,  D  etc.  ultima  sit  _L=c\s,  litterarum  vero  P,   Q,  R 
etc.  ultima  sit  =  Z  intervallo  inter  binas  ultimas  lentes  respondens. 

His  litteris   introductis   omnia   elementa   sequenti   modo   per  primum  a 
exprimentur: 

ABC  ,  ASOD 


A  AS  ,          AEC  ASOD          , 

a    etc. 

26* 


204  LIBEI  TEETH  INTEODUCTIO     §  7—11 

et  litterarum  I,  c,  d  etc.  ultima 

,       —ABO...K 
l~+  PQR...Z'a 

et  litterarum  K,  /3,  y  etc.  ultima 

.  ASC...L 


ex  quibus  intervalla  lentium  ita  ordine  repraesentantur: 

Primum      a  +  &  ==  Aa(l  —  ~\, 
secundum  /?  +  c  =  --  p-  a(l  —  -^-J, 
tertium          +  rf 


quartum     d  +  e  =  —  --^^  -  a  (l  —  J  -)  etc.  ; 


quae    cum    omnia    debeant    esse    positiva,    etiam    quodlibet    per    praecedens 
divisum  quotum  dare  debet  positivum  sicque  esse  oportet 


-n  4  - 

8    RlTi>()'  4-    —"f"8~i 

etc. 


Quo  denique  distantias  focales  singularum  lentium,  quas  litteris  minusculis 
p,  q,  r,  s,  t  etc.  indicamus,  concinnius  exprimamus,  litteras  maiusculas  ger- 
manicas  21,  58,  S,  S)  etc.  introducamus,  ita  ut  sit 


hiucque  vicissim 

^ra__?     ^"fir®*     (7==— -— gy     j)  aw  „»...„,    etc., 

ita  ut  pro  ultima  harum  litterarum  sit 

a^^A^^i       K     rra          f  S 


8-10]  DE  MICROS  COPES  EST  GENERE  205 


Ex  his  ergo  litteris  distantiae  focales  ita  exprimentur: 

ABC® 


=       ,        =  _-_.    ?       sSBB__.> 
ultimae  autem  lentis  distantia  focalis  fiet  =====  Z. 


, 

a  e  C'> 


COEOLLAEIUM  1 

8.  Litterae  ergo  A,  B,   C,   D  etc.  singulis   lentibus,   primae,   secundae, 
tertiae  etc.,  or  dine  respondent;  at  litterae  P,   Q,  E  etc.  ad  singula  intervalla, 
primum,  secundum,  tertium  etc.,  or  dine  referuntur;  qnam  ob  causam  numerus 
harum  posteriorum  litterarum  imitate  minor  erit  quam  priorum. 

COEOLLAJRIUM  2 

9.  Quatenus   litterae   P,    Q,   E   etc.   ut    positivae    spectantur,    imagines 
erunt  fictae,   ita   ut,    si   omnes   istae   litterae   essent   positivae,    nulla   imago 
realis   in  microscopio    occurreret,    sin  autem  omnes  hae  litterae  essent  nega- 
tivae,  in  singulis  intervallis  imago  realis  Teperiretur;   unde  quot  fuerint  ima- 
gines reales  in  microscopio,  tot  istarum  litterarum  valores  sortientur  negatives. 

COROLLABIUM  3 

10.  Gum  istae  litterae  P,  Q,  E  etc.   per  bina  elementa   ad  lentes  sibi 
succedentes   pertinentia   determinentur,    si   huiusmodi  littera  fuerit  positiva, 
binorum  elementorum,  ex  quibus  oritur,  alterum  erit  positivum,  alterum  nega- 
tivum,    sin   autem  talis   littera  fuerit   negativa,    ambo   elementa,    ex   quibus 
oritur,  erunt  positiva,  quippe  quia  omnia  intervalla  debent  esse  positiva. 


PEOBLBMA  2 

11.  Ex  quotcunque  lentous  microscopium  fuerit  compositum,  singularum  ima- 
ginum,  sive  sint  fictae  sive  reales,  quantitatem  definire  Uncque  multiplicationem, 
quam  instrumentum  jproducit,  assignare  tarn  pro  repraesentatione  erecta  quam  inversa. 

SOLUTIO 

Posita  semidiametro  obiecti,  quatenus  id  per  microscopium  est  conspi- 
cuum,  ==  $  semidiametri  singularum  imaginum  per  ipsa  elementa  sequenti 


206  LIBBI  TEETH  INTRODUCTIO     §  11-13  [10—12 

modo  supra  sunt  expressae: 

Semidiameter  imaginis  primae       =  —  2  =  A  z  (inversa) 

QJ 

semidiameter  imaginis  secundae    =*~-8  =  ABz  (erecta) 
semidiameter  imaginis  tertiae       =  ""&    "^  =  ^BCz  (inversa) 

semidiameter  imaginis  quartae      =  <*£^-~.#  =  ABGDz  (erecta) 

etc., 

unde  imaginis  ultimae  semidiameter  erit  =ABG...Lz\  quae  imago  erit 
erecta,  si  litterarum  A,  B,  C,.,,L  numerus  sit  par,  inversa  autem,  si  is  sit 
impar;  quae  ultima  imago,  cum  fiat  obiectum  visionis  post  ultimam  lentem 
ad  distantiam  infinitam  h  =  Ll  cadens,  quam  oculus  circa  ultimam  lentem 
constitutus  ideoque  in  distantia  LI  contemplate,  ei  apparebit  sub  angulo 
ABC.  ..-BT-y'  TJt  nunc  hinc  multiplicationem,  quae  sit  =m,  definiamus, 
istum  angulum  comparare  debemus'cum  angulo,  sub  quo  ipsum.  obiectum  z 
ad  distantiam  =  &  oculo  esset  appariturum;  qui  angulus  cum  sit  £-,  mani- 
festum  est  fore  multiplicationem 


An  autem  haec  repraesentatio  futura  sit  erecta  sive  inversa,  duo  casus  sunt 
perpendendi. 

I.  Si  numerus  lentium  ideoque  etiam  litterarum  A,  B,  C}  ...  L  fuerit  impar, 
ultima  imago  erit  inversa;  quae  cum  post  oculum  ad  distantiam  infinitam 
cadat,  earn  oculus  ante  se  in  situ  erecto  conspiciet.  Quare  si  in  formula 
nostra  pro  w  inventa  numerus  litterarum  A,  B>  G,  ____  K  fuerit  par,  obiectum 
situ  erecto  cernetur,  quatenus  scilicet  haec  formula  positivum  valorem  obtmet. 

II  Sin  autem  numerus  lentium  ideoque  etiam  litterarum  A,  ft,  G9  J),  <  .  .  L 
fuerit  par,  facile  iatelligitur  contrarium  locum  habere  debere.  Quare  si  in 
expressione  ipsius  m  numerus  litterarum  A,  B,  C,.,*K  fuerit  impar,  obiectum 
situ  inverso  cernetur,  quatenus  scilicet  ista  expressio  fuerit  negativa, 

Quodsi  vero  in  superiores  formulas  litteras  P,  Q,  R  etc-  introducamus, 
mvenietur 


DE  MICBOSCOPHS  IN  GENEEE  207 

semidiameter  imaginis  primae      =  a  -  — 

$ 

semidiameter  imaginis  secundae  =  P/3— 

$ 

semidiameter  imaginis  tertiae      =PQy.— 

semidiameter  imaginis  quartae     =  PQES~ 

o/ 

etc. 
semidiameter  imaginis  ultimae     =  PQE . . .  Zh  •  — ; 


quae  imagines  omnes  sunt  inversae,  siquidem  istae  formulae  valores  habue- 
rint  positives.  Quare  cum  hie  omnis  ambiguitas  cesset  haecque  ultima 
imago  ad  distantiam  infinitani  =  A  post  oculum  cadat,  oculus  earn  ante  se 
situ  erecto  conspiciet  sub  angulo  —PQE.  ..  Z--~\  unde  sequitur  multipli- 
cationem  fore 


pro  situ  erecto,  si  scilicet  haec  formula  fuerit  positiva;  sin  autem  ea  valorem 
habeat  negativum,  repraesentatio  erit  inversa;  turn  vero  hoc  casu  ipsam  litteram 
m  negative  capi  conveniet.  Facile  autem  intelligitur  hanc  posteriorem  expres- 
sionem  pro  multiplicatione  priori  longe  esse  anteferendam,  quia  nulla  ambi- 
guitate  laborat,  eaque  in  sequentibus  perpetuo  utemur. 

COEOLLARIUM  1 

12.  Quodsi  ergo  in  locis  imaginum  realium  diaphragmata  constitui  con- 
veniat,  ex  his  formulis  statim  intelligimus,  quantum  foramen  iis  induci  opor- 
teat,  postquam  scilicet  cognoverimus,  quantam  obiecti  portionem,  cuius  semi- 
diarnetrum  hie  vocamus  =  #,  instrmnentum  spectandam  oflferat. 

COEOLLAEITJM  2 

13.  Si  omnes  litterae  P,  Q,  E  etc.  fuerint  positivae  ideoque  nulla  plane 
imago  realis   occurat,   tune  instrumentum  semper  obiecta  situ  erecto  reprae- 
sentabit;  sin  autem  unica  occurrat  imago  realis  ideoque  unica  istarum  litte- 


208  LIBBI  TEBTII  INTKODTJCTIO     §  13—17  [13—14 

rarum  fuerit  negativa,  turn  repraesentatio  semper  fiet  situ  inverse,  quo  casu 
ipsa  littera  m  signo  contrario  in  calculum  introduci  debebit;  at  si  duae 
imagines  reales  locum  habeant,  repraesentatio  iterum  erit  erecta. 

COROLLAEIUM  3 

14.  Hinc  adparet,  quanti  momenti  sit  introductio  harum  litteraram  P, 
Q,  E,  S  etc.,  cum  eae  tam  perspicue  distinctionem  inter  imagines  reales  et 
fictas  commonstrent,  praecipue  cum  hunc  tractatum  aeque  ac  praecedentem 
de  telescopiis  secundum  imagines  reales  dividi  conveniat,  quippe  in  quo 
essentiale  discrimen  inter  diversa  microscopiorum  genera  continetur. 


PEOBLEMA  3 

15.  Ex  guotcunque  lentibus  microscopium  fuerit  compositum,  si  detur  apertura 
primae  lentis  obiectivae,  per  quam  radii  ex  obiecti  quasi  centro  transmittantur, 
definire  aperturas  singularum  lentium  ad  ulteriorem  transmissionem  necessarias  et 
gradum  daritatis,  quo  oculus  obiectum  contuebitur. 

SOLUTIO 

Ex  principiis  fundamentalibus  supra  satis  expositis  hae  aperturae  facil- 
lime  definiuntur  ex  apertura  primae  lentis  cognita,  unde  semidiametri  singu- 
larum aperturarum  sequenti  modo  per  litteras  P,  Q,  li  etc.  exprimentur: 

Semidiameter  aperturae  lentis  primae      =  x 


semidiameter  aperturae  lentis  secundae  *= 


be          i 

semidiameter  aperturae  lentis  tertiae       —  —v  -  x  ==  ^  ^ 
r  «/3  PQ 


'  semidiameter  aperturae  lentis  quartae     —  -—  *  &  ss=ss  ^Ar**® 
r  u  apy  PQR 

etc., 
unde  concludinms  pro  ultima  lente  requiri  semidiametrum  aperturae 


14—16]  BE  MICROSCOPIIS  IN  GENERE  209 

cum  autem  ante  invenerimus 


erit  ista  formula 


_ 

—  •  00  • 

ma 


Tantam  nempe  aperturam  lens  ocularis  ad  minimum  habere  debet,  ut  radios 
per  lentem  obiectivam  ingressos  transmittat,  et  cum  nunc  radii  inter  se  sint 
parallel!,  ii  quasi  penicillum  radiosum  repraesentabunt,  qui  a  centro  obiecti 
in  oculum  intrat;  ex  quo,  si  semidiameter  huius  penicilli  ^  semidiametro 
pupillae  aequaretur,  tune  visio  plena  claritate  frueretur;  quatenus  autem  ista 
expressio  minor  est  quam  semidiameter  pupillae,  eatenus  gradus  claritatis 
evadit  minor.  Unde,  cum  supra  gradus  claritatis  littera  y  fuerit  expressus, 

7)    A*  ' 

erit  hie  y  =  ~ ;  qui  valor  quoties  fuerit  minor  semidiametro  pupillae,  quae 
circiter  ~  dig.  aestimatur,  toties  claritas  minor  erit  censenda  quam  naturalis 
seu  plena,  vel  potius  in  ratione  duplicata,  prouti  per  se  est  manifestum. 

COROLLARIUM  1 

16.  Data   igitur   claritate  y   cum   multiplicatione  m  reperitur   #^-^™; 
unde  apertura  lentis  obiectivae  innotescit,  quae  ceteris  paribus  eo  maior  esse 
debet,    quo   maior   fuerit   distantia   obiecti   a   lente   obiectiva    sive    a.     Cum 
igitur  x  a  distantia  focali  lentis  obiectivae  pendeat,  hinc  colligere  licet,  quo- 
modo  haec  lens  ratione  distantiae  a  debeat  esse  comparata. 

COROLLARIUM  2 

17.  Tarn  hinc  quam  ex  praecedente  problemate  etiam   patet,    quomodo 
rnultiplicatio  m  ad  distantiam  illam  h,   quae  vulgo   8  dig.  assumitur,   refera- 
tur,   quandoquidem  in  hoc   negotio  multiplicationem  m  non  absolute  definire 
licet,  sicque  ™   proprie  id  denotat,    quod   sub  notione  multiplicationis  menti 
offertur. 

LKONHA.RDI  EU&KRI  Opera  omnia  III*  Dioptrica  27 


210  LEBRI  TEETH  INTRODUCTIO     §  18  [16-17 


PBOBLEMA  4 

18.  Ex  guotcwnque  lentilus  microscopium  fuerit  compositum,  momenta,  quae 
a  singulis  lentibus  ad  campum  apparentem  conferuntur  earumque  aperturam  defi- 
niunt,  exponere  locumque  oculi  assignare. 

SOLUTIO 

Ad  hoc  supra  litteras  peculiares  in  calculum  introduximus;  cum  enim 
cuiusque  lentis  apertura  ita  ab  eius  distantia  focali  pendeat,  ut  certam  eius 
partem  superare  non  debeat,  semidiameter  aperturae  cuiusque  lentis  post 
primam  sequent!  modo  per  eius  distantiam  focalem  est  stabilita: 

secundae  =  71%,     tertiae  =n'r,     quartae  =  n's,     quintae  =  n't     etc.; 

unde,   si  semidiameter  obiecti   conspicui   sit  =  0  yoceturque   ~a  =  *,    osten- 

dimus  esse 

_       —  %  -f  d  —  #"  +  aff/  —  ftrtff  etc.      7 

$  =  a  <P  =  -  ;  -----  --  —  •  #^? 

ma  —  h 

quod  intelligenduni  est  de  situ  erecto;  pro  inverso  enim  situ  multiplicatio  m 
negative  accipi  debet. 

Nunc  autem?  quo  facilius  de  quantitate  campi  iudicare  queamus,  sit 
aperturae  maximae,  quam  quaepiam  lens,  cuius  distantia  focalis  sit  v.  gr. 
=  #,  recipere  potest,  semidiameter  =£#,  cuius  scilicet  haec  lens  foret  capax, 
si  esset  utrinque  aequalis,  denotante  |  vulgo  £•;  pro  singulis  lentibus,  quate- 
nus  minores  habere  possunt  aperturas,  introducamus  novas  litteras  et  ponamus 

n--q|,     7t'=  +  r|,     TT"=-§|,     nT  -  +  tg    etc., 

ut  fiat 

q  +  r  +  8  +  t  etc.      ,  fc 


in  qua  porro  brevitatis  gratia  ponamus 


, 

ma  —  h 
ut  fiat 

sen     <#>  —  jbf 


17-18]  DE  MICKOSCOPIIS  IN  GENERE  211 

quibus  positis  novae  hae  litterae  q,  r,  §,  t  etc.  sequent!  modo  ad  ante  intro- 
ductas  referentur: 

1.    »q  =  (P—  l)Jf, 

2.    (£r  =  (P0  —  l)Jf—  q, 
3.    '&§  =  (PQE  —  l)Jf-q_  t, 
4.    (£t  =  (P<2JSS—  l)Jf—  q  —  r—  § 
etc., 

quarum  formarum  differentiae  etiam  notatu  dignae  sunt,  nimirum 


2.  2)§—  ®r  =  P^(JJ  —  l)Jf—  r, 

3.  ©t—  S)§  =  P^J?(5'—  l)Jf  —  § 

etc. 

Illarum  igitur  aequationum  ultima  ita  erit  expressa: 


Ante  vero  ostendimus  esse  fi  =  l;  unde  fiet 


quae  est  ipsa  ilia  aequatio,  qua  littera  M  determinatur. 

Nunc  igitur  superest,  ut  locum  oculi  seu  eius  distantiam  post  ultimam 
lentem,  quam  supra  vocavimus  =====  0,  definiamus;  quod  quidem  primo  se- 
cundum  lentium  numerum  ex  superioribus  repetamus: 

Pro  una  lente 

Pro  duabus  lentibus 

q&      h        aq      h 


0 


—  0       Ma    m        M     ma 


212  LIBBI  TERTII  INTRODUCTIO     §  18-23  [18-19 

Pro  tribus  lentibus 

ice     Ji        XT     h 


^—^-j-^)       Ma    m         M    ma 
Pro  quatuor  lentibus 


^  xjvu  ju  todi     hi         %s     fi> 


it"  —  yt'+rt  —  &        Ma    m        M   ma 
etc., 


unde  eoncludimus  pro  lentium  numero  quocunque  fore  distantiam  oculi 


M   ma 


COKOLLAR1UM  1 

19.  Hinc  igitur  novas  determinations  pro  apertnris  singularum  lentium 
sumus  consecuti,  quas  scilicet  adparitio  campi  postulat  et  quae  non  sunt 
confundendae  cum  superioribus,  quas  gradus  claritatis  postulat;  cuilibet 
autem  lenti  ea  apertura,  quae  est  maior,  tribui  debet;  unde  sequentes  for- 
mulae probe  sunt  observandae: 

Semidiameter  aperturae  pro  prima  lente      «=  Qgp  .  .  .  &, 
semidiameter  aperturae  pro  secunda  lente  =   '  " 

semidiameter  aperturae  pro  tertia  lente      = 

semidiameter  aperturae  pro  quarta  lente    — 

unde 

F)  **p 
pro  ultima  lente  ^$£1  -  .  . 


ubi  notetur  litteras  q,  r,  8  etc.   fractiones   esse   unitate   minores;    quarum 
yalores  unitatem  superare  nequeant. 

COROLLARIUM  2 

20.    Si  forte  repraesentatio  fuerit  inversa,  quo  casu,  ut  supra  iam  monu- 
imus?  multiplicatio  m  negative  accipitur  seu  — m  loco  m  scribi  debet,  eo 


19-21]  DE  MICEOSCOPIIS  IN  GENEEE  213 

casu  quoque  singulis  litteris  q,  r,  §,  t  signum  negativum  tribui  debet,  ita  ut 
turn  fiat 


COEOLLAEIUM  3 

21.  Quoniain  circumstantiae  quaedam  postulare  solent,   ut   pro    utroque 
casu  litterarum  q,  r,  §  etc.  una  vel  altera  negativum  valorem  sortiri  debeat, 
hoc  praecipue,  uti  in  telescopiis  vidimus,   in  prioribus  harum  litterarum  usu 
venit;    posteriores   vero   semper   positivae    atque    adeo   ipsi   unitati   aequales 
tuto    assumi   possunt,    ita   ut  earum  ultima  certo  pro  imitate  haberi  possit; 
ex  quo  perspicuum  est  distantiam   oculi  0   semper   fore    positivam,    quoties 
postrema  lens  fuerit  convexa;  sin  autem  haec  lens  fuerit  concava,  turn  etiam 
distantia  0  prodibit  negativa. 

SCHOLION 

22.  Ceterum  hie  monendum  est,   cum  in  primo  libro  littera  I  usurpata 
sit  ad  iustam  oculi  distantiam  significandam,    quae   hie   perpetuo    ut  infinita 
spectatur,   hie  eandem  litteram  longe  alio  significatu  adhiberi,    siquidem  hie 
semper  significat  distantiam  focalem  lentis  ultimae  seu  ocularis,  quae  eadein 
est  distantia  penultimae  iniaginis  ante  ultimam  lentem;   ex  quo  sequitur,   si 
ultima   lens   fuerit   convexa,   penultimam  imaginem   certe   ante  earn  reprae- 
sentari    debere;    quocirca    ante    ultimam    lentem    certe    imago    realis    esset 
casura.    Hinc  igitur  perspicuum  est,  id  quod  supra  non  tarn  clare  patebat,  si 
nulla   plane   adsit   imago   realis,    turn    lentem   ultimam   convexam    esse   non 
posse  ideoque   pro  loco   oculi  distantiam   0   semper  prodire   negativam,   pro 
quo   casu   etiain   coacti   fuimus    peculiarem   formulam   pro   margine  colorato 
destruendo  tradere,  quae  penitus  diversa  est  ab  ea,  quae  locum  habet,  quoties 
quantitas   0   est   positiva;    quos   ergo    duos  casus  etiam  hie  seorsim  tractari 
conveniet. 

PEOBLEMA  5 

23.  JEb?  quotcunque  lentous  microscopium  fuerit  compositum,  si  distantia  oculi 
post  ultimam  lentem  0  prodierit  positiva ,  destruere  marginem  color atum,   ex  qua- 
eunque  vitri  specie  singulae  lentes  fuerint  paratae. 


214  LIBRI  TEETH  INTftODUCTIO     §  23-26  [21-22 

SOLUTIO 

Quoniam  hie  solutionem  ita  generalem  postulamus,  quae  etiam  ad  lentes 
ex  diversis  vitri  speciebus  paratas  pateat,  rationem  refractionis  pro  prima 
lente  ponamus  =n,  pro  secunda  =  w',  pro  tertia  =  n"  etc.,  uti  in  superioribus 
libris  fecimus;  atque  hinc  statuamus  formulas  differentiates  ,  quibus  dispersio 
radiorum  exprimitur,  sequenti  modo: 

dn          -,r          dnf          ,r/        dri'         - 


~         ,     ~  —  -,     ^r~~ 
—  1  w—  1  n  —  1 


—  —  — 

quibus  notatis  supra  [Lib.  I.  Suppl.  VII,  p.  239]  ostendimus  pro   destructione 
marginis  colorati  satisfieri  debere  huic  aequationi: 


' 


quae    aequatio,    si  tarn  loco   litterarum   it,   n    etc.  quam   loco   &?  c,  d  etc. 
valores  ante  assignati  substituantur,  transibit  in  hanc  formam: 


P    ^   PQ~^~  PQlK^  PQliS 
in  qua  aequatione  terminus  ultimus  ita  erit  expressus:   -—-«**. 

COROLLARIUM  1 

24.  Patet  ergo  marginem  coloratum  toll!  non  posse,  nisi  vel  litterarum 
q,  r,  8,  t  etc.  vel  P,  Q,  E  etc.  una  pluresve  fuerint  negativae,  quia  alioquin 
omnes  termini  essent  positivi  eorumque  aggregation  nihilo  aequari  non  posset. 

COEOLLARIUM  2 

25.  Si  ergo  nulla  adsit  imago  realis,   quod  evenit,  si  omnes  litterae  P, 
Q,  R  etc.  fuerint  positivae,  turn  necessario  litterarum  q,  t,  8   etc,  una  vel 
altera  debet  ease  negativa;   quae  autem  earum  fuerint  negativae,  iis  campus 
apparens  diminuitur, 


22-23]  DE  MICROSCOPES  IN  GENERE  215 


PROBLEMA  6 

26.  Ex  guotcunque  lentibus  microscopium  fuerit  compositum,  si  distantia  oculi 
0  prodeat  negativa  ideoque  oculus  ultimae  lenti  immediate  adplicari  debeat,  destruere 
marginem  coloratum,  ex  guacunque  vitri  specie  singulae  lentes  fuerint  paratae. 

SOLUTIO 

Manentibus   iisdem,    quae   in   praecedente   problemate   circa  diversitatem  * 
vitri  stint  posita,    supra  [Lib.  I.  Suppl.  YII,  p.  239]  pro  hoc  casu  secundum 
lentium  numerum  peculiares  formulae  sunt  datae,  quae  ad  nostrum  institutum 
translatae  ita  se  habent: 

Pro  una  lente 

0  =  0. 

Pro  duabus  lentibus 


Pro  tribus  lentibus 

Q  =  N(A 
Pro  quatuor  lentibus 


Pro  quinque  lentibus 


Pro  sex  lentibus 


r) 


216  LIBEI  TEETH  INTEODUCTIO     §  26—30  [24—25 

Pro  septem  lentibus 
0  =  N(A  +  1}BCVEF*  -((B+  I)CDEF*  +  q)  +        ((0+  1)  DEF*  -  r) 


quas   formulas    concinnius   exhibere  non  licet  ideoque  iis  quovis  casu  oblato 
erit  utendum. 

PROBLEM!  7 

27.  JEx  guotcunque  lentibus  microscopium  fuerit  compositum,  omnem  plane 
confusionem,  quae  ob  diver  sam  radiorum  refrangibilitatem  praeter  marginem  colo- 
ratum  est  metiienda,  ad  nihilum  redigere,  ex  guacungue  vitri  specie  singulae  lentes 
fuerint  paratae. 

SOLUTIO 

Introdnctis  etiam  litteris  N,  N'  etc.,  uti  in  praecedentibus  problematibus 
est  factum,  aequatio  in  libro  prime  inventa  [Lib.  I.  Suppl.  VII,  p.  240),  cui 
est  satisfaciendum,  sequenti  modo  generatim  pro  quovis  lentium  numero  ex- 
pressa  reperietur: 

"  *"  etc 

f 


_  _ 

A  P      AS         PQ'  ABO       PQR'  AS  CD 

quae  etiam  hoc  modo  exMberi  potest: 


vel  etiam,  si  libuerit,  hoc  modo: 

ft_Ari_^i.^i          #"'        i 
~"  ''  ABC® 


COROLLASIUM  1 

28.  Cum  productum  omnium  litterarum  P,  Q7  R,  $.,,  multiplicationem 
praebeat,  si  haec  fuerit  valde  magna,  termini  huius  aequationis  mox  fient 
tarn  parvi,  ut  sufflciat  binos  yel  ternos  terminos  initiales  assumsisse,  ex 
quibus  commode  vel  littera  S3  vel  &  definiri  poterit 


25-26] DE  MICROSCOPIES  IN  GENERE  217 

COEOLLAEIUM  2 

29.  lam  supra  [Lib.  II,  p.  292]  autem  ostensum  est,  nisi  litfcerae  N,  N'  etc. 
fuerint  inter  se    diversae,    haric   nitimam  aequationem  nullo   mo  do   adimpleri 
posse;  unde  eatenus  tantum  huic  condition!  satisfied  poterit,  quatenus  lentes 
non  ex  eadem  vitri  specie  conficiuntur. 

SCHOLION 

30.  Istud    quidem   tantum   pro   telescopiis    supra  demonstravimus,    idem 
autem  quoque  pro  casu  praesente  demonstrari  potest  hoc  modo.    Ad  hoc  sci- 
licet  utamur   prima    forma  no  strae  aequationis  in  eaque  litterae  N  inter  se 
ponantur  aequales,  cuius  singuli  termini  in  duas  partes  discerpantur,  ut  pro- 
deat  haec  forma: 


A   ASP  '  ABCPQ   ABCDPQR 


AP  ^  ASPQ       ABOPQE  ^  ASODPQRS 
quae  per  a  multiplicata  censeatur,  et  cum  sit  ex  elementis 

PQy 


AB   AS   ABC 


etc., 


hi  valores  successive  in   nostra   aequatione  substituantur  et  aequatio  nostra 
abibit  in  hanc  formam: 

etc  - 
«^'» 


ubi  cum  numeratores  intervalla  lentium  designent,  denominatores  vero  omnes 
sint  numeri  quadrati,  omnes  isti  termini  necessario  sunt  positivi.  Tantum 
de  ultima  parte  solitaria  dubium  superesse  posset;  scilicet  hie,  quousque  hos 
terminos  continuavimus,  insuper  adiungi  deberet  terminus 


qui  est  casus  quinque  lentium,  pro  quo  e  quidem  est  oo;  notandum  autem  est 
esse  etiam  jE7«=co,  cum  sit  s***Ee\   quo  valor e  substituto  istum  terminum 

LBONHA.EBI  EtrLBUi  Opera  omnia  IIU  Dioptrica  28 


218  LIBKI  TEETH  INTEODUCTIO     §  30-34  [26-28 

insuper  adiungendum  sponte  evanescere  manifestum  est.  Ceterum,  uti  iam 
saepius  monuimus,  etiam  diversa  vitra  adhibendo  neutiquam  necesse  est,  ut 
huic  nltimae  aequationi  accuratissime  satisfiat,  cum  iam  satis  praeclare  nobis 
agatur,  si  modo  eius  valor  satis  exiguus  reddi  queat,  id  quod  etiam  de 
duabus  praecedentibus  aequationibus  est  tenendum;  neque  enim  natura  rei 
ipsa  huiusmodi  solutionem  rigorosam  permittit,  cum  nunquam  sit  sperandum 
per  experimenta  yalores  litterarum  N,  N'  etc.  ita  exacte  definiri  posse,  ut 
non  notabiliter  a  veritate  aberreut;  et  quia  unicam  vitri  speciem  usurpando 
semper  coacti  sumus  hanc  ultimam  confusionem  tolerare,  si  inodo  earn  mino- 
rem  reddere  licuerit,  id  certe  pro  maximo  lucro  erit  habendum. 


PEOBLEMA  8 

31.  Ex  guotcunque  lentibus  microscopium  fuerit  compositum,  semidiametrum 
confusionis,  quae  a  lentium  apertura  oritur,  assignare  totamgue  Jianc  confusionem 
infra  datum  limitem  reducere,  ut  repraesentationi  non  amplius  officiat. 

SOLUTIO 

Ad  hoc  praestandum  novae  litterae  A,  A'  etc.  pro  singulis  lentibus  in 
calculum  sunt  introducendae,  quemadmodum  in  primo  libro  sufficienter  est 
explicatum.  Turn  vero,  si  singulas  lentes  ex  peculiari  vitri  specie  factas 
consideremus,  expressio  pro  semidiametro  confusionis  supra  [Lib,  I  Supplera, 
VII,  p.  238]  inventa  litteris  P,  Q,  H  etc.  adhibendis  ad  sequentem  formam 
revocabitur: 

L\  _  Jf 
W      A* 


A 


^  (? 
S  V® 


,@a 
quae  formula  succinctior  reddetur  distantias  focales  introducendo;  cum  enim  sit 


,     ABO*  --  etc., 

a  a  a 


Ms  valoribus  aubstitutis  fiet  nostra  formula 


28—29]  BE  MICEOSCOPHS  EST  GENERE  219 

Sit  nunc  limes,  quern  valor  huius  formulae  superare  noil  debet,  =^3,  ubi 
notandum  est  pro  telescopiis  supra  sumtum  esse  k  =  50  circiter;  quare,  si 
brevitatis  gratia  ponamus 


debebit  esse 

y  -<4      "\.          y    rt     J 

unde  commodissime  definitur  semidiameter  lentis  obiectivae 

1_  -|V    h 
k  y  ma  A  ' 

ac  si  licuerit  formulam  hanc  A  penitus  ad  nihilum  redigere,  tune  hanc 
semidiametrum  x  nihil  impedit,  quominus  tantam  statuamus,  quam  figura 
lentis  obiectivae  permittit. 

COEOLLAEIUM  1 

32.  Quando  ergo  hinc  quantitas  x  fuerit  definita,   turn   demum  gradum 
claritatis  assignare  poterimus;   ex  aequatione  enim  supra  inventa  y  =  —  co- 
gnoscimus    semidiametrum    penicillorum   radiosorum,    qui    a    singulis   obiecti 
punctis  in  oculum  transmittuntur,  quae  ad  pupillam  relata  gradum  claritatis 
determinabit. 

COROLLAEIUM  2 

33.  De  telescopiis  quidem  vidimus  sufficientem  claritatis  gradum  produci, 
si   modo  y  non   multo  minor   sit   quam  ^  dig.,   in   microscopiis   autem   nos 
plerumque  multo  minore  claritate  contentos  esse  oportebit. 

COEOLLAEIUM  3 

34.  At  si  loco  x  valorem  inventum   substituamus,   pro   gradu  claritatis 
habebimus 


y  ~  ™ir  \^^/    v  ^f> 

28* 


220  LIBRI  TERTII  INTEOPUCTIO     §  34-37 [29-30 

unde  intelligitur,  quo  longius  obiectum  a  microscopic  removere  velimus,  eo 
minore  claritate  obiectum  esse  appariturum,  quae  causa  est,  ut  in  omnibus 
microscopiis  distantia  obiecti  a  lente  obiectiva  tarn  exigua  capi  debeat. 

COBOLLAKIUM  4 

35.  Ex   ultima    forma    nostrae   expressionis   manifestum   est,    si   omnes 
lentes   fuerint   convexae   seu   litterae  jp,  #,  r  etc.  positivae,  omnes  terminos 
litteras  A,  A',  A"  etc.  continentes  fore  quoque  positives;    unde,    cum  litterae 
v,  v,  v"  etc.  sint  valde  parvae,  quantitas  ilia  A  nullo  modo  ad  nihilum  redigi 
poterit;  sin  autem  una  vel  altera  lens  fuerit  concava,  turn  utique  fieri  poterit, 
ut  haec  quantitas  A  evanescat. 

SCHOLION  1 

36.  Haec  igitur  formula    praecipue   litteris   A,   A',   A"   etc.    convenienter 
deflniendis  inservit,  quandoquidem  reliquae  litterae  iam  per  conditiones  prae- 
cedentes   plerumque    suas    determinationes    adipiscuntur.     Meminisse    autem 
oportet  quamlibet  lentem  sibi   adiunctum  habere  numerum   A,   qui   quidem 
unitate  minor   esse   nequit,    ex   quo   cum   binis    distantiis    determinatricibus 
ambae  facies  determinantur.     Supra  autem  formulae  pro  radiis  facierum  iam 
sunt  datae,  sed  eas  in  calculi  commodum  Me  aliquantisper  mutatas  exhlbea- 
mus.     Exemplo  sit  lens  prima,   cuius  distantiae  determinatrices  sunt  a  et  «, 
numerus    autem   iis    adiungendus    =  A,    ex    quibus   binae    eius    facies    supra 
[Lib.  I,  §  55]  ita  sunt  definitae,  ut  sit 

...  act 

antenons 

radius  faciei 

...  ace 

posterions 


Cum  autem  sit  a  «*  Aa,  fient  istae  formulae; 


radius  faciei 

Jxy 

posterioris 


31— 32J 


DE  MICEOSCOPIIS 


GENEKE 


221 


Dividantur    nunc    numeratores    et    denominators    utriusque    fractionis    per 

•< 
=  81  ideoque  $ia=p  et  x  ,  A  =1  —  81,  nostrae  for- 


cum sit 


mulae  abibunt  in  sequentes: 


radius  faciei 


anterioris 


posterioris   = 


+  81(0  — 


ubi  litterae  ^,  or  et  r  ex  ratione  refractionis,  quae  cuilibet  lenti  convenit,  sunt 
desumendae,  pariter  atque  litterae  ^  et  v9  uti  in  primo  libro  [§  55]  osten- 
dimus.  Ne  autem  opus  habeamus  eas  inde  depromere,  tabulam  ibi  [Lib.  II, 
§  15]  datam  hie  adiungamus: 


n 

? 

a 

r 

^ 

V 

JLIV 

1,50 

0,2858 

1,7143  - 

0,9583 

1,0714 

0,2000 

0,2143 

1,51 

0,2653 

1,6956 

0,9468 

1,0420 

0,2065 

0,2151 

1,52 

0,2456 

1,6776 

0,9358 

1,0140 

0,2129 

0,2159 

1,53 

0,2267 

1,6601 

0,9252 

0,9875 

0,2196 

0,2168 

1,54 

0,2083 

1,6434 

0,9149 

0,9622 

0,2260 

0,2176 

1,55 

0,1907 

1,6274 

0,9051 

0,9381 

0,2326 

0,2182 

1,56 

0,1737 

1,6119 

0,8956 

0,9151 

0,2393 

0,2192 

1,57 

0,1573 

1,5970 

0,8864 

0,8932 

0,2461 

0,2199 

1,58 

0,1414 

1,5827 

0,8775 

0,8724 

0,2529 

0,2206 

1,59 

0,1259 

1,5689 

0,8689 

0,8525 

0,2597 

0,2214 

1,60 

0,1111 

1,5555 

0,8607 

0,8333 

0,2666 

0,2221 

SCHOLION  2 

37.  His  principiis  praemissis  facile  intelligitur,  quomodo  hanc  de  micro- 
scopiis  doctrinam  tractari  et  in  sectiones  subdividi  conveniat  Primo  scilicet 
microscopia  simplicia,  qnae  unica  constant  lente,  contemplabimur  idque 
duplici  modo,  prout  hums  lentis  crassities  negligitur  vel  eius  ratio  in  calculo 
habetur.  Deinde  tria  genera  microscopiorum  compositorum  considerabimus? 
protiti  in  telescopiie  fecimus;  in  primo  scilicet  genere  nulla  prorsus  occurret 


222  LD3BI  TEETH  INTBODUCTIO     §  37  [32 

imago  realis  sen  omnes  litterae  P,  Q,  E  etc.  erunt  positivae;  in  secundo 
autem  genere  unica  occurret  imago  realis  ideoque  unica  illarum  litterarum 
negativum  habebit  valorem,  quaecunque  ea  fuerit;  in  tertio  denique  genere 
duae  imagines  reales  locum  habebunt  sicque  binae  illarum  litterarum,  quae- 
cunque eae  fuerint,  valores  sortientur  negativos.  Plures  autem  imagines 
reales  introducere  prorsus  foret  superfluum.  Notandum  vero  est  tarn  micro- 
scopia  simplicia  quam  composita  primi  et  tertii  generis  obiecta  situ  erecto 
esse  repraesentatura,  dum  microscopia  composita  secundi  generis  ea  situ  in- 
verso  referent.  Quamobrem  haec  tractatio  quatuor  sequentibus  sectionibus 
absolvetur. 


LIBRI  TERTH 

DE 

CXDNSTRVCTIONE 

MICROSCOPIORVM 

SECTIO  PRIMA. 

DE 

MICROSCOPIIS  SIMPLICIBVS. 


CAPUT  I 

DE  MICROSCOPES  SIMPLICIBUS 

IMICA  LENTE  CONSTANTIBUS 

TAM  NEGKLECTA  LENTIS  CRASSITIE 

QUAM  EIUS  RATIONE  HABITA 

PKOBLEMA  1 

38.  Microscopium  sim/plex  conficere,  quod  obiecta  secundum  datam  rationem 
aucta  repraesentet  neglecta  lentis  crassitie. 

SOLTJTIO 

Sit  multiplicatio  praescripta  ==  m,  quae  scilicet  ad  distantiam  pro  ar- 
bitrio  assumtam  h  referatur  denotante  ~h  vulgo  distantiam  8  dig.,  sitque  p 
distantia  focalis  lentis,  quae  sola  microscopium  constituit.  Cum.  igitur  esse 
debeat  a  =  00,  erit  quoque  A  =  <*s;  unde  fit  21  =  1  ideoque  a=p,  ita  ut 
distantia  obiecti  ante  lentem  praecise  eius  distantiae  focali  p  aequalis  esse 
debeat.  Cum  igitur  sit  in  genere 


pro   nostro   casu,    quo   unica  adest  lens,  iaec   formula   per    omnes    litteras 
P,  Q,  R,...Z  debet  dividi,  ita  ut  fiat 


a 

ETJ&BBI  Opera  omnia  HI  4  Dioptrica  29 


226  LIBEI  TEETH  SECTIO  PEIMA.     OAPUT  I     §  38—40  [34—35 

quod  etiaxn  hoc  modo  facillime  ostenditur:  cum  enim  haec  imago  cadat  ad 
distantiam  a  =  Aa,  eius  semidiarneter  sit  Ass  existente  2  semidiametro 
obiecti,  haec  imago  ab  oculo  cernetur  sub  angulo  ~-y  dum  idem  obiectum 
ad  distantiam  h  existens  nudo  oculo  appariturum  esset  sub  angulo  =  -|-  ,  ex 
quo  ille  angulus  per  hunc  divisus  ipsam  dat  multiplicationem,  ita  ut  sit 

h 

m  =  -> 

Quare  cum  haec  multiplicatio  m  sit  data,  hinc  colligitur  #=$>  =  - 
sicque  tarn  distantia  focalis  lentis  quam  distantia  obiecti  ante  lentem  per 
solam  multiplicationem  praescriptam  determinatur,  ex  quo  constructio  micro- 
scopii  iam  innotescit.  Tantum  igitur  superest,  ut  reliquas  conditiones  eo 
pertinentes  percurramus. 

Primo  igitur  sit  semidiameter  aperturae  huius  lentis  =  x9  quam 
deinceps  ex  confusione  determinari  oportebit,  et  ex  problemate  tertio  Intro- 
ductionis  patet  fore  gradum  claritatis  y  =  ~  =  #  ob  a  =  w  ,  quod  quidem 
per  se  est  perspicuum,  cum  penicillus  radiosus  transmissus  ipsi  aperturae 
manifesto  sit  aequalis.  Ex  quarto  problemate,  cum  praeter  lentem  obiectivam 
nulla  alia  adsit,  litterae  q,  r?  $  etc.  hie  nullum  locum  inveniunt;  at  pro  loco 
oculi  hie  habebimus  0  =  0  sive  oculum  lenti  immediate  adplicari  oportet  cam- 
pusque  apparens  hie  plane  non  determinatur,  ita  ut  yisus  oculi  nusquam  ter- 
minetur.  Ex  quinto  porro  problemate  intelligitur  hie  nullum  marginem  colo- 
ratum  esse  pertimescendum,  quia  is  tantum  a  lentibus  sequentibus  producitur, 
Sextum  vero  problema  hue  prorsus  non  pertinet.  Septimum  dein  problema  hane 
dat  aequationem  0  =  N*  ~  ;  quod  cum  jBeri  nequeat,  haec  confusio  tolli  om- 
nino  non  potest,  sed  potius  eo  maior  fiet,  quo  minus  erit  $  sou  quo  maior 
desideretur  multiplicatio.  Ex  octavo  denique  problemate  deducimns  pro 
nostro  casu  hanc  aequationem: 

max* 


quae  ob  A  =  c*>  et  ma  =  h  abit  in  hanc: 


35—37]         DE  MICROSCOPES  SIMFLICIBUS  TJHICA  LENTE  OONSTANTIBUS  227 

ex  qua  fit 


sicque  apertura  lentis  innotescit  simulque  etiam  gradus  claritatis  hocque  modo 
omnia,  quae  ad  microscopium  pertinent,  sunt  definita. 


COROLLABIUM  1 
39.     Cum    igitur    pro    apertura   lentis    inventa    sit    eius    semi  Diameter 

3  / 

x  =  ^Y'£i>  evidens  est,  ut  claritatem,  quantum  fieri  potest,  sine  detrimento 
distinctionis  augeamus,  sumi  debere  A  =  1,  et  quia  /a  non  multum  ab  unitate 
differt,  fiet  x  =  y  =  |- ;  unde,  cum  sit  circiter  k  =  50,  nullum  est  dubium,  qidn 
lens  hanc  aperturam  admittat.  Ante  autem  vidimus  esse  p  =  —9  ita  ut  nunc 
habeamus  x  =  y  =  ~  Quare  si  statuamus  Jc  =  48  et  h  =  8  dig.,  erit 
#  =  y  =  6^-  dig.  sicque,  statim  ac  multiplicatio  m  supra  8  excurrat,  gradus 
claritatis  minor  evadet  eo,  quern  supra  telescopiis  conciliavimus. 


SOHOLIOK  1 

40.  Lens  autem,  quae  tantum  octies  multiplicat,  vix  nomen  microscopii 
meretur,  cum  distantia  focalis  p  prodeat  unius  digiti;  interim  tamen  hinc 
videmus  sernidiametrum  aperturae  non  ultra  jg  dig.  augeri  debere,  si  quidem 
tanto  distinctionis  gradu  frui  yelimus,  quantus  in  telescopiis  exigi  solet.  Ex- 
perientia  autem  constat  huiusmodi  lentibus  multo  maiorem  aperturam  tribui 
neque  adeo  ad  mensuram  definiri  solere,  at  vero  etiam  indidem  constat 
huiusmodi  repraesentationes  non  mediocri  confusione  esse  inquinatas;  quod 
adeo  etiam  de  omnibus  microscopiis  valet,  quorum  repraesentatio  plerumque 
multo  magis  confusa  est,  quam  in  telescopiis  tolerari  solet.  Quocirca  videtur, 
dum  de  microscopiis  agitur,  litterae  k  multo  minor  valor  quam  50  tuto  tribui 
posse,  quern  adeo  in  quibusdam  microscopiis  non  spernendis  ne  ad  20  quidem 
assurgere  comperi.  Interim  tamen  nullum  est  dubium,  quin  haec  instrumenta 
multo  maiorem  utilitatem  sint  allatura,  si  a  tarn  notabili  confusione  liberari 
queant;  quare  hie  quidem  litterae  k  valorem  20  sum  assignaturus,  nullam 
tamen  occasionem  praetermittam,  quoties  fieri  licuerit,  hunc  confusionis  gradum 
diminuendi 

29* 


228  LIBRI  TEETH  SEGTIO  PBIMA     CAPUT  I     §  41-43 [37-38 

COBOLLAEIUM  2 

41.  Sumto  ergo  ft  =  20  semidiameter  aperturae  microscopii  debebit  esse 
#  =  JLdig.;  cui  cum  mensura  claritatis  sit  aequalis,  statim  atque  m  superat  8, 
quo  casu  fit  y  =  ~dig.7   non  amplius   obiecta   plena   claritate    videmus,    sed 
quo  maior  fuerit  ratio  m:8,  eo  minore  claritate  content!  esse  debemus. 

COROLLAEIUM  3 

42.  Quia  autem  ne  tanta  quidem  claritas  est  exspectanda,  nisi  capiatur 
%  =  i9  patet,  quanti  intersit  lenti  microscopicae  debitam  figuram  tribuisse,  et 
cum  sit  21  =  1,  hanc  lentem  ita  construi  conveniet,  ut  sit  radius  faciei  an- 
terioris   =—  et  posterioris  =-f-     Si  enim  lente  utrinque  aeque  convexa  uti 
vellemus,  confusio  ultra  dimidium  fieret  maior. 

SCHOLION  2 

43.  Quo  igitur  constructio  huiusmodi  microscopiorum  pro  qualibet  mul- 
tiplicatione  facilius  et  clarius  perspiciatur,  tabulam  hie  subiungamus,  in  qua 
pro  praecipuis  valoribus  litterae  m  primo   distantiam   obiecti  a  lente,   quae 
eadem  est  eius  distantia  focalis,  exhibeamus;  deinde  vero  radios  utriusque 
lentis   faciei    in   digitis    expresses  duabus    colunanis    designemus;    turn   vero 
semidiametrum  aperturae  et  gradum  claritatis  ita  assignemus,  ut  posita  clari- 
tate  plena  =*  1    et   pupillae   semidiametro    =  ^  dig.   gradus   claritatis   per 

o 

2Qy  =  -~~  exprimatur,  etiamsi  proprie  quadratum  huius  fractionis  sumi  deberet, 
quoniam  claritas  pendet  non  a  diametro  penicillorum,  sed  a  tota  eorum 
crassitie.  Quod  autem  semel  monuisse  sufficit  Pro  refractione  autem  vitri 
sumamus  n  ==  1,55,  ut  sit 

<;>  =  0,1907,     <y»«  1,6274, 
eritque 

anterioris    —  5,2438#  —  41,9504  -  -1 
radius  faciei 

posterioris  —  0,6145jp  —   4,9160  -  — 


38—40]         DE  MICROSCOPES  SIMPLICIBUS  UNICA  LENTE  CONST  ANTIBUS 


229 


ob 


o  f\ 

—  dig.    =  a;    turn   vero    est   semidiameter    aperturae   x  =  -=--  dig.  et 


m 


mensura  claritatis,  ut  modo  vidimus,  =  — ?  unde  facile   sequens  tabula  con- 
ficitur: 


Muitipli- 
catio 

Distantia 
focalis 

Radius 
anterioris 

faciei 
posterioris 

Semidiameter 
aperturae 

Mensura 
claritatis 

10 

0,800 

4,195 

0,492 

0,040 

0,800 

20 

0,400 

2,097 

0,246 

0,020 

0,400 

30 

0,266 

1,398 

0,164 

0,013 

0,266 

40 

0,200 

1,048 

0,123 

0,010 

0,200 

50 

0,160 

0,839 

0,098 

0,008 

0,160 

60 

0,133 

0,699 

0,082 

0,007 

0,133 

70 

0,114 

0,599 

0,070 

0,006 

0,114 

80 

0,100 

0,524 

0,062 

0,005 

0,100 

90 

0,089 

0,466 

0,055 

0,004 

0,089 

100 

0,080 

0,419 

0,049 

0,004 

0,080 

120 

0,066 

0,349 

0,041 

0,003 

0,066 

140 

0,057 

0,299 

0,035 

0,003 

0,057 

160 

0,050 

0,262 

0,031 

0,002 

0,050 

Hinc  evidens  est  has  multiplicationes  ulterius  continuari  non  posse,  cum  turn 
radii  facierum  lentis  nimis  fierent  exigui,  quam  ut  in  praxi  elaborari  possint, 
turn  vero  apertura  tarn  parva  fieri  deberet,  ut  ob  defectum  claritatis  obiecta 
vix  conspici  possent.  Ceterum  cum  apertura  harum  lentium  tarn  exigua  esse 
debeat,  eas  quoque  ipsas  tarn  parvas  conflcere  licebit,  ut  earum  crassities 
prae  distantia  focali,  quantumvis  ea  parva  fuerit,  sine  errore  negligi  queat, 
quia  scilicet  in  his  lentibus  eadem  ac  in  maioribus  ratio  est;  tenuissimas 
nempe  has  lentes  elaborari  oportet,  ut  margines  circumquaque  inter  se  quasi 
conveniant.  Cum  autem  plerumque  his  lentibus  multo  maior  crassities  tribui 
soleat,  qttae  ad  distantiam  focalem  satis  notabilem  teneat  rationem  eamque 
adeo  superet,  uti  fit  in  globuUs  vitreis,  qui  loco  huiusmodi  lenticularum  usur- 
pari  solent,  operae  utique  pretium  erit  in  determinatione  talium  microscopiorum 
crassitiei  rationem  habere. 


230  LIBRI  TEETH  SECTIO  PRIMA     CAPUT  I     §  44—46  [40—41 


PEOBLEMA  2 

44.  Si  lentis  crassitiem  negligere  nan  liceat,  microscopia  conficere,  quae  obiecta 
secundwm  datam  rationem  aucta  repraesentent. 

SOLUTIO 

Ad  hoc  problema  solvendum  consideretur  solutio  problematis  in  Lib.  I  §  329 
allati,  cuius  solutio  hue  transferetur  statuendo  0  =  a  -f-  1  =  0,  ita  ut  sit  I  «=»  —  a 
existente  a==c\D,  uti  hie  assuminms.  Turn  igitur,  si  distantia  obiecti  ante 
lentem  sit  =  a,  crassities  lentis  —  v,  radius  faciei  anterioris  =  f  et  posterioris 
=  #,  introducta  quantitate  adhuc  indefinita  —  &  has  ibi  invenimus  formulas: 

/  = 
7 

quibus  lens  determinatur.    Quodsi  nunc  ponatur  *-^~  ==  i,  definivimus  ibi  mul- 
tiplicatiouem 

1     h       Jc  +  v  h 

tyn   y,-,.   ,  __  .  _„„   ^.irjtii    ,.^v^_,w  ,  _„  , 

i     a        Jc  —  v   a 

Deinde  si  aperturae  semidiameter  in  facie  anteriorel  sit  a?,  in  facie  posteriore 
ea  debet  esse  non  minor  quam   ix  —  ^  "^  -  ^  proditque  gradus  claritatis 


Postea  vero  pro   semidiametro  confusioais  inventa  est  [Lib.  I,  §  210]  sequens 
formula: 


1^8.          -- 

4    •*    2(n- 


cuius  valor  non  superare  debet  limitem  ante  constitutum  ^  existente  k  —  20; 
reducitur  autem  ea  lianc  ad  formam: 


41-42]          DE  MICROSCOPnS  SIMPLICIBUS  UNICA  LENTE  CONSTANTIBUS  231 

unde  colligitur  sequens  aequatio: 

*  3(n(k+v)     ,      4^+2  4^  +  8 

2(n-l)»  '  •*  Vas(&-v)  "•"  a»(*-tO  ^  a&2~*;2 


ex  qua  quantitas  x  definiri  poterit.    Porro  supra  locus  oculi  ita  erat  definitus, 
ut  nunc  flat 


unde  conspicietur  in  obiecto  portio,  cuius  semidiameter 

na    k —  v 

v     k  +  v 

Ut  margo  coloratus  tolleretur,    deberet  esse  &=oo,  siquidem   0>0;   at  cum 

prodeat    0<0,   debet  esse  k> %a,-vy    et  cum  pro  hac  confusione  penitus 

tollenda  deberet  esse 

ob  a  =  co  evidens  est  hanc  confusionem  fore  enormem. 

COROLLARIUM  1 

45.  Cum  invenerimus 

Jc  +  v      h 

k  —  v      &  7 

ut  hie  valor  sit  positivus  sive  repraesentatio  erecta,  necesse  est,  ut  quantitas  k 
extra  limites  +  v  et  —  v  contineatur;  si  enim  intra  hos  limites  contineretur, 
multiplicatio  m  prodiret  negativa  ideoque  repraesentatio  inversa,  dum  scilicet 
imago  realis  intra  lentem  formaretur. 

COEOLLABIUM  2 

46.  Duo  ergo  sunt  casus  considerandi,  quibus  multiplicatio  m  fit  positiva, 
alter,   quo  non  solum  k>Q,   sed  etiam  k>v;   turn  facies  lentis  anterior  erit 
convexa,  posterior  vero  concava  et  w>— ;  altero  vero  casu,  quo  &<0simul- 


1)  Littera  k  designantur  in  hao  aeq^uatione  duae  quantitates  differentes;   est  enim  dextro 
later©  aequationis  Jc  w  20,  cum  sit  sinistro  latere  ralor  numeri  ft  adhuc  indefimtus,          E,  Oh. 


232  LIBEI  TEETH  SECTIO  PEIMA  CAPUT  I     §  46—50  [42—43 

que  k  <  —  0,  sive  posito  k  =  —  I  si  fuerit  £  >  v,  erit 

---  (n- 

6  ~      " 


ideoque    facies    posterior    semper    convexa,    anterior   vero    concava,    nisi  sit 


I  >  v  +  2^0;  nam  si  Z  >  t?  +  2na,   etiam  anterior  facies  erit  convexa   hocque 
porro  casu  erit  w  <  ~  • 

COEOLLAEIUM  3 

47.    Quod  ad  locum  oculi  attinet,  pro  quo  est 

n  —  ^ 

u  —  ' 


quia  JJT—  est  quantitas  positiva,  scilicet  =-'^-,  erit 

0  _ ^__ 


ideoque  semper  negativus  propter  lentis  crassitiem  neque  He  valor  evanescet, 
nisi  simul  lentis  crassities  fuerit  evanescens, 

COROLLAKIUM  4 

48.  Pro  gradu  vero  claritatis  haec  expressio  est  notatu  digna,  quod  sit 
my =  T  ^eoque  y  =  ~-,    unde  patet    crassitiem  lentis   in  gradu   claritatis 
nihil  mutare,   si  scilicet   pro   eadem   multiplications  m  apertura  $    eundem 
adipiscatur  valorem. 

COROLLAEIUM  5 

49.  Cum  priori  casu,  quo  erat  0  —  0,  campus  apparens  fuisset  indefinitus, 
hie  ob  lentis  crassitiem  ita  determinabitur,  ut  sit 

nhx        .  nhx 

mz*^  —  -  -  -     sive     0  —  - « — , 
t?  mv 

unde  patet,  quo  minor  fuerit  crassities,  eo  maiorem  futurum  esse  campum, 
ac  si  loco  a?  introducatur  claritas  y,  prodibit  ^f  — —^  ita  ut  pro  eadem 
crassitiei  ratione  ad  distantiam  a  semidiameter  campi  sit  claritati  proper* 
tionalis. 


43—45]         DE  MICROSCOPIES  SIMPLICIBUS  UHICA  LENTE  CONSTANTTBUS  233 


SCHOLION  1 


50.  Quoniam  hie  duo  casus  principales  considerandi  veniunt,  alter,  quo 
fc  >  t?,  alter  vero,  quo  l>v  existente  I  =  —  A?,  pro  priore  aequatio  confusionem 
reddens  insensibilem  in  solutione  est  exhibita;  pro  posteriore  vero  ea  ita  se 
habebit: 

n  3  /  n(l  —  v)  _   4^  +  2  4n  +  8  __  __  162;         \  _  _1_ 

2(>-l)2  "  ^  \a^lTv)  ~  a\l  +  v)  +  a(Z2-^  +  (Z_^)s(Z  +  v)/  ~  #  * 

Quodsi  nunc   etiam  multiplicationem  m  introducamus,   litteram  vero  I  vel  & 
elimineixms,  haec  aequatio  induet  hanc  formam: 


v 


quae,  si  brevitatis  gratia  ponatur     ~~Jna  =  5?  induet  hanc  formam: 


n 


quae  porro  mutatur  in  hanc: 


quae  ad  quosvis  casus  multo  facilius  adplicabitur.     Ceterum  cum  inter  binos 
casus  memoratos  quasi  medius  sit  Jc  =  <ND,  ponamus  ft  —  co  eritque 


praeterea  vero  haec  habebitur  aequatio  resolvenda: 


** 


nx 


unde  colligitur 


ita  ut  hie  valor  notabiliter  minor  sit  quam  in  problemate  primo;  quia  in 
problemate  primo  facies  anterior  fere  fuerat  plana,  hie  casus  inde  oritur,  si 
ilia  lens  inverteretur,  quo  facto  ea  sine  dubio  multo  minorem  aperturam  pate- 
retur;  ceterum  et  ideo  est  notatu  dignus,  quod  crassities  lentis  neque  in  mul- 
tiplicatione  neque  in  confusione  quidquam  mutet. 

Euom  Opera  omnia  ffl*  Pioptrioa  80 


234  LIBKL  TEETE  SECTIO  PRBIA     CAPUT  I     §  51-52  [45—46 

SCHOLION  2 

51.  Quoniam  nostrum  institutum  non  est  omnes  casus  possibiles  per- 
tractare,  sed  eos  tantum,  quibus  unam  saltern,  vel  plures  excellentes  quali- 
tates  lenti  tribuere  licuerit,  Me  unicus  ille  casus  in  problemate  memoratus 
potissimum  attentione  nostra  dignus  videtur,  quo  marginis  colorati  est  expers; 
quod,  uti  vidimus,  evenit,  si  capiatur  &==  —  2  a —  v.  Interim  tamen  quaedam 
quasi  necessitas  nos  cogit  eum  quoque  casum  evolvere,  quo  loco  lenticulae 
globulus  vitreus  integer  usurpari  solet,  quandoquidem  huiusmodi  microscopia 
facillime  parantur  et  frequenter  in  usum  sunt  vocata;  quamobrem  his  duobus 
casibus  duo  sequentia  huius  capitis  problemata  destinamus. 


PROBLEMA  3 

52.  Non  neglecta  lentis  crassitie  eaque  adeo  data  microscopium  construere, 
quod  in  data  ratione  multiplicet  simulque  obiecta  sine  margine  colorato  repraesentet. 

SOLUTIO 

Cum  ob  crassitiem  distantia  oculi  0  semper  prodeat  negativa  ideoque 
oculum  lenti  immediate  adplicari  oporteat,  ut  margo  coloratus  ad  nihilum 
redigatur,  iam  vidimus  capi  debere  k  =  —  2a  —  0;  unde  ambo  radii  lentis  ita 
erunt  express!: 

/,  ,  (n  —  1)  f     ,     N 

f=  —  a         et      ^  =  k_^(a  +  ^)y 

ita  ut  prima  facies  sit  concava  et  in  ipso  eius  centro  obiectum  collocari  debeat; 
unde  radii  in  prima  facie  nullam  plane  refractionem  patientur;  deinde  pro 
multiplicatione  habebimus  hanc  aequationem  m  =  ^~;  unde,  cum  m  detur, 
colligitur  a  +  ^  =  ~;  pro  claritatis  autem  gradu  erit  y==^t^.^;  unde,  si  ut 
supra  semidiameter  pupillae  aestimetur  ™  dig.,  mensura  claritatis  aestimari 

poterit 

20(a+w) 
—  v        ;  -x 


, 


cum  scilicet  x  in  digitis  exprimitur.     Pro  loco  oculi  autem  reperitur 

Q  __ 


na 


46—47]         DE  MICEOSCOPnS  SMPLICIBUS  UNICA  LENTE  CONSTANTIBUS  235 

quae  cum  sit  negativa,  oculum  lenti  immediate  adplicari  oportet.  Quia  aper- 
turae  faciei  anterioris  semidiameter  posita  est  =#,  in  facie  posteriore  ea 
erit  =  ^-^-#,  qui  est  ipse  valor  ipsius  y.  Hinc  pro  campo  apparente  erit 

n(a  +  v) 
•    v       •  ; 


Denique  ut  ex  conditione  distinctionis  quantitas  x  definiatur,   ntamur  prima 
aequatione,  quae  ob 

A  =  TTT^  =  <~^-     et     k  +  v  =  —  2a,       k  —  v  =  —  2(a  +  v) 

KI  ~p  V  Or  ^  ^ 

hincque 


abit  in  hanc: 

n 


.     2(> -I)2     a3        # 
ex  qua  elicitur 

Jc  V        n 
ex  quo  valore  reliqua  omnia  determinantur. 


EXEMPLUM 

Statuamus    crassitiem    v  =  a    sitque    vitrum    commune,    cuius    refractio 
n  =  1,55,  ac  reperietur 

0  —  0,73081.^  —  0,03650 

£\J 

posito  scilicet  Jc  ==  20  ut  ante;   cum  autem  multiplicatio  m  detur  ideoque  sit 

a=L>  erit 

^=0,0183-™; 

'          m 

unde  sequens  constructio  colligitur: 

ao* 


236  LEBEI  TEETH  SEOTIO  PEIMA     CAPUT  I     §  52—54  [47—49 

I.  Distantia  obiecti  a  lente   a  =  ^  - 
n.  Eadius  faciei  anterioris  =  —  a  =  —  —  • 
HE.  Crassities  lentis  v  —  ^  • 

IV,  Eadius  faciei  posterioris  =  ^  -  ^  =  0,35484- A. 
V.  Semidiameter  aperturae  anterioris  =  0,0183  -  -  - 
VI.   Semidiameter  aperturae  posterioris  =  0,0366  — 
VII.  Mensura  claritatis   ==  0,732  •  —  seu  sumto   h  =  8  dig.  erit   ea  men- 

5,856 

sura  =-^~- 
Vm.  Semidiameter  spatii  visi  in  obiecto   0  =  2nx  =  0,0567  •— • 

Quae  quo  facilius  cum  casu  problematis  primi  comparari  queant,  evol- 
vamus  casum,  quo  multiplicatio  m  =====  100,  et  sumto  h  =  8  dig.  sequentes  pro- 
dibunt  determinationes: 

I.  Distantia  obiecti  a  lente  =  0,04  dig. 
II.  Eadius  faciei  anterioris  =  —  0,04  dig. 
HI.  Crassities  lentis  =  0,04  dig. 
IV.  Eadius  faciei  posterioris  =  0,0284  dig. 
V.  Semidiameter  aperturae  anterioris  =  0,0015  dig. 
VI.  Semidiameter  aperturae  posterioris  =  0,0030  dig. 
VII.  Mensura  claritatis  =0,0585  dig. 
VIIL  Semidiameter  spatii  visi  in  obiecto  =  0,0045  dig. 


SCHOLION 

53.  Haec    ergo    microscopia    multo   sunt   inferiora    praecedentibus,    ubi 
Crassities   erat  minima,  neque   ergo   cuiquam    in  mentem    veniet  huiusmodi 
microscopia  conficere. 

PEOBLEMA  4 

54.  Si   loco  lentis  adhibeatur  globulus  vitreus,   constructionem  microscopii  de~ 
scribere,  guod  datam  multiplicationem  producat. 


49-50]         BE  MICROSCOPIES  SIMPLICIBUS  UNICA  LENTE  CO^STANTIBUS  237 

SOLUTIO 

Hie  ergo  erit  1.  f=*g,  turn  vero  2.  v  =  2f.   Ex  priore  conditione  statim 
colligimus 

v  —  Jc 


unde  sequitur 

**  +  knak  =  v2. 


Cum  autem  porro  sit  v  =  2f,  valor  ipsius  g  dabit 


unde  fit  fc  =  — -1-y,  qui  valor  in  superiore  aequatione  substitutes  praebet 
ita  ut  sit 


(w  — 1)  .  2  — 

-fl    81ve    a  = 


Nunc  vero  multiplicatio  m  dat 

2  — 


"  —  — 

n       a  n          f 

Ob 


unde  nanciscimur 

n  —  l)    fe        ,  2  — 

- 


^ 

r 


n         m  n       m 

hincque 


— 

—  •  —     eu     v  ===  -  •  •  —  » 

w     m  ^          m 


ex  quibus  pro  loco  oculi  reperitur 


quae  distantia  cum  sit  negativa,  oculum  lenti  immediate  adplicari  oportet. 


238  USKL  TEETE  SECTIO  PEBIA     CAPUT  I     §  54—55  [50-51 

Ut   nunc    valorem   ipsius   x    obtineamus,    retineamus    primo    in    calculo 
quantitatem  a,  et  cum  sit 

40  4(^  —  1)0 


, 

'  ~ 


2-n 

hincque 

a     et     ft  +  t;  =  —  40 


et    F-^ 


2 

hincque 

Jc-\-v 2  —  n 

Jc  —  v          n  "2  —  n 

aequatio  supra  inventa  induet  hanc  formam: 
quae  porro  reducitur  ad  hanc: 


ex  qua  elicitur 

^20 


Inventa  igitur  semidiametro  aperturae  in  parte  anteriore  globi  x,  in  parte 
posteriore  erit  ea  =^-^.#,  cui  gradus  claritatis  y  est  aequalis;  mensuram 
vero  claritatis  exprimimus  per  20  y,  dum  scilicet  distantiae  in  digitis  expri- 
muntur. 

Turn  vero  semidiameter  spatii  in  obiecto  conspicui  erit  #  ==4  /^_  <x. 
Quia  autem  distantia  oculi  0  prodiit  negativa,  ut  margo  coloratus  evanesceret, 
debebat  esse  ft  =  —  2a  —  v  sive  —  4a  +  20  =  0;  quod  cum  non  sit,  etiam 
evidens  est  marginem  coloratura  non  destrui?  sed  satis  notabilem  fore.  Ex 
his  igitur  omnibus  colliguntur  sequentes  regulae  pro  constructione  huiusmodi 
microscopiorum,  in  quibus  sit  multiplicatio  =  m: 

I.  Paretur  globulus  vitrets,  cuius  radius  sit  f=  ^—  ^  .  —  ;  cuius  refractio 


si  sit  w  =  1,55  et  capiatur  h  =  89  erit  f=  ^:  dig. 

II.  Ante  hunc  globum  obiectuni  exponi  debet  ad  distantiam  0  =  2*8226  dig. 

HI.  G-lobulo  autem  in  parte  anteriore  tribuatur  apertura,  cuius  semidia- 

meter sit 

2(2  ~^) 


3w-~  n2  — 


51-53]         DE  MICEOSCOPnS  SIMPLICIBTJS  UNIOA  LENTE  CONSTANTrBUS 


239 


quae  expressio  in  numeros  evoluta  fiet 


X 


36 


3025 


dig. 


sen 


155m  r    12475 

0,14483    ,.          ,  .                            0,15816    ,. 
—  _j fag9     Mncque     #  ==  — dig. 


In  parte  posteriore  autem  semidiameter  aperturae  debet  esse 

2  Ji  -i3      (w  —  I)2  0,49887    ,. 

-  ^-"       ~ 


Cum  nunc  sit  y  =  ix,  habebimus  mensuram  claritatis   20  y 


?  quae  ergo 


maior  est  quam  casu  lenticulae  simplicis,  ubi  tantum  erat  =~,  quod  autem 
lucrum  neutiquam  compensat  vitium  illud,  quo  obiecta  margine  colorato  in- 
quinata  adparent.  Operae  igitur  pretium  erit  similem  tabulam,  qualem  supra 
in  problemate  1  dedimus,  adiungere: 


MultipK- 
catio 

Distantia 
obiecti 

Radius 
globi 

Semidiameti 
anterioris 

3r  aperturae 
posterioris 

Mensara 
claritatis 

Semidiameter 
campi 

10 

0,232 

0,568 

0,014 

0,050 

0,998 

0,016 

20 

0,116 

0,284 

0,007 

0,025 

0,499 

0,008 

30 

0,077 

0,189 

0,005 

0,017 

0,333 

0,005 

40 

0,058 

0,142 

0,004 

0,012 

0,249 

0,004 

50 

0,046 

0,114 

0,003 

0,010 

0,199 

0,003 

60 

0,039 

0,094 

0,002 

0,008 

0,166 

0,003 

quam  ulterius  continuare  ob  nimis  exiguum  campum  apparentem  non  con- 
veniet;  sin  autem  apertura  maior  sumeretur,  confusio  prodiret  plane  intole- 
rabilis. 

SOHOLION 

55.  Ex  his  iam  abunde  intelligitur  in  hoc  genere  microscopiorum  sim- 
plicium  speciem  primo  allatam,  qua  lenticulae  tenuissimae  usurpantur,  reliquis 
omnibus  palmam  longe  praeripere;  interim  tamen  et  ista  species  duobus  in- 
signibus  incommodis  laborat,  quae  hie  fusius  ob  oculos  ponamus,  quo  clarius 
appareat,  quid  potissimum  in  microscopiis  perficiendum  desideretur.  Primum 


240  LIBEC  TEETH  SEOTIO  PEIMA     OAPUT  I     §  55  [53—54 

incommodum  in  nimia  propinquitate,  qua  obiectum  lenti  admoveri  debet,  est 
situm,  qua  fit,  ut  pro  maioribus  multiplicationibus  haec  distantia  fere  penitus 
evanescere  debeat,  quae  circumstantia  in  causa  est,  ut,  obiecta  si  non  sint 
laevissima,  minimae  inaequalitates  vel  a  lente  nimis  magnam  vel  nimis  parvam 
teneant  distantiam  ideoque  suirmna  confusione  adpareant.  Inprimis  igitur  in 
id  erit  incumbendum,  ut  pro  maioribus  potissimum  multiplicationibus  eius- 
modi  microscopia  inveniantur,  quae  non  tarn  exiguam  a  lente  distantiam 
postulent.  Alterum  incommodum  consistit  in  nimis  parva  claritate,  quam  ista 
microscopiorum  species  exhibet  in  maioribus  multiplicationibus;  ex  tabula 
enim  supra  §  43  exMbita  videmus,  si  multiplicatio  sit  m  =»  100,  claritatem  ibi 
designatam  esse  0,080,  et  cum  ipsa  claritas  huius  quadrato  sit  proportionalis, 
ea  Set  0,0064  ideoque  156  vicibus  minor  quam  claritas  naturalis,  quae  quidem 
adhuc  satis  tolerabilis  est,  nisi  ipsum  obiectum  sit  natura  sua  valde  obscurum; 
sed  hinc  intelligitur,  si  multo  maior  multiplicatio  desideretur,  tenebras  non 
amplius  esse  ferendas.  Isti  quidem  defectui  remedium  afferri  posset  aper- 
turam  lentis  augendo;  turn  autem  confusio  tantopere  augeretur,  ut  penitus 
tolerari  non  posset,  praecipue  cum  istam  tabulam  ita  adstruxerimus,  ut  tantum 
esset  ~k  =  20,  dum  pro  telescopiis  poni  solet  Jc  =  50,  ita  ut  in  his  microscopiis 
gradus  distinctionis  iam  quindecies  sit  minor  quam  in  telescopiis,  ita  ut  potius 
curandum  sit,  ut  maiorem  gradum  distinctionis  obtineamus.  Illud  autem 
posterius  incommodum  maximam  partem  lentem  duplicando  atque  adeo  tripli- 
cando  e  medio  tbllere  licebit,  ubi  autem  non  eiusmodi  lentes  nmltiplicatae, 
quales  in  primo  libro  descripsimus,  usurpari  poterunt,  quarum  scilicet  inter- 
vallum  penitus  evanescens  est  assumtum;  quamobrem  in  hoc  negotio  inter- 
valla  inter  istas  lentes  iam  tanta  assumi  conveniet,  quae  in  praxi  locum 
habere  queant;  quod  argumentum  in  sequentibus  capitibus  diligentius  examini 
subiiciemus;  in  posterum  vero  perpetuo  crassitiem  lentium  pro  nihilo  habe- 
bimus,  unde  maxime  erit  cavendum,  ne  lentes  minus  tenues  elaborentur,  quam 
earum  forma  et  apertura  postulant. 


CAPtJT  II 

DE  MICROSCOPES  SIMPLICIBUS 

DUABUS  PLURIBUSVE  LENTIBUS  CONVEXIS 

INTER  SE  PROXIME  IDNCTIS 

CONSTAOTDBUS 

PEOBLEMA  1 

56.  Si  lens  duplicata  ex  duabus  lentibus  convexis  sit  composita,  pro  data  mul- 
tiplications huiusmodi  microscopium  construere,  quod  dbiecta,  quantum  fieri  potest, 
dare  et  distincte  repraesentet. 

SOLUTIO 

Quoniam  hie  binae  lentes  sibi  proxime  iungendae  occurrunt,  ex  formulis 
nostris  generalibus  earum  intervallum  erit 


a +  6  =  Aa(l  —  p-); 


quod  cum.  debeat  esse  minimum,  statuatur  =  r\a  denotante  r\  fractionem  tarn 
parram,  quam  circumstantiae  permittunt,  atque  Mnc  colligemus 

P-    A    • 
P~A^' 

deinde,   <juia  utraqtie  lens  debet  esse  convexa  seu  utriusque  distantia  focalis 
positiva,  tarn  haec  qnantitas 


quam  ista 

2  =  __a=  --  (A  —  rj)a 

LKONHARDI  JEuLBBi  Opera  omnia  m*  Bioptrica  31 


242  LIBEI  TEETH  SECTIO  PRIMA     CAPUT  H     §  56  [56—57 

debet  esse  positiva  ideoque  SI  >  0,  at  A  <  0,  id  quod  fit,  si  2t  >  1.    Hoc  notato 
multiplicatio  nobis  praebet 

__Pfr  =    A       k_ 
a         A  —  if]     a 

unde  definitur  distantia  obiecti 

_^     A       h 

A  —  ^    in9 
ita  ut  sit 


deinde  si  semidiameter  aperturae  primae  lentis  ponatur  =  #,   secundae  lentis 
debet  esse.^1  —  ~W  unde  pro  gradu  claritatis  fiet 


—      sen 

ma 


ita  ut  ob  A  <  0  lentinm  intervallum  claritatem  augeat.     Deinde  pro  campo 

apparente  ibi  invenimus 

A  —  T 


at  hie  q  mains  accipi  nequit^  quam  ut  semidiameter  aperturae  secundae  lentis 
fiat  =  (l  —  j-)^  quippe  quae  apertura  maior  esse  nequit;  hinc  colligimus 
q  =  2^;  unde  concluditur 


Pro  loco  autem  oculi  est 


quae   cum   sit  negativa,   oculum  immediate  adplicari  oportet,   et  quia  lentes 
sibi  sunt  proximae?  hinc  nullus  margo  coloratus  erit  metuendus. 

Nunc  igitur  potissimum  considerari  debet  semidiameter  confusionis,  quae 
est  [Lib.  I,  Supplem.  VII,  pag.  238] 


ubi  posterius  membrum  ob  A  <  0  erit  positivum  ideoque  haec  quantitas  semper 


57-58]         BE  MICBOSCOPnS  SIMPLICIBUS  PLURIBUS  LENTIBUS  CONSTANTIBUS    243 

maior  nihilo;  quamobrem  hie  totum  negotium  eo  redit,  ut  ista  quantitas  red- 
datur  minima,  id  quod  fieri  potest,  cum  litterae  A  et  21  adhuc  arbitrio  nostro 
sint  relictae.  Ad  hoc  efficiendum  statim  patet  litteris  X  et  X  minimum  va- 
lorem, quern  capere  possunt,  qui  est  1,  tribui  debere,  et  cum  quantitas  P 
parum  ab  unitate  diflerat,  litteram  31  vel  A  ita  definiamus,  ut  haec  formula 

~W  ~  ~A*  + 


fiat  minimum.    Ante  quam  autem  earn  differentiemus,  relationem  inter  3t  et  A 
attentius  consideremus,  quae  ita  exprimi  potest: 


unde  statim  liquet  esse 


?P  ""  A* 
seu 

:  dA  =  §l2 


quare,  si  ilia  formula  differentietur  et  nihilo  aequalis  ponatur,  loco  differen- 
tialium  ^2t  et  dA  scribere  licebit  eorum  proportionalia  2l2  et  J.2,  ex  quo 
sequens  aequatio  resultat: 

3  _  3  +  v  _L  »  -  o 

2l2      Z2  "*"  SI  "^  A  ~    ' 

quae  manifesto  in  hos  factores  resolvitur: 


ita   ut  vel  unus  vel  alter  horum  factorum  debeat   esse  nihilo  aequalis;  prior 
autem  factor  nihilo  aequatus  dat 


=      seu 


quod   cum   fieri   nequeat,    alterum   factorem  nihilo   aequemus    et  inveniemus 
1  +  ~  ™  0     seu    A  =  —  2     et     5t  =  2. 


31* 


244  LIBEI  TEETH  SECTIO  PEIMA     CAPUT  BE     §  56—57  [58-59 

Quibus  valoribus  in  aequatione   nostra  pro   confusione  tollenda  substi- 

tutis  habebinms 

.     1         v\        l 


^8P         4  /7s8 

seu 


et  quia  est    a  = 


ideoque 

4 

®   ===   7" 

&? 

quo  yalore  pro  &  invento  omnia,  quae  ad  constructionem  microscopii  pertinent, 
determinantur  sequenti  modo, 

Constructio  huius  microscopii 
L    Distantia  obiecti  ante  lentem  priorem 

2        h 
a 


2+17    m 
II.    Pro  lente  priore  est  distantia  focalis 

^  =  2a=-4-.-? 

JL  O       I      «/i        itfut 

A  -\-  T[      Wf 

et  quia  est  A  =  1,  erit 

anterior     =====  — — 
...  2p~ 

radius  { 

posterior  =  — — 


cuius  aperturae  semidiameter  debet  esse  =  x. 

ILL  Intervallura  autem  inter  lentem  priorem  et  posteriorem  sumtum  est 
=  <r\a,  —  -jrjp9  ubi  ij  tarn  parvum  assured  conveniet,  quam  proximitas  lentium, 
ne  se  mutuo  tangant,  postulat. 


59—60]        DE  MICROSCOPIES  SBfPLICEBUS  PLUEEBUS  L1NTIBUS  CONSTANTEBUS    245 
IV.   Pro  lente  posteriore  distantia  focalis  est 


et  qnia  est  A'=l,  fiet  eins  radius 

anterior  ==  —     et     posterior  =  —  ; 

V  *  .  € 

cui  lenti  apertnra  dari  debet,  cuius  semidiameter  =  /!-{-  A  77)  x  ideoqne  tan- 
tiHo  maior  qnam  ea  primae  lentis,  quod  qnidem  in  praxi  non  solet  attendi, 
nbi  posterior  lens  tota  aperta  relinqnitur. 

V.  Lenti   posteriori  oculus  immediate   debet  adplicari  et  turn  cernet  in 
obiecto  spatium,  cuins  semidiameter  erit  #  =  ?-i^.#,  nnde  intelligitur  iterum 
pro  1}  tarn  paryam  fractionem  snmi  debere,  qnam  circumstantiae  permittunt, 

VI.  Pro  gradn  claritatis  invenimns  y  =  (l  +-  ~r^\  x9  nnde  pro  modo  snpra 
exposito,  quo  claritatem  mensnramus,  erit  mensnra  claritatis 


COROLLAEITJM  1 

57.  Eatenns  haec  microscopia  praecedentibns,  quae  lente  simplici  constant, 
sunt  anteferenda,  quatenus  hie  valor  ipsius  x  hie  maior  prodit  quam  ante; 
ante  autem  inveneramus 


— 

'km 
nunc  vero 


km 

ita  nt  neglecto  ??  praesens   valor   ipsius  x  sit   ad  praecedentem   uti   V^^ 
ad  1,  quae  ratio  ob  v  =  y  circiter  reducitur  ad  hanc: 

:  1  =  1,70998  : 1  =  171 : 100  proxime 
sive  nti   12:  7. 


246  LffiBI  TEETH  SECTIO  PRTMA     OAPUT  II     §  58-60  [60—61 

COEOLLARIUM  2 

58.  Hinc  ergo  patet  huiusmodi  lentem  duplicatam  insigne  lucrum  afferre, 
cum  gradum  claritatis  fere  duplo  maiorem  largiatur  sicque  posterius  incom- 
modum  supra  §  55  memoratum  iam  notabiliter  sit  imminutum.     Contra  vero 
prius  incommodum  in  proximitate  obiecti   situm  Me   aliquantillum  augetur, 
sed  tarn  parum,   ut   differentia  sit  quasi  insensibilis,  neque  etiam  limitatio 
campi  hie  ullam  moram  faeesset. 

SCHOLION  1 

59.  Pro   omnimoda  igitur  horum  telescopiorum  determinatione  inprimis 
perpendendum  est,   quam  parvam  fractionem  pro  ??   assumere  liceat,   quam 
quidem,   ubi   supra   de  telescopiis  agebatur,  usque  ad  ~  imminuimus;   facile 
autem  perspicitur  in  tarn  exiguis  lenticulis  tantam  diminutionem  neutiquam 
locum  habere  posse,   cum  ratione  distantiae  focalis  Ms  lenticulis  nullo  modo 
tanta  tenuitas  dari  possit  quam  maioribus  lentibus.    Cuilibet  enim  perspicuum 
erit,  si  distantia  focalis  duarum  lentium  fuerit  50  dig.,  nihil  omnino  impedire, 
quominus  earum  distantia  unius  digit!  statuatur;   at  si  duarurn  lenticular um 
distantia   focalis    tantum   sit  ^  dig.,    nullo    certe    modo    earum    intervallum 
=  ^  dig.  statui  potent;  unde  merito  dubitandum  videtur,  num.  Me  litterae  rj 
minor  valor  quam  ~  tribui   possit.     Casu  enim   modo    allato,   quo  binarum 
lenticularum  distantia  focalis  ==  ~  dig.,  difficile  erit  eas  tarn  graciles  elaborare, 
ut  earum  intervallum  non  excedere  debeat  ~  dig.,  ne  scilicet  se  mutuo  tan- 
gant;  quam  mensuram  in  sequenti  exemplo  adcuratius  evolvamus. 

EXEMPLUM 

60.  Sit  igitur  ^  =  y  et  vitrum   eius  sit  speciei,  pro  qua  refractio  est 
n  ===  1,55,   litterae  autem  Jc  tribuamus  ut  ante  valorem  =  20  et  more  solito 
sumamus  Ji  =  8  dig.,  unde  pro  constructione  microscopii  sequentes  nanciscemur 
determinationes. 


62-63]        DE  MICEOSCOPnS  SIMPLICIBUS  PLURIBUS  LEMTBUS  CO]STSTANTIBUS    247 

Constructio  huiusmodi  microscopiorum 

7  OIJQ 

I.    Distantia  obiecti  ante  lentem  a  =  —  —  dig. 

m         ° 

II.    Distantia  focalis  lentis  prioris  p  =  14??546  dig., 
unde  eius  constructio  ita  se  habebit: 

anterioris      -  -  -  -  0,80257jp  -  -  * 


5  m 

V.   Lentis  posterioris  distantia  focalis 

16,001 


,. 

dig. 
& 


radius  faciei 

posterioris    =  --  =  +  0,32636^  =  +      ~-  dig. 

III.  Nunc  quaeratur  valor  ipsius  x,  qui  erit 

__8_-i3/  __  l  _  _  0,6510    ,. 
X  ~~  5m  V  0,9381  X  3,2696  X  4,84  ~~"      m  g" 

sicque  habetur  semidiameter  apertnrae  huius  lentis. 

IV.  Intervallum  autem  inter  hanc  lentem  et  posteriorem 

l          1,455 


unde  eius  constructio  ita  se  habebit: 

...  #  K  c^oo  83,9065  ,. 

anterioris     =  7-^  =  5,2438  q  —     8         dig. 

v/  «  J.  i/  U  i  //Z1 

...  a  nn-iAAn  9.8322 

posterioris   =  =  °'61447^  ™ 


-  .  A       .     . 

radius  faciei 


VI.   Huic  lenti  sufficit  aperturam  dare  tantillo  maiorem  quam  praece- 
dentem  eique  oculum  immediate  adplicari  oportet. 

0  71  6 

VII.    Pro  gradu  claritatis  inveDimus  2/  =  -1—  dig.;  unde,   si   claritas  ut 
supra  mensuretur,  habebitur  mensura  claritatis   20  y 


m 


3,580 


VIII.    Pro  spatio  autem  apparente  colligitur  eius  semidiameter  0  =  — —  dig. 


248  LIBEI  TEETH  SECTIO  PEIMA     CAPUT  II     §  61-62 [63—64 

SOHOLION  2 

61.  Hie  igitur  praecipua  praerogatiya  prae  lentibus  simplicibus  in  hoc 
consistit,  quod  claritas  notabiliter  maior  exhibeatur;  sin  autem  non  desidere- 
mns  maiorem  claritatem  ideoque  aperturam  nostris  lentibus  minorem  tribua- 
mus?  tanto  maiorem  distinctionem  percipiemus,  quod  commodum  certe  non 
minus  est  aestimandum.  Cum  hie  hoc  insigne  commodum  duplicatione  lentis 
simus  assecuti,  facile  inteUigitur  triplicatione  lentis  multo  maius  commodum 
obtineri  posse,  quod  lentem  adeo  quadruplicando  adhuc  ulterius  augeri  po- 
terit.  Hie  scilicet  loquor  de  lentibus  conyexis,  quatenus  eae  sibi  proxime 
iunctae,  ita  ut  quasi  unicam  lentem  mentiantur,  in  microscopio  adhibentur; 
si  enim  etiam  lentes  concayas  usurpare  yelimus,  confusio  plane  tolli  posset, 
ita  ut  tune  lentibus  tanta  apertura  concedi  posset,  quantam  earum  figura 
admittit;  quod  argumentum  in  sequente  capite  adcuratius  pertractabimus. 


PBOBLEMA  2 

62.  Si  microscopium  constet  trihus  lentibus  convexis  proxime  inter  se  iunctis, 
eius  constructionem  investigare,  ut  pro  data  multiplicatione  et  dato  distinctionis 
gradu  oUecta  maxima,  qua  fieri  potest,  daritate  repraesentet. 

SOLUTIO 

Cum  hie  tres  lentes  occurrant,  bina  interyalla  inter  eas  ita  exprimun- 
tur:  prius 

a  -[-&  = 
et  posterius 


quae  cum  esse  debeant  minima,  utrumque  statuatur  =  rja;  unde  colligitur 

1  _i  _JL       P—     A 
P~         A  '  A-v' 

deinde 

-3  * 

ldeoque     Q  - 


Cum  porro   omnes   tres  lentes   debeant  esse  conyexae  seu  earum  distantiae 


64—66]         DE  MCBOSCOPHS  SIMPLICIBUS  PLUEIBUS  LENTIBUS  COXSTANTEBUS    249 
focales  $,  q,  r  positivae,  adipiscimur  has  conditiones: 


unde  primo  patet  esse  debere  St  positivum;   circa  A  autem  nihil  adhuc  defi- 
nitnr.     Considerentur   autem  binae   postremae   distantiae   focales   a   et   r,   et 


0 

cum  sit  -*-  =  --  ^  ,    debet  esse    —  —  =====  ^  —  1     quantitas    positiva    ideoque 
SB  >  1  et  hinc  B  negativum,  unde  manifestum  fore  A<0  hincque  St>l. 

Quod  ad  marginem  coloratum  attinet,  quia  hae  tres  lentes  quasi  unam 
lentem  simplicem  mentiuntur,  nihil  adeo  erit  metuendum.  Quare  aequationem 
pro  semidiametro  confasionis  contemplemur 

v\ 


in  qua  omnes  termini  litteris  A  adfecti  sunt  positivi;  unde  efflciendum  est,  ut 
huic  formulae  minimus  valor  concilietur  vel  saltim  valor  a  minimo  non  mul- 
tum  discrepans?  quern  in  finem  primo  litteris  A,  A',  X'  valor  minimus,  qui 
est  1,  tribuatur,  et  cum  litterae  P,  Q  parum  ab  imitate  differant,  earum 
loco  quoque  unitas  scribatur  et  sequens  formula  ad  minimum  perducatur: 


Quaestio  scilicet  nunc  eo  redit,  ut  ambae  litterae  A  et  J5  ita  definiantur,  ut 
valor  huius  formulae  flat  minimus.  Consideremus  igitur  primo  solam  litteram 
§B,  et  manifestum  est  earn  ita  accipi  debere,  ut  formula 


fiat  minima,  quae  cum  similis  sit  formulae  praecedentis  problematis,  eodem 
modo  reperietur  33  =  2  et  J?  =  —  2.  His  igitur  sumtis  valoribus  nostra 
formula  evadet 

1  i/  1       t       v 

i    ~JW        T~Is    i    J^jlP 


pro  qua  ex  natura  minimi  litterae  A  et  3t  supersunt  investigandae,    et  cum 
sit,  ut  ante  observavimus, 

-1-1+.1 

2t        X^  A 

Mncque 

d<&:dA=W:A* 

LEONHAEDI  EULBRI  Opera  omnia  III  4  Dioptrica  32 


250  LIBEL  TEETH  SECTIO  PEIMA     CAPUT  H     §  62  [66-67 

differentiatio  dabit  hanc  aequationem,   quae  facile  resolvitur  in  hos  factores: 


o 

id  quod  duplici  modo  fieri  poterit;  primo  scilicet,  si  A  =  —  y  ideoque 
9t  =  3,  turn  vero  etiam,  si  A  =  —  y  hincque  §1  =  —  1;  ex  quo  intelligitur 
solam  priorem  solutionem  locum  habere.  Quocirca  pro  solutione  nostri  pro- 
blematis  statuamus 

§t  =  3,     A  = 1     atque     23  =  2     et     J5  =  — 2 

fietque 

*'    P=  S  +  2r]>       ^=B=' 

Q 

2.   vero  etiam    w  =  3a,     q  =  —-a  =  (3 

jt  ^  ^ 

Formula  autem  pro  multiplicatioue  supra  data  fit  Me 

m  =  P£.A  =  _J_.A, 

^    a        1  +  97    a  ' 

unde  deducimus 

p  x-,  J&_ 1       7^ 

m        1.  -\-  ri    m 

Quibus  notatis  denuo  consideremus  aequationem  pro  confusione,  quae  Ms 
omnibus  valoribus  substitutis  induet  hanc  formam: 

_(!_+ ,_____,_ 

«•-*---*--•  27 


quae  porro  ad  hanc  formam  reducitur: 

(1  +  ^Vw'a*  /a   ,     5  .    /0   ,     i 

--  ^s  ---  (3  +  -n  -  4r  (2  +  T 

ita  ut  sit 


unde  facile  valor  ipsius  x  colligitur,   qui  praebet  semidiametrum  aperturae 


67—68]        DE  MICROSCOPES  SIMPLICIBUS  PLUEIBUS  LEMIBUS  COKSTANTIBUS     251 

primae  lentis.     Dims  reliquas  tuto  tarn  apertas  relinquere  licet,  quam  earum 
forma  permittit.     Hinc  antem  pro  gradu  claritatis  habebitur 

llX  /-<  .  N 

y  =  —  —  ( i  +  w  x 

y       ma       v     '    " 

Mncque  mensura  claritatis  =  20 y,  si  scilicet  x  in  digitis  exprimatur. 

Denique  superest,  ut  spatium  in  obiecto  visum  accuratius  determinemus, 
cuius  semidiameter  0  supra  in  genere  ita  est  deflnita: 


ma  —  - 
posito 


erit  autem 

17 


ma  —     = 


i  +  n 
ideoque 

W          (q  +  *)(l+g 

J.U.   -  -    -----  — 


ita  ut  mine  q  et  t  ut  negativae  spectari  debeant;  nune  autem  adiungi  debet 
prima  aequatio  fundamentalis 


=  (P—  l)Jf- 
hincque 


ubi  si  loco  Jf  valor  substitnatur,  erit 

i  ,«, 
•r1); 


quod  ad  litteram  r  attinet,  eius  loco  unitas  accipi  posset,  si  ultima  lens  esset 
utrinque   aequaliter   convexa;    cum   autem  hinc  proditura   sit  fere    convexo- 


1)  Editio  princeps :    q  —  .^^  •  r,  unde  etiam  sequentes  formulae  huius  paragraph!  pro  m  et 

corrigendae  erant.  Correct  E.  Cb. 

82* 


252  LIBEI  TEETH  SECTIO  PEMA     CAPUT  H     §  62—65  [68—69 


plana,   eius  apertura  ad  dimidium  reducetur,  ita  ut  statui  debeat  r  =  —  ^; 
unde  fit 


Mncque 

(3  +  81?)  (1+1?). 


quocirca  sumto   £  =  -|-  habebitur  semidiameter  spatii  conspicui 

(8  +  212X1 


qui  campus  tantus  est,   ut  de   eo  nemo  rationem  habeat  conquerendi.     Turn 
autem  semidiametri  aperfcurae  binarum  posteriorum  lentium  debent  esse 


,  l+«  3  +2t      h 

secundae 


...  1  3     h 

tertiae  =—  r  =  —  —  , 
8  8m 

siqnidem  M  valores  sint  maiores  iis,  quos  claritas  postulat,   quippe  qui  sunt 
pro  secunda 


efc  pro  tertia 


SCHOLION  1 

63.  Obiectioni  hie  occurrendum  necesse  videtur,  quod  in  praecipua  huius 
solntionis  parte  non  ipsam  formulam,  qua  semidiameter  confusionis  exprimi- 
tur,  ad  minimum  valorem  perduxerimus,  sed  aliam  formulam,  quae  ab  ilia 
satis  notabiliter  discrepare  possit,  praecipue  si,  ut  ante  fecimus,  statuamus 
rj  =  -y  ,  atque  hoc  quidem  statim  lubenter  concedimus  nos  hoc  modo  semi- 
diametro  confasionis  non  absolute  minimum  valorem  induxisse  atque  adeo 
minorem  eo,  quern  invenimus,  erui  posse,  si  quis  laborem  suscipere  vellet 
ipsam-  formulam  litteras  P  et  Q  continentem  secundum  methodum  maximo- 
rum  et  minimorum  tractandi;  turn  scilicet  pro  litteris  A  et  B  alios  valores 


69—70]        BE  MICROSCOPIES  SIMPLICIBUS  PLUEIBUS  LENTIBUS  CONSTANTIBUS    253 


a  nostris  aliquantillum  discrepantes  esset  inventurus,  qui  certe  molestissimis 
formulis  forent  implicati,  ut  neque  operae  pretium  esset  eos  evolvere  neque 
ab  artifice  perfectissima  exsecutio  sperari  posset.  Nos  autem  Me  valore 
invento,  qui  certe  iam  satis  est  exiguus,  etsi  non  sit  omnium  minimus,  con- 
tenti  esse  poterimus,  si  quidem  inde  eiusmodi  microscopia  adipiscimur,  quae 
vulgaribus  sirnplicibus  longissime  sunt  anteferenda,  cum  mnlto  maiorem  cla- 
ritatis  gradum  largiantur,  pro  data  scilicet  distinctione,  ita  ut,  si  aliquid  de 
claritate  remittere  voluerimus  aperturam  primae  lentis  aliquantillum  restrin- 
gendo,  turn  maximum  lucrum  in  distinctione  simus  consecuturi. 

COEOLLAEIUM  1 
64.   Cum  pro  prima  lente  sit  distantia  focalis 

r>  3  Ifl 


et  numeri  21  =  3  et 


^  1  +YI    m 

L,  erit  hums  lentis 

anterior    = JT- 


radius 


sicque  erit 


radius 


posterior  =- 

anterior    = 
posterior  == 


JP 


36  —  2 


COEOLLAEIUM  2 
65.   Simili  modo,  cum  pro  lente  secunda  sit  distantia  focalis 

2=(3  +  2^)a  =  V^-A 
*       v     '       u          1  +  ^     m 

et  numeri  35  =  2  et  A'=l,  erit  eius 

/¥ 

anterior    = 


radius 


posterior 


>  —  6 
g. 


254  LIBRI  TEETH  SECTIO  PEIMA     CAPUT  n     §  65—67  [70-71 

Pro  lente  autem  tertia  ob 


anterior    =  — 


posterior  =  —  • 


erit  eius 

radius 


COEOLLABIUM  3 

66.  Quod  ad  intervaUa  inter  has  ternas  lentes  attinet,  ea  assumta  inter 
se   aequalia  et  mine  utrumqne  inventum   est   =7?a==3-r— •  — ,   dum   scilicet 

•*•  1  -T-  ri    wi 

obiectum   ante   lentem   primam   collocatur  ad   distantiam    a  ==  —4 ,    quae 

1  -j-  7]    m  7     ^L 

distantia  ergo  aliquanto  minor  est  quam  casu  lentis  simplicis  et  duplicatae. 

EXEMPLUM 

67.  Parentur  omnes  tres  lentes  ex  vitro  communi,  pro  quo  est  ^  =  1,55, 
turn  vero  statuatur  7?  =  y  et  sumatur  Jc  =  20  et  Ti  =  8  dig.    atque  hinc  pro 
quantitate  x  determinanda  habebitur  ista  aequatio 

^  f 0,9381  x  1,44  x  1,4105  =  1 , 
quae  evoluta  dat  a?  =  °?9^795  dig.,  unde  sequens  oritur 

Constructio  huiusmodi  microscopiorum 
I.   Distantia  obiecti  ante  lentem  primam 

a_^   20   =  6,666    ,. 
~  3m  ~     m         ^ 

II.   Pro  lente  prima,  cuius  distantia  focalis  ==jp=~3  erit 

anterioris     =  -  -£-  =  _  0,37276^ 1^52.  dig. 


radius  faciei 


posterioris   =  =  +  0,22218^  =  +        21  dig., 


71—72]        DE  MICROSCOPIES  SIMPLICEBUS  PLURIBUS  LENTffiUS  CONSTANTIBUS    255 

cui  lenti  tribuatur  apertura,  cuius  semidiameter 

0,96795    ,. 

#  =  — dig. 

m  & 

HI.   Turn  ad  distantiam 

4      ,.  1,3333    ,. 

^-sSr**--1!^- 

locetur  lens  secunda,  cuius  distantia  focalis  est 

22,666    ,. 
ff  =  — dig., 

Wit 

eritque 

'  anterioris     =  -j^L-  =  —  0,80257  q  =  —  I0'ltuo  dig. 

posterioris   -— f-==  +  0,32636^  =  +  J^JIi  dig.; 


radius  faciei- 


cuius  aperturae  semidiameter  sit  — —  /  dig;, 

m          & 

1     O  O  Q 

et  distantia  ad  lentem  sequent  em  ut  ante  =  — —  dig. 

u  m        & 

IY.   Pro  lente  tertia,  cuius  distantia  focalis  est  r  =====  —  die.,   erit 

m      &  ? 


radius  faciei 


/> 

cuius  apertura  tanta  esse  potest,   ut  eius  semidiameter  sit   =  —  dig., 
huicque  lenti  oculus  immediate  adplicetur. 

V.   Turn  vero,  cum  sit 

6  1,1615    ,. 


anterioris     -  —  J—  =  5,2438  r  =  dig. 

V/5X«7Ul 


posterioris  =  -—    =  0,61447  r  =  -  dig.; 


erit  mensura  claritatis  ==    ^    ,  quae  semisse  maior  est  quam  casu  praecedente. 


i  ftft 

1)  Editio  princeps:  ~-    Yide  notam  p.  251.  Correxit  E.  Oh. 


256  LIBEI  TEETE  SECTIO  PEIMA     CAPUT  H     §  67—69  [72—74 

VI   Pro  spatio  denique  obiecti  conspicuo  habebimus  eius  semidiametrum 


85  7,7273  *) 

m 


SCHOLION  2 

68.  We  quisquam  miretur  lioc  casu  spatium  conspicuum  tanto  mains 
esse  inventum2)  quam  casu  praecedente,  is  observet  in  casu  antecedente  lenti 
oculari  non  maiorem  aperturam  esse  datam,  quam  gradus  claritatis  postulat; 
quod  ideo  fecimus,  quod  priori  lenti  adhuc  exigua  apertura  tribui  debebat 
ideoque  hoc  casu  consultum  erat  ambas  lentes  non  maiores  efficere,  quam 
ista  apertura  postularet,  ut  scilicet  earum  crassities  eo  minor  redderetur.  In 
praesente  autem  casu  res  longe  aliter  se  habet,  cum  iam  prima  lens  fere 
tantam  aperturam  requirat,  quantam  eius  figura  permittit;  ex  quo  hae  lentes 
necessario  tantum  discum  habere  debent,  qui  faciei  curvioris  arcum  triginta 
graduum  complectatur;  ex  quo  etiam  birds  reliquis  lentibus  multo  maior 
apertura  tribui  poterat.  Verum  hie  in  genere  notandum  est  etiam  casu 
praecedente  campum  apparentem  iam  tantum  fore,  ut  quilibet  de  eo  contentus 
esse  possit.  Quoniam  autem  hie  primae  lentis  apertura  fere  iam  tanta  est 
inventa,  ut  eius  figura  maiorem  non  pateretur,  inutile  videri  posset  hanc  in- 
vestigationem  ulterius  ad  quatuor  lentes  prosequi,  quandoquidem  calculum 
simili  modo  instituendo  multo  maiorem  valorem  pro  x  essemus  adepturi; 
verum  ob  hanc  ipsam  causam  ista  investigatio  maximi  erit  momenti;  quia 
enim  hactenus  litterae  k  maiorem  valorem  non  tribuimus  quam  viginti,  unde 
admodum  modicus  distinctionis  gradus  nascitur,  nunc  huius  litterae  valorem 
multo  maiorem  assumere  poterimus,  quo  his  microscopiis  summus  certe  per- 
fectionis  gradus  inducetur  idque  sine  ullo  claritatis  detrimento.  Quaecunque 
enim  adhuc  per  microscopia  vulgaria  sunt  observata,  semper  baud  exiguo 
confusionis  gradu  erant  inquinata;  ex  quo,  si  eiusmodi  microscopia  nunc  pro- 
ducantur,  quae  obiecta  multo  maiore  distinctione  repraesentent,  ipsa  obser- 
vatione  multa  nobis  patefacient,  quae  adhuc  erant  incognita,  ita  ut  non 
amplius  multo  maior  multiplicatio  tanto  studio  sit  desideranda. 


1)  Editio  priuceps :  0  =  ^ —  =  — Vide  notam  p.  251.  Correxit  E.  Ch. 

2)  Magnitude  huius  spatii  conspicui  tanta  evasit  ob  inacouratam.computationem  quantitatis 
q  (§  62).     Ceterom  ETJLERI  annotatio  etiam  pro  accurate  valore  numeri  8  valet.          E.  Oh. 


74-75]        DE  MICEOSCOPnS  SBIPLICEBUS  PLURIBUS  LENTIBUS  -CONSTANTIBUS    257 


PEOBLEMA  3 

69.  Si  microscqpium  constet  quatuor  lentibus  convexis  et  proxime  inter  se 
iunctis}  eius  constructionem  investigare,  ut  pro  data  multiplicatione  et  dato  distinc- 
tionis  gradu  obiecta  maxima,  qua  fieri  potest,  claritate  repraesentet. 


SOLUTIO 

Cum  hie   quatuor  lentes    occurrant,   tria  inter   eas   intervalla  ita  expri- 
miintur: 

Primum      =  Aa  (l  —  p-J, 


secundum  =  — 

jT 

,     , .  ABC 

tertmm      = 


quae  cum  esse  debeant  minima,  quodlibet  statuamus  =rja,  unde  obtinebimus 

1  _  1       TJ  p  _     A 

r^r  =  JL  --  ~r  SBU  JL    -  ~~A  « 

P  A  A  —  y' 

deinde 

1       ,    .  P^  ~          ( 

«  =  1+z4  seu  <?=(A 

tertio  vero 


seu 


Cum  iam  omnes  quatuor  lentes  debeant  esse  convexae  sen  earum  distan- 
tiae  focales  p,  q,  r,  s  positivae,  has  adipiscimnr  conditiones: 


unde  primo  colligimus 


s  —        0  ""' 

LBONHARDI  EULERI  Opera  omnia  III 4  Dioptrica  33 


258  LIBRI  TERTH  SECTIO  PEIMA     CAPUT  II     §  69  [75-76 

ita  ut  esse  debeat 

__  =  (£_  i 

positivum,  unde  fit  £  >  1,  hinc  C  negativum  ideoque  AB  positivum.    Deinde 
cum  sit 


debebit  esse 

-•|-»-l>0; 

unde  patet  fore  33  >1  hincque  B<0  simulque  A<0;   deniqae  cum  sit 

P  _       gP 
2  ~ 
etiam  esse  debet 


ergo 

«>1     et     ^<0. 

Quod  ad  margmem  coloratum  attinet,  de  eo  non  est  opus  ut  simus  solli- 
citi,  ut  iam  supra  annotayimus.  Quare  pro  semidiametro  confusionis  hanc 
contemplemur  aequationem: 


\ 


\        1 

J  ~  ¥' 


in  qua  omnes  termini  litteris  A  adfecti  sunt  positivi;  unde  huic  formulae 
valor  minimus  vel  saltim  a  minimo  non  multum  discrepans  conciliari  debet; 
quern  in  finem  primo  litteris  A,  A',  A",  X"  valor  minimus  =  1  tribuatur,  cumque 
P,  Q,  £  ab  imitate  parum  differant,  eorum  loco  scribatur  unitas  et  sequens 
formula  ad  minimum  perducatur: 


existente 


_    4-  JL_i    w 
SI3  ^  A  31       ^"^ 


- 
J593 


ubi  evidens  est  hanc  formulam   W  omnino  similem  esse  illi  formulae,  quam 
in  praecedente  problemate  minimum  reddi  oportuit,  hoc  tantum  discrimine, 


76—77]        DE  MICROSCOPES  SfflPLICIBUS  PLUEIBUS  LEFTEBUS  COISTSTANTIBUS    259 

quod  litterae  B  et  C  Me  adhibitae  ante  erant  A  et  B.    Quaie  iam  novimus, 
ut  liaec  formula  W  fiat  minima,  capi  debere 

$  =  3,     j?  =  —  A      £  =  2     et     <7=  —  2; 

A 

quibus  valoribus  substitutis  formula  TF"  fiet 

W-1       —  • 

^—  T         27 

Quocirca  formula  nostra  ad  minimum  revocanda  erit 

1_        _v  ___  !_/_!_  _  8v\ 
«P"t"31f~3!\9         27/' 

quae  differeatiata  propter  ^3(:^J.  =  S12:J.2  praebet 


._____ 

3la^St^J.        J.2\9          27 

quae  porro  reducitur  ad  hanc  formam: 

"  ~  +  J  +  92V 


in  qua  si  loco  -^-  scribatur  eius  valor   1  +  j,  prodibit 


qui  posterior  factor  resolvitur  in  hos  duos  factores 


quorum   prior  nihilo  aequatus  dat 


posterior  vero 


A  =  —  —     ideoque     SI  —  4, 

o 


—  4-    hincque 

j6 


83" 


260  LIBEL  TEETE  SECTIO  PRIMA     CAPUT  H     §  69—71  [77—79 

qui   ergo   nostro  institute  non  convenit.     Quocirca  pro  valore  minimo  obti- 
nendo  sequentes  nacti  sumus  valores: 


ex  quibus  yalores  supra  inventi  ita  exprimentur 


___ 

""4  +  377*  4  +  57?'  4+6*? 

et   distantiae  focales 


a     et 
Formula  autem  pro  multiplicatione  supra  data  hie  fit 

T*  S\  T>         k  4  A 

w  =  PQB>  —  =  —  —  ---  , 

^         a        4  +  677     a 

unde  colligitur 


His  igitur  substitutis  valoribus  aequatio  pro  confusione  tollenda  hanc  induet 
formam: 


(Q      \  g 
1  +  yTjJ 


quae  loco  JP,  ^,  jR  valoribus  substitutis  abit  in  hanc  formam: 


64  ft8 
ita  ut  sit 


-^rj  —  r(20+ri 

unde  facile  valor  ipsius  x  definitur;  qui  nisi  maior  prodeat,  quam  ut  prima 
lens  tantam  aperturam  admittere  possit,  dabit  huius  aperturae  semidiametrum; 
sin  autem  maior  prodeat,  turn  valor  k  eo  usque  augeatur,  quoad  prima  lens 
hanc  aperturam  capere  possit,  sicque  patebit,  quanto  distinctionis  gradu  haec 
microscopia  futura  sint  praedita;  scilicet  lentibus  definitis  pro  %  sumatur  valor 
maximae  aperturae  respondens  ac  turn  ex  hac  aequatione  valor  ipsius  k 


79—80]        DE  MICROSCOPES  SIMPLICIBUS  PLURIBUS  LENTIBUS  CONSTANTIBFS    261 
eliciatur.     Hoc  itaque  modo  definite  x  pro  gradu  claritatis  habebimus 

Mncque  mensura  claritatis 


De  spatio  in  obiecto  conspicuo  hie  nihil  definio,  cum  certe  sit  maximum,  si 
quidem  singulis  lentibus  maxima,  cuius  capaces  stint,  apertura  tribuatur. 

COROLLAEIUM  1 
70.    Cum  pro  prima  lente  sit  distantia  focalis 

A  8  h 

p  =  4a  =  -—  -  --- 

*  2  +  3^    m 

et  numeri  SI  =  4  et  A  =  1,  exit 


anterioris    =         •?  -- 

9 
posterioris  ==  —  —  —  -  r- 

~ 


radius  faciei 


COEOLLARIUM  2 

71.    Eeliquarum   trium  lentium  constructio   erit  ut  in  problemate  prae- 
cedente;  pro  secunda  scilicet  erit 

anterioris    =    _   ^  __  . 
radius  faciei  9^ 

posterioris  =  —  —r^  -  r 

*  P  +  3((5~P) 

existente 


*  2  +  3*7 

Pro  tertia  lente  erit 


anterioris     = — ? 

radius  faciei  J                                         * 
posterioris  = — r-^j- 


existente 

_  2(4  -\ 

T  2^37? 


262  LIBRI  TERTTI  SECTIO  PEIMA     CAPUT  II     §  71—73  [80 

Pro  quarta  denique  lente 

anterioris     =  — 
radius  faciei  I 

posterioris    =  — 

existente 

2(4  +  6-)?)      h         47& 


2  +  3??       m        m 

COBOLLAEIUM  3 

72.   Quod  ad  intervalla   attinet,   omnia   sunt  inter   se  aequalia,    scilicet 
*;  eorum  igitur  quodlibet  erit 


quia  scilicet  obiectum  ante  primam  lentem  collocari  debet  ad  distantiam 


m 


EXEMPLTJM 


73.  Ponantur  omnes  quatuor  lentes  ex  vitro  communi  confectae,  pro 
quo  n  =  1,55;  turn  vero  statuatur  iterum  r]  ==  -~  et  h  =  8  dig.,  at  vero  k  adhuc 
indefinitum  relinquamus;  unde  habebitur  ista  aequatio: 

3,9381  x  1,69  x  (—  0,2776)  =  1, 


32 


ubi  signum  —  calculum  non  turbat,   cum  hie  de   quantitate  absoluta  sermo 

sit;  unde  reperitur 

7  42,0692 

' 


m 


unde  iam  patet,  si  caperetur  Jc  =  20,  valorem  ipsius  x  proditurum  esse  nimis 
magnum;  quare  x  ex  figura  lentium  et  turn  hinc  valorem  ipsius  Jc  investi- 
gemus,  ut  gradum  distinctionis  adcuratius  cognoscamus. 


81—82]        DE  MICROSCOPES  SMPLICIBUS  PLUEIBUS  LEOTEBUS  CONSTANTIBUS    263 
Habetur  itaque  sequens 

Constructio  horum  microseopiorum 
I.  Obiecti  ante  lentem  distantia 

80          6;1538    ,. 


II.  Pro  lente  prima,  cuius  distantia  focalis 

24,6152 

P=—  -  - 

*  m 

erit 


anterioris     =  —      f     =  —  0,242750  = L— -  dig. 

4,1194  wi 


posterioris    =  +  =  +  0,16842^  =  +  dig.; 


radius  faciei 


cuius  aperturae  semidiameter  sumi  poterit  x  ==  - —  dig. ;  turn  vero  pro  gradu 
distinctionis  erit  Jc  =  41  circiter;  quare  cum  distinctio  sequatur  cubum  ipsius  fc, 
hie  distinctio  octies  maior  erit  quam  in  casibus  praecedentibus,  ubi  #  =  20. 
Turn  vero  ad  lentem  sequentem  erit  distantia  =  1?^08  dig. 

III.  Pro  secunda  lente,  cuius  distantia  focalis  q  =  ^^  dig,,  erit 

anterioris     =  —      ^      =====  —  0,3727  q  = dig. 

radius  faciei  ; 

posterioris    =  +      ff      ==  +  0,2222  q  ===  +  — dig.; 

cuius  apertura  priore  aliquanto  maior  sumi  potest. 
Distantia  ad  lentem  sequentem  est  ut  ante. 

IV.  Pro  tertia  lente,  cuius  distantia  focalis  est  r  =  ^^  dig. ,  erit 

anterioris     =  —  .    r  •   =  —  0,8025  r  =  — 


,.        «     .   . 
radius  faciei  { 


, 
1,2460  m 

posterioris   -  +  -  +  0,3264  r  = 


cuius   apertura  iterum  aliquanto  maior  quam  praecedens  et  intervallum  ad 
sequentem  est  ut  ante. 


264  LTSBI  TEETH  SECTIO  PRIMA     CAPUT  H     §  73-75  [82-83 

32 

Y.  Pro  quarta  lente,  cuius  distantia  focalis  est  s  =  —  dig.,  erit 

,      .      .  S  KO.OO  167,8016,. 

antenons     =  ^^  =  5,2438  s  -  — — -  dig. 

radius  faciei  19,6630,. 

posterions    =  ^-^  =  0,6145s  =  — ^—  dig.; 

cuius  apertura  denuo  aliquantillum  maior,  eique  oculus  immediate  adplicatur. 

YL  Pro  gradu  claritatis  est  y  =  1,3 a?  —  1|^73  dig.,  unde  mensura  clari- 
tatis fit  26'946,  ita  ut,  nisi  plus  quam  vicies  sexies  multiplicare  velimus,  adhuc 
plena  claritate  frui  queamus. 

SCHOLION 

74.  En  ergo  speciem  microscopiorum  simplicium,   quae   maximam  atten- 
tionem  mereri  videtur,  cum  sine  detrimento  claritatis  obiecta  multo  distinctius 
repraesentabunt,  quam  vulgo  fieri  solet.     Interim  tamen  fateri  cogimur  haec 
instrumenta  non  ad  praegrandes  multiplicationes  adplicari  posse;  si  enim  mul- 

tiplicationem  m  ===  100  desideremus,  lentes  quidem  adhuc  facile  parari  possent, 

/» 

sed  distantia  obiectorura  fieret  tantum  ^  dig.,  quae  distantia  utique  nimis 
parva  fieri  posset,  praecipue  si  obiecta  non  fuerint  admodum  laevia.  Ceterum 
multiplicatio  ad  150  vel  200  fortasse  posset  urgeri,  si  summa  necessitas 
postularet.  Deinceps  autem  eiusmodi  microscopia  composita  proferemus,  quae 
non  solum  aeque  clare  et  distincte  obiecta  repraesentent,  sed  etiam  maiorem 
elongationem  obiectorum  admittant.  Quoniam  autem  in  hoc  capite  lentes 
tantum  convexas  sumus  contemplati,  nunc  etiam  lentes  concavas  introducamus, 
quibus  adeo  effici  poterit,  ut  confusio  penitus  evanescat;  sed  aliud  incom- 
modum  exsecutionem  turbabit,  dum  scilicet  lentibus  nimis  exiguis  erit  opus, 
quemadmodum  in  capite  sequente  videbimus. 

ANNOTATIO 

75.  In  hoc  exemplo  singulari  attentione  dignum  evenit,  ut  formula  pro 
confusione  prodierit  negativa;    evidens    autem    est    earn    sive   maiorem    sive 
minorem  prodituram  fuisse,  si  litterae  ??  alius  valor  fuisset  tributus;  quin  etiam 
haec  confusio  plane  ad  nihilum  reduceretur,  si  rj  ita  acciperetur,   ut  fieret 
haec  formula: 

4  +  ^-^(20-, 


83-84]        DE  MICROSCOPIES  SIMPLICIBUS  PLUEIBUS  LENTIBUS  CONST  ANTIBUS    265 


unde  pro  casu  exempli  sequeretur 


7  1  —  \ 


1,3040 
3,7436 


0,34833; 


hoc  est  propemodum,  si  sumsissemus  77  =  y  Praeterea  yero  alio  modo  haec 
confasio  ad  nihilum  reduci  posset,  si  scilicet  pro  prima  lente  numerum  A  non 
unitati  aequalem,  sed  A  =  1  +  a)  posuissenms;  turn  enirn  in  formula  ilia  primus 
terminus  4  particula  a>  augeri  deberet,  ita  ut  prodiret  in  casu  exempli 
a>  —  0,2776,  unde  foret  w  =  0,2776  primaque  lens  ex  numero  A  =  1  +  CD  =  1,2776 
construi  deberet  reliquarum  lentium  constructione  eadem  relicta.  Pro  prima 
igitur  hac  lente  substitui  poterit  haec  constructio  ob  rY(h  —  1)  —  0,4768: 


(  anterioris 


radius  faciei 


I  posterioris 


seu 


radius  faciei 


—p —  p 

4^1194  —  0^4768"  3,6426 

P       =   P 
5,9375  —  0,4768    5,4607 

6,758 


anterioris      =  —  0,27453  $  =  — 


dig. 


posterioris 


0,18312^ 


m 


quodsi  ergo  haec  lens  in  exemplo  allato  loco  primae  lentis  substituatur, 
reliquis  omnibus  servatis  his  microscopiis  adhuc  maior  perfectionis  gradus 
conciliabitur,  praecipue  cum  iam  prima  lens  maiorem  aperturam  admittat. 


LBONHAEDI  EULEEI  Opera  omnia  ]H4  Dioptrica 


CAPUT  in 

DE  MICEOSCOPES  SMPLICIBUS 

AB  OMM  PLANE  COKFUSIONE  IMMUNIBUS 

SIVE  EX  EODEM  SIVE  EX  DIVEESO  VITEI  GENEEE 

CONSTANTIBUS 

PEOBLBMA  1 

76.  Si  microscopium  dudbus  lentibus  prior e  concava,  posterior e  vero  convexa 
proxime  inter  se  iungendis  constet,  efficere,  ut  confusio  ab  apertura  oriunda  penitus 
destruatur. 

SOLUTIO 

Quoniam  hie  duae  tantum  lentes  occurrunt,  earum  intervallum  =Aa(l.  —  4 
latur 
cales  sint 


statuatur  minimum  =rja  hincque  fiet  P=-A ;   deinde  cum  distantiae  fo- 

A.  —  7] 


p  =  3la     et    q  =  —  -^  '  a> 

ob  lentem  priorem  concavam  debet  esse  31  negativum  hincque  etiam  A  <  0; 
quare  secunda  lens  sponte  fit  convexa  ob  SB  =  1.  Multiplicatio  porro  ita  ex- 
primetur,  ut  sit  m  =  P  •  ~  ;  unde  colligitur  distantia 


ita  ut  distantia  obiecti  etiam  minor  sit  capienda  quam  —  •    Nunc  ut  confusio 


86-87]      BE  MICKOSCOPIIS  SIMPLICIBUS  AB  OMNI  CONFUSIONE  IMMDN3BUS         267 
ab  apertura  oriunda  ad  nihilum  redigatur,  huic  aequationi  satisfieri  oportet: 

A  ,  ^  ___  *L_ 

31s 


siquidem  ambae  lentes  ex  eodem  vitro  conficiantur.  Sin  autem  ex  diverso 
vitro  parentur,  pro  secrmda  lente  loco  fjb  scribatur  /u  et  habebitur  haec 
aequatio  : 


21s""  AV. 

Quern  casnm  hie  evolvamus,  quandoquidem  casus  vix  fit  complicatior,  atque 
ex  hac  aequatione  definire  poterimus  sive  A  sive  A';  fiet  scilicet 


ita  ut  littera  31  adhuc  arbitrio  nostro  relinquatur,  dummodo  negative  capiatur; 
quare  hanc  litteram  ita  definire  licebit,  ut  etiam  altera  confusio  a  diversa 
refrangibilitate  oriunda  tollatur;  quern  in  finem  si,  ut  supra  fecimus,  pro 
prima  lente  statuatur  _^1  =  N  et  pro  secunda  ^^  =  N',  liuic  aequationi 
erit  satisfaciendum: 

0  =  JV.|j —  —  .-£, 
ex  qua  colligitur 


ita  ut  ob  P  =  1  proxime  fiat 


qui  valor  cum  esse  debeat  negativus,  necesse  est,  ut  sit  N'  <  N. 

Sumamus  igitur  priorem  lentem  concavam  ex  vitro  crystallino,  posteriorem 

o 

vero  ex  vitro  coronario  confici  et  ob  N:N'=W:7  fiet  21  =  —  y,  quo  valore 
contenti  esse  possumus.  Sin  autem  exactiorem  desideremus,  loco  P  eius 
valorem  substituamus  et  nostra  aequatio  fiet 


268  LIBRI  TEETH  SECTIO  PEMA     CAPUT  in     §  76-80  [87-88 

quae  sumto  ut  ante  rj  =  y  dabit 


__  _____ 

~        20  400        50' 

qui  valor  manifesto  est  imaginarius,  ita  ut  huic  condition!  satisfied  nequeat, 
nisi  distantia  ??a  multo  minor  capiatur,  scilicet  sumi  deberet  ^<^;  quia 
antem  tantilla  distantia  in  tarn  exiguis  lenticulis  locum  habere  nequit,  etiam 
hanc  conditioners  perfecte  implere  non  licebit.  Contentos  igitur  nos  esse 
oportebit  valore  saltim  prope  satisfaciente,  praecipue  cum  ipsa  rei  natura 
non  permittat,  ut  huic  condition!  plene  satisfaciarnus  ;  ac  suniamus,  ut  ante 
repperimus 


l,    ut  sit    A  =  -~ 


—9       _fe         =_3^    J^ 
*  m  '     2  ~  10  "  m 


Mncque 

Mncque  distantiae  focales 


Pro  confusione  autem  tollenda  sumi  debebit 

p'    103     3  +  107?    .,,30 
A^^f~7^'         3  /  +  49^' 

in  qua  forma  si  sumatur  Ar=  1  et  litterae  ^,  //  et  ?/  convenienter  assumantur, 
reperietur 

0,9875     10s     3  +  109?         30          ^  q  qm    /          10    \        30    , 

'T^1  -  8  -  -  +  ^  •  0,2529  -  3,3001  ^1  +  T^  +  49  -0, 


=  3,3001  +  11,00037?  +  0155 
seu 

A  =  3,4551  +  11,0003  ??, 

ex  quo  constructio  prioris  lentis  peti  debet. 

COROLLABIUM  1 

77.   Cum  sit 

JL        ft  _        3          ^ 
""  A  —  T?  *m~  3  +  107?  "m? 


88—90]      BE  MICROSCOPIES  SIMPLICIBUS  AB  OMNI  CONFUSIONS  IMMOSIBUS         269 

patet  distantiam  obiecti  notabiliter  He  minorem  fore  quain  casu  lentis  sim- 
plicis,  ubi  erat  a  =  — ;  nam  si  sumanms  ??  =  -|-?  prodit  &  =  y-^;  neque  vero 
pro  7i  minor  valor  accipi  potent. 

COEOLLAEIUM  2 

78.  Hoc    ergo   modo  prius    eorum   incommodorum    in  vicinitate    obiecti 
consistens,  quae  supra  commemoravimus,  hand  mediocriter  augetiir,  posterins 
vero   Me   quidem   penitus   tolletur   snblata   confusione   ab   apertnra  orinnda; 
verum  distantiae  focales  lentinm  tarn  finnt  exiguae,  nt  posito  T;  =  -y  prodeat 

9      h        ,  3      A 

<Y\  — .  p"h         /v  — — —  .  

*  35    m  *       10    m' 

cnm  pro  lente  simplici  fuisset  p  =  —  - 

SGHOLION 

79.  Deinde  etiam  hoe  non  parum  obstat,  qnod,  etiamsi  dnas  vitri  species 
adhibeamns,  tamen  altera  confnsio  tolli  neqneat  atqne  adeo  ad  valores  ima- 
ginarios  perveniatur;   nnde  hac  specie  repndiata  ad  alteram  evolyendam  pro- 
grediamnr,  qua  lens  posterior  concava  assumitur. 


PROBLEM! 2 

80.    Si  microseopium  constet  duabtts  lentibus,  quarum  prior  convexa,  posterior 
vero  concava,  efficere,  ut  confusio  ab  apertnra  oriunda  evanescat. 

SOLUTIO 
Posito    lentium   intervallo    ==  t] a  flet  ut  ante   P  —  A__    ,    et   cum   sint 

A 

distantiae  focales  p  =  Sta  et  q  =  —  p-  •  a,  tarn  SI  quam  A  erunt  numeri  posi- 
tivi  ideoque  SI  <  1.     Multiplicatio  vero  dabit 

T,    h  T>    h  Ah 

m  =  P  -  —    seu    a  =  P  -  —  =  -A 

a  m       A  —  y    m 

Confusio  autem  ab  apertuifa  oriunda,   si  ambas  lentes  iterum  ut  ex  diver  so 


270  LEBRI  TEETH  SECTIO  PEIMA     CAPUT  HI     %  80-83  _  [90—91 

vitro  factas  consideremus,  evanescet,  si  fuerit  ut  ante 
vel     A-^.-^^-A'- 

oi      r_  *        f        a  4- 
vei     /  —  -,-  (1_%y-*-t-  M-  - 

adeoque  adeo  altera  confusio  evanescit,  si  fuerit 

o-Ty.i-^.i 

u  2f       P    A 

hincque 


unde,  quia  21  <1  et  1  —  21  <1,  debet  esse  N'>N,  qnamobrem  Me  lentem 
primam  ex  vitro  coronario,  secnndam  vero  concavam  ex  crystalline  parari 
conveniet,  ita  ut  fiat  1  —  31  =  —  P,  ad  quod  requiritur,  ut  sit  ^P<1,  quod 


— 

ideo  notari  oportet,  quia  P>1;  seu  esse  debet  P  <  y  ideoque  ^-_r^  <  y? 
consequenter  —  <  ^  •  Huic  igitur  aequationi  si  adcurate  satisfacere  velimus, 
debet  esse  —  <  ^5  unde,  si  sumamus  -2-  ==  --,  fiet  P=y  t^110^116  1  —  8t  =  Jg 
et  21  =  ^  ideoque  J.  =  ^  et  ^?  =  ^  ?  ex  quo  distantia  lentium  prodit 

autem    in    praecedente    capite    assumsimus    circiter 


intervallum  7ja==y-—  ,  patet  tarn  exiguum  intervallum  in  praxi  locum 
habere  non  posse,  ita  ut  nostro  casu  alteram  confusionem  tollere  non  liceat. 
Prorsus  igitur  isti  conditioni  renunciare  oportet,  ita  ut  iam  perinde  sit,  sive 
lentes  ex  eodem  vitro  sive  diverso  conficiantur;  fiant  igitur  ex  eodem  vitro 
quocunque,  ita  ut  sit  [i'=[i,  et  pro  prima  confusione  tollenda,  quoniam  2t 
non  nimis  parvum  sumi  convenit,  statuamus  St  =  Y  hincque  -4  =  1;  unde  fit 

P=-  -     et     a  =  ~  ---  -     et     P  =  ~-     ^    q  =  —  (l  —  rt}a, 
1  —  ^  1  —  y    m  Z2  a  \         u 

Quodsi  nunc  statuamus  rja^^-p,  sumi  oportebit  ^  =  ^  sicque  fiet 

P-"      a  =  ^-A,    jp.^.A    et    tf  —  A. 

9'  9myjr9m  ^  m 


91-92]     DE  MICROSCOPES  SIMPLICEBUS  AB  OMNI  CONFUSIOXE  IMJfTJNIBUS          271 
Confusio  prior  itaque  evanescit,  si  sit 

r  =  — A4-  — 
unde  facile  erit  lentes  construere. 

COBOLLABIUM  1 

81.  Pro   lentium   igitur    construction,    si  vitrum   adhibeatur   commune, 
pro  quo  est  ^  =  1,55  et  v  =  0,2326,  si  sumatur  A  =  l,  erit 

r  =  9,406,     unde  fit    rV(X—  1)  =  2,6242 x). 

COEOLLARIUM  2 

82.  Pro  prima  igitur  lente,  cuius  distantia  focalis  est  p  =  -|  •  ^  =  -^  dig. 

H 

ob  ~h  =  8  dig.  numerique  21  ==  y  et  A  =  1 ,  habebitur 

anterioris     =  g_^g_g)  =  ^K  =  L1001  p  =  ^  dig. 


radius  faciei 

j.     •  P  P 

postenons   = 


ita  ut  haec  lens  sit  utrinque  aequaliter  convexa. 

COEOLLAEIUM  3 

nca 
numeri  35  =  1  et  A'  =  9,406,    erit 


Q 

83.    Pro   altera  lente   concava,    cuius   distantia   focalis   q  =  —  —  dig.  et 


radius  faciei 

posterioris  =  ,    ^,1,    -  =  -^=^  =  - 1,00321 2  =  +  -£- 


1)  Editio  princeps:  2,7758;  hie  valor  autem  non  est  T)/(>I'—  1),  sed  ty^'.      Correxit  E.  Ch. 

2)  Editio  princeps:  j^g  ==  0,33710 3  =  — ^  dig.          Correxit  E.  Oh. 

3)  Editio  princeps:  fjjfj^  —  0,87288^  =-^  dig.         Correxit  E.  Oh, 


272  LIBRE  TEETH  SECTIO  PRD1A     CAPUT  HI     §  84—86  [92—93 

GOUOLLAEIUM  4 

84.  Intervallum  inter  has  duas  lentes  statui  ergo  debebit 

1     h        0,889   ,. 


obiectura  autem  ante  lentem  priorem  est  collocandum  ad  distantiam 

80     ,.  8,89 


9m 


quod  autem   ad  aperturam   attinet,   earn  ex  minimo  radio  ambarum  lentium 
defirdri  oportet  sicque  eius  semidiameter  sumi  poterit 


— 


Hinc  pro  claritate  fiet  y  =  —  =  -^-,   unde  mensura  claritatis,  ut  supra  est 

Jr  y         ma         5^1'  *> 


stabilita.  =  —  • 

* 


SCHOLION 


85.  His  ergo  microscopiis  priori  incommodo  supra  memorato  medela 
affertur,  dum  obiectum  ad  maiorem  distantiam  removere  licet;  contra  vero, 
quia  lentes  multo  minores  requiruntur?  quae  propterea  non  nisi  minorem 
aperturam  admittunt,  claritas  minor  prodire  debet,  qui  defectus  ea  qualitate, 
quod  confusio  prior  penitus  tollitur,  vix  compensari  videtur.  Maximum  vero 
lucrum.  in  hoc  sine  dubio  situm  esset  futurum,  si  etiam  alteram  confusionem 
tollere  licuisset,  quandoquidem  solis  lentibus  convexis  adhibendis  de  hoc  ne 
cogitari  quidem  poterat.  Quoniam  igitur  hoc  lucrum  duabus  lentibus  obtineri 
non  potest,  examinemus  casum  trium  lentium,  inter  quas  tma  sit  concava, 
quae,  uti  facile  ex  praecedentibus  intelligitur,  ex  vitro  crystallino  parari 
debet,  dum  reliquae  ex  coronario  conficiuntur;  turn  vero  etiam  nullum  dubium 
superesse  potest,  quin  hanc  lentem  concavam  loco  tertio  constitui  conveniat. 


1)  Editio  princeps:  #  =  — — dig.  =  - —  dig.     Vide  notam  2  p.  271.  Oorrexit  E,  Oh. 

¥Yl  O  Wl 


93-94]      DE  MICEOSCOPnS  SIMPLICIBUS  AB  OMNI  CONFUSIONE  IMMUNIBUS         273 


PROBLEM!  3 

86.   Si  microscopium  constet  tribus  lenti'bus,  inter  quas  tertia  sit  concava,  binae 
anteriores  vero  convexae,  efficere,  ut  confusio  ab  a/pertura  oriunda  penitus  destruatwr. 

SOLUTIO 

Ponantur    iterum   bina   intervalla   inter   has   lentes    utrumque    ==77  a   ac 
habebimus  uti  in  problemate  2  capitis  praecedentis 


"  ~~  A -7i  '      v       (4  - 
Turn  vero,  cum  distantiae  focales  sint 

AB 


, 
_  g=  --  p--a     et 

prime  debebit  esse  21  >  0,  et  quia  est 


__ 
r  ~         B  ' 

ob  q  >  0  et  r  <  0  debebit  esse 

S->0    sive    1  —  93  >0     sen    93  <1. 

X> 

His  autem  conditionibus  duplici  mode  satisfieri  potest: 

I.   Si  SC<1  ideoque  A>0;  atque  fiet  SB  <0  et  J5  <  0. 
II.   Si  21  >1  hincque  ^  <0,  fiet  B  >  0  et  58  >  0,  attamen  SJ<1. 

Priore  casu  prodit  P>1  et  Q>1,  posteriore  vero  casu  fit  P<1  et 
$>1.  Utrum  autem  PQ  fiat  mains  an  minns  nnitate,  non  definitur. 
Mnltiplicatio  m  antem  dabit  a  =  PQ~,  pro  qua  conducit,  ut  PQ  notabiliter 


nnitatem  snperet,   qnod  evenit  casu  priore,   ubi  est  P>1    et    Q>1. 

Nunc  vero  incipiamus  a  confusione  posteriore  ad  nikilum  redigenda,  quae 
praebet  lianc  aeqnationem,  quandoquidem  assumimns  N*  =  N  pro  vitro  coro- 
nario,  dnm  N"  ad  vitrnm  crystallinnm  referatur: 


81        P    J.S3  ^P$  JJ3 

LEONHARDI  EULEBI  Opera  omnia  ni4  Dioptrica  35 


274  LIBEI  TEETE  SECTIO  PBIMA     OAPUT  HI     §  86-89  [95—96 

Si  igitur   duae   priores   lentes   convexae   ex   yitro    coronario,    tertia   vero   ex 
crystallino  sint  factae,  ut  sit  N:N"=1:IQ,  habebitur 


a       PA%^  1    PQAB' 
in  qua  si  loco  P  et  Q  valores  ante  inventi  substituantur,  prodibit 


~~  ¥  ~  ~A*W  ~~  7 
qaae  aequatio  evoluta  abibit  in  hanc  formam: 


q  O 

unde  patet,  si  esset  rj  =  09  fore  AB  ==  —  y  ideoque  r  =  —  ^po'^?  ^a  u^  s^ 
—  r<~a  ob  P$>1.  Sed  qnia  casus  77  =  0  locum  habere  nequit,  dum 
potius  b.uic  litterae  valor  satis  modicns  tribui  debet,  tribuatur  aequationi  in- 
yentae  haec  forma: 


ubi  eyideiis  est  litteram  ?j  maiorem  esse  non  posse  quam 

9 


siquidem  haec  altera  confusio  prorsus  debeat  eyanescere;    qui   limes   cum   sit 
yalde  exiguus,  statuamus 


28  (7  52—  3^+  10) 
Q 
fietque  AB  —  —  jj  sicque  r  duplo  minor  quam  ante,  id  quod  praxi  maxime 

obest.  Cum  autem  non  absolute  necessarium  sit  istam  confusionem  prorsus 
ad  nihilum  redigere,  res  ita  poterit  propord;  ut  posito  AS  =  —  ~r  pro  77 
tantus  capiatur  valor,  quam  circumstantiae  permittunt,  etiamsi  is  maior  sit 
futurus  limite  hie  praescripto. 

His  observatis  tandem  prior  confusio  ad  nihilum  redigatur,  id  quod  fit 
ope  huius  aequationis: 


. 

M 


ex  qua  numerus  X'  definiri  conveniet  sumtis  >l  =  1  et  A'=l. 


96-97]      DE  MICROSCOPES  SIMPLICIBUS  AB  OMNI  CONFUSIONS  IMMUNIBUS         275 

COROLLAEIUM  1 

87.  Utcunque  igitur  intervallum  rja  assumatur,  haec  microscopia  semper 
isto  defectu  laborabunt,  ut  tertia  lens  fiat  nimis  parva,  scilicet  fere  quintuplo 
minor,  quam  si  lente  simplici  uteremur.     Quare  cum  parvitas  lentis  maiores 
multiplicationes  impedivisset,    Me   casus   multo   minus   erit   aptus   maioribus 
multiplicationibus  producendis. 

COROLLABIUM  2 

88.  Deinde  etiam  limes  praescriptus  pro  r\  nimis  parvum  praebet  valo- 
rem, quam  ut  in  praxi  locum  babere  possit,  etiamsi  littera  B  arbitrio  nostro 
permittatur;  valor  enim  ex  illo  limite  deductus 

9 

maximum  adipiscitur  valorem,  si  capiatur  .5  =  ^,  qui  propterea  erit  ^^^TI 
seu  proxime  77  =  ~ ,  qui  manifesto  nimis  est  parvus  ?  quam  ut  in  praxi  ad- 
mitti  possit. 

SCHOLION  1 

89.  Parum  igitur  fructus  baec  microscopiorum  species  pollicetur,  etiamsi 
utramque  confusionem  ad  nibilum  redigere  liceat,   cum,   utcunque  litter ae  A 
et  J5   definiantur,   tam   ipsae  lentes   nimis   prodeunt   exiguae   quam  lentium 
intervalla    nimis    parva.     Sin   autem    confusionem    a    diversa    refrangibilitate 
oriundam  non  curare  velimus,  egregia  bine  microscopia  deducere  licebit,  inter 
quae  sequens  potissimum  species  nostram  attentionem  mereri  videtur. 

Statuatur  scilicet  81  =  1,  ut  sit  A  =  c*o;    sumatur  porro   J3  =  0?   ita  ut 
sit  AB  =  —  6,  hincque  elementa  nostra  ita  definiantur: 

P=l  Q   =       . 

et 

ubi  6  facile  ita  sumi  potest,  ut  hae  distantiae  focales  non  fiant  nimis  parvae 
atqne  t\  etiam  nostro  arbitrio  permittatur.  Turn  vero  erit  distantia 


_ 

& — t]    m 

35 


276  USBI  TEETn  SECTIO  PEIMA     CAPUT  III     §  89—98  [97-98 

Nunc  autem  perinde  erit,   siye  omnes  lentes  ex  eodem  vitro  sive  ex  diverse 

Q 

parentur;  interim  tamen  si  6  non  multum  a  valore  supra  dato  —  abludat, 
non  parum  lucri  consequemur,  si  tertiam  lentem  ex  vitro  crystalline  paremus, 
dum  binae  anteriores  ex  vitro  coronario  conficiuntur,  quippe  quo  facto  altera 
confasio  saltim  diminuetur.  Turn  autem  pro  ipsa  lentium  constructione  haec 
aequatio  est  resolvenda: 


unde  sumtis  /I  =  1  et  A'  =  1  colligitur 

=  0,9875       04    A,       _1\ 

0,8724  "0  —  97  V    """  0V' 

cuius  solutionis  exemplum  afferre  non  pigebit. 

EXEMPLUM 

90.    Sumatur  ??  =  y  et  sit  #  =  1;  atque  hinc  habebimus 

p=1  Q=        1        = 5? 

?  1  —  ??         4  ' 

=  =  = 4_ 

5 

existente  a  =  -±'—'    Turn  vero  aequatio  resolvenda  pro  hoc  casu  dabit 

,//=  0;9875    A —  28800- 

~"  0,8724     2  ~    '          } 

ex  quo  pro  vitro  crystalline  colligitur 

rVr  —  1  —  1,1870. 
Unde  obtinetur  sequens  constructio  microscopii  trilenticularis. 

I.  Prima  lens  ex  vitro  coronario  paratur;  cuius  distantia  focalis  cum  sit 

_    _  JL  A  _  12  <r 
4    m        m      ®' 

et  numeri  21  —  1  et  A  =  1,  erit 

anterioris    =  —  =    •  -~     ••  =  4,4111  p  =  — l —  dig. 
radius  faciei<  *         '  m 

posterioris  =—•  =  T~nr  =  0,6024jp  =  ~£—  dig. 

o          I,bo01  W          ° 


99—100]    DE  MICROSCOPIES  SIMPLICIBUS  AB  OMNI  CONFUSIONS  IMMUNIBUS         277 

II.    Pro  secunda  lente  etiam  ex  yitro  coronario  paranda,  cuius  distantia 
focalis  est 

5     7^         10   ,. 
gr  =  a  =  ~  ---  =  —  dig. 
*  4     m        m      & 

et  numeri  SB  =  0  et  A'  =  1,  erit 

fanterioris    =      =  =  0,6024  ,  =  dig. 


radius  faciei  I 

posterioris  =  —  ==      ^      =  4,4111  q  =  — - —  dig. 

III.    Pro    tertia    lente    ex    vitro    crystallino    paranda,    cuius    distantia 
focalis  est 

4_ 1\L_ 8^ 

5  mm 

et  numeri  K  —  1  et  A"  =2,8300,  erit 

anterioris    -  __r__  =  T^  =  OJ5278r  =  -^  dig. 

radius  faciei 

'  posterioris  «__:J___7^_  2,5272r  —  ^  dig. 


IV.  His  lentibus  confectis  intervallum  inter  binas  statuatur 

1          2    ... 
=  —  a  =  —  dig. 
5  m       ° 

et  obiectum  exponatur  ad  distantiam  a  =  —  dig. 

V.  Cum   confosio   prior   sit  nuUa,    his    lentibus    tanta    apertura    tribui 
potest,    quantam    earum    figura    permittit;    quare,    cum    minimus  radius   sit 
—  dig.,  statuatur  semidiameter  aperturae  ^  =  ~^  dig->  unde  pro  claritate  erit 

~hx        4          1,20  ,. 

y  =  —  =  —  x  =  —  —  dig. 
y        ma         5  m        G 

hincque  mensura  claritatis  =  20  y  =  -™  denotante  1  claritatem  plenam. 

SCHOLION  2 

98  l).    Si  hanc  speciem   cum   iis,    quas  in  praecedente  capite  invenimus 
comparemus,    haec    species    praerogatiyam    meretur    tam    ratione    distantiae' 

1)  In  editione  principe  loco  numerorum  91  et  qui  sequtmtur  falso  niimeri  98  et  qtii  sequuntur 
script!  stint.  E.  Ch. 


278  LEBRI  TEETH  SECTIO  PBDiA     CAPUT  HI     §  98  [100 

obiecti,  quippe  quae  Me  est  aliquanto  maior,  quam  ob  earn  causam,  quod 
Me  etiam  altera  confusio  non  mediocriter  diminuatur,  quae  ante  ne  in  com- 
putum  quidem  est  ducta.  Verum  si  ad  magnitudinem  lentium  attendamus, 
illae  species,  quae  praecipue  quatuor  lentibus  constant,  longe  anteferri 
merentur,  cum  ibi  lentium  distantiae  focales  multo  sint  maiores  ideoque  ea 
mieroscopia  ad  multo  maiores  multiplicationes  accommodari  possint,  nisi  forte 
nimia  obiecti  vicirdtas  obstaret.  Neque  igitur  opus  esse  censeo  hanc  tracta- 
tionem  adhuc  ad  plures  lentes  extendere,  cum  vix  maior  perfectio  in  micro- 
scopiis  simplicibus  exspectari  queat.  Quare  si  quis  maiores  perfectiones  desi- 
deret,  necessario  ad  mieroscopia  yere  eomposita  confagere  debebit,  quando- 
quidem  hac  compositione  binis  supra  memoratis  incommodis  erit  occurren- 
dum.  Primo  scilicet,  ut  non  opus  sit  obiecta  tarn  prope  admovere,  deinde  ut 
non  tarn  exiguis  lenticulis  indigeamus,  etiamsi  multiplicationem  maximam 
requiramus;  in  hoc  enim  mieroscopia  eomposita  potissimum  simplicibus  ante- 
cellunt,  ut  eorum  ope  multiplicatio  quantumvis  magna  produci  queat. 


SECTIO  SECVNDA. 

DE 

MICROSCOPIIS 

COMPOSITIS, 

IN  Q.VIBVS  NVLLA  IMAGO 

REALIS  OCCVRRIT. 


PROBLEM!  1 

99.  Datis  tarn  multiplicatione  m  quam  distantia  obiecti  ante  lentem  oUectivam 
microscopium  ex  duabus  lentihus  construere,  quarum  obiectiva  sit  convexa,  ocularis 
vero  concava. 

SOLUTIO 

Cum  distantia  obiecti  a  detur  aeque  ac  multiplicatio  m,  casus  duarum 
lentium  statim  praebet  hanc  aequationem  m  =  P-  — ;  unde  definite 


Mnc  distantiae  focales  ambarum  lentium  erunt 

or  Ah 

<p  =  2la,     q  = ; 

JT  73.  m 

unde  patet  tarn  21  quam  A  esse  debere  positiva,   ad  quod  sufficit,  ut  A  sit 
positivum.     Intervallum  vero  lentium  erit 

li\  =  A_ 

ma)        m 


ex  quo  perspicuum  est  esse  debere  ma>h  seu  w>>  —  \  alioquin  enim  huius- 
modi  microscopia  locum  habere  non  possent.  Deinde  pro  spatio  in  obiectis 
conspicuo  habebimus  eius  semidiametrum 


ma 


Si  igitur  sumamus  ^  =  ™  et  q  =  l,  qui  est  casus,  quo  lens  ocularis  maximam 

LBONHARDI  EUL^EI  Opera  omnia  III4  Dioptrica  36 


282  LIBRI  TEETH  SECTIO  SECUJSHDA     §  99-102  [104—105 

aperturam  admittit  ideoque  utrinque  aeque  est  concava,  turn  ergo  erit 

all 


4     ma  —  h 

Quod    vero    ad    locum    oculi    attinet,    ex    superioribus    formulis    generalibus 
colligimus 

~~  Wa  "m* 
est  vero 

-b  =  —  —  =  —  — 

"~       P  ~        m 

et 

w_     q       77 

J.KL  ==:= ^—  •  /& 

ma  —  h 
sicque  fit 

~ AJi(ma  —  A)  t 


quae   distantia   cum   sit  negativa,    oculum  lenti  oculari  immediate   adplicari 
oportet;  unde  ut  margo  coloratus  evanescat,   satisfieri  debet  huic  aequationi: 


quod  cum  fieri  nequeat,  perspicuum  est  marginem  coloratura  neutiquam  tolli 
posse;  multo  minus  ergo  haec  confusio  posterior  penitus  tolli  poterit;  prior 
autem  confusio  insensibilis  reddetur  ope  huius  aequationis: 


A 
quae  ergo  abit  in  hanc  formam: 


ubi  cum  lens  ocularis  debeat  esse  utrinque  aequaliter  concava,  si  pro  ea 
vitri  specie,  ex  qua  lens  ocularis  couficitur,  capiantur  numeri  respondentes 
?',  o  et  J,  erit  A'=l  +  (~^-)2.  Ex  hac  autem  aequatione  definiri  debet 
semidiameter  aperturae  lentis  obiectiyae  x,  erit  scilicet 


105—106]     DE  MICROSCOPnS  COMPOSITTS  UST  QUTBUS  NULLA  IMAGO  REALIS        283 

nisi  forte  Mnc  pro  x  prodeat  valor  maior,  quam  lentis  figura  permittit;  hinc 
ergo  casus  utilissimus  foret,  si  fieri  posset 


I*, 


ad  quod  idoneum  valorem  pro  2t  vel  A  quaeri  oporteret,  quod  quidem  pro 
non  adeo  magnis  multiplicationibus  fieri  posset;  at  si  multiplicatio  m  esset 
praegrandis,  deberet  A(l  -f-  -4)3+  vA(A  +  1)  aequari  fraction!  valde  parvae, 
quod,  cum  A  >  0,  fieri  non  potest.  Quicquid  autem  sit,  invento  valore  ipsius 
x  gradus  claritatis  erit  y  =  —^-  et  mensura  claritatis  ^??_i?;  unde  eo  magis 

7/6  C«  tit  Of 

curandum  est,  ut  x  non  nimis  parvum  adipiscatur  valorem. 

COEOLLAEIUM  1 

100.  Hinc  patet,  ut  x  maiorem  nanciscatur  valorem,  plurimum  conducere, 
ut  litterae  A  parvus  [tribuatur  valor1);  sed  hunc  valorem  nimis  parvum  assumere 
non   licet,    quia  turn  lens   ocularis   nimis  fieret  parva,   ita  ut  A  vix  unitate 
minus  accipi  conveniat. 

C0ROLLAEIUM  2 

101.  Cum  formula  A(l  +  -^)3+  rA(A  +  1)  certe  sit  unitate  maior,  quia  A 
unitate  minus   esse  nequit,   atque   adeo   ultra  8   exsurgere  debeat,  haec  con- 
fusio  penitus  tolli  non  poterit,   nisi  haec  formula  ~"^~  quoque  8  superet, 

hoc  est,  nisi  ob  —  =====  1  proxime  fuerit 

>  8      seu      m  < 


ma  '  Sa 

COROLLAEIUM  3 
102.   Haec  clariora  fient,  si  posito  h  =  8  dig.  sumamus  a  =  -^  dig.;  et  cum 

o 

sit  circiter  A'=y,  limes  modo  inventus  daret  m<6;  quae  multiplicatio  tarn 
exigua  ne  huiusmodi  quidem  microscopiis  produci  potest,  quare  nunc  pro 
certo  affirmare  licet -istam  confusionem  neutiquam  tolli  posse. 


1)  Hoc  falsum  est;  contrarium  valet.    Tide  §  103.  E.  Oh. 


284  LEBRI  TEETH  SECTIO  SICUEDA     §  102a-102b  [106-107 

EXEMPLUM  1 

[102  a]1).  Si  distantia  obiecti  debeat  esse  -J-  dig.  et  ambae  lentes  ex  vitro 
communi  w  =  l,55  parentur,  turn  vero  statuatur  A  =  l  bincque  $  =  Y, 
babebimus  primo  distantias  focales  lentium 

p-a-idig.    et    2  —     dig. 


lentiumque  intervallum 


Spatium  vero  in  obiecto  conspicuum  erit 

Wl —  32 

Denique  si  ut  hactenus  sumarrras  Tc  =  20,  postrema  aequatio  erit 

-32A')  =  ^ff 


Hie  autem,  nt  iam  saepe  vidimus,  est  /=  1,6299;    praeterea    vero  cum  sit 
A  =  1  et  proxime  /u,  =  1,  inveniemus 


_ 

20  r  16;9304m  —  104,3136 

Si  ergo  fuerit  m  =  100,  jfiet  primo 

=di.    et     g  —  —      dig. 


et  lentium  intervallum 

-i  * 

=  ioo    g' 
et 

*-^dig.f 

turn  vero 

/p  =  0,0043  dig., 

unde  fit 

y  —  ^1  a?  —  0,0014  dig. 
^      100 

et  mensura  claritatis  0,028,  quae  circiter  triplo  minor  est  quam  in'microscopio 
fere  simplici 

1)  la  editione  priacipe  Jbiuius  et  sequentis  paragraph!  numeri  omissi  sunt,  qnare  hie  numero 
praecedeatis  paragraph!  adiectis  litteris  a  et  6  desigaantur.  E.  Oh. 


107-108]     DE  MICROSCOPES  COMPOSITIS  IN  QUIBTJS  MJLLA  IMAGO  REALIS        285 

E5EMPLTJM  2 

[102  b].1)  Maneant  omnia  uti  in  exemplo  praecedente,  praeterquam  quod 
litterae  A  valor  multo  maior  tribuatur,  ut  videamus,  quomodo  confusio  turn 
futura  sit  comparata.  Statuatur  ergo  J.  =  5  fietque  2l  =  y  et  distantiae 
focales  ercmt 


quia  ut  ante  manet 
et  lentium  intervallum 


5  -    h 
—a,      a  =  —  5  — 

6  *  m 


p      ma 

JL     =  -^ — 5 

h 


5  , 
=  — (ma  — 


turn  vero  pro  spatio  conspicuo  erit 

1          aJi 


fl  —  —  -  .  — 

4      ma  —  h 

nt  ante.     Tit  denique  confusio  non  sentiatur,  debet  esse 

/21GAm    .    6vm         8  A"  \         1  ^ 
-125"  +  -2^-125^^  10  Va 


Sumto  igitur  iterum  a  =  Y<iig'j  A  =  l  et  A'  =1,6299,  siquidem  ambae  lentes 
ex  vitro  communi  n  =  1,55  conficiantur,  et  posito  /u,  =  1  habebitur 


1 


20  V  3,568m —  0,8344 
Si  ergo  fuerit  m  =  100,  fiet 


24 

et  lentium  intervallum 

_  17 

~  20 

et 




34 


1)  Vide  notam  p,  284.  E.  Oh. 


286  LIBRI  TEETH  SECTIO  SECUNDA     §  102b— 104  [108—110 

Turn  vero 


unde  fit 

y  =  0,00226  dig. 


et  mensura  claritatis  =  0,0452. 


SCHOLION 


103.    Si  haec   duo   exempla  inter  se    conferamus,    sequentia    observanda 
occurrent  : 

1.  Videmus  plurimum  interesse,  ut  litterae  A  maior  valor  tribuatur,  quia 
turn  expressio  pro  confusione  mnlto  fit  minor,  ita  ut  littera  x  turn  maiorem 
adipiscatur  valorem,  ex  quo  simul  maior  claritas  obtinetur;   quo  maior  enim 
littera  A  accipitur,  eo  propius  littera  21  ad  unitatem  accedit,  ex  quo  primus 
terminus  ^-8  yix  unitatem  superabit,  qui,  dum  erat  A  =  1,  ultra  8  exsurgebat. 

2.  Deinde  etiam  valorem  ipsius  A  augendo  lens  obiectiva  fiet  maior,  dum 
•  eius  distantia  focalis  p  ad  distantiam  obiecti  a  continuo  propius  accedit. 

3.  Maximum  autem  commodum  cernitur  in  lente  oculari,  quae  hoc  modo 
ad  lubitum  nostrum  augeri  poterit,   quantumvis  magna  fuerit  multiplicatio. 
Fieri  adeo  potest,  ut  haec  lens  datam  distantiam  focalem  adipiscatur  veluti 
unius  digiti;  turn  scilicet  A-—  ponatur  =1  dig.  et  ob  Ji  =  8  dig.  capi  debebit 
J.  =  ~;  turn  quidem  longitudo  instrumenti  maior  evadet,  scilicet  =~^(ma  —  ti), 
sed  vix  unquam  ea  tanta  erit,  ut  non  facile  tolerari  possit. 

4.  In  his   quidem   exemplis    assumsimus    distantiam   obiecti  a  =  i  dig,, 
sed  nihil  impedit,  quominus  hanc  distantiam  maiorem  assumamus,  quo  ipso 
usus    horum   instrumentorum   multo    commodior  redditur,    dum   praecipuum 
commodum,  quod  a  microscopiis  compositis  exspectamus,  in  eo  est  situm,  ut 
non    opus    sit    obiecta   tarn    prope   ad    instrumentum   admovere;    quia   enim 
littera  a  arbitrio  nostro  permittitur,  earn  tantam  assumere  licebit,  quantam 
lubuerit. 

5.  Verum   quo  maiorem  hanc  distantiam  a  accipiamus,   fateri  cogimur 
claritatis  gradum  inde  diminutum  iri;  quod  quo  clarius  appareat,  perpendamus 
valorem  litterae  x  reliquis   litteris   iisdem   manentibus    proportionalem   esse 

o  *> 

formulae   yo?  seu  potestati  a8,  ita  ut,  quo  maior  distantia  obiecti  statuatur, 


110-112]     DE  MICROSCOPIES  COMPOSITIS  IN  QDTBUS  NULLA  IMAGO  REALIS        287 

etiam  apertura  lentis  obiectivae  maior  sit  proditura;  quod  in  se  spectatum 
pro  non  exiguo  commodo  est  habendum;  at  pro  gradu  claritatis,  cum  sit  y 
formulae  —  proportionalis,  claritas  proportionalis  fiet  formulae  ^-,  ita  ut 

a  ya 

ea  decrescat  in  ratione  subtriplicata  distantiae  obiecti  a;  vernm  haec  ipsa  di- 
minutio  non  adeo  est  pertimescenda,  dum,  si  distantiam  obiecti  adeo  octuplo 
maiorem  accipiamus,  claritas  tantum  duplo  fit  minor,  atque  ex  bis  perspicuum 
est,  quantopere  microscopia  composita  simplicibus  antecellant  et  quanta  com- 
moda  ab  iis  exspectari  possint.  Interim  vero  haec  species  microscopiorum 
hie  tractata  adhuc  ingenti  defectu  laborat,  quod  a  margine  colorato  liberari 
neutiquam  potest.  Quocirca  videamus,  an  unam  pluresve  lentes  insuper  adii- 
ciendo  istud  vitium  tolli  queat. 


PBOBLEMA  2 

104.   Inter  lentes  obiectwam  et   ocularem  praecedentis  microscopiorum  speciei 
novam  lentem  ita  inserere,  ut  margo  coloratus  ad  nihilum  redigatur. 

SOLUTIO 

Quoniam  igitur  hie   tres   habemus   lentes,    earum   distantiae  focales  ita 

erunt  expressae: 

.493  AS 


quarum  cum  prima  debeat  esse  convexa,  erit  §t>0;  et  cum  tertia  debeat 
esse  concava,  erit  AB<0  ideoque  altera  litterarum  A  et  B  positiva,  altera 
negativa  ;  de  lente  enim  media  nihil  adhuc  definiamus  ;  iutervalla  porro  harum 
lentium  erunt 

A   ft       i\       4.          j.    •  A]Ba  it       1 

prius  =  Aa(  1  —  -=•  1     et     posterius  =  ---  p  —  (  1  —  ~^ 


unde  patet  esse  debere  $>1.     Multiplicatio   vero  m  dabit 

Nunc   autem   id   consideremus,    quod    nobis  est  propositum,  scilicet  ut 
margo  coloratus  evanescat.   Quoniam  distantia  oculi  0  prodit  negativa,  satis- 


288  TTKRT  TEETH  SECTIO  SECUNDA     §  104—108  [112—113 

fieri  oportet  huic  aequationi: 

0  =  N(A  +  l)Bx  -  ^  ((S  +  l)r  +  q), 

quern  in  finem  spectetur  spatium  in  obiecto  conspicuum,  pro  quo  est 

** 


ma  — 


in   qua,   si  lens  ocularis  utrinque  flat  aequalis,   ut  maximam   aperturam  ad- 
mittat,  capi  poterit  r  =  l;  turn  vero  posuimus 


ut  sit 

8  =  Mag. 


Nunc  igitur  prinao  videndum  est,  an,  si  ambae  lentes  ex  eodem  vitro 
parentur,  scopum  obtinere  queamus.  Posito  igitur  N=N'  aequatio  pro 
margine  nobis  dabit 


qui  valor  an  cum  conditione  praescripta  AB<0  consistere  possit,  videamus. 
Hunc  in  finem  duos  casus  perpendamus,  alterum,  quo  A>0}  alterum  vero, 
quo  non  solum  -4<0,  sed  etiam  1+^4<0?  ut  scilicet  prodeat  SI  positivum. 
Priore  casu  erit  P>1  ideoque  in  valore  ipsius  B  denominator  fit  positivus 
sicque  B  positivum  habebit  valorem,  cum  tamen  ob  AB  <  0  negativum  esse 
debeat;  altero  casu,  quo  A  <  0,  debet  esse  P<1  ideoque  denominator 
(A  +  l)Pr  —  x  fit  negativus,  etiamsi  A  +  1  non  esset  negativum,  ita  ut  valor 
ipsius  B  hoc  casu  certo  prodeat  negativus,  cum  tamen  ob  AB  <  0  deberet 
esse  positivus. 

At  si  lentes  ex  di  verso  vitro  conficiantur,  fieri  poterit,  ut  margo 
coloratus  penitus  tollatur  idque  duplici  modo,  quemadmodum  in  subiunctis 
casibus  ostendemus.  Postquam  autem  huic  conditioni  fuerit  satisfaction, 
pro  apertura  lentis  obiectivae  indeque  pendente  claritate  sequens  habebitur 
aequatio  : 

//r 


- 

AW      A*P 


113-114]     BE  MICROSCOPES  COMPOSITIS  IN  QUIBUS  NULLA  IMAGO  REALIS        289 

ubi  tantum  notandnm  est,  ut  lens  ocularis  maximam  admittat  aperturam, 
valorem  A"  inde  esse  datum;  pro  binis  reliquis  A  et  A'  commode  unitas  as- 
sumitur  sicque  pro  quovis  casu  problematis  nostri  solutio  facile  invenietur. 

COKOLLAEIUM  1 

105.  Quod  ergo  hie  diverso  vitro  uti  oporteat,  id  inteUigendum  est  tan- 
tum  de  lente  prima   et   secunda,   ad   quas  litterae  N  et  Nr  referuntur;  pro 
tertia  enim  lente  vitri  ratio,   ex  quo  conficitur,   Me  plane  in  computum  non 
ingreditur,  ita  ut  perinde  sit,  ex  quonam  vitro  liaec  lens  conficiatur. 

COEOLLARIUM  2 

106.  Cum  igitur  pro  margine  colorato  tollendo  habeatur  ista  aequatio 

N(A  +  l)5Pr  -  N'((B  +  l)r  +  q), 
hinc  deduci  debet  valor  litterae 


ubi  notetur  esse  r  =  1  et  q  +  r  necessario  maius  nihilo,  ut  scilicet  valor 
ipsius  0  prodeat  positivus;  turn  iste  valor  comparetur  cum  ea  conditione,  qua 
productum  AJB  debet  esse  negativum,  id  quod  fieri  plane  non  posse,  quamdiu 
litterae  N  et  N'  sunt  inter  se  aequales,  iam  ostendimus. 

COEOLLAEIUM  3 

107.  Totum  ergo  negotium  iam  hue  redit,  quemadmodum  hae  duae  con- 
ditiones   impleri   queant,   dum   litterae   N  et   N'   diversos    obtinent    valores, 
scilicet  ut  dato  valore  litterae  A  altera  littera  B  talem  sortiatur  valorem,  ut 
earum  productum  AB  fiat  negativum,  ubi  perpendendum  est  formulam  A(P — 1) 
semper  positivarn  esse  debere,  ita  ut  sumto  A  positive  sit  P  >  1,  sumto  autem 
A  negativo  capi  debeat  P<1. 

SCHOLION 

108.  Quoniam  igitur  duabus  diversis  vitri  speciebus  uti  cogimur,  optan- 
dum  sine  dubio  esset,  ut  hae  duae  species  ratione  refractionis  maxime  inter 

LEOKTHARDI  EULBRI  Opera  omnia  III4  Dioptrica  37 


290  LIBRI  TEBTH  SEOTIO  SECTODA     §  108-109  a  _  [114—116 

se  differrent;  cum  autem  aliae  adhuc  eiusmodi  species  non  sint  cognitae 
praeter  eas,  circa  quas  DOLLONDUS  experimenta  sua  instituit,  easdem  quoque 
nos  hie  adhibere  oportebit.  Hactenus  quidem  litteris  N  et  N*,  quae  Ms 
duabus  speciebus  conveniunt,  rationem  7  :  10  tribuimus,  quae  illis  experimentis 
maxime  videtur  conformis,  etiamsi  ea  satis  notabiliter  a  veritate  aberrare 
possit.  Quamobrem  ob  calculi  commoditatem  hanc  rationem  hie  potius  ut 
2  :  3  statuamus,  quippe  quae  ab  ilia  minime  differt  et  aliquanto  maius  discri- 
men  involvit;  neque  enim  hinc  aliud  est  metuendum,  si  forte  error  non  satis 
esset  exiguus,  nisi  quod  margo  coloratus  non  penitus  tolleretur;  yerum  dum- 
modo  is  multo  minor  evadat,  quam  vulgo  unicam  vitri  speciem  adhibendo 
fieri  solet,  content!  esse  poterimus;  quem  in  finem  duos  casus  hie  accuratius 
examinare  conveniet,  alterum,  quo  littera  A  positivum  habet  valorem,  alterum 
vero,  quo  negativum,  ut  inde  pateat,  quanta  commoda  hinc  in  praxi  exspe- 
ctari  queant. 

EVOLUTIO  PEIMI  CASUS 
QUO  LITTERAE  A  VALOE  POSITIVUS  TEIBUITUE 

109.  Hoc  ergo  casu  littera  81  valorem  quoque  positivum  habebit  et 
quidem  unitate  minorem;  turn  vero  conditio  lentis  ocularis  concavae  postulat, 
ut  littera  J5  obtineat  valorem  negativum.  Praeterea  ob  A>0  etiam  esse 
debet  P>1,  ut  intervallum  prius  fiat  positivum.  Nunc  vero  ob  marginem 
coloratum  tollendum  valor  litterae  J?  ita  exprimitur,  ut  sit 


ubi  igitur  ob  q  +  r>0  denominator  seu  formula  N(A  +  l)P  —  N'  negativum 
habere  debebit  valorem;  quod  ut  fieri  possit,  cum  (A  +  1)-?  certe  sit  unitate 
maius,  necesse  est,  ut  fiat  N'>N  ideoque  ut  lens  obiectiva  ex  vitro  coro- 
nario,  secunda  vero  ex  crystallino  conficiatur.  Quare,  cum  hinc  prodeat 
N:N'=2:3  hincque  sit 


oportebit  esse 

sive 


Cum  autem  sit  P>1,  manifestum  est  litteram  A  tarn  parvam  accipi  debere, 


116-117]     DE  MICROSCOPIES  COMPOSITIS  IN  QUIBUS  I^LLA  IMAGO  EEALIS        291 


tit  etiam  nunc  sit 


3  1 

ideoque      A  +  l<—      hincque      A<-~; 


C\(-\       \         A\    ^  AW2V^W.Vf  -£JL    —  j—     J.    \    —  JJULLL  VV£  U.t/  .ZJL    \    — 

si  enim  esset  A  =  -^,  capi  deberet  P  =  1  primumque  intervallum  plane 
evanesceret,  id  quod  praxis  non  patitur;  unde  simul  intelligitur  lianc 
litteram  A  tanto  minorem  quam  y  statui  debere,  ut  etiam  nunc  inter- 
vallum  duannn  primarum  lentium  ad  praxin  revocari  "possit.  Constituta 

o 

autem  littera  A  litfcera  P  sumi  debebit  inter  limites  1  et  2(  .  .  ;  modo  autem 
vidimus  minori  limiti,  unitati?  aequalem  capi  non  posse,  at  si  maiori  limiti 
sumeretur  aequalis,  turn  B  fieret  inJBnitum  sicque  longitude  instrunaenti  in 
infinitum  extenderetur.  Tarn  prope  igitur  P  maiori  limiti  admoveri  conveniet, 
ut  quantitas  AS  adhuc  in  praxi  locum  habere  possit.  Turn  vero  adhuc 
superest,  ut  postremae  aequationi  satisfiat,  qua  apertura  lentis  obiectivae  de- 
finitur;  circa  quam  aequationem  sequentia  nunc  annotasse  iuvabit: 

1.  Cum  J.<Y,  erit  21  <y,   unde   ipsius  A   coefficiens   erit   >27;   unde 
enormis  confasio  resultaret,  nisi  sequentibus  terminis  diminueretur. 

2.  Verum  cum  pro   secunda  lente  coefficiens  ipsius  %'  fiat  maior  quam 
—  8  ob  P  =  1  proxime  et  quia  B  semper  fit  numerus  valde  magnus,  93  parum 
ab  unitate  differt. 

3.  Pro  lente  oculari  coefficiens  ipsius  A"  tarn  erit  parvus,  ut  prae  reliquis 
terminis  quasi  evanescat;   unde  adeo  hoc  commodi  assequimur,  ut  tota  haec 
confusio  prorsus  ad  nihilum  redigi  queat,  debite  scilicet  definiendo  litteras  A 
et  A';  quare  Me  casus  omnino  meretur,  ut  aliquot  exemplis  illustretur. 

EXEMPLTJM  1 

[109  a].1)    Cum  debeat  esse  A<^,    ponamus    -4  =  y   fietque    Sl  =  -j    et 

O  A  A 

intra  limites  1  et  y    Sit  ergo 


fiet 


Consideremus  nunc  aeqaationem  fundamentalem,  quae  est 

i     q  +  r    i 


1)  Vide  notam  p.  284.  E.  Ck 

37* 


292  LIBEI  TEETH  SECTIO  SECUNDA     §  109  a [118—119 

Ponatur  autem  brevitatis  gratia  ~  =  1  +  &>  quandoquidem  esse  debet 
ma>h,  ut  haec  microscopiorum  species  locum  habere  possit,  eritque  33  =  9^- 
Gum  iam  sit  ig-  =  l+|->  habebitur 


q  +  r  81(q  +  r)' 

unde  elicitur 

80r 
q~~  7299-81  ' 

sicque  prodibit 

—  7290  +  1      ,.  <v,         +729^—1 

93  =  —  7200— 


existente     e  =  ~  —  I     sive    multiplicatio    m  =  .      Turn    vero    ob 


--  erit 


atque  bine  elementa  pro  microscopii  constructione  erunt 

1         A         X  9f_    X  _7290+l  7290-1 

1.       ^-=3-,          •*"!"'  90-1       '          "°~ 


7200 


2.  Deinde  distantiae  focales  lentium 

1  —72919  +  1  ,  —7296 

*-7a'       g=       2400^      'a      6t      r 

3.  Lentium  harnm  intervalla  erunt 

1  ,     .  (7290—  l)a 

prms  =  -  a,        posterns  =  -' 


4.    Praeterea  spatii  in  obiecto  conspicui  semidiameter  erit 

729  0r~  r         - 


(729  0~ 

quodsi  iam  hie  sumamus  r  =  l  et  l^^-'  ^  q^od  licet,  si  lens  ocularis  fiat 
utrinque  aequaliter  concava,  erit 


7290 

0 


3240(90-1) 


119-120]     DE  MICROSCOPIES  COMPOSITIS  IN  QUIBUS  NULLA  IMAGO  EEALIS       293 
5.    Deniqfue  consideretur  haec  aequatio: 


ubi  commode  usu  venit,  ut  haec  quantitas  ad  nihilum  revocari  possit,  quern 
in  flnem  tertiam  lentem  uti  primam  ex  vitro  coronario  fieri  ponamus? 
sumique  debebit 

r—  1,60006     et    ^"  =  /^; 

turn  vero  sumatur  A  ==  1,  at  A'  ita,  ut  sit 

CA    i    10       i    27-1,60006 
=  64  +  12  y  + 


existente 

et   "'-0'2529- 


Praeterea  vero  notetur   pro   maioribus   multiplicationibus,    quando    scilicet   6 
fit  numerus  satis  modicus,  fieri  proxime 

J5  =  —  81     et     35==  +  —; 

unde  colligitur 

0,96341  X  -  0,00308  +  A-  •  66fff2 

IJi  Z4bjd 

hincque 

X  =  3,22503     et    v  V(X  —  1)  =  1,3089 ; 

unde,  cum  huius  lentis  distantia  focalis  sit 

_         729   _  243  _ 

et  S3  =  |i ,   erit  huius  lentis 


radius 


1)  Editio  princeps;  radJ.  aw^er. 


rad.  poster.  -»••*««  Q  2|18  —  3,5486  #. 


Loco  1,3089  pro  valore  formulae  t^X—l  sumpsit  BULBRUS  1,3189.  Oorrexit  E.  Oh. 


294  LIBBI  TERTII  SECTTO  SECUNDA     §  109  a—  112  [120—121 

Pro  prima  autem  lente,  cuius  distantia  focalis  est  p  =  -|-  a  et  numeri  81  =  -^- 
et  A  =  1,  ex  vitro  coronario  facienda  erit 


. 

radius  faciei  < 


anterioris    =    _Jj  __~\ =     /mi  =  0,76823^ 

posterioris  =     toty ^  =     f*      =  l,70911_p 

atque  liinc  conficitur  sequens 

CONSTEUCTIO  HUIUSMODI  MICEOSCOPIOEUM 

110.  Posita  distantia  obiecti  =  a  et  multiplicatione   w  =  (1  -f-  $)  —    erit 

I.  Pro  lente  obiectiva  ex  vitro  coronario  facienda 

., .       „          f  anterioris     =  0,1921  a 
radius  faciei  { 

I  posterioris  =  0,4273  a , 

cuius  distantia  focalis  p  =  —a, 

•*•  4      7 

semidiameter  aperturae  x  =  0,0480  a 

et  intervallum  ad  lentem  secundam  erit  =^a. 

60 

II.  Pro  lente  secunda  ex  vitro  crystalline  facienda 

.    .  .  {  anterioris     =  —  0.2121  a 
radius  faciei  { 

I  posterioris   =  — 1,0409  a x) , 

cuius  distantia  focalis  est   #  =  —  ~?  a  =  0^3037  a, 

semidiameter  aperturae  x  =  0,0530  a  seu  indefinita  relinquitur,  quia  maior 

est  semidiametro  aperturae  primae  lentis, 

/j 
et  intervallum  ad  lentem  tertiam  =24,3-^™- -a. 

111.  Pro  lente  tertia  ex  vitro  coronario  paranda,   cuius  distantia  focalis 

^  729 27_ 

T~         27(0+1)  'a  5+1  'a' 

erit 

radius  faciei  utriusque   =  —  ^~TT"a? 
cui  lenti  oculum  immediate  applicari  oportet. 


1)  Editio  princeps:  radius  faciei  \  m ^    ~~~~  S^rrr,^    Vide  notam  p.  293.     Oorrexit  E,  Oh. 

\  pOSitw*  =  —  Ij0779  QI, 


121—122]     DE  MICROSCOPES  GOMPOSITIS  IN  QUEBUS  ISTULLA  BIAGO  EEALIS        295 
IV,    Spatium  in  obiecto  cernetur,    cuius  semidiameter 


V.    Denique  cum  sit 

0  —  0,0480  a, 
erit 


ix  x     _  0,0480 

~~ma~~6 

Mncque  mensura  claritatis 


y       ma       0+1         6  +  1 


0.960 


si  scilicet  distantia  a  in  digitis  exprimatur,  quae  mensura  etiam  ita  exprimitur: 

0,960--  = 


m          m 


COEOLLAEIUM  1 

111.  Duae   lentes   priores   cum   earum   intervallo   plane   non  pendent  a 
multiplicatione    proposita    ideoque    pro    omnibus    multiplicationibus    eaedem 
retineri   possunt,   ita   ut   tantum  opus  sit  pro  qualibet  multiplicatione  aliam 
lentem  ocularem  adMbere,  cuius  distantia  focalis   loco   0  +  1   scrip  to   valore 

~S~eilt  r  =  -27A  =  _l^dig., 

m  m        & 

ita  ut  haec  lens  nunquam  fiat  nimis  parva. 

COEOLLAEIUM  2 

112.  Utcunque  autem  multiplicatio  varietur,  intervallum  lentium  secundae 
et  tertiae  parum  admodum  mutatur,   praecipue   in  maioribus   multiplicatio- 
nibus, cum  hoc  intervallum  sit 

=  24,3- 


O  +  l 


ita  ut  tota  instrumenti  longitudo  vix  sit  mutanda,   ae  si  distantia  obiecti  a 
capiatur  1  digiti,  longitudo  instrumenti  erit  circiter  duorum  pedum. 


29g  LIBBI  TEBTn  SECTIO  SEOTOTDA  '§  H8-118a  _  [123-124 

SCHOLION 

113.  Quod  hie  distantia  obiecti  arbitrio  nostro  permittatur,  id  sine 
dubio  tamquam  insigne  commodum  est  spectandum,  cum  hoc  modo  maximum 
vitium  micr-oscopiorum  simplicium,  quod  in  nimia  vicinitate  obiecti  consistit, 
felicissimo  successu  evitetur,  quoniam  quantumvis  hac  distantia  aucta  ne  men- 
sura  quidem  claritatis  diminuitur,  aeque  parum  ac  spatium  in  obiecto  conspi- 
cuum.  Interim  tamen  contra  hanc  speciem  obiiei  poterit,  primo  quod  duae 
lentes  priores  nimis  inter  se  propinquae  esse  debeant;  quod  tamen  vix  ullam 
attentionem  meretur,  cum  adhuc  hoc  iutervallum  in  praxi  facUe  observari 
possit,  nisi  distantia  obiecti  a  nimis  parva  statuatur,  quod  autem  nulla  ratio 
suadet;  altera  vero  obiectio  maioris  est  momenti,  quod,  si  distantia  a,  maior 
uno  digito  accipiatur,  longitudo  huius  instrument!  duos  adeo  pedes  iam 
superet,  quae  merito  incommoda  videri  potest.  Verum  mox  ostendemus, 
quomodo  et  huic  incommodo  facile  occurri  possit.  Prouti  autem  hanc 
speciem  litteris  A  et  P  definiendis  constituimus,  id  inprimis  obiiei  potest, 
quodsi  diversitas  numerorum  N  et  Nr  tantillo  minor  merit  quam  in  ratione 
2:3,  uti  hie  assumsimus,  turn  determinationes  ulteriores  locum  omnino 
habere  non  posse;  si  enim  loco  huius  rationis  substituamus  earn,  quam  supra 
ex  ipsis  DOLLONDI  experimentis  conclusimus,  scilicet  uti  7  :  10,  ut  foret 

-  io(q+r) 


turn  sumto  A  =  y  et  P  =  ™  ,  denominator  7  (A  +  1)  P  —  10  fieret  =  ^  —  10 
ideoque  non  amplius  negativus,  ut  natura  rei  postulat;  multo  igitur  minus 
haec  positio  locum  habere  posset,  si  discrimen  vitri  ratione  dispersionis 
adhuc  esset  minus,  quod  quidem  non  parum  probabile  videtur.  Quamobrem, 
ne  hinc  quicquam  sit  pertimescendum,  litteras  A  et  P  ita  assumi  conveniet, 
ut  formula  (1  +  J.)P  multo  minorem  obtineat  valorem  quam  casu  exempli 
allati,  pro  littera  scilicet  A  fractio  sumi  debebit  multo  minor  quam  T;  turn 
vero  valor  ipsius  P  tarn  parum  unitatem  superet,  quam  lentium  proximitas 
permittit,  cui  conditioni  in  sequenti  exemplo  satisfaciemus. 

EXEMPLUM  2 

[113  a].1)  Sumamus  igitur  Me  A=\-  JSetque  2t  =  ~  et  $  =  -J-  a,  intervallum 
autem  primae  et  secundae  lentis  —  -J-(l  —  1-)«;  quod  ut  parti  quasi  septimae 

-  1)  Tide  notam  p.  284          E.  Oh. 


124-125]     DE  MICROSCOPES  COMPOSITIS  IN  QUIBUS  KULLA  IMAGO  EEALIS        297 
ipsius  p   aequetur,    sumi   debet   P=^|  =  y  sen  ~  circiter;    sumanms   igitur 


P=-g-»   et   quia   etiam  hie  uti  in  praecedente  exemplo  litter  a  q  vehementer 
fit  parva  prae  littera  r,  ea  neglecta  erit 

J5  = 


et  sumto  N'.N'^T'.W  erit  substitutis  his  valoribus  J5  =  —  ~  sive  JB  =  —  18, 
qui  valor  adhuc  maior  prodiisset,  si  dispersionis  discrimen  adhuc  minus 
foisset.  Cum  igitur  satis  sit  verisimile  hoc  discrimen  adhuc  esse  minus  ,  a 
scopo  vix  aberrabimus,  si  statuamus  B  =  —  25,  et  si  ullus  error  hinc  resul- 
taret,  is  in  eo  consisteret,  ut  margo  coloratus  non  perfecte  tolleretur;  quod 
cum  ne  sperari  quidem  possit,  contentos  nos  esse  oportet,  si  eum  tantum 
satis  parram  reddiderimus,  id  quod  hoc  modo  certo  obtinebimus;  sumto 
autem  B  =  —  25  erit  93  =  ^  hincque  ex  aequatione  fundamentali 


hincque 


unde  colligitur  spatii  conspicui  semidiameter 

25r 


quare,  si  sumatur  1  =  4-  et  r  =  l,    quo  casu  requiritur,  ut  lens  ocularis  sit 
utrinque  aeque  concava,  ac  si  ponamus  ut  ante  ~p  =  1  +  &>   er^ 


25 
0-iootf=ITa; 


reliqua  autem  elementa  sequent!  modo  se  habebunt: 


-        *     O-         +     - 


LBONHARDI  EULEKI  Opera  omnia  IH4  Dioptrica 


38 


298  KD3EI  TEETH  SBCTIO  SECUNDA     §  113a-114 [125-126 

Mncque  distantiae  focales 

n^—a      a  = a     et      r= r~^"tt=== 

*         6     >      *  27  1  +  6  ™ 

et  lentium  intervalla 

I  et  H  -^a,       II  et  ni  =  4Q^9~  45/*- 

Faciamus  nunc,  ut  etiain  confasio  ab  apertura  oriunda  evanescat,  et  cum 
prima  lens  ex  yitro  coronario,  secunda  vero  ex  crystallino  confici  debeat,  si 
tertia  etiam  ex  coronario  paretur,  ut  sit  {*"*=*/*>,  debet  esse  ^  =  1,60006;  ijim 
yero  pro  lente  prima  capiatur  A  =  l;  habebitur  ista  aequatio: 


.      _  fi*  _L  3Q  v 

7'"T~\253  252/  "^  5* 

Est  autem  log.  -^  =  0,0538214  sen 


-^  (98,304^  —  42666^0  =  216  +  30^  —  0,0128  •  -^ 

YfvCb 


sen  , 

98,304  A'  =  253,034  —  0,0145  •  -^-  , 

W2-  tt 

unde  colligitur  , 

A'  =  2,5740  —  0,00015  -       , 


ubi   postremum   membrum    tuto    omitti    potest   ob    —    fractionem    exiguam. 

Cum  ergo  sit 

X  =  2,5740     et     X  —  1  —  1?5740  , 
erit 

'_i)  =  1,1009; 


unde,  cum  huius  secundae  lentis  distantia  focalis  sit 
erit 


5          ,  ,vt      25 

q  =  —  —-a     et  numerus     35  ==  —  ? 

* 


radius  faciei 


anterioris    —  ----------  q  ---  T~f  -  ;  =  —:-*—-•  —  0,8458  q1} 

' 


posterioris  =  --------  —  —  -—  -  —  =     j-      _  1  8457^. 

^  i         0,5418  * 


1)  Editio  prinoeps:  jjl^"  =  0,9072-^.  Correxit  E   Ob. 


120—127]     BE  MICROSCOPHS   COMPOSITIS  IN  QUIBUS  NULLA  IMAGO  REALIS        299 

Pro  prima  autem  lente,  cuius  distantia  focalis 

u  O 

vitrumque  coronarium,  erit 

anterioris     = ~ r  =  .  ^  --  =  0,7036# 

,.         «     .    .  (5  —  vi(6  —  0)         1,4212  •L 

radius  faciei 

posterioris  =        ^  _  -.  ==      ^      =2,1478  j?. 

Hinc  ergo  conficitur  sequens 

CONSTRUCTIO  MICEOSCOPH  COMPOSITI  NULLAM  CONFUSIONEM 

PAEIENTIS 

114    Constituta  pro  lubitu  distantia  obiecti  =  a  habebimus 
L    Pro  prima  lente  ex  vitro  coronario  facienda 

.  f  anterioris     =  0,1173  a 
.posterioris  =0,3579  a, 

cuius  distantia  focalis  est  -^  a  =  0,1666  a ; 
aperturae  semidiameter  sumi  poterit  x  =  0,0293  a, 
intervallum  ad  lentem  secundam  =~a==0^ 


radium  faciei< 
( 


n.    Pro  secunda  lente  ex  vitro  crystallino  facienda  erit 

_    .  .  f  anterioris    =—0,1566 a1) 
radius  faciei  { 

{  posterioris  =  —  0,3418  a , 

cuius  distantia   focalis    =  —  ^7 a  =  —  0,1852 a, 
semidiameter  aperturae  =0,0392  a; 


intervallum  ad  lentem  tertiam  erit  =  — ^4 =  4  -5-  a 

<im  y  w 


1)  Editio  princeps:  —0,1 680 -a.    Vide  notam  p.  298.         Correxit  E.  Oh. 

38* 


300  LIBEI  TEETH  SECTIO  SECUBTOA     §  114-119  [127-129 

HI.    Pro  lente  tertia  oculari  ex  vitro    coronario   paranda  erit    distantia 

focalis 

__  6h 

m 
hincque 

radius  faciei  utrinsque  =  —  5,3  ---  ; 
1 


in 


sin    autem    ex    vitro    crystalline    paretur,    utriusque    faciei    radius    sumatur 
=  _5?gA?  huicque  lenti  oculus  immediate  adplicatur. 

IV.    Spatii  autem  in  obiecto  conspicui  semidiameter  erit 

25 

8  = 


1000  —  12 

existente 

ma 


h 


1. 


V.   Cum  capere  liceat  a?  =  0,0293  a,  erit  y  =  0,0293  •  —   et   mensura   clari- 
tatis  =  0,586 -~  positoque   fe  =  8dig.  fiet   ea   =^« 

COEOLLAEIUM  1 

115.  Ne  igitur  primas  lentes  nimis  exiguas  confici   oporteat,   conveniet 
distantiam  obiecti  a  tanto  maiorexn  assmni;   ac  si   statnatur   a  =  8  dig.?    hae 
lentes  satis   commodam  magnitudinem   obtinerent   et  multiplicatio  m   osten- 
deret,  quanto  mains  obiectum  appareat  per  microscopium,  qnam  si  idem  ob- 
iectnm  in  eadem  distantia  nndis  ocnlis  spectaremns. 

COEOLLAEIUM  2 

116.  Deinde   si    sumamns   ^  =  8  dig.,    longitndo   totins   instrnmenti    fiet 
circiter  35y  dig.,  quae  utiqne  satis  est  magna;   sed  perpendi  debet  earn  tan- 
turn  esse  4y  vicibus  maiorem  quam  distantiam  obiecti,   eaque  ad  dimidium 
reducetur  sumendo  a  =  4  dig.;  quo  casu  constructio  lentium  adhuc  erit  satis 
ad  praxin  accommodata,   quin  etiam  distantia  obiecti  commode  adhuc  minor 
assumi  potent,  ita  ut  longitudo  instrument!  ne  pedem  quidem  integrum  superet. 


129—131]     DE  MICROSCOPES  COMPOSITES  IN  QUIBUS  NULLA  IMAGO  REALIS       301 

SCHOLION  1 

117.  Non  parum  paradoxon  videbitur,   quod  distantia  obiecti  plane  non 
ingrediatnr  in  mensuram  claritatis;  nemo  enim  certe  arbitrabitur,  si  distantia 
ad   plures   pedes   augeretur,   obiectum  semper  eadem  claritate  esse  apparitu- 
rum   idque   pro    eadem   multiplicatione.     Verum   Me   probe  est  observandum 
mensuram  nostram  claritatis  ad  eum  claritatis  gradum  referri,  quo  idem  ob- 
iectum in  loco,  ubi  actu  est,  nudo  oculo  cerneremus.    Si  enim  haec  mensura 
prodeat  aequalis  unitati,  intelligendum  est  nos  per  instrumentum  conspicere 
obiectum  eadem  claritate,  qua  id  in  ea  ipsa  distantia  nudo  oculo  esset  appa- 
riturum;  notum  autem  est,  quo  magis  obiectum  a  nobis  removetur,  in  eadem 
ratione   eius    claritatem  naturalem  diminui;   quare,   cum  nostra  mensura  ad 
claritatem  naturalem  referatur,  quae  scilicet  in  ipso  obiecto  nudis  oculis  con- 
spicitur,  manifestum  est,   quo  magis  idem  obiectum  removemus  distantiam  a 
augendo,  eo  magis  claritatem  naturalem  diminui,  ac  turn  nostra  mensura  tan- 
turn  indicat,  quoties  claritas  per  microscopium  visa  minor  sit  naturali,  atque 
ex  hoc  clare  perspicitur   claritatem  visam  maxime  diminui,  si  distantiam  ob- 
iecti a  nimis  magnam  accipiamus,   ita   ut  pro  usu  microscopiorum  vix  con- 
sultum   sit   distantiam   obiecti   ultra  aliquot  digitos  extendere.     Simili  modo 
iudicium    de    multiplicatione    est    intelligendum ,    quam    hie    ad    distantiam 
h  =  8  dig.  referimus ;  quodsi  ergo  v.  c.  obiectum  distaret  16  dig.,  id  iam  nudis 
oculis  duplo  minus  appareret  quam  in  distantia   8  digitorum;   quare,   si   ob- 
iectum dicatur  100  augeri,   id  ita  est  intelligendum,   ut   obiectum  ducenties 
maius  appareat  quam  nudis  oculis  in  eadem  distantia. 

SCHOLION  2 

118.  Hinc   igitur   facile   intelligitur,    si  distantiam  obiecti  satis  magnam 
statuamus,    turn   microscopium  tandem    in    telescopium   esse   abiturum,    qui 
transitus  eo  magis  attendi  meretur,  quo  maius  discrimen  vulgo  inter  telesco- 
pia  et  microscopia  constituitur,  quae  quippe  instrumenta  ut  plane  heterogenea 
spectari  solent.     Operae   igitur  pretium  erit  eiusmodi  exemplum  subiungere, 
de  quo  dubium  erit,  utrum  ad  microscopia  an  ad  telescopia  sit  referendum. 

EXEMPLUM  3 

119.  Sit  distantia  obiecti  a  tanta,  ut  sumta  pro  SI  satis  exigua  fractione 
productum  3ta=<#   modicum  obtineat  valorem,  seu  sit   2l  =  ~~  fractio  valde 


302  LIBRI  TER/m  SECTIO  SECUNDA     §  119—120  [131—132 

parva  hincque  etiam 


His  positis  cum  sit 

N'  10 


B 


-N'       7(1+A)P-10' 
sumatur  P  ==  ~  ut  ante,  et  ne  A  penitus  negligamus,  ponamus 

(1  +  A)P  =  |     fietque     B  =  —  5; 

ac  si  forte  discrimen  inter  litteras  N  et  N'  sit  minus,  ac  ne  litteram  q 
penitus  negligamus,  sumamus  B  =  —  6,  ut  sit  23  =  y;  quoniam  igitur  loco 
litterarum  a  et  A  distantia  focalis  p  in  calculum  introducitur,  ut  sit  sive 
3ta=jp  sive  Aa=p,  erunt  reliquae  distantiae  focales 

16  ,  Qh 

$  =  —  ^P      e*     ^  =  ---  P- 
15^  ma  * 

Turn  vero  intervallmn 

prius  -Ijp,      posterius  =y^(l- 
Praeterea  vero  reperitur 


et  spatii  conspicui  semidiameter 


^         12  , 

~  " 


ideoque  angulus 


quae  fractio  per  3437  multiplicata  exprimet  angulum  q&  in  minutis  primis. 
Deinde  semidiameter  confusionis,  si  ex  vinculo  denominator  SI8  in  factorem 
communem  transferatur,  ita  se  habebit: 


_ 

9    \   63          367 


132—133]     DE  MICEOSOOPnS  COMPOSITIS  IN  QUIBUS  MJLLA  IMAGO  EBALIS       303 

quae  ad  niMlum  reducetur  sumendo 

8     ,  /5s .,       5v'\  .         \if Xrli 

~o"  P  l«3  o^T '  ===  P  * 

y        \o  ot>  / 


ubi  prima  lens  ex  vitro  coronario,  secunda  ex  crystallino  confici  debet,  tertia 
vero  etiam  ex  coronario  paretur  eritque  A"  =  1,60006  et  /u,"=[i;  turn  vero 
capiatur  A  =  1  ac  reperietur 

4(l,944  —  0,0144-  —)  =  272611 

l  '  '  9 


ma 


neglecto  scilicet  ob  parvitatem  membro  ultimo,  ex  quo  fit  rV(X  —  1)  =  0;98542; 
unde  pro  huius  lentis  constructione  erit 

anterioris     =  -  ^7 

»-»(« 


posterioris    =  --  -  -  ^  -  -  -  =  7-^  ==  1,1292  q  . 
* 


Pro  lente  vero  priore  erit 

H\ 

'  anterioris     =  —  ==  0,6024^ 
radius  faciei  \ 

*D 

posterioris    =  —  =  4,4111  p 
9 

atque  hinc  deducitur  sequens 

CONSTEUCTIO  SIVE  MICEOSCOPn  SIVE  TELESCOPE 
OMNIS  CONPUSIOOTS  E5PEETIS 

120,   Hie  distantia  obiecti  a  tanta  supponitur,  ut  prae  ea  distantia  focalis 
primae  lentis  p  vehementer  sit  parva  et  quasi  negligi  queat. 

I.  Turn  ergo  pro  prima  lente  ex  vitro  coronario  paranda  erit 

r  anterioris     =  0,6024^ 
radius  faciei  {        ... 
I  posterioris 

cuius  distantia  focalis  =jp, 
aperturae  semidiameter  #  =  0,1506  p, 
distantia  a  lente  secunda  =--. 


304  LIBBI  TEETH  SEOTIO  SEGUM)A     §  120-124  [133-134 

II.   Pro  lente  secunda  ex  vitro  crystallino  facienda  erit 

.  ranterioris     =  —  l,2721jp 

radius  faciei  {  .    .  OA/i- 

I  posterioris  =  —  1,2045^ , 

1  A 
cuius  distantia  focalis  =  —  ^p? 

eique  apertura  tribui  potest  aliquanto  maior  quam  primae, 
distantia  vero  ad  lentem  ocularem  =-^-p(l  — 


III.  Pro  lente  tertia  ex  vitro  coronario  facienda,   cuius  distantia  focalis 
est  r  = jp,  erit 

radius  faciei  utriusque   = '——-  -p, 

7/lCl 

cui  oculum  immediate  adplicari  oportet. 

IV.  Pro  spatio  conspicuo  iam  invenimus  semidiametrum 

12  , 

0  = .  ah, 

seu  angulum 


a         ISma  — 

priore   scilicet  modo  aestimatur,  si  instrumentum  ut  microscopium  spectetur, 
posteriore  vero,  si  ut  telescopium. 

V.   Quia  capere  licet 

x  _  0,1506^? 

erit 

_  0,1506  ft 

ma 

et  mensura  claritatis 

3,012   , 


si  scilicet  distantiae  in  digitis  exprimantur,  unde  patet,  quo  maius  capiatur  #, 
eo  maiorem  prodire  claritatem;  sed  meminisse  oportet  p  valde  parvum  prae 
a  esse  debere. 


134-136]     DE  MICEOSCOPHS  COMPOSITIS  IN  QUIBUS  imLLA  BIAGO  EEALIS        305 

VI.   Longitudo  denique  totius  instrumenti  erit 

5    p  —  g pf 

9  ^          ma  * 

COROLLARIUM  1 

121.  Quodsi  hoc  instrumentum  tanquam  microscopium  spectare  velimus, 
primo  quidem  distantia  a  tarn  magna  esse  debet,   ut  eius  exigua  portio  suf- 
ficiat   pro   lente   obiectiva  construenda;   turn  vero    sumi   solet   7^  =  8  dig.,    ad 
quam   distantiam  multiplicatio  m  referri   solet,   atque   ex  multiplicatione  hoc 
modo  aestimata  in  calculum  ingreditur  -—•     Sin  autem  ut  telescopium  spec- 
tare  velimus   et  distantia  a  tarn  sit  magna,   ut  etiam  valor  p  satis   magnus 
accipi   possit,    turn    sumi    solet    Ji  ==  a    nihilque    aliud    in    formulis    inventis 
mutandum  occurrit,  ita  ut  totum  discrimen  in  varia  ratione  multiplicationem 
aestimandi  consistat. 

COROLLARIUM  2 

122.  Quo  hoc   clarius   perspiciatur,   statuamus    ^  =  £,   unde   constructio 
plene  determinatur;  ac  si  instrumentum  ut  microscopium  spectetur,  aestimari 
solet  multiplicatio    m  =  — ==^,    sin   autem'  nt  telescopium1   spectetur,    turn 
dicetur   multiplicatio    esse    m  =  £    sicque    totum    discrimen    ad   diversitatem 
loquendi  revocatur. 

COROLLARIUM  3 

123.  Pro  telescopiis  mensura  claritatis  pro  lubitu  atque  adeo  usque  ad 
unitatem   seu  claritatem  plenam   augeri  potest;    tantum  enim   opus   est,   ut 
capiatur  p  =  -^^  =  ~    Vulgo  autem  contenti  esse  solemus  claritate  =  y,  ita 
ut  turn  sumi  debeat  p  =  ^~-     Pro  microscopiis  autem  tantam  claritatem  ob- 
tinere   non  licet;    quia  enim  ob  Ji  =  8  mensura  claritatis  fit  —  •  ~  et  fractio 
—  necessario  valde  est  parva,  quo  maior  multiplicatio  desideratur,  eo  minorem 
claritatem  prodire  necesse  est. 

SCHOLION 

124.  En   ergo   praeter   omnem  exspectationem  elegantem  constructionem 
telescopii,  quod  in  ratione  quacunque  obiecta  amplificat  et  cuius  constructio 
sequenti  modo  se  habebit. 

EULEBI  Opera  omnia  III 4  Dloptrica  39 


306  LIBRI  TERTII  SECTIO  SECUIsrDA     §  124-125  [136—137 

Proposita  scilicet  multiplication  m  capiatur  distantia  focalis  p  =  -^  dig., 

2 

ut  scilicet  mensura  claritatis  prodeat  =  y  • 

Constructio  telescopii  ab  omni  confusione  liberi 

I.  Pro  prima  lente  ex  vitro  coronario  facienda  erit 

f  anterioris     =  0,0803  m  dig. 
radius  faciei  {  .    . 

Iposterioris  =  0,5881m  dig., 

distantia  focalis  =  ^  dig., 

aperturae  semidiameter  $  =  0,0201  m  dig.  =  ^  dig., 

intervallum  ad  lentem  sequentem  erit  =  ~|  =  0,01481  m  dig. 

II.  Pro  lente  secunda  ex  vitro  crystalline  facienda  erit 

anterioris     =  — 0,16961m  dig. 


radius  faciei  ,  .     .  ^    n^^ 

posterioris  =  —  0,16060m  dig., 

cuius  distantia  focalis  q  =  —  0,1422  m, 

eique  apertura  tribuitur  aliquanto  maior  quam  primae, 

intervallum  ad  lentem  sequentem  =  (0,7111  m  —  0,8)  dig. 

HI.   Pro  lente  tertia,  cuius  distantia  focalis  est 

=  -  |  dig.  =  —  0,8  dig., 

si  ergo  haec  lens  ex  vitro  coronario  paretur,  erit 

radius  faciei  utriusque  =  —  0,848  dig., 

sin  autem  ex  vitro  communi,  ubi  n  =  1,55,  erit 

radius  faciei  utriusque  =  —  0?88dig., 

sin  autem  ex  vitro  crystalline,  erit 

radius  faciei  utriusque  =  —  0,928  dig. ; 

cui  oculus  immediate  adplicetur. 


137—139]     DE  MICBOSCOPnS  COMPOSITIS  IS  QUIBUS  NULLA  IMAGO  REAMS        307 
IV.   Semidiameter  campi  apparentis   erit 


48m  —  53' 
in  mensura  anguloruin  antein  erit 

-  41244  .  .  859 

<f>  _  -     -mm.     glve  proxime     -  -  min. 
48m  —  58  *  m—1 

V."  Longitude  denique  totins  huius  telescopii  erit 

=  (0,7259^  —  0,8)  dig. 

Hoc  ergo  telescopium  non  tam  ob  brevitatem  est  commendaiidum,  quam  ideo, 
quod  constructio  eius  practica  non  tantis  difficultatibus  sit  involuta  quam 
raulto  breviora,  quae  supra  sunt  inventa,  propterea  quod  littera  A'  non  nmltum 
ab  unitate  discrepat;  quae  ergo  commendatio  etiam  pro  microscopiis  huius 
generis  valet. 

EVOLUTIO  SECUNDI  CASUS  (CONF.  §  108) 
QUO  LITTEEAE  A  YALOE  NEGATIVUS  TEEBUITUK 

125.  Hoc  casu  an  littera  SI  habitura  sit  valorem  positivum  an  negativum, 
incertum  est;  at  littera  B  nunc  debet  esse  positiva?  et  cum  ob  eandem  ra- 
tionem  ut  casu  praecedente  littera  q  prae  r  —  1  ut  evanescens  spectari 
possit.  erit 

B- 


ubi  debet  esse  P<1,  sicque  multo  magis  erit  (l+^i)P<l;  ex  quo  per- 
spicuum  est  litteram  N  maiorem  esse  debere  quam  JV'.  Quare  primam  lentem 
ex  vitro  crystallino,  secundam  vero  ex  coronario  confici  oportebit,  ut  sit 
j\r:.2\r=iO:7  ideoque 


-~  10(1 

unde  necesse  est,  ut  sit  P>      i     A     simul  vero  P<1;   unde   sequitur  esse 


debere 

7  <  10(1  +  J.)     seu    1  +  A  >  —  • 

Ponamus  ergo  A  =  —  a  sumique  debet  a  <  ^  et  quidem  a  notabiliter  minus 

39* 


308  LIBRI  TEETH  SECTIO  SECUNDA     §  125  [139—140 

capi  debet  quam  -^ ,  quia  alioquin  P  nimis  parum  ab  unitate  deficere  deberet 
et  intervallum  duarum  priorum  lentium  prodiret  nimis  parvum.  Cum  autem 
a  fractio  sit  satis  exigua,  fiet  §1  =  ^-^  hincque  distantia  focalis  primae  lentis 

cc 

<$  = .  a,. 

*  l-a 

Intervallum  vero  binarum  priorum  lentium 

l 


-1)- 

quod  parti   sive  nonae   sive   decimae1)  distantiae  ^-^'a  aequetur,   quod  fit, 

Q  W   PT 

si  sumetur  P  =  y ,  ita  ut  esse  debeat  a  <  ^ ,  et  ne  tarn  ansie  huic  rationi 
7  : 10  inhaereamus,  si  sumamus  a  =  ~ ,  fiet  J5  =  ^  =  17.  Capiamus  autem 
potius  tf  =  y  fietque  J?™^  —  !!—.  Tuto  igitur  ponere  poterimus 

5  =  12?     ut  sit     $  =  — ; 
turn  vero    A  =  —  y  et  91  =  —  y  hincque  distantiae  focales 


27  ,  12    7^ 

^     et     r  =  -'; 


deinde  lentium  intervalla 


T        JL     TT  1  TT         L     TTT  27 

I  et  H=~rrfl,         II  et  111 

J 


,  a  —  ~  ---- 

56    J  14:  7     m 


Nunc  vero  ex  aequatione  fundamentali  colligemus 


~~        lOSma— 
Mnc 


unde  deducitur  spatii  conspicui  semidiameter 


1)  Editio  princeps:  septimae  sive  octavae.          Correxit  E,  Oh, 


140—141]     DE  MICROSCOPES  COMPOSITIS  IN  QTJIBUS  NULLA  IMAGO  REALIS       309 


108 


108ma  — 


sumto   scilicet    r  =  1    et    £  =  -^-  • 

Expressio  porro  pro  semidiametro  confusionis  est 


_     //    /T_    ,      i/  \ 
A*P  W  ^~  ~mi 


quae  ad  niMlum  redigatur.  Hunc  in  finem  notetur  litteras  /&  et  v  ad  yitrum 
crystallinum,  litteras  yero  p  et  v  ad  coronarium  referri;  turn  vero  capi 
poterit  X  =  1  ,  ac  si  tertia  lens  etiam  ex  vitro  coronario  fiat,  ut  sit  $'  =  /u,', 
sumi  debet  A"  =1,60006  hincque  definiri  poterit  numerus  A  hoc  modo; 


sive 

343-13-0,2196        343-1,60006      h 


192-144  216-1728 

quae  evoluta  praebet 

A  =  0,0491  +  2,5709  +  0,0401 

neglecto  termino  ultimo  seu 

A  =  2,6601, 
unde  colligitur 

'  ,  —  !)  =  1,1306. 


ft  \ 
'mar 


_g(tf  _)-  1,1806 
radius  faciei 


Hincque  pro  prima  lente  erit 

i  anterioris     = 
I  posterioris    = 

Pro  lente  secunda  autem  ex  vitro  coronario  paranda  ob  95  =  j|  et  A'  =  1  erit 

anterioris     =       ^  _  v  =      ^—  =  2,9673 q 


radius  faciei 

'  posterioris    -     .«?,„.  -  T^  =  0,6452  %, 


unde  habetur  sequens 


310  LEBRI  TEETH  SECTIO  SECUNDA     §  126-129  [141—142 

CONSTBUCTIO  MICEOSCOPIOEUM  HUIUS  SPECIEI 
PRO  QUAVIS  MULTIPLICATIONS  m 

126.   Constituta  pro  lubitu  distantia  obiecti  =  a  habebitur 

I.   Pro  prima  lente  ex  vitro  crystalline  facienda,  cuius  distantia  focalis 
est  p  =  —  y a,  erit 

„    .  .  f  anterioris     ==—0,2407 a 
radius  faciei  { 

I  posterioris   ==  —  0,1615  a, 

cuius   aperturae   semidiameter  sumi  poterit  #  =  0,0404  a,    nisi  forte   secunda 
lens  minorem  postulet. 

Intervallum  ad  lentem  secundam  =  ^  a  =  0,0178  a . 


II.  Pro  secunda  lente  ex  vitro  coronario  facienda,  cuius  distantia  focalis 

,  27  ., 

est  j  =  182  a>  eri* 

f  anterioris     =  0,4402  a 
radius  faciei  \ 

\  posterioris  =0,0957  a, 

cuius  aperturae  semidiameter  maior  esse  nequit  quam  0,0239  a;  cui  ergo  etiam 
pro  prima  lente  valor  ipsius  x  aequari  debet. 
Intervallum  vero  ad  lentern.  tertiam  erit 

27          12    h        1  QOQR         12    7^ 
T-T  a  — =  1,9285  a  — 

14  7m  7m 

III.  Pro  tertia  lente,  cuius  distantia  focalis  est 

__^    ^_        96  A*     _      13>71 


si  ex  vitro  coronario  paretur,  erit 

radius  faciei  utriusque  ==  —  ~—  dig.  , 


sin  autem  ex  vitro  communi  n  =  1,55  paretur,  erit 

radius  utriusque  faciei  —  —  —  dig.  , 


m 


142—144]     DE  MCEOSCOPnS  COMPOSITIS  IN  QUIBUS  NULLA  MAGO  REALIS        311 

at  si  ex  vitro  crystalline  paretur,  erit 

radius  utriusque  faciei  =  — - —  dig. 
IY.   Spatii  porro  in  obiecto  conspicui  erit  semidiameter 

dig. 


Y.   Cum  autem  hie  sit  x  =  0,0239  a,  erit 

Jix       0,1912  ,. 
y  =  —  === dig. 

J        ma  m          ° 

hincque  mensura  claritatis  erit 

3,824 


COEOLLAEIUM  1 

127.  Ne  ambae  lentes  priores  fiant  nimis  parvae,  distantia  obiecti  a  ne- 
cessario  modicae  magnitudinis  statui  debet;  veluti  si  nolimus,  ut  uUus  radius 
faciei  minor  sit  parte  decima  digiti,  posito  minimo  radio  0,0957  a  =  ^  fiet 
a  =  ^  seu  distantiam  a  minorem  uno  digito  capi  non  conveniet. 


COEOLLAEIUM  2 

128.  Si   ergo   sumatur   a  =  1  y  dig.,  quo  casu  primae  lentes  adhuc  com- 
mode parari  poterunt,  longitudo  totius  instrumenti  fiet  circiter  3  dig.,  et  cum 

1  3  71 

distantia  focalis  lentis  tertiae  sit  --  L-  dig.,  apparet  multiplicationem  vix 
ultra  100  extendi  posse,  quia  alioquin  haec  lens  fieret  nimis  parva;  quod 
exiguum  est  yitium. 

SCHOLION 

129.  Quodsi    ingentes  multiplications   desideremus,  onmia  haec  micro- 
scopia  isto  laborant  vitio,  quod  lens  ocularis  nimis  exigua  requiratur,  et  inter 
ea,  quae  §114  in  exemplo  2  sunt  descripta,  hac  praerogativa  gaudent,  quod 
distantia  focalis  tertiae  lentis  sit  —  —  dig.,    quae    ergo    ad   multiplicationem 


312  LIBEI  TEETH  SEOTIO  SECUNDA     §  129—130  [144—145 

m  =  400  accommodari  poterunt;  at  in  primo  exemplo,  quod  ob  nimis  magnam 
instrument!  longitudinem  reiiciendum  videbatur,  multiplicatio  multo  longius 

21fi 

augeri  potest;  cum  enim  ibi  distantia  focalis  tertiae  lentis  asset  — —  dig., 
ea  hoc  lucrum  nobis  praestat,  ut  multiplicatio  ultra  1000  possit  augeri,  ita 
ut  hoc  lucro  illud  incommodum  maxime  compensetur.  Ex  quo  colligere  licet 
ingentes  multiplicationes  huiusmodi  microscopiis  produci  non  posse,  nisi  eorum 
longitudo  valde  fiat  magna,  ad  quod  necesse  est,  ut  littera  B  valde  magnum 
obtineat  valorem,  id  quod  quidem  facillime  praestatur  in  priore  praecipue 
casu,  ubi  neglecto  q  erat 


17  1 

hinc  enim  sumto  A  =  y   et  P=-g-  prodit  B  =  —  50,  ac  si  manente  A  =  y 

no 

capiatur  P  =  ^?  orietur  5  =  — 100,  ita  ut  turn  foret  distantia  focalis  tertiae 

lentis 

20  h 160 

m  m 

ideoque  multiplicatio  longe  ultra  1000  augeri  posset.     Turn  autem  longitudo 
instrumenti  foret 


quae  quidem  facile  admitti  posset.  Verum  hie  perpendendum  est,  si  litteris  A 
et  P  isti  valores  tribuantur,  facile  fieri  posse,  ut  valor  litterae  B  revera  non 
solum  in  infinitum  usque  augeatur,  sed  etiam  positivus  evadat,  si  scilicet 
vera  ratio  numerorum  N  et  N'  tantillo  maior  faerit  quam  7 : 10.  Quamobrem 
eo  maiorem  operani  adhibeamus  in  microscopiis  duorum  reliquorum  generum 
evolvendis.  Interim  tamen  etiam  maximas  multiplicationes  sequenti  modo 
non  incongrue  producere  licebit. 

PROBLEMA  3 

130.   Microscopia  huius  generis  construere,  quae  ad  maximas  multiplicationes 
proditcendas  sint  accommodata. 

SOLUTIO 

Cum  to  turn  negotium  eo  redeat,  ut  littera  B  praegrandem  valorem  nan- 
dscatur,  id  duplici  modo  obtineri  potest,  prouti  vel  prima  lens  ex  vitro  coro* 


145— 146]     BE  MICROSCOPES  COMPOSITIS  UST  QUIBUS  NULLA  IMAGO  BEALIS        313 

nario,  secunda  vero  ex  crystalline  conficiatur  vel  vice  versa  prima  lens  ex 
crystalline,  secunda  vero  ex  coronario.  Hos  ambos  casus  seorsim  pertractasse 
operae  erit  pretium. 

CASUS  PRIOR  QUO  PRIMA  LENS  EX  VITRO  CORONARIO 
SECUNDA  VERO  EX  CRYSTALLING  PARATUR 

Cum   hoc   casu  habeatur 

-r,  10 


10' 

denominator  hie  prorsus  ad  nihilum  redigatur,  ut  valor  ipsius  B  infinitus 
evadat;  turn  enim  facile  intelligitur  praegrandein  eius  valorem  scopo  nostro 
etiam  esse  satisfacturum,  praecipue  cum  etiam  casu,  quo  vera  ratio  numero- 
rum  N  et  N*  a  ratione  assumta  7  :  10  parumper  discrepat,  valor  litterae  B 
tantum  valde  magnus  erit  proditurus.  Ponamus  igitur  P==~9  quoniam  ob 
necessarium  binarum  priorum  lentium  intervallum  hie  valor  non  commode 
minor  statui  potest;  ac  turn  esse  oportebit  J.  =  ~;  at  si  forte,  uti  probabile 
videtur,  discrimen  refractionis  non  sit  tantum  ,  uti  assumimus,  conveniet  A 
aliquanto  minus  assumi;  statuamus  ergo  A=*-^9  ut  saltern  valor  ipsius  B 
certe  valde  magnus  sit  proditurus,  ita  ut  habeamus 


hincque  erit 


1  793    ^       ,  B  h 

-—a,     q  =  --  -—a  )     et     r  =  ~  ---- 

6    '      *  40      ;  5m 


Hie  igitur  curandum  est,  ut  lens  tertia  non  fiat  nimis  parva,  etiamsi  multipli- 
catio  m  maxima  statuatur;  quare  sumamus  multiplicationem  esse  debere 
m  =  1000,  et  cum  distantia  obiecti  a  vix  -minor  uno  digito  esse  possit,  ne 
primae  lentes  fiant  nimis  exiguae,  sumamus  a  =  1  dig.,  et  cum  sufficiat  sta- 
tuisse  r  =  —  -^  dig.,  ob  h  =  8  dig.  fiet  hinc  B  === r-,  qui  valor  certe  est 


ft  Oft  /  rj  Q    \ 

1)  Editio  princeps:   g_  ==!  —  -**"&•    Quern  ob  errorem  (P  =  —  loco  -y)  ^  ^ac  e"^  *n  sequente 
paragrapho  valores  pro  g[  et  pro  quantitatibus  a  g  dependentibus  corrigendi  erant  E.  Ch. 

LEONHABDI  EULERI  Opera  omnia  III 4  Dioptrica  40 


314  LIBRE  TERTII  SECTIO  SECUNDA     §  130  [146—148 

satis  magnus.     Statuamus  igitur  porro  .5  =  —  300,  ut  sit  25  =  |j^?   eritque 

420  420  ,  480 

seu     —       "    6t    '—- 


Turn  vero  intervalla  lentium  erunt 

1  et  n    =  ^  ^ 

TT       4.    TTT  PA/"7  *     \  A05  480\   /I- 

II  et  III    =  60  (  —  ---  10  =  I  ~~-  a  --  )  dig. 
\8        ma  /          \  2  m  J      & 

Circa   spatium  in   obiecto   conspicuum   nihil  fere  in  praecedentibus   formulis 
erit  mutandum;  invenietur  enim 


lah  ,.    tv 

g*  ^ 


7ma-8h 


Pro  apertura  autem  primae  lentis  definienda  semidiametrum  confasionis 
ad  nihilum  redigamus  ope  huius  aequationis: 


.0  =  ^(216A  +  30r)  —  -i-^(0,99/—  0,0008). 
Hinc  si  sumamus  A  =  1,  erit 

0,99  A'  —  0,0008  +  4-  2,0351  =  2,3044 
adeoque 

X  =  2,3276,     ex  quo  fit     r  J/(A'  —  1)  =  1,0111  . 

Unde  huius  secundae  lentis  constructio  erit: 

Eadius  scilicet  faciei 
anterioris     -  ^-^-^-^  _  _£_  =  0,8713  s     (9,9401715) 

posterioris  =  _    _       -  •  „  1?7349  g     (0,2392759). 


Pro  prima  autem  lente  ex  vitro  coronario  ob  $t  =  ~  et  A  ==  1  erit 

0 


anterioris 
radius  faciei 


posterioris    -  -  =  2,1478^. 


1)  Sumpto  99  — 1  loco  S3=™  B.  Oh. 


148—149]     DE  MICEOSCOPHS  COMPOSITIS  IN  QDTBUS  IsTULLA  IMAGO  REAMS        315 

CASUS  POSTERIOR  QUO  PRIMA  LENS  EX  YITRO  CRYSTALLING 
SECTJNDA  EX  OORONARIO  PARATTJR 

Cum  hoc  casu  sit 


denominator  iterum  ad  nihilnm  redigatur,  et  cum  P  debeat  esse  imitate  minus, 

7  "1 

sumatur  P=-g-  eritque  A  =  —  -g-;  at  ob  rationem  supra  allegatam  sumatur 
A=  —  y,  ut  sit  21  =  —  ^-,  hincque  distantiae  focales 

1  433  ,  B    h 

!»  —  y«.       2—  5T'a     et     r  =  -y^- 

Hie  iterum  faciamus,  ut  pro  multiplicatione  m  =  1000  prodeat  cireiter 
r  =  —  —  dig.,  atque  hinc  prodibit  J5  =  375.  Sumamus  igitur  B  =  300  ut  ante 
fietque  S5  =  ^  ^t  ob  P  =  \  erit  ^  =  ^;  atque  hinc  distantiae  focales 

l  4    300  K    & 


*  5     '         *        21    301     '  m 

Intervalla  vero  lentium  erunt 


letn  --. 


atque 

net  HI 


Pro  spatio  autem  in  obiecto  conspicuo  erit 


-,. 

»       -  _  .  __  —  .  _  Ctlfif, 

4     8ma—lh        ma—  7      &"' 

quod  spatium  aliquantillo  minus  est  quam  casu  praecedente. 

Pro  apertura  denique  primae  lentis  definienda  semidiameter  confusionis 
iterum  ad  nihilum  redigatur,  quod  fit  hac  aequatione: 


'    8'216 


l/        I         V'    \ 

»  +  5s/? 


316  UBEI  TEETH  SECTIO  SECUNDA    §  180-132  [149-150 

ex  qua  sumto  A'  =  1  colligifrur 

125A  =  7,587  +  ^-  •  246,857  •  1,0107  =  290,007 
Mncque 


I  =  2,3200  adeoque    rV(A  —  1)  =  1,0082. 
Pro  prima  igitur  lente  erit 

_  anterioris  =  - — — — ^ — w/<     jS  =  7r5f^-  =  3,4942  # 
radius  faciei 

posterioris  =—1^7—4—^77—-N  =  i-J^  =  0,6955^. 


Pro  secunda  autem  lente,  cuius  distantia  focalis  est  q  et  numeri  35  =  __  et 
A'  =  l,  erit 


anterioris     =  • — =f r  =  ftftf<g  =  4,3197  a    (0,6354489) 

tf — fQ  ( d — Q)        0.2olo  x 

posterioris    =  —   «— .  =  -|-  =  0,6041  q     (9,7811232). 


radius  faciei 


Quod  ad  reliqua  momenta  attinet,  ea  in  sequentibus  constructionibus  accuratius 
definiemus. 

OONSTBUOTIO  PEIORIS  MICROSCOPII  HUIUS  GENERIS 

131.   Posita  obiecti  distantia  =  a  constructio  sequenti  modo  se  habebit: 

I.  Pro   prima  lente   ex  vitro   coronario  facienda,  cuius  distantia  focalis 
p  =  -^a,  erit 

o 

„    .      f  anterioris     =0,1173  a 
radius  faciei  { 

I  posterioris  =0,3579  a. 

Aperturae  semidiameter  sumi  poterit  #  =  0,0293  a  et  distantia  ad  lentem  se- 
cundam  =  ^  a  =  0,025  a . 

II.  Pro  secunda  lente  ex  vitro  crystalline  paranda,  cuius  distantia  focalis 

#=  ~2392al)J    6rit 

fl    .  .  f  anterioris     =  —  0,1530  a 
radius  faciei  | 


posterioris  =  —  0,3046  a. 


1)  Editio  princeps:  £  =  —  2093  *a-    "^ide  notam  p.  313.  Correxit  E.  Oh, 


150-151]     DE  MCEOSOOPnS  COMPOSITIS  IN  QUIBUS  5TULLA  IMAGO  EEALIS        317 

Eius  aperturae  semidiameter  #  =  0,0382  a;  quae  cum  sit  maior  quam  in  prima 
lente,  valor  ille  ipsius  x  valet  et  distantia  ad  lentem  ocularem 

co  i         480  ,. 
=  52  —  a dig. 

2  m       ^ 

III.  Pro  lente  oculari,  cuius  distantia  focalis  est 

480  ,. 
r  = dig., 

m       ° 

erit,  si  haec  lens  ex  vitro  coronario  paretur, 

,.        .....  508.80    ,. 

radius  faciei  utnusque   = '- — dig.7 

sin  autem  ex  vitro  crystallino  conficiatur,  erit 

radius  utriusque  faciei   = —  dig. 

120 

Eius  aperturae  semidiameter  sumi  poterit  #  =  —  dig.,  cui  lenti  oculus  imme- 
diate est  applicandus. 

IV.  Spatii  in  obiecto  conspicui  semidiameter  erit 

14  a       ,. 
g* 


7  ma—  64 

V.  Pro  claritate,  cum  sit  x  =  0,0293  a,  erit 

Jix         0,2344   ,. 

y  =  —  =  — dig. 

*       ma  m         ° 

hincque  mensura  claritatis  =  —t 

VI.  Ne  priores   lentes  nimis  fiant  parvae,   distantia   obiecti  a  vix  infra 
digitum  sumi  posse  videtur,  nisi  forte  artifex  lenticulas  adhuc  minores  exacte 
elaborare  valeat;    quo    casu  distantia  obiecti  uno  digito  minor  sicque  longi- 
tudo  instrumenti  contraM  poterit. 

CONSTEIJCTIO  MICEOSCOPn  POSTEEIOEIS  HUIUS  GENEEIS 
132.    Posita  iterum  obiecti  distantia  =a  constructio  ita  se  habebit: 

L  Pro  prima  lente  ex  vitro  crystallino  facienda,   cuius  distantia  focalis 
jj  =  — i-a,   erit 

•*•  o  * 


318  LIBEI  TEETH  SECTIO  SECUNDA     §  132-133  [151—153 

f  anterioris     =  —  0,6988  a 
radius  faciei  {        ,     .    .  ^   ^ 

(  postenons  —  —  0,1391  a. 

Eius   aperturae   semidiameter  x  =  0,0348  a,    nisi    lens    secunda   minorem 
aperturam  postulet. 

Intervallum  ad  lentem  secundam  =  42^- 

II.  Pro  lente  secunda  ex  vitro  coronario  facienda,  cuius  distantia  focalis 

est 

4     300  400 


erit 

f  anterioris     =  0,8201  a 
radius  faciei  { 

I  postenons  =  0,1147  a. 

Eius   aperturae   semidiameter    #  =  0,0286 a,     unde   etiam    prioris    lentis 
apertura  maior  accipi  non  poterit,  ita  ut  sumi  debeat  a?  =  0,0286  a. 

Distantia  ad  lentem  ocularem   =57-=-  a dig. 

7  m         ° 

III.  Pro  lente  oculari,  cuius  distantia  focalis  est  r  —  —  —  dig.,  si  ea  ex 
vitro  coronario  paretur,  radius  utriusque  faciei  esse  debet 

424  ,. 
dig., 

m       & ' 

sin  autem  ea  ex  vitro  crystallino  fiat,  erit  is 

464  ,. 

— dig. 

m       5 

Eius    aperturae  semidiameter    capi    poterit   x  =  —  dig.    huicque    lenti 
oculus  immediate  est  applicandus. 

IV.  Pro    spatio    in    obiecto    conspicuo    reperimus    eius    semidiametrum 


V.  Pro  claritate,   cum  hie  sit  a>  =  0,0286  a,   erit  y  —  °'2288    et  mensura 
claritatis  =^!!. 

m 

VI.  Cum  hoc   casu   lentes    priores   aliquanto    sint    maiores   quam   casu 
praecedente,  respectu  scilicet  distantiae  a,  hoc  casu  nihil  impedit,  quominus 
distantia  a  uno   digito  minor  capiatur,  sicque  longitude  instrument!  facile  ad 
praecedentem  revocabitur. 


153-154]     DE  MICEOSCOPHS  COMPOSITIS  IN  QUffiUS  NULLA  IMAGO  EEALIS        319 

SCHOLION 

133.  En  ergo  duas  adhuc  huiusmodi  microscopiorum  species,  quae  supra 
allatis  ideo  longe  sunt  anteferendae,  quod  etiam  ad  maximas  niultiplicationes 
accommodari  queant.  Ingens  autem  horum  instrumentorum  longitude  merito 
non  parum  incommoda  videbitur;  verum  si  artifici  succedat  binarum  lentium 
priorum  elaboratio  pro  distantia  a  =  y  dig.,  longitudo  duorum  pedum  facile 
tolerari  poterit.  Cum  autem  hie  duplici  vitro  simus  usi,  operae  quoque 
pretium  erit  investigare,  quanta  sit  futura  altera  confasio  praeter  marginem 
color atum  ex  diversa  refractione  oriunda;  quern  in  finem  spectari  debebit 
haec  aequatio  [§27]: 

1  AT     1  TV"       1 

0—  XT._Lj_lv   ,         I      IV      ,  -1 

p  ^  P2    q  ^  P*Q*V 

cuius  ultimus  terminus  manifesto  evanescit  prae  prioribus,  ita  ut  haec  con- 
ditio  postulet 

*~P        JP*"~2~* 
Cum  nunc  pro  priore  casu  sit 

N=7,    N'=W,  $  =  \a<    et     -?  =  y     et     ?  =  -^^1), 

haec   formula  fiet   6  —  -^^ 2) ;    cuius    posterior    terminus   quia  fere  priorem 
tollit,   manifestum  est  hinc  nullam  plane  confusionem  esse  metuendam. 
Pro  altero  vero  casu,  quo  est 


formula  ilia  fiet  —  50  +  -^- ,    cuius  bina  membra  inter   se  tenent  rationem 

A& 

25 : 24,  hoc  est  tantum  non  rationem  aequalitatis,  ita  ut  se  mutuo  destruere 
sint  censenda  hocque  casu  altera  confusio  adeo  penitus  quasi  evanescat,  sicque 
priori  casu  confusio  ex  hoc  fonte  oriunda  paululo  minor  erit  quam  casu 
posteriori;  quod  discrimen  tamen  nimis  exiguum  erit,  quam  ut  in  praxi  alter 
casus  alteri  anteferendus  videatur.3) 


j  Of\ 

1)  Editio  princeps:  q  =  —  0093'    "^^e  notam  p.  313.          Oorrexit  E.  Oh. 

2)  Editio  princeps:  6 — 3Q?    -    Vide  notam  p.  313.  Correxit  E.  Ch. 

3)  Editio  princeps:  sicque  posteriori  casu  confusio  ex.  hoc  fonte  oriunda  multo  adJiuc  minor 
erit  quam  casu  priori,  ita  ut  ol  hone  potissimum  causam  posterior  conditio  priori  anteferenda  videatwr. 

Correxit  E.  Oh. 


SECTIO  TERTIA. 

DE 

MICROSCOPIIS 

COMPOSITIS, 

IN  CLVIBVS  VNICA  IMAGO 

REALIS  OCCVRRIT; 

QVO  OMNIA  MICROSCOPIA  HVCVSQVE  VSITATA 

SVNT  REFERENDA. 


LHONHARDI  EULEKI  Opera  omnia  III4  Dioptrica 


CAPTJT  I 

DE  MIOROSCOPnS  SIMPLICIOETBUS  HUIUS  GENEKIS 

PRAEMONITUM 

134  Quoniam  in  hoc  zoicroscopiorum  genera  obiecta  situ  inverso  reprae- 
sentantur,  in  formulis  nostris  generalibus  ubique  loco  m  scribi  debet  —  m  ac 
praeterea  etiam  litterae  q,  r,  3,  t  etc.  omnes  negative  sumi  debent. 

PKOBLEMA  1 

135.  Microscopium  Jiuius  generis  simplieissimum,  quod  tantum  ex  dudbus 
lentibus  constet,  construere  eiusque  qualitates  describere. 

SOLUTIO 

Cum  ergo  Me  duae  tantum  lentes  occurrant  inque  earum  intervallo 
imago  realis  reperiatur,  habebit  littera  P  valorem  negativum,  qui  sit  =  —  Jc, 
ita  ut  pro  multiplicatione  habeatur  m  =  —  seu  k  =====  ~  ;  scilicet  denotante  a 
distantiam  obiecti,  a  distantiam  imaginis  post  lentem  obiectivam  et  I  distan- 
tiam  lentis  ocularis  post  imaginem  erit  quoque  &  =  —•  Turn  vero  intro- 
ducta  littera  A  =  ~  erit  distantia  focalis  primae  lentis 


et  secundae  lentis 

_  Aa  _  Ah 

q~    Jc    ~   m 
harumque  lentium  intervallum 


Aa(l  +  4- 
\    .  '     ft 


ma 

41* 


324  LIBEI  TEETH  SECTIO  TEETIA     CAPUT  I     §  135—139  [158-160 


quod  ergo  ut  sit  positiyum,  numerus  A  debet   esse  positiyus  ideoque  etiam 
§1  =  A  ,  x   erit  positiyus,  ita  ut  ambae  lentes 
erit  spatii  in  oMecto  conspicui  semidiameter 


§1  =  A  ,  x   erit  positiyus,  ita  ut  ambae  lentes  debeant  esse  conyexae.    Deinde 


ma+'h 


ubi  sumi  solet  £  =  Y>    e^   u^   caP*   Poss^   9  =  1?    lentem    ocularem  utrinque 
aeque  conyexam  statui  conyenit,  ita  ut  habeatur 

ah 


4    ma 
Pro  loco  autem  oculi  invenienms  distantiam 

•  o  =  -£-  -  -  =  a  (i  +  JL\ 

Ma    m       x\    ~  ma/ 

quoniam  hoc  casu  fit 

ob 


Quo  coguito  examinemus  aequationem  [§  23],   qua  margo  coloratus  destruitur, 
quae  postulat,   ut  sit 

'  L 

seu     0 


K  ma 


quod  cum  fieri  nequeat,  eyidens  est  marginem  coloratum  hoc  casu  tolli  non 
posse.  Quodsi  ergo  hunc  marginem  tolerare  yelimus,  consideremus  etiam 
aequationem  pro  altera  confusione  tollenda  [§  31] 


war 


I1) 


a*h  V"V2P  ^  AK1  ^  A*W  ~  If 

quae  ergo  confusio  ad  nihilum  redigi  nequit;  unde  nulla  ratio  suadet  duas 
vitri  species  adhibere;  cum  autem  lens  ocularis  debeat  esse  utrinque  aequa- 
liter  conyexa,  sumi  debebit  r=l  +  (^^)s;  deinde  pro  priori  lente  sumi 
conyenit  A  =  1,  quo  tota  confusio  minor  reddatur  hincque  definiatur  semi- 
diameter  aperturae  primae  lentis  a?;  qua  cognita  erit  y  =  —  et  mensura 


1)  Vide  notam  p.  9.          E*  Oh. 


160-161]  DE  MCEOSCOPHS  SIMPLICIOEIBUS  ETJIUS  GENERIS  325 

claritatis  =  2Qy  =  -^~--    Pro  microscopiis  quidem  sumi  solet  &  =  20.    Verum 


hie  niMl  adhuc  definiamus,   cum  sine  dubio  praestaret,   si  valor  ipsius  k  ad 
50  usque  augeri  posset,  uti  in  telescopiis  feeimus, 

COEOLLAEIUM  1 

136.  Cum   sit   91  =  A  +  I    ideoque   unitate  -minus,   manifestum  est,   quo 
magis  9t  ad  unitatem  accedat,    eo  minorem  fore   confusionem  ideoque  pro  x 
eo  maiorem  valorem  inventum  iri.    Gum  igitur  hoc  eveniat,  si  A  sit  numerus 
magnus,   hoc   casu  insuper  alterum  membrum  in  expressione  pro  confusione 
fiet  minimum. 

COEOLLAEIUM  2 

137.  Cum   igitur  A    adhuc   arbitrio    nostro    sit   permissa,    eius   valorem 
satis   magnum   assumi   conveniet.     Interim  tamen  longitude  instrumenti  pro- 
hibet,  ne  litterae  A  valorem  nimis  magnum  tribuamus;  longitudo  haec  scilicet 
est  spectanda,  quae  proxime  erit  Aa\  quocirca  ex  maxima  longitudine,  quam 
admittere  voluerimus,  littera  A  definiatur. 

COEOLLAEIUM  3 

138.  Cum  deinde  etiam  distantia   obiecti  a  arbitrio   nostro   relinquatur, 
ob    rationem    iam   allatam    non    conveniet   hanc    distantiam    nimis    magnam 
statuere,   sed  potius   praestabit  earn  tarn   parvam   assumere,   quam   circum- 
stantiae  permittunt;  videtur  autem  haec  distantia  a  vix  infra  dimidium  digi- 
tum  commode  diminui  posse. 

SCHOLION  1 

139.  Quodsi   ad   has   circumstantias   non   attendamus,    binae   lentes   pro 
lubitu   assumi   poterunt   atque   turn  adeo  earum  intervallum  definire  licebit, 
ut  datam  multiplicationem  producant;   quod  quo  clarius  reddatur,  spectemus 
ambas  distantias  focales  p  et  $  tanquam   datas  una  cum  multiplication  m. 
Cum  igitur  sit  #=—  ?  inveniemus  statim  J.==^  hincque  8t8assffliJ!?"1^'    Deinde 
cum  sit  p  =  2ta,  hinc  elicimus  distantiam  obieeti 


326  LEBEI  TEET3I  SECTIO  TEETIA     CAPUT  I     §  139-142  [161—162 

Intervallum  autem  harum  duarum  lentium  capi  debebit 

A    (.>    .     h  \  .        . 

Aa(l-\ )=JP  +  9r 

V      '    maJ       ^    »    a    i 

Turn  vero  pro  loco  oculi  erit 


et 

_^ 

^~~   4 


Denique  cum  A  sit  numerus  satis  magnus,  apertiiram  lentis  obiectivae  tantam 
assumere  licebit,  nt  sit  ems  semi  diameter 


unde  concluditur  mensura  claritatis 

-iV 
r 


unde  intelligitur  claritatem  fieri  eo   maiorem,    quo   minor   capiatur   distantia 
focalis  primae  lentis  p  et  quo  maior  capiatur  distantia  secundae  lentis  q. 

EXEMPLUM 

140.  Posita  distantia  obiecti  =  a,  quae  sive  sit  unius  digiti  sive  minor, 
arbitrio  artificis  relinquatur,  ac  ne  pro  maioribus  multiplicationibus  secunda 
lens  fiat  nimis  parva,  sumamus  A  =  40  fietque  intervallum  lentium 


ma 


turn  vero  erit  3l  =  — ,   unde  pro  apertura  lentis  obiectivae  habebimus  hanc 
aequationem: 

my?  f    /4=1*         41  v\         pk'h  \ 1_ 


ubi  alterum  membrum  manifesto  prae  priori  reiici  potest.     Sumamus  igitur 


162—164]  DE  MICROSCOPIES  SBIPLICIOEIBUS  EUIUS  GENEKIS  327 

A  =  1,   et  cum  ft  ^  +  |^  sit  proxime   =  1,    erit 

1    ~|  /  a"  fl         -,    .  rl    i  /    rl 

x  =  -=-  I/  —     hincque     w  =  -~  [/  — 
ft  r     m  *         *       fcm  r   ma 

et  mensura  claritatis 

h 


= 
km 

Quodsi  ergo  nunc,   ut  in  microscopiis  fere  fieri  solet,    sumatur   Jc  —  20,   erit 
mensura  claritatis 


m    r   ma 


ita  ut  claritas  decrescat  in  ratione  m  ,    cum  in  microscopiis  simplicibus  tan- 
tum  decreverit  in  ratione  m.     Denique  pro  loco  oculi  erit  distantia 


SCHOLION  2 

141.  Diminutio  claritatis,  quae  hoc  casu  prodiit,  parum  negotium  turbaret, 
si  modo  distantia  obiecti  a  satis  parva  caperetur;  verum  praecipuum  vitium, 
quo  haec  microscopia  laborant,  in  hoc  consistit,  quod  obiecta  insigni  margine 
colorato  cincta  sint  adparitura.     Quare   ante   omnia   erit   curandum,    ut   ista 
microscopia  ab  hoc  vitio  liberentur,  id  quod  alio  modo  praestari  nequit,  nisi 
insuper    lentem    introducendo,    ita    ut   huiusmodi   microscopia    ad   minimum 
tribus  lentibus  constare  debeant,   et  quoniam  vitri  diversitas  hie  parum  sub- 
sidii   adferre   potest,   primo  quidem  omnes  has  lentes  ex  eodem  vitro  parari 
assumamus.     Turn  vero  duos  casus   hie   examini   subiici   conveniet,   alterum, 
quo  nova  ista  lens  ante  imaginem  realem,  alterum  vero,  quo  post  earn  collo- 
catur;  quos  duos  casus  in  sequentibus  problematibus  fusius  pertractemus. 

PEOBLEMA  2 

142.  Microscojpium  compositum  ita  ex  tri~bus  lentibus  conficere,  ut  margo  colo- 
ratus  evanescat  et  lens  media  ante  imaginem  realem  cadat. 

SOLUTIO 

Hoc  ergo  casu  cum  habeantur   tres   lentes,   litterarum  P  et  Q  prior  P 
positivum  retinebit  valorem,   posterior  vero  Q  negativa  statui  debebit.     Po- 


328  LIBBI  TEBTH  SECTIO  TEBTIA     OAPUT  I     §  142  [164—165 

7.  „-    _ 

natur  igitur  Q  =  —  k,  ut  sit  multiplicatio  m  =  P&-—  ideoque  PA  —  -^-;  unde 
distantiae  focales  lentium  erunt 

AB  ST>    h 


r  Jffc  m 


Deinde  intervalla  lentium 

let  II    =Aal-,         Uet  IE     _ 


quae  ut  ambo  fiant  positiva,  primo  A(l  —  j-\  debet  esse  positivum,  deinde 
etiam  —  AB>0  sive  AB  quantitas  negativa,  ita  ut,  si  A  fuerit  numerus 
positivus,  turn  debeat  esse  P  >  1  et  B  <  0,  sin  autem  sit  A  <  0,  turn  esse 
debeat  P  <  1  et  B  >  0. 

Nunc  consideremus  spatium  in  obiecto   conspicuum,   cuius   semidiameter 
erit 


ita  ut  sit 


ubi  sumi  poterit  r==l,  si  quidem  lens  ocularis  utrinque  fiat  aequalis.  Pro  q 
autem  habetur  ista  aequatio  —  35q==(P  —  l)Jf.  Deinde  pro  loco  oculi  fiat 
distantia 


quae  ut  fiat  positiva,   necesse   est,   ut  r  sit   quantitas  positiva  ideoque  AB 
quantitas  negativa^  ut  iam  notavimus. 

Turn  autem  margo  coloratus  destruetur,  si  fuerit 


PJc 
adeoque 

7        r       ,  1        ,  .  1 

K  =  —  = ob     r  =  1     seu     q  —  —  • 

q         q  ^        Jc 

Hie  igitur  praeter  exspectationem  novus  modus  se  offert  ista  microscopia 
multo  magis  perficiendi  atque  adeo  campum  visionis  duplicandi,  id  quod  fit; 
si  litterae  q  valor  unitati  aequalis  perinde  ac  litterae  t  tribuatur,  ad  quod 


165—166] BE  MIQBOSQOPIIS  SIMPLIGIOErBUS  HUIUS  GENEEIS  329 

necesse  est,  ut  tarn  secunda  quam  tertia  lens  fiant  utrinque  aeque  convexae; 
quamobrem  ponamus  &  =  1?  ut  fiat  q  =  r  =  l  hincque 


ma  +  h  4     ma  +  h 


Turn   vero    erit   P=^;    unde,    quia    P>1,    erit   ^L>0   et  2I>0  et  8t<l 
ideoque  S<0.     Fiet  antem 


™ fm a  —  Ji\  -.  f 2  (ma  —  Ji) 

\      h      /  ma  +  li 


ob  M  =  ma,h  •  h,  ££  quo  ob  ^  numerum  praemagnum  erit  proxime 
33  = — 2  et  J?  = —  Y,  plane  ut  requiritur.  Tuto  autem  statuere  poterimus 
3$  =  —  2;  etsi  enim  tum  q  aliquanto  minor  imitate  prodeat  ideoque  margo 
coloratus  non  perfecte  tollatur,  manente  scilicet  &  =  1,  tamen  defectus  prior 
in  campo  visionis  vix  erit  sensibilis,  praecipue  pro  magnis  multiplicationibus; 
deinde  iam  saepius  annotavimus  non  opus  esse,  ut  margo  coloratus  penitus 
destruatur,  quoniam  locus  oculi,  ad  quern  refertur,  non  exiguam.  patitur 
latitudinem.  Pro  loco  oculi  vero  nunc  habebimus 

~ r(ma  +  Ji) 

Cum  igitur  nunc  sit 

SR—       2        7?—        2         p_ma        ,      , 

»  — —  2,     £  —  —  T,     ^— -j-     et     A?  — 1, 

littera  vero  A  ita  arbitrio  nostro  permittatur,  ut  tan  tum  positiva  accipi 
debeat,  distantiae  focales  lentium  ita  se  habebunt: 

=  9r  =  2Ah      r  =  ^    Ah  ^  i 

et  distantia  oculi 

^ A(ma 

ideoque  proxime 


==-  — 
"^  3m         2  r" 

L*EONHARDI  EULBRI  Opera  onmia  III 4  Dioptrica  42 


330  LEBEI  TEETH  SECTIO  TEETIA     CAPUT  I     §  142-146  [166-167 

Intervalla  autem  lentium  nunc  reperiuntur 


I  et  E     =Aa  1  — — ),         H  et  HI     =  -f- 

x          ma/  3      m 


sicque  tota  longitude 


existente  &  =  -r  -  — —r &•  - 

4     ma-f~  n 

Nihil  igitur  aliud  restat,  nisi  ut  aperturam  primae  lentis  definiamus  ex 
hac  aequatione: 


J^         v      ,       h      /X_  _  3v\    ,     27l"h\       J^ 
W  +  A%  +  A*ma\S          4  /  +  ~&A*maJ  ~  tf  ' 


nbi  notandum  est?  quia  ambae  posteriores  lentes  debent  esse  utrinque  aequa- 
liter  convexae,  fore 


et 


At  pro  A  unitatem  sumi  convenit;   turn  ergo  ob   31  =  —-  baec   aequatio   com- 
mode ita  transformabitur: 

_  3i/\ 

4  /  + 


Ponamus  nunc  brevitatis  gratia 

°79m'"=^? 


cuius  valor  unitatem  non  nisi  parum  superabit,  dummodo  pro  A  nunaerus 
modicus  assumatur.  Quare?  cum  /a  semper  sit  numerus  ab  unitate  parum 
deficiens,  ita  ut  snmi  possit  ^a^/=l?  quocirca  habebimus 


=-"         --  ; 

K  r  ma 


167—169]  BE  MICROSGOPHS  SB1PLIGIOEIBUS  HUIUS  GENERIS  331 

nbi  pro  Jc   sumi   potest   20    vel    potius   nnmerus   adhuc   maior,    quo   obiecta 
distinctius  repraesententur.     Turn  yero  erit  mensura  claritatis 


Jcma 


COEOLLAEIUM  1 

143.  Cum  adhuc  littera  A  arbitrio  nostro  sit  relicta,  earn  tantam  assumi 
conveniet,  ut  distantia  focalis  r  non  flat  nimis  exigua  etiam  pro  maximis 
multiplicationibus;  scilicet  ut  pro  multiplicatione  m  =  1000  distantia  focalis 
lentis  ocularis  non  infra  —  dig.  capi  debeat,  oportebit  sumere  A  >  94;  undo 


erit   |4  =  100  et]  «- 


COEOLLAEIUM  2 


144.  Neutiquam  vero  consultum  erit  litterae  A  multo  maiorem  valorem 
tribuere,  quia  turn  longitudo  instrumenti  nimium  excresceret;    si  enim  posito 
A  =  100  distantia  obiecti  a  unius  tantum  digiti  sumeretur,  longitudo  instru- 
menti octo  pedes  esset  superatura;  quare  si  velimus  statuere  J.  =  100,  necesse 
erit,   ut  distantia  obiecti  a  ad  dimidium  digitum  vel  etiam  ~  dig.  reducatur. 

COKOLLAEIUM  3 

145.  At  si  distantia  a  =  ^-  dig.  nimis   parva  videatur,   praestabit  utique 
assumere    A  =  50,    quo    casu    lens    ocularis,    etiamsi    millies    multiplicemus, 
tamen  vix  infra  -j~  dig,  sit  reducenda,  quae  magnitude  in  praxi  facile  admitti 
potest,  cum  talis  lens  aperfcuram  adhuc  patiatur  pupilla  maiorem. 

COEOLLAEIUM  4 

146.  At  si  tantum  sumatur  A  =  50,   turn   erit  31  =  55,   ita   ut  distantia 
focalis  lentis  obiectivae  p  tantillo  minor  accipi  debeat  quam  distantia  obiecti 
a,    quam    pro   circumstantiis   commode    =y  dig.   sumere   licebit.     Praeterea 
vero  valor  litterae  ^i  multo  propius  ad  unitatem  revocabitur,   dum  bina  po- 
steriora  membra  huius  litterae  plane  pro  evanescentibus  haberi  poterunt. 

42* 


332  LIBEI  TEETH  SECTIO  TEETIA     CAPUT  I     §  147-148  [169—170 

SCHOLION  1 

147.  Haec  microscopiorum  species  pleraque  instrument^  quae  hodie  sub 
titulo  microscopiorum  compositorum  circumferuntur,  in  se  complectitur,  quae 
igitur  pro  eo  melioribus  sunt  habenda,  quo  minus  a  constructione  hie  prae- 
scripta  discrepant.  Praecipua  autem  proprietas  in  hoc  consistit,  quod  di- 
stantia focalis  lentis  mediae  triplo  maior  sit  quam  lentis  ocularis  haeque 
lentes  ita  disponantur,  ut  imago  realis  media  interiaceat  inter  binas  lentes 
oculares,  sive,  quod  eodem  redit,  ut  intervallum  harum  duarum  lentium 
duplo  maius  sit  quam  distantia  focalis  postremae  lentis.  Quo  igitur  construc- 
tionem  horum  microscopiorum  clarius  ob  oculos  ponamus.,  primo  considere- 
mus  lentem  obiectivam,  quae  tantum  a  distantia  obiecti  a,  quam  pro  lubitu 
assumere  licet,  pendet,  cuius  constructio,  si  ex  vitro  communi,  pro  quo  est 
^  =  1,55,  paretur,  ita  se  habet: 

Constructio  lentis  obiectivae  pro  data  distantia  obiecti  a 
ex  vitro  communi  parandae 

===== p 

Radius  faciei 


posterioris  =        J^(  _  -^  =      p      =  0,6255^; 


unde  deducitur  sequens 

CONSTRUCTIO  HUITJSMODI  MICROSCOPIORUM 

EX  TRIBUS  LENTIBUS  COMPOSITORUM 

PRO  QUAVIS  MULTIPLICATIONE 

148.  Singulae  hae  lentes  ex  vitro  communi,  cuius  refractio  est  ^==1,55, 
parentur  et  posita  obiecti  distantia  =  a,  quam  commode  =  ~~  dig.  assumere 
licebit,  erit: 

I  Pro  lente  prima,  cuius  distantia  focalis  est  p  =  —a,  sumatur 

„    .  ,  f  anterioris    ==4,4668  a 
radius  faciei  { 

I  posterioris  =  0,6130  a, 


eius  aperturae  semidiameter  statuatur  x  =  -°f98Qa 

yma 

et  distantia  ad  lentem  secundam   =  50  a  —  —  dig. 


170—172] 


DE  MIOEOSCOPnS  SBIPLICIOEEBUS  HU1US  GE1STERIS 


333 


800 


II.   Pro  secunda  lente,  cuius  distantia  focalis  est   q  =  —  dig.,  sumatur 


880 


radius  utriusque  faciei  =  —  dig., 


aperturae  semidiameter 


200 

m 


dig. 


533 


et  distantia  ad  lantern  tertiam  =  —  dig. 

tn,          <— ' 


III.    Pro  lente  tertia,  cuius  distantia  focalis  r 


267 


dig.,  erit 


293 


et  distantia  ad  oculum 


radius  faciei  utriusque    =  — dig., 

dig. 
dig. 


eius  aperturae  semidiameter  =  —  dig. 

133 
m 


IV.    Spatii  in  obiecto  conspicui  semidiameter  erit  g  = 


dig. 


et  instrumenti  longitudo  =  50  a 


atque  mensura  claritatis 


267 


dig. 


16 


m  y  ma 


Notari  Me  meretur  primam  lentem  tantum  a  distantia  obiecti  a  pendere 
eamque  pro  omni  multiplicatione  retineri  posse,  duas  vero  posteriores  lentes 
tantum  a  multiplicatione  pendere  easdemque  pro  omni  distantia  obiecti  a 
locum  habere  posse;  unde  tantum  pro  variis  aliquot  multiplicationis  gradibus 
praecipuis  duas  has  lentes  construi  conveniet,  veluti  tabella  subiuncta  indicabit- 


Distantia  focalis 


Distantia 


m 

lentis  IT 

lentis  III 

H  et  IE 

oculi 

50 

16  dig. 

5,33  dig. 

10,67  dig. 

2,67  dig. 

100 

8 

2,67 

5,33 

1,33 

200 

4 

1,33 

2,67 

0,67 

300 

2,66 

0,89 

1,77 

0,44 

400 

2 

0,67 

1,33 

0,33 

500 

1,60 

0,53 

1,07 

0,27 

600 

1,33 

0,44 

0,88 

0,22 

800 

1 

0,33 

0,67 

0,17 

1000 

0,8 

0,27  , 

0,53 

0,13 

334  LIBEI  TEETH  SECTIO  TEETIA     CAPUT  I     §  148-149  [172—173 

Interim  tamen  deinceps  ostendemus,  quemadmodum  etiam  iisdem  ternis 
lentibus  retentis  microscopia  ad  omnes  multiplicationes  accommodata  construi 
possint. 

SCHOLION  2 

149.  Formulae,  ex  quibus  hanc  microscopiorum  constructionem  de- 
duximus,  ita  sunt  generates,  ut  etiam  ad  telescopia  accomrnodaii  queant.  Cum 
enim  turn  sit  a  =  c*  et  §t#  distantiam  focalem  lentis  obiectivae  denotet, 
evidens  est  statui  debere  91  =  0  ideoque  etiam  A  =  0,  ita  tamen,  ut  sit 
tyia  =  p',  quare  ob  li  =  a  erunt  distantiae  focales  duarum  reliquarum  lentium 

35 p       ,  Bp  Bp 

g  =  _  —     et     r--^--— , 

sive  ob 

33  =  —  2     et    J5  =  —  y 

erit 

,    %P  2j?       1 

lentium  porro  intervalla 

I  et  II    — jp  (l  —  — ),  n  et  III    =  4^~  =  2r 

^  \          m/  3m 

et  distantia  oculi 


_ 
•~      3m2 

unde  longitudo  telescopii  tota 


Turn  vero  semidiameter  campi  visionis 


a  4    m  +  1 

Denique  pro  apertura  determinanda  habebitur 

x  =  "T"  v —     hincque    y  =  ™~  I/— 


w 
et  mensura  claritatis 


"km 


173—175]  BE  MICEOSCOPnS  SIMPLICIORIBTJS  HTJIUS  GENERIS  335 

Praeterea  vero  Me  notasse  iuvabit  prirao  semidiametmm  imagiois  realis;  quae 
cum  in  genere  sit  =*ABz  [§11],  erit  ea  = —  Trw^PlT'  q110^  ^nim  in  hoc 
loco  diapkragma  inseratur,  eins  foramen  Mnc  determinari  debet;  deinde  cum 
sit  semidiameter  penicillorum  radiosorum  in  oculum  ingredientium 


—  7 

u        Km 

quoniam  in  loco  oculi  operculum  statui  solet  foraminulo  pertusum,  eius  semi- 
diameter  hinc  determinabitur.  NiMl  autem  impedit,  quominus  hoc  forami- 
nulum  maius  statuatur.  Cum  vero  in  telescopiis  detur  x  =  my,  erit 

p  =  JcmyYm. 

Hinc  igitur,  si  vitro  com  muni  utamur,  cuius  refractio  est  n  =  1?55,  sequens 
nascitur 

Constructio  telescopii  astronomici  tribus  lentibus  instrucia 

I.    Pro   prim  a.   lente   obiectiva,    cuius   distantia   focalis   est  p  =  kmyym 
ideoque  datur,  erit 

anterioris    =  —  0,6145  jp 

radius  faciei  - 

posterioris  = 

eius  aperturae  semidiameter  x  =  my 


et  distantia  ad  lentem  secundam  =  p  (l  —  — )  • 

II.  Pro  secunda  lente,  cuius  distantia  focalis  est  q  =  — ,  erit 

,.         ,  .  />    .  .        11         HP 

radius  utriusque  taciei  =  77;9r  =  ~E — > 
*  10  om 

eius  aperturae  semidiameter  =  -^  q 

et  distantia  ad  lentem  ocularem  =3^  =  -3-2  =  2r. 

III.  Pro  lente  oculari,  cuius  distantia  focalis  est  ^==3~  =  y!?>  erit 

radius  utriusque  faciei   =  —  r  =  -j^-  =  —  g', 

eius  aperturae  semidiameter  =  —  r 
et  distantia  ad  oculum  =^-ti-r. 


336  LIBEI  TEETH  SECTIO  TEETIA     CAPUT  I     §  149-151  [175-176 

IV.    Longitudo  ergo  hums  telescopii  erit 

3^V 


.      , 
mmiit. 


et  campi  apparentis  semidiameter 

-12  1718 

c£>  =  ---  =  - 

4    m  +  1       m  +  1 


V.    Si  in  loco  imaginis  realis,  quae  in  medio  puncto  inter  binas  poste- 
riores  lentes  existit,  diapkragma  constitui  debeat,  ems  semidiameter  esse  oportet 


P 


PKOBLEMA  3 

150.  Datis  tribus  lentilus  convexis,  quarum  tertiae  distantia  focalis  triple  sit 
minor  quam  secundae,  ex  Us  microscopium  cowvponere,  quod  ad  omnes  multiplica,- 
tiones  prodmendas  sit  wptum. 

SOLUTIO 

Sit  primae  lentis,  quae  locum  obiectivae  occupat,  distantia  focalis  =p, 
secundae  lentis  =  q  et  tertiae  lentis  =r  =  ~q;  quae  omnes  tres  distantiae 
sint  positivae  et  datae  una  cum  multiplicatione  =m;  quare,  si  formulas  in 
superiore  problemate  inventas  contemplemur,  ex  birds  posterioribus  lentibus 
statim  colligimus 

A  =  ^~     ideoque     SI  =  — "r^r  • 

Porro  ex  prima  lente  innotescet  distantia  obiecti 

n  ^_ ;pM_|^ 


mq        •*  \        mq/ 

Hinc  nostrae  lentes  sequentia  inter  se  intervalla  tenere  debebunt: 

T  PI  TT     —  Qg 
i  et  n    - 

II  et  III 


176—177]  BE  MICROSCOPES  SIMPLICIORIBUS  HUIUS  GENERIS  337 

Deinde  ut  hae  lentes  tarn  eundem  canapum  producant,  quein  supra  assignavimus, 
quam  etiam  eandem  claritatemy  circa  has  tres  lentes  datas  insuper  requiritur: 

I.  Tit  lens  prima  propemodum  sit  piano  -convexa  eiusque  facies  plana 
obiecto  obvertatur,  vel  adhuc  magis  praestabit,  si  radius  anterior  sexies  vel 
septies  circiter  maior  sit  quam  posterior, 

n.  TJt  binae  reliquae  lentes  utrinque  sint  aequaliter  eonvexae. 
Turn  vero  spatii  in  obiecto  conspicui  semidiameter  erit 

_    h  mq  +  2h 

~ 


~2m  '  (mq 

pro  quo  requiritur,  ut  oculi  a  lente  oculari  distantia  sit 

1 

=~rr  proxime. 
r 


7  - 
(mg 

Praeterea  vero  pro  apertura  lentis  obiectiyae  eius  semidiameter  reperitur 

9  lV 

~kY7. 


x-- 


ubi  notetur,   quo  magis  Jc  numerum  20  superare  accipiatur,   eo  minorem  fore 
confusionem,  atque  sic  inyento  x  mensura  claritatis  erit 


ma 


-x 


Pro   diaphragmate   in  loco  imaginis   realis  constituendo  erit  radius  foraminis 


_ 

2       (mq+Ztyp  +  Tiq 


COEOLLAEIUM  1 

151.  Quod  primo  ad  distantiam  obiecti  attinet,  ea  semper  erit  aliquanto 
maior  quam  distantia  focalis  lentis  obiectivae  idque  eo  magis,  quo  minor 
fuerit  multiplicatio.  Sin  autem  multiplicatio  adeo  fiat  infinita,  sumi  debebit 
haec  distantia  a=$>. 

LEONHARDI  EULBRI  Opera  omnia  HI*  Dioptrica  43 


338  LIBEE  TERTII  SEOTIO  TEETIA     CAPUT  I     §  152—154  [177—179 

COEOLLAEIUM  2 

152.  Intervallum.  vero  lentium  primae  et  secnndae  potissimum  a  multi- 
plicatione  m  pendet,  ita  ut  pro  multiplicatione  infinita  hoc  intervallum  adeo 
infinituni    sit   capiendum.     JSTe    igitur    pro   maioribus    multiplicationibus   hoc 
intervallum  nimis  prodeat  magnum,  hoc  incomrnodum  evitabitur,  si  quantitates 
p   et   #   tarn   parvae  accipiantur,    quam  circumstantiae  in  praxi  observandae 
permittunt. 

COEOLLARIUM  3 

153.  Cum  loco  x  valore  substitute  sit  mensura  claritatis 


intelligimus  claritatem  eo  fore  maiorem,  quo  minor  fuerit  distantia  focalis  p] 
quam  tamen  tantam  esse  convenit,  ut  distantia  obiecti  a,  quae  ipsi  proxime 
est  aequalis,  non  fiat  nimis  exigua;  praeterea  vero  etiam  claritas  proportio- 
nalis  est  isti  formulae: 

\mcj[  +  2hJ  ' 
quae  circumstantia  suadet  pro  q  valorem  non  nimis  exiguum. 

EXBMPLUM 

154.    Surnamus  tres  lentes  datas  ita  esse  comparatas,  ut  sit: 

1.  Lentis  primae  distantia  focalis  p  —  y  dig.  eaque  propemodum  plano- 
convexa  eiusque  facies  planior  obiecto  obvertatur.    Sic  enim  distantia  obiecti 
non  nimis  parva  erit  censenda. 

2.  Secnndae  autem  lentis,  quae  utrinque  sit  aequaliter  convexa,  distantia 
focalis  sit  2  =  1  dig.,  ut  aperturam  admittat,  cuius  semidiameter  x  =  •—  dig. 

3.  Tertiae  vero   lentis   ocularis  itidem  utrinque  aequaliter  convexae  sit 
distantia  focalis  r  =  ydig.,  ut  aperturam  admittat,  cuius  semidiameter  =^-  dig. 
sive  diameter  »  y  dig. 

His  igitur  datis  momenta  constructionis  ita  sunt  comparata,  ut  quaedam 
neutiquam  a  multiplicatione  pendeant,  reliqua  vero  pro  qualibet  multiplicatione 
seorsim  definiri  debeant.  Prioris  generis  sunt: 


179—180]  DE  MICROSCOPES  SBEPLICIOEIBUS  HUTUS  GENESIS  339 

1.  Distantia  tertiae  lentis   a   secunda,    qnae   constanter   erit  -y  dig.  pro 
oculis   scilicet   valentibus,    ita  nt  lens  ocularis  ab  imagine  reali  distet  inter- 
vallo  =  y  dig.,  scilicet  suae  distantiae  focali  aequali    In  gratiam  autem  my- 
opum  et  presbytarum  conveniet  hoc  intervallum  mutabile  reddi  ope  cochleae, 
qua  lens  ocnlaris  circiter  parte  quadragesima  digiti  vel  propins  admoveri  vel 
longius  removeri  possit. 

2.  Distantia    oculi    a    lente    oculari    itidem    censeri    potest    constanter 
=  —r  =  y  dig.;    etiamsi   enim  revera   ea  paiilisper  a  mnltiplicatione  pendeat 
et  aliquantillo  maior  esse  debeat,  tamen  locus  oculi  tantae  praecisionis  non 
est  capax. 

Momenta  autem  pro  varia  multiplicatione  variabilia  sunt  sequential 

1.    Distantia  obiecti  a  lente  obiectiva,  quae  hoc  casu  erit 


sumto  scilicet  7^  =  8  dig.,  ita  ut  haec  distantia  semper  superet  y  dig. 

2.  Maxime  autem  a  multiplicatione   pendet  intervallum  lentium  primae 
et  secundae;    quod  si  indicetur  littera  L,  erit  i  =  J|  dig.,   ita  ut  pro  multi- 
plicatione m  =  320   L   tantum  fiat   decem   digitorum   et,    si   ad   duos    pedes 
augeatur,  iam  multiplication!  m  =  768  inserviat,  ad  quam  mutationem  produ- 
cendam  evidens  est  tubo  ductitio  esse  opus. 

3.  Inprimis   quoque    a   multiplicatione    pendet    apertura    primae   lentis, 
cuius  semidiameter  erit 

=    1  -i3/      2         T. 
X~  20  r  w  +  16      g*? 

ubi   sumsimus   ft  =  20.     Perspicuum  autem  est,  si  valorem  ipsius  #  minorem 
statuamus,  confusionem  in  ratione  triplicata  diminutum  iri. 

4    Quodsi  in  loco  imaginis  realis  seu  in  distantia  =  y  dig.  post  lentem 
mediam  diaphragma  velimus  collocare,   eius  foramirtis  apertura  esse   debebit 

=  T"  *  *.  _L  *Z  ^8-  5 


quare,  si  rnultiplicatio  sit  valde  magna,  haec  semidiameter  erit  y  dig.  eiusque 
ergo  diameter  ==  y  dig.,  quae  mensura  etiam  minoribus  multiplicationibus 
inservire  potest,  ita  ut  diaphragma  mutare  non  sit  opus. 


340  LIBEI  TERTH  SECTIO  TERTIA     CAPUT  I    §  154—156  [181—182 

5.    Quod  ad  foraminulum  atfcinet,  cui  oculus  est  adplicandus,  si  necesse 
videatur  eius  semidiametrum  ipsi  y  aequalem  statuere,  reperietur  ea  = 


quae  ergo  pro  casu  m  =  112  prodiret  =gjQ  dig.  Quoniam  vero  tantillum  fora- 
minulum quasi  sensus  effiigeret,  sufficiet  praecepisse  hoc  foramirmlum  quam 
minimum  fieri. 

Hoc  autem  microscopio  constructo,    quemadmodum   Me   est   description, 
eius  ope  in  obiecto  spatiolum  conspicietur,  cuius  semidiameter  erit 

_  4    w  +  16  ,. 
0~  ~m'  m+B2      %'' 

quae  ergo  pro  maioribus  multiplicationibus  erit  z  =  -^-  dig.  ,  quod  spatium 
certe  satis  est  notabile.  Demque  vero  mensura  claritatis,  qua  obiecta  cer- 
nentur,  erit 

320^  16      -is        2 


-is/ 
r 


cuius  quadrato  proprie  loquendo  ipsa  claritas  censenda  est  proportionalis. 
Quodsi  ergo  obiectum  a  sole  collustretur  et  nos  multiplicationem  eo  usque 
augere  velimus,  ut  ipsa  claritas  centies  millies  adeo  fiat  minor  (quandoquidem 
turn  adhuc  duplo  maior  erit,  quam  si  obiectum  a  plena  luna  illustraretur), 
hoc  eveniet  pro  multiplicatione  m  =  700;  quae  multiplicatio  tanta  est,  ut  vix 
unquam  maior  desideretur. 

PROBLEM!  4 

155.  Microscopwm  compositum  ita  ex  tribus  lentibus  conficere,  ut  margo  colo- 
ratus  evanescat  et  lens  media  post  imaginem  realem  cadat. 

SOLUTIO 

Hoc  ergo  casu  cum  tres  habeantur  lentes,  litterarum  P  et  Q  prior  P 
negativum  habebit  valorem  posteriore  Q  manente  positiva.  Sit  igitur 
P  =====  —  /£,  ut  sit  multiplicatio 

7  r\     h  i  s\        mctt 

w)  --        if  i  I     __„        con         lc  f  i      -.—  • 

ft (/  —i-  j\]\eJ*  OUUL          tv  1<tf  — r —  . 

a  h 

unde  distantiae  focales  lentium  erunt 

^       ABh 

'  m 


182—183]  BE  MECEOSOOPnS  SIMPLICIOEIBUS  HUIUS  GENERIS  341 

et  lentium  intervalla 


unde  patet  esse  debere  A>0  ideoque  etiam  §1  >  0  et  31  <  1,  turn  vero 
etiam  B(Q—l}  >  0,  ita  ut,  si  B  sit  >0?  turn  esse  delbeat  Q>1,  sin  autem 
B  <  0,  torn  Q<1. 

Nune  consideretur  spatium  conspicuum,  cuius  semidiameter  est 


ma 
ita  ut  posito 


fiat 


ubi  sumi  potest  r  =  l,  siquidem  lens  ocularis  sit  utrinque  aequalis  et  q  uni- 
tatem  non  superet,  sive  negative  sive  positive.  Pro  q  autem  hab^ebitur  haec 
aequatio: 


Deinde  pro  loco  oculi  fiet  distantia 

rr 


0 


Ma  '  m 


quae  ut  sit  positiva,  debet  esse  r  >  0  seu  AB  <  0  adeoque  B  negativum  et 
Q<I.     Hinc  igitur  pro  margine  colorato  tollendo  habebitur  ista  aequatio: 


v-p-i 

unde  colligitiir  q  = g-;   quare,  cum  sit  Q  <  1,  prodiret  q  non  solum  nega- 

tivum,  sed  etiam  imitate  maius;  quod  cum  sit  absurdum,  evidens  est  hoc 
casu  marginem  coloratum  tolli  plane  non  posse;  neque  ergo  opus  est,  ut 
hunc  casum  ulterius  prosequamur. 

SCHOLION 

156.   Hoc  igitur  casu  reiecto  istud  caput,  in  quo  simpliciora  huius  generis 
microscopia  sumus  contemplati,  finiemus  et,  quemadmodum  haec  microscopia 


342  LISRI  TEE/TIT  SECTIO  TERTIA     CAPUT  I     §  156  [183—184 

ad  maiorem  perfectionis  gradum  eveM  queant,  indagabimus;  praecipuum 
autem  incommodum,  quo  haec  microscopia  etiamnum  laborant,  in  hoc  con- 
sistit,  quod  pro  maioribus  multiplicationibus  claritas  nimis  flat  exigua,  cuius 
rei  ratio  manifesto  sita  est  in  parvitate  aperturae  x,  quae  autem  maiorem 
valorem  accipere  non  potest,  nisi  ipsa  expressio  pro  semidiametro  confusionis 
inventa  minorem  valorem  adipiscatur;  id  quod  duplici  modo  obtinere  pote- 
rimus,  priore  scilicet,  dum  loco  lentis  obiectivae  simplicis  duae  vel  tres  vel 
etiam  quatuor  lentes  convexae  substituuntur;  quippe  quo  modo  id  lucramur, 
ut  hae  lentes  maiores  distantias  focales  consequantur  quam  lens  simplex 
atque  etiam  maiorem  aperturam  adipiscantur.  Deinde  vero,  si  etiam  lentibus 
concavis  uti  velimus,  expressio  iLa  pro  semidiametro  confusionis  adeo  ad 
niHlum  redigi  poterit,  ita  ut  aperturae  primae  lentis  alii  limites  non  prae- 
scribantur,  nisi  quos  ipsa  lentis  figura  postulat.  Deinde  vero?  etiam  si  diversas 
vitri  species  adhibeamus,  adeo  effici  potent,  ut  etiam  altera  confusio  a 
diversa  refractione  oriunda  penitus  tollatur;  in  quo  etsi  summus  perfectionis 
gradus  consistere  videtur,  tamen  id  adhuc  incommodi  se  immiscet,  quod 
lentes  illae  loco  obiectivae  snbstituendae  multo  fiant  minores;  quod  cum 
priore  modo  secus  eveniat,  utique  operae  erit  pretium  hos  ambos  modos 
percurrere.  Denique  vero,  etsi  campus  visionis  hie  est  satis  notabilis,  tamen, 
ut  argumentum  hoc  plene  absolvamus,  etiam  monstrabimus,  quomodo  hunc 
campum  adhuc  magis  atque  adeo  ad  lubitum  amplificari  conveniat. 


CAJPUT  II 

DE  ULTEEIOEI  HOEUM  MICEOSCOPIOETJM  PEEFECTIONE 

BUM  nS  MAIOE  CLAEITATIS  GEADUS 

DUAS  PLUEESYE  LENTES  CONVEXAS 

LOCO  OBIECTIVAE  STJBSTITUENDO  OOMPAEATUE 

PEOBLEMA  1 

157.  Loco  lentis  oHectivae  eiusmodi  duas  lentes  convexas  proxime  sibi  iunctas 
substituere,  ut  fiinis  reliquis  lentibus  secundum  praecepta  in  superiore  capite  data 
constitutis  maior  claritatis  gradus  obtineatur. 

SOLUTIO 

Cum  He  quatuor  lentes  sint  considerandae,  quarum  binae  priores  minimo 
intervallo  sint  seiunctae,  tertia  vero  ante  imaginem  realem  cadat,  littera  P 
minirae  ab  unitate  discrepabit,  Q  vero  adhuc  erit  positiva,  tertia  vero  E 
negativa;  quam  ob  cansam  statuamus  jB  =  —  k,  unde  distantiae  focales  liarum 
lentium  erunt 

,  ASCa 

et     « 


Cum  vero  sit 
erit 

Intervalla  autem  lentium  erunt 


— 
m 


344  LIBEI  TEETH  SECTIO  TEBTIA     CAPUT  H    §  157  [186—187 


let  II 
Iletm    =_-fll_-i, 


Cum  autem  onmes  lentes  sint  convexae,  erit 

1.  S>0,     2.  —  ^23>0,     3.  ^LB(£>0     et    4. 
ideoqne  etiam 

—  >0     sen     1+C>0. 

Eatione  intervallorum  autem  tenendum  est,  quia  primum  debet  esse  mini- 
mum, litteram  P  parum  ab  unitate  discrepare,  ita  ut,  si  hoc  intervallum 
ponatur  =ija,  .  futurum  sit  P==  ^  existente  rj  fractione  satis  parva. 
Deiade  debet  esse  —  AB(Q  —  l]  >0  et  ABC>0. 

Consideremus  mine  spatium  in  obiecto  conspicuum,  cuius  semidiameter  est 

b' 

ubi  q  tarn  erit  parvnm,  ut  reiici  possit;  deinde  vero  tarn  r  quam  §  unitati 
aequales  sumi  poterunt,  siquidem  binae  postremae  lentes  utrinque  aequaliter 
convexae  conficiantur.  Hoc  enim  modo  maxinms  campus  visionis  obtinebitur? 
uti  in  capite  praecedente  est  ostensum.  Ponamus  igitur 


fietque 

unde  pro  loco  oculi  habebitur 


0—    s      h 

\S    •—•—     --  .-       •  y 

Ma    m 


quae,  ut  iam  assumsimus,  est  positiva.    Ex  quo  pro  tollendo  margine  colorato 
reperitur  haec  aequatio 

Q_  1_     I 

P 
cum  autem  sit 

q  =  0     et    r  =  g  =  l     et     B 
habebitur 

0  =  1  —  T-     seu     Jc  ==  1 


187—188]          DE  ULTEEIORI  HOBUM  MICEOSCOPIOfiUM  PERFECTIONE  345 


ut  ante,  ita  ut  iam  sit  P$  =  ^p?  et  quia  proxime  P=17  fiet  proxime 
Q  =  ^  sive  pro  maioribus  multiplicationibus  erit  Q  valde  magnum.  His 
notatis  aequationes  fundamentales  enint 


2.  _gr_(p0_i;,jf_qj 


quarum  prior  non  amplius  in  computum  venit,  quoniam  tam  q  quam  P—  1 
sunt  valde  parva;  altera  vero  dat 


unde  pro  maioribus  multiplicationibus  concluditur 

C-  —  2     et     (7-  —  4» 

o 

quibus  valoribus  tuto  uti  licebit;  etiamsi  enim  vel  campus  visionis  parumper 
diminueretur  yel  etiam  margo  coloratus  non  perfecte  tolleretur,  id  neutiquam 
turbare  debet.  Quare?  cum  hactenus  invenerimus 


et 
prodeunt  distantiae  focales 


4-          « 

.-     et     S-_T 

ita   ut   sit   s  =  ~r,    et  nunc  apparet  AB  esse  debere  negativum.     Intervalla 
autem  ita  exprimentur: 

/          1  \  A. 

Primum  =  Ad  (  1  —  -p-  )  =  rja     existente     P  =   ._    , 

,  AS     A         i\ 

secundum  =  --  p--al  1  —  ~y  L 

quod  ob  J.jB<0  per  se  fit  positivum, 


tertium  =  —  ^-AB<  —  =  25 

3  m 


atque  distantia  oculi 


0  =  4~  .  -  =  ^^«        _      s  proxime. 
Ma     m  2ma  2       r 


LEONHARDI  EULERI  Opeia  omnia  HI  4  Dioptrics 


346  LEBBI  TEETH  SECTIO  TERTIA     CAPUT  H     §  157 [188-190 

Tandem  superest  consideranda  aequatio  pro  apertura  x  determinanda,  quae  est 


1 


Statuatur  brevitatis  gratia 


ut  sit 

_  j.  f/  a2/^    =  a  -is/ 
^        J  V    mA        h  V 


quae  expressio  ut  eo  maior  prodeat  quam  casu  praecedente,  efficiendum  est, 
ut  valor  A,  quantum  fieri  potest,  infra  unitatem  deprimatur,  ad  quod  primo 
littera  A  =  A/=1  capiatur;  pro  duabus  posterioribus  autem  lentibus,  quia 
utrinque  aequaliter  convexae  esse  debent,  litterae  X'  et  X"  ita  iam  defi- 
niuntur,  ut  sit 


tantum  igitur  restant  definiendae  litterae  A  et  B,  quia  propemodum  est 
P=l.  At  circa  litteras  A  et  J?  iam  praescribitur  esse  1.  21  >0  et 
2.  AB<0  pariter  ac  ^§B<0,  ita  ut  sit  -J>0  seu  1  +  J?>0.  Quamobrem 
omnia  ilia  membra  pro  A  erunt  positiva,  ita  ut  eius  valor  ad  nihilum  redigi 
nequeat,  sed  tantum  ad  minimum  sit  revocandus.  Pro  primo  quidem  termino 
is  eo  minor  reddetur,  quo  maior  capiatur  SI;  quia  autem  turn  A  fit  nega- 
tivum,  littera  B  fiet  positiva  ideoque  23<1;  ex  quo  secundum  membrum 
solum  iterum  fit  maius  unitate.  Simili  modo,  si  SB  statuatur  numerus 
magnus,  fiet  B  negativum  et  A  capi  debebit  positivum;  unde  21  fiet  unitate 
minus,  ita  ut  nunc  primus  terminus  solus  unitatem  sit  superaturus.  Deinde 
vero  etiam  inprimis  cavendum  est,  ne  productum  illud  negativum  AB  fiat 
nimis  parvum,  quondam  alioquin  distantiae  focales  r  et  s  quasi  evanescerent, 
ex  quo  necesse  est,  ut  formula  —  AB  non  infra  certum  valorem  deprimatur. 
Statuarnus  igitur  AB  =  —  6,  ita  ut  6  denotet  limitem  ilium  pro  hoc  pro- 
ducto  observandum;  qui  cum  ut  quantitas  constans  spectari  queat,  dum 
litterae  A  et  B  pro  variabilibus  habentur,  erit 

dA 


190—191]          DE  ULTERIORI  HOEUM  MGROSCOPIOBTOr  PERFECTIONS  347 

His  ergo  notatis  expressio  litteram  A  definiens  erit 

1       _!_    ,    _v 1 v  li       /T  _  3v\        27  hi'" 

^  \8 


in  qua  posteriora  membra  sunt  constantia;  unde  ad  minimum  eius  valorem 
inveniendum  tantum  opus  erit  priora  membra  differentiari,  ubi  quidem 
P=l.  Hunc  in  finem  notetur  esse 

Mncque 

dM_dA_         ,       d$8_dB_       dA 
W~~A?       6t     W~~&~~^B' 

ex  quo  aequatio  differentialis  prodibit 

0  =  _  35         3Jg 3_  _     (B_,B_ 2__  1    \ 

Of  2         1  A  8  OQ-  %  A  9  Od  9  \       ><          I         OY"  "         A  9  CO.          I  t  9   TTV     /  j 

<JL  ~A.  2c5  v4   vi  \  /i  VI  >4    2/1  >4     /*  / 

quae  per  5  divisa  dat 

0  =  3  f_J_  _  A  _       1     ^  _  v  /JL   i  JL  _      2  1    \ 

atque  hinc  elisis  litteris  germanicis  elicietur 

o-'Cra-OO  +  z  +  aaD  +  'GpW  +  A-i-1)' 

\^!1.  jLr  /       \  ^GL  ^ilL  Jjs  \^CL     JL)  -/JL     ..."  ^L  / 

quae  ergo  reducitur  ad  hos  fact  ores: 


ex   qua,    cum    ob    AB  =  —  6    secundus    factor    evanescere    nequeat,    factor 
tertius  praebet 

1  -i 

et    «8  =  — 


44* 


348  LIBRI  TERTII  SECTIO  TEETIA     CAPUT  n     §  157-160  [191-192 

sive  etiam  ambae  litterae  per  6  sequent!  modo  definientur: 

-n         0  —  1  ,co.         0  —  1 

*-  —    et    »-?+i' 

delude 


0  —  1 

Ex  his  autem  Yaloribus  concludimus  fore 
,    i1 


.          1  \    .       *      /r        S* 

V1        flP/"1"  08ma  \8  ~"4" 


ubi  #  plerumque  erit  numerus  valde  magnus,  ut  etiam  pro  maioribus  multi- 
plicationibus  distantia  focalis  s  non  fiat  nimis  esigua.  Hinc  igitur  erit  satis 
exacte 


et    cum    propemodum    sit    y  =  y,    erit    A—~,    ita   ut    tuto    sumi    possit 
==     ;  unde  obtinebitur 


a 

ma 


qui  valor  eum,  quern  in  capite  praecedente  habuimus,  superat  in  ratione 
Y&  :  1  seu  proxime  ut  17  :  10.  Quare  etiam  claritas  in  eadem  ratione  hie 
maior  obtinetur. 

COEOLLAEIUM  1 
158.    Per  numerum  igitur  6  distantiae  focales  sequenti  modo  exprimuntur: 


,  -., 

ita  ut  sit  proxime  q=p  et  exacte  5==yr;  turn  vero  lentium  intervalla 

2  ft      /  1  \ 

primum  =  —  ^—  -  (^1  —  ^  Ja  —  ?ja 
ideoque 

=       adeo<llie    p<1' 


192-194]         DE  ULTERIOEI  HORUM  MICROSCOPIORUM  PERFECTION  349 


secundum  =  6  ( -=-  —  ~p~n]  a 


Ba 


m 


4         h 

tertium  =—d —  =  25. 
3       m 


COEOLLABIUM  2 

159.  Quoniam  interyallnm  binarum  lentium  sibi  proximarum  convenien- 
tissime  ex  earum  distantia  focali  definitur,  ponamus  esse  7ia=%pm,  hinc 
definietur 

P^         (0  +  1) 

(0+1) +  6(0-1)' 

quare,  cum  sit  6  numerns  valde  magnus,  fiet  -P=yTT'  q^iare  si  capiatur 
^  =  — ,  flet  P  =  — ,  qui  valor  ad  praxin  satis  videtur  accommodatus,  cum  hoc 
intervallum  adhuc  exiguam  mutationem  permittat.  Quod  ad  campum  visionis 
attinet,  spatii  in  obiecto  conspicui  semidiameter  erit 

. ah 


ma-\-Ji  2 

eadem    scilicet    est    uti    in    problemate    2   capitis    praecedentis    atque  etiam 
distantia  oculi  perinde  Me  determinatur. 

SCHOLION  1 

160.  En  ergo  iam  insignem  perfectionem  eorum  microscopiorum,  quae  in 
capite  praecedente  evolvimus,  cum  claritas  hie  inventa  iam  notabiliter  maior 
sit  quam  ibi  idque  in  ratione  12 : 7,  et  quia  revera  claritas  secundum  rationem 
duplicatam  sentitur,  hie  triplo  maior  est  censenda.  Quocirca  in  his  micro- 
scopiis  multiplicatio  multo  longius  proferri  poterit  quam  in  praecedentibus, 
antequam  obscuritas  fiat  intolerabilis.  Hinc  si  velimus,  ut  pro  multiplica- 
tione  m  =  1000  distantia  focalis  lentis  ocularis  non  minor  fiat  quam  —  dig., 
oportebit  assumere  (9  =  47,  ita  ut  sumto  #==50  non  sit  metuendum,  ut 
lente  oculari  nimis  exigua  opus  habeamus.  Hunc  igitur  casum  in  sequenti 
exemplo  evolvisse  operae  pretium  videtur. 


350  LIBEI  TEETH  SECTIO  TERTIA     CAPUT  II     §  161—162  [194—195 


EXEMPLUM 

161.  Statuamus  igitur  0  =  50  suratoque  7^  =  8  dig.  et?  ut  modo  notavimus, 

P  =  -j  pro  data  obiecti  distantia  =  a  nanciscimur  sequentes  distantias  focales: 

100                    110                    800    ,.  ,               800 

^  =  -5Ta'     ?  =  -5ra'     r  =  -^TdlS-  et    s== 
lentiumque  intervalla 

10                  T             -K         400  j.  ,      ,     ,.             1600  ,. 

prmnprn.  =  —  a,     secundum  =  55  a dig.  et     tertium  =====  — —  dig. 

^cU                                                                                                          VYIr  / 


et  distantiam  oculi 

400 


^)  die- 


Quoniam  porro  est  21==^-  et  23  =  £p  ob  A  =  l  et  A'==l  constructio  lentium 
duarum  priorum,   si   quidem  ex  yitro  commuru  conficiantur,  ita  se  habebit: 

I.  Pro  lente  prima 
erit 

P  P 


radius  faciei 

posterioris  = 


IL  Pro  secunda  lente 
erit 


__  70 

radius  faciei 


-40486  g 


posterioris  =  -  -  0,6365  ff. 


His  notatis  evolvamus  valorem  litterae  JL,  qui  erit  ^=0,221,  qui  per 
/4  =  0,9381  multiplicatus  dabit  ^^  =  0,2073;  qui  ergo  a  supra  assumto  ~ 
yix  differt;  hinc  ergo  colligimus  pro  apertura  lentis  obiectivae 


_          >4°  _  0^7099a 

X~~U^Ta ^ 


195-196]         DE  ULTERIORI  EOBTJM  MICROS  COPIORUM  PERFECTIONS  351 

ex  quo  yalore  prodit  mensura  claritatis 

=    160         _   27,3584:  . 

ma  m  * 

denique  pro  campo  visionis  erit 


ac  si  tandem  in  loco   imaginis  realis  velimus  diapkragma  constituere,   fora- 
ininis  eius  semidiameter  debet  esse 


undo  conficitur  sequens 


A  -on            133a      ,. 
A  S  Gz  = —  dig- 
ma  +  8       b  ? 


CONSTEUOTIO  HUIUSMODI  MICEOSCOPIOEUM 

EX  QtJATUOE  LENTIBUS  COMPOSITOEUM 

PEG  QUAYIS  MULTIPLICATIONE 

162.  Singulae  hae  lentes  ex  vitro  communi,  cuius  refractio  est  n  =  1,55,  pa- 
rentur  et  posita  obiecti  distantia  =a,  qnam  iterum  =  y  dig.  assumi  licebit,  erit: 

I.    Pro  lente  prima,  cnius  distantia  focalis  est  p  =  ~ay  erit 

_.       _    .  .  fanterioris    =  —  1,6482  a 
radius  faciei  \ 

Iposterioris  =  +  0,6520  a, 

eius  aperturae  semidiameter 

0,17099 

#  =  -—  --  a 
yma 

et  distantia  ad  lentem  secundam 


II.   Pro  lente  secunda,  cuius  distantia  focalis   q  =  —  a,  erit 

„    .  .  fanterioris    =-8,7323  a 
radius  faciei  { 

Iposterioris  =l,3730a, 

cuius  aperturae  semidiameter  aliquanto  maior  quam  praecedentis, 
et  distantia  ad  lentem  tertiam  =  55  a  —  —  dig. 

wi.  O 


352  L1SRI  TEBTII  SECTIO  TEETIA     CAPUT  H     §  162—163  [196—198 

III.   Pro  lente  tertia,  cuius  distantia  focalis  est  r  ==  —  dig.,  erit 


QOA 

radius  faciei  utriusque  =—  dig., 


aperturae  semidiameter   =  —  dig. 

i      T    i        .  •  i    i       j  j.  1600    -,.  533    T 

et  distantia  ad  lentem  quartam   =  -j —  dig.  =  —  dig. 


IV.   Pro  lente  quarta,  cuius  distantia  focalis  =  ^dig.,    erit 


radius  utriusque  faciei  =  ^-  dig. , 
eius  aperturae  semidiameter  =  —  dig. 
et  distantia  ad  oculum  =  —  dig. 

V.  Spatii  in  obiecto  conspicui  semidiameter  erit 

^^^ 

267 

et  instrument!  longitudo  =  55,2040  #  +  —  dig. 

i  i       «i    j.-  27,358 

et  mensura  clantatis  =  -~i — , 

my  ma 

ubi  observandum  est  ut  supra  §  148,  IV  duas  priores  lentes  pro  omni  mul- 
tiplicatione,  duas  vero  posteriores  pro  qualibet  obiecti  distantia  retineri  posse, 
pro  quibus  eadem  inserviet  tabula,  quam  ibi  adiecimus. 

SCHOLION  2 

163.  Eaedem  formulae,  quas  hie  invenimus,  etiam  ad  telescopia  trans- 
ferri  possunt;  ubi  cum  sit  a  =  oo  et  h  =  a,  ne  lentes  in  infinitum  crescant, 
debet  esse  Q  =  0,  ita  tamen,  ut  6  a  fiat  quantitas  finita;  scilicet  cum  sit 

0  fk  /n 

p  =  _^ .  a?  erj[-t  Qa  _  JL  sicque  reliquae  distantiae  focales  erunt 

<p  pi  *p 

*       P  '  m  3m ' 

deinde  lentium  intervalla 

primum  =  (1  —  -^  }p,     secundum  =  ~  —  —--,     tertium  =  ~  • 
^  \        P/*'  2P       2m9  3m 


198—199]         DE  ULTERIORI  HOEIBI  MICROSCOPIORUM  PERFECTIONS  353 

Quod  nunc  ad  litteram  P  attinet,  formula  supra  data  Me  locum  habebit 

p_          0  +  1 

0  +  i+g(S-i)' 

quae  hie  dat 


quia  autem  Me  de  telescopiis  agitur,  sumi  poterit  £=25,    ita  ut  sit  P=^i', 
tuna  vero  erit  distantia  oculi 

s^±l)=l     /        _1_X 
2w  2      \      j      m  / 

ita  ut  tota  longitudo  fiat 

_    A.  __  i          i          i   \ 

—  ^\          2P  +  3m  "^  6a»V 
ac  porro  semidiameter  campi  apparentis 

£^11  1718 

—  =  c^  =  ---  =  -  mm. 


Nunc  etiam  consideretur  aequatio  postrema  ex  semidiametro  confusionis 
deducta,  in  qua  membrum  vinculis  inclusum  .per  8#s  multiplicetur,  factor 
vero  communis  per  idem  dividatur;  et  habebitur 


i_^     ±         y)     ^ 

IP         P     '    m  ^  J    {       m     /' 


ubi,    cum  pro  vitro  communi  sit  ?/  =  0,2326,   si   statuatur  P==—  et  termini 
per  m  divisi  negligantur,  ob  /a  =  1  proxime  fiet  proxime 


1        mx*    3 

^ 

unde  colligitur 


unde,  cum  claritatis  gradus  y  dari  soleat,  ut  sit  x  =  my,  turn  vero  assumatur 

&2/  =  l?  siquidem  statuatur  7/  =  ^dig.  et  &  =  50?  uti  supra  est  factum,  habe- 

bitur 

-,3/3       ,.          .  8     ,s/ 

p  =  m\/--maLg.     sive    jp  =  -rmKm. 

'      2  7 

LEONHARDI  EULERI  Opera  omnia  IU4  Dioptrica  45 


radius  faciei 


354  LIBEI  TEETH  SECTIO  TEETIA     CAPUT  II     §  163—165  [199—200 

Cognito  autem  P  erit  ^  =  ~^>.  Sumsimus  autem  hie  A  =  l  et  A'=l,  et 
cum  sit  21  =  0  et  35  = —  1,  constructio  harum  lentium  pro  vitro  communi, 
ubi  w  =  l,55,  erit: 

I.  Pro  lente  prima 

anterioris     =  ^-  =  0,6145  p 
radius  faciei 

posterioris    =-£-===  5,2438$> . 

II.  Pro  lente  secunda  autem  erit 

anterioris     =      ,  /_  -y  =  -| ? —  =  -f  0,3264  q 

posterioris    = ~- — ^  = —  =  —  0,8026  #; 

hinc  ergo  obtinetur  sequens 

CONSTEUCTIO  TELESCOPE  ASTEONOMICI 

EX  QUATUOE  LENTIBUS  COMPOSITI 

PEO  VITEO  COMMUNI  n  =  1,55 

164.  Singula  momenta  pro  constructione  pro  more  recepto  ita  in  ordinem 
redigantur,  scilicet  proposita  multiplicatione  m  definiatur  inde 

8      -?/ 
p  =  ~-r  m  V  m . 

I.  Pro  prima  lente,  cuius  distantia  focalis  =j?,  erit 

„    .  .  f  anterioris     =0,61457?  ' 
radius  faciei  { 

(  posterioris   =  5,2438 jp , 

eius  aperturae  semidiameter  =  ^  dig. 

et  distantia  ad  lentem  sequentem  erit  =  ~-j9  =  0,04jp. 

II.  Pro  lente  secunda,   cuius  distantia  focalis  est  |^jp,  erit 

.  .  f  anterioris     =  +  0,3134p 
radius  faciei  {  * 

\  posterioris  =  —  0,7705jp; 


200—202]  DE  ULTERIORI  HOEUM  MCROSCOPIOEUM  PERFECTIONS  355 

apertura  non  definitur,  dummodo  sit  maior  praecedente, 


et  distantia  ad  lentem  tertiam  =  ~  v  --  £- 

20^-  2m 


- 

2m 


HI.   Pro  tertia  lente,  cuius  distantia  focalis  est  r  =  ~,  erit 
radius  utriusque  faciei   =  1,1  •  —  , 

eius  aperturae  semidiameter  =  -^ 

et  distantia  ad  lentem  quartam   =  ~~ 

IV.  Pro  quarta  lente,  cuius  distantia  focalis   =  ~-  ,    erit 

radius  utriusque  faciei     =  1,1  -  ^~-  , 
eius  aperturae  semidiameter  =  ~j— 

r  12  m 

et  distantia  ad  oculum   0  =  -j~ 

V.  Tota  ergo  longitudo  erit 


3m    ' 

1  71  S 

et  semidiameter   campi  apparentis    <£  =  — ^— -  min. 

YI.   Si  in  loco  imaginis  realis,  quae  inter  binas  posteriores  lentes  medium 
interiacet,  diaphragma  sit  constituendum,  eius  foraminis  radius  erit 

P 


PEOBLEMA  2 

165.  lisdem  quaternis  lentibus  retentis  mieroscopium  conficere,  quod  ad  omnes 
multvplicationes  producendas  sit  accommodatum. 

SOLTITIO 

Sint  harum  lentium  distantiae  focales  p,  q,  r  et  s,  quae,  uti  ex  proble- 
mate  praecedente  perspicitur,  ita  debent  esse  comparatae,  ut  sit  primo 
s  =  ~r,  turn  vero  q  =  ^p]  deinde  etiam  recordandum  est  ambas  posteriores 

45* 


356  ,  LDBBI  TEETH  SECTIO  TEETIA     CAPUT  H     §  165—166  [202—203 

lentes   utrinque  esse    debere  aeque   convexas,   de   figura   yero   priorum  mox 
videbimus.     Formulas  ergo  supra  inventas  considerando  erit: 


mr 


A  a 

unde,    cum  sit  ^  =  ^rri*a>  ^nc  colligemus 


*  2mr       , 

quae  ergo  etiam  a  multiplicatione  pendet,  ita  ut  pro  qualibet  multiplicatione 
distantiam  obiecti  variari  oporteat. 

2.  Lentium  intervalla  ita  se  habebunt: 

Primum  =, 


seu 


,  T.       r> 

secundum  =  -  ~  --  p  —  ~^r     ob     P 

^        2 


secundum  intervallum  =  —  j~  +  i^P  —  ^r 


,      ,.  41  2 

tertmm  ==~.~r  =  ™ 


atque  distantia  oculi 


seu  0  proxime   =  ys;    sicque   pro   varia  multiplicatione    tantum    secundum 
intervallum  fiet  mutabile. 

Porro  vero  erit  spatii  conspicui  semidiameter 

1  (mr 

g  —  — .  — .    — 

2  m 


unde,  si  m  sit  numerus  praemagnus,  fiet  ^==  -— • 

Ut  nunc  figuram  duarum  priorum  lentium  definiamus,  pro  quibus  supra 
sumsimus  4  =  1   et  A'==l,  perpendere  oportet  litteras 


203-204]  DE  ULTEEIORT  HOETOI  MICEOSCOPIOEUM  PERFECTIONS  357 

Quia  autem  earum  figura  pro  varia  multiplicatione  inutari  non  potest  atque 
pro  rei  natura  sufficit  figuram  tantum  proxime  definivisse,  consideramus  ni 
ut  numerum  praemagnum  sumamusqne  21  =  2  et  S3  =  1.  Possumus  etiam 
superioribus  valoribns1)  uti,  ubi  erat  0  =  50,  quippe  qui  valor  certe  multipli- 
cation! magnae  respondet;  facile  enim  intelligitur  turn  eandera  figuram  tarn 
maioribus  quam  minoribus  multiplicationibus  satis  exacte  convenire;  quare  si 
vitrum  commune  adhibeamus?  habebitur  pro  lente  prima 

f  anterioris     =  —  0,8406  p 
radius  faciei  \        ... 

(  posterions   =  +  0,3325  p 

et  pro  lente  secunda 

f  anterioris     =  4,0486  % 
radius  faciei  \         ,     .     . 

(  posterions   =  0,6365  %  . 

Denique  pro  apertura  primae  lentis  invenimus  eius  semidiametrum 

0,171  a 
x  =  -^  - 
yma 

indeque  mensuram  claritatis  nacti  sumus 


y 


my  ma 


•   ,       i  mr4-  Zh  1 

existente  a  ==  —  ^  —  p  =  -^p  proxime. 


EXEMPLUM 
166.     1.  Sumamus  pro  harum  lentium  distantiis  focalibus 


r=ldig.     et 


quippe   qui  valor es   ad  praxin  maxime  idonei  videntur;   ac  si  hae  lentes  ex 
vitro  communi  parentur,  earum  figura  ita  deternoinetur,  ut  sit 

2.    I  Pro  lente  prima 

r  anterioris  ==  —  0,84  dig. 
radius  faciei  {        ...  ~ftft  -,- 

posterions  =  +  0,33  dig. 


-    Tide  §161.  E.  Ch. 


358  LIBRI  TEETH  SECTIO  TERTIA     CAPUT  II     §  166-167  [204—205 

II.  Pro  secunda  lente 

anterioris     =  4,45  dig. 


radius  faciei  , 

posterioris   =  0,70  dig. 

III.  Pro  tertia  lente 

radius  faciei  utriusque  =  1,1  dig. 

IV.  Pro  quarta  lente 

i«    •fa.rvim    iTf.vinsrmA     = 

30 


radius  faciei  utriusque  =  —  dig. 


3.    Quibus  lentibus  paratis  prima   et   secunda   ad   intervallum    =  ~  dig. 

2 

firmentur,  tertia  vero  et  quarta  ad  intervallum  =  y  dig.,  ita  tamen,  ut  pro 
indole  oculi  quarta  lens  tantillum  mutari  possit;  ambo  autem  paria  eiusmodi 
tubis  inserantur,  qui  pro  lubitu  ad  maius  minusve  spatium  diduci  queant, 
quemadmodum  multiplicatio  postulat,  siquidem  intervallum  inter  secundam 
et  tertiam  lentem  esse  debet  (~^~  —  dig. 


4.   Simili  modo  etiam  distantia  obiecti  aliquantum  erit  variabilis  et  pro 
qualibet  multiplicatione  esse  debet 


16 


2m 
Deinde  vero  locus  oculi  ut  constans  spectari  potest,  ita  ut  sit  eius  distantia 

0-1  dig. 

5.  Tertiae  et  quartae  lenti  tanta  datur  apertura,  quantae  sunt  capaces. 

6.  Primae  autem  lentis  apertura  maxime  a  multiplicatione  pendet,  cum 
sit  eius  semidiameter 

0,0855 


A*    , 


unde  mensura  claritatis  prodit 


27,S6 


206—207]  DE  ULTEEIOEI  EOEUM  MICEOSCOPIOEUM  PEEFECTIONE 


359 


7.  Circa  hoc  microscopium  baud  abs  re  fore  arbitror,  si  pro  aliquot 
praecipuis  multiplicationibus  valor es  momentorum  variabilium,  quae  sunt 
1.  distantia  obiecti  =  a,  2.  intervallum  lentium  secundae  et  tertiae,  quod 
indicemus  littera  L,  3.  semidiameter  aperturae  primae  lentis  x  et  4.  mensura 
claritatis  =20y,  adiunxerimus;  quern  in  finem  sequens  tabella1)  est  adiecta: 


m 

a 

L 

X 

Claritas 

50 

0,660 

1,669 

0,0292 

0,1871 

100 

0,580 

3,387 

0,0232 

0,0743 

200 

0,540 

6,825 

0,0184 

0,0295 

300 

0,527 

10,262 

0,0160 

0,0172 

400 

0,520 

13,700 

0,0146 

0,0117 

500 

0,516 

17,137 

0,0136 

0,0087 

600 

0,513 

20,575 

0,0128 

0,0068 

700 

0,511 

24,012 

0,0121 

0,0055 

800 

0,510 

27,450 

0,0116 

0,0047 

900 

0,509 

30,887 

0,0111 

0,0040 

1000 

0,508 

34,325 

0,0108 

0,0034 

PEOBLBMA  3 

167.  Loco  lentis  obiectivae  eiusmodi  ires  lentes  convexas  proxime  sibi  iunctas 
substituere,  ut  binis  reliquis  lentibus  secundum  jpraecepta  in  capite  swperiore  data 
constitutis  maior  claritatis  gradus  obtineatur. 

SOLUTIO 

Cum  hie  quinque  lentes  sint  considerandae  et  imago  realis  in  quartum 
seu  ultimum  interyallum  incidat,  litterae  P,  Q,  E  erunt  positivae,  sequens 
vero  8  ponatur  —  —  k,  ita  ut  sit  P0JB&— —•  Hinc  distantiae  focales 


1)  Nonnulli  valores  editionis  prinoipis,  praecipue  pro  $  et  pro  claritate,  leres  modifioationes 
passi  sunt.  E,  Oh. 


360  LIBEI  TEETII  SBCTIO  TEETIA     CAPUT  II     §  167  [207-208 

singnlarum  lentium  ita  exprimentur: 

AB&a 


~~P~'      '"    PQ    ' 

J, 

et    t  =  - 


m 
Intervalla  vero  lentium  ita  se  habebunt: 

I  et  II    =Aa(l-^),     II  et  III    __^.a(l  —  -i), 

III  et  IV    -ABC  ail       M       IV  et  Y    -        ABCDa 
III  et  IV    -  —  -a^i--^,      IV  et  V    ___  __ 


quorum  cum  duo  priora  sint  valde  parva?  litterae  P  et  Q  quam  minime  ab 
unitate  recedere  debent;  quamobrem  in  expressione  campi  litterae  q  et  r  pro 
nihilo  erunt  habendae,  posteriores  vero  S  et  t  unitati  aequales  sumantur, 
siquidem  binae  postremae  lentes  utrinque  fiant  aeque  convexae.  Hinc  ergo 
spatii  in  obiecto  conspicui  fiet  semidiameter 


at  vero  littera 

Jf  = 
ex  qua  distantia  oculi  fit 


^ 

proxime  .==—*• 
ma/  ^  2 

Aequationum  porro  fundamentalium  prima  et  secunda  omitti  possunt, 
quia  ob  litteras  P  et  Q  proxime  =  1  litterae  q  et  r  sponte  fmnt  minimae; 
tertia  vero  dabit 


_  -.  _      m 
Jc(m 

unde  pro  maioribus  multiplicationibus  fit  S)  =  —  ^  ;   ex   aequatione  autem 
pro  margine  colorato,  quae  hoc  casu  erit 

l     __  !_  _  A 
PQE      PQEk~    ^ 

colligimus  ut  ante   A  —  1,   ita  ut  sit  ®  =  _2  hincque  D  —  —  ?-;  quibus 


208—209]         DE  ULTEBIORI  HOEUM  MIOEOSCOPIOEUM  PERFECTIONE 


361 


inventis   distantiae  focales  erunt 


A® 
--  >.  a, 


-~     et 
m 


m 


unde  sequitur 

St>0;     A%<0,     AB&>Q     et     ABC>0 

et  intervalla  lentium 

primum  =  Aa  (I  —  p-J  ,      secundum  =  --  -=-  -an.  —  ^}  , 

,  *   At>n    %       m 

I  ,     quartum  =  —  J.^  (7  —  =  2t. 


,     ,.  ABO       _< 

tertram  =        .    -  a  1 


m 


Denique  pro  apertura  primae  lentis  seu  littera  x  definienda  habetur  ista 
aequatio  : 


in  qua  expressione  numeri  Aw  et  A""  inde  dantur,  quod  hae  lentes  debent 
esse  utrinque  aeque  convexae;  priores  vero  A,  A'  et  A"  habent  coefficientes 
positives,  quia  [21  >  0,]  -493  <  0  [,J.J?(£>0]?  cum  ex  hypothesi  omnes  lentes  sint 
convexae.  Quare  cum  to  turn  negotium  nunc  eo  redeat,  ut  huic  expression! 
valor  minimus  concilietur?  primo  Ms  litteris  A,  A'?  A"  tribuatur  valor  minimus, 
qui  est  unitas;  deinde  vero  litterae  A,  B,  C  ita  definiri  debent,  ut  haec  expressio 
minimum  adipiscatur  valorem;  quern  in  fiixem  ante  omnia  notari  convenit, 
ne  binae  ultimae  lentes  pro  maioribus  multiplicationibus  nimis  fiant  exiguae, 
quantitatem  ABC  semper  certum  limitem  superare  debere;  quare,  cum  ea 
positiva  esse  debeat,  statuamus 


ita  ut  6  tanquam  numerus  datus  spectari  possit;  ex  quo  bina  ultima  membra 
per  se  determinants;  restant  igitur  tantum  tria  membra  priora,  quibus, 
quomodo  minimus  valor  induci  queat,  est  investigandum,  ubi  quidem  pro 
litteris  P  et  Q  unitatem  scribere  licebit.  Cum  autem  iam  supra  huiusmodi 
investigationes  saepins  expediverimus,  inde  concludere  possumus  a  scopo  nos 

L»OKBU.RJ>I  UTOEJKI  Opera  oxn&ia  III  4  DiopMca  ,  46 


362  LIBBI  TEETH  SECTIO  TERTIA     CAPUT  II     §  167—170  [209—211 

minime  esse  aberraturos,  si  has  tres  formulas  51,  —  A$d  et  AB&  inter  se 
reddamus  aequales,  ita  nt  distantiae  focales  p,  q,  r  eatenus  tantum  a  ratione 
aequalitatis  recedant,  quatenus  litterae  P  et  Q  ab  imitate  discrepant.  Aequa- 
litas  autem  primae  et  secundae  harum  expressionum  dat 


£  =  _      =  3l_l     sen     SS  -- 
unde  fit 


^  — 2-«~       2+A 
Aequalitas  autem  secundae  et  tertiae  dabit 


guamobrem  habebimus 


at  vero  debet  esse  ABC  =6,  unde  onmes  hae  litterae  per  6.  sequent!  modo 
exprimentur: 


atque  bine  porro 

W-     *6         SB-       (1~20)     et     K--^2-^- 
*-  T+T'    ^--"r+F"    et    ^~      T+T' 

quibus  valoribus  adhibitis  aequatio  nostra  ultima  induet  hanc  formatn: 


_ 
27  0»  '  90s""         "     ~27i9»P" 


Statuamus  nunc  brevitatis  gratia  expressionem  uncinulis  inclusam 


+  P-  +  A)  -  ^  (••<»•-  1)  +  (2fl  - 


211—212]  DE  ULTERIORI  HORUM  MICRO  SCOPIORUM  PERFECTIONS  363 

quae   formula,    si    6  fuerit  numerus   praemagnus   et  litterae  P  et  Q  unitati 
aequales  reputentur,  praebet 


27 


qui  valor  utique  multo  minor  est,    quam  si  lens  obiectiva  esset  vel  simplex 
vel  etiam  duplicata;    unde   etiam  x  maiorem  valorem  sortietur,  qui  erit 


et  dabit  semidiametrum  apertnrae  lentis  obiectivae,  dummodo  ea  non  fuerit 
maior?  quam  figura  lentis  permittit.  Invento  autem  x  erit  y  =====  —  •  x  et  men- 
sura  claritatis  =  ---  x. 

ma 

COEOLLARIUM  1 

168.  Hae  formulae  aeque  patent  ad  telescopia  atque  ad  microscopia  hoc 
tantum  discriinine  intercedente,   quod  pro   telescopiis,   ubi   a  =  oo    et   h  =  a, 
sit  6  infinite  parvum,  pro  microscopiis  autem  6  fiat  numerus  praemagnus. 

COBOLLARIUM  2 

169.  Pro  microscopiis  igitur  erit  proxime 

2t  =  3,     ^t  =  _3       35  =  2,     £  =  —  2,     <£  —  1     et     O—oo 

JU 

seu  numerus  praemagnus;   turn  vero 

A  ~  27  v1  +  p     PQ 


)  ~^7V+  py 


COROLLABIUM  3 

170.    At  si  numeri  huius  praemagni  0  rationem  quoque  habere  velimus, 
habebimus  adhuc  propius 

a.s-l,  A  —  i-jf, 


46* 


364  LIBBI  TEKTII  SECTIO  TERTIA     CAPUT  H     §  170—173  [212—213 

turn  vero  etiam  adcuratius  erit 

=  +  +  9fl  V1  +  "P  +  P 


27  V        P        PQI        9fl 

_^f6  +  -W-^(i--  __  LY 

27\°^P/        90V1        P        P^/ 

COEOLLAEIUM  4  * 

171.  Quod  nunc  ad  intervalla  lentium  priorum  attinet,  si  sumamus 
utrumque  eorum  esse  debere  =  %p  =  £$ia,  valoribus  prioribus  proxime  veris 
adhibendis  reperiemus 


unde,  si  statnamus  ^  =  ™  ,  erit 


et 


10 ' 

et     Q  ==«  —     hincque 


1        14i/    .      7 



54         45   ~  18 


COROLLARIUM  5 

172.  Cum  autem  valor  v  a  ratione  vitri  pendeat,  notetur  pro  vitro  co- 
ronario,  quo  est  ^==1,53,  esse  propemodum  v=*\-  et  pro  vitro  crystalline, 
quo  w  — 1,58,  esse  v  =  -j-;  Mnc  ergo  colligitur  pro  vitro  coronario  fore 

91     ,    19 


_/i. 

1350 


Pro  vitro  autem  crystallino  erit 


135  ~  720 


ex  quo  perspicitur  plurimum  praestare,   si  tres  priores  lentes  ex  vitro  cry- 
stalline parentur. 

SCHOLION  1 

173.    Quod  nunc  ad   lentium    constructionem   attinet,    quia   pro    tribus 
prioribus  numeri  A,  X  et  X'  unitati  aequales  sunt  positi,  ut  scilicet  singulae 


213—215]  DE  ULTEKEOBI  HOEUM  MICRO SCOPIORUM  PERFECTIONS  365 

minimam  confusionem  producant?  sufficiet  litteris  8t,  S3,  (£  valores  proximos 
tribuisse,  ita  ut  tuto  capere  liceat  SI .=  3,  58  =  2  et  ®  =  1;  unde  secundum 
praecepta  generalia  singulae  hae  lentes  pro  distantiis  focalibus  datis  p,  q,  r 
construi  poterunt,  ubi  notasse  iuvabit  esse 

p        6  , 

2  =  f  =  TJP     et     r 

licebit  enim  nunc  distantiam  focalem  p  tanquam  cognitam  spectare  ez  eaque 
distantiam  obiecti  definire,  quae  erit 


turn  vero  littera   6  commodissime  definitur  ex  lente  quarta,   cuius    distantia 
focalis  s9   si  itidem  ut  cognita  spectetnr,  erit  0  =  ~,  ita  ut  nunc  habeatur 


Turn  vero  erit  t^-^-s  et  intervallum  ultimum  =yS?  dum  duo  priora  inter- 
valla  sunt  per  hypothesin  =^JP-  Tertium  vero  intervallum  maxime  a  multi- 
plicatione  pendebit;  erit  enim  id 

^     /13         h  \       IBmsa        1  13mps     .    13  1 

•r-^  I  y  ft  I  ^_««  _______________  „_,—  „  I   —  _________  _„  .„    ___  _  __     o  --,.----       _         ~  ..  ..  ,_,  „!_  _  _  tv\  _    „,„,„  Q 

\10       wa/  20fe  2  60A      ^  30^       ™2  ^7 

ex  quo  patet?  quo  maior  multiplicatio  desideretur;  eo  magis  instrumentum 
elongari  debere;  turn  vero  etiam  apertura  primae  lentis  inprimis  a  multipli- 
catione  pendet;  ex  formula  enim  supra  inventa,  cum  sit  proxime 

1  7 

^  =  1?     a^    ~p     et     ^=    -    pro  vitro  crystallino, 

O  loO 

si,  ut  supra  fecimus,  sumamus  Jc  =  20,  [&*==  8  dig.],  obtinebimus 

1  Wisy  ,.          1 

* 


O    7  D 


quare,  si  ut  supra  distantiam  obiecti  circiter  dimidii  digiti  statuamus,  ut  sit 
#  mm  1.  dig.,  fiet 

2  "     ft/  "**  0,1689 


366  USBI  TERTH  SECTIO  TEETIA     CAPUT  H     §  173-174  [215—216 

Porro  autem  pro  claritate  erit 

8     -.     135 


y        10m  V  Ima 
et  mensura  claritatis 

16 W  135 


et  casu  a  =  y  dig*  erit  ea 

_  54,060 
mym 

Ex  his  igitur  statim  poterimus  eiusmodi  microscopium  conficere,  quod  retentis 
iisdem  lentibus  ad  omnes  multiplicationes  producendas  sit  accommodatum; 
utamur  autem  ut  hactenus  yitro  communi,  pro  quo  est  ^  =  1,55,  ita  ut  va- 
lorem ipsius  x  aliquantillum  imminui  conveniat,  uti  cuique  lubuerit;  ac  turn 
pro  lente  prima,  cuius  distantia  focalis  =jp  et  31  =  3,  erit 

anterioris    =  -_*_-  =  -  -^JL^  =  -  0,3728# 
radius  faciei 

posterioris  =  — ~^—-^  =  + 


quae  ergo  aperturam  admittit,  cuius  semidiameter  erit  circiter 


~ 


f> 

Pro  secunda  autem  lente,  cuius  distantia  focalis  q  =  -^  p,  erit 
radius  faciei  (ob  »_  2) 


anterioris    =  --     -  J  ------  r  =  —  -----  =  —  0,8026  a 

0~^~^          1'a46° 


posterioris 

1  '•% 

Pro  lente  autem  tertia,  cuius  distantia  focalis  est  r=~'jp,  erit 


anterioris    =  —  ~  5,2438  r 


radius  faciei  { 

r 


posterioris 

w 

Videtur  autem  Me  commode  sumi  posse  ^==ly  dig.,  ut  fiat  circiter  a—  ™dig», 
turn  vero  5  =  1  dig.,  ut  fiat  ^  =  y  dig,;  unde  orietur  sequens 


216—217]  DE  ULTERIOEI  EO&UM  MIOEOSGOPIORUM  PERFECTIONS  367 

CONSTEUCTIO  MICROSCOPII  EX  QUINQUE  LENTIBUS  COMPOSITI 
AD  OMNES  MULTIPLICATIONS  IDONEI 

174.    Si  omnes  lentes  ex  vitro  communi,  pro  quo  est  ^*=1,55,  parentur, 
habebitur: 

I.  Pro  lente  prima,  cuius  distantia  focalis  est  p  =  ly  dig., 

f  anterioris    =  —  0,5592  dig. 
radius  faciei  { 

Iposterioris  =  +  073333  dig.; 

cuius  semidiameter  aperturae  posset  esse  x  =  0,0833  dig.,  verum  ob  multipli- 
cationem  datam  —m  sumi  coaveniet 

0,15   ,. 
x=   '      dig. 

ym 
et  distantia  ad  lentem  secundam  =  0,15  dig. 

"I  R 

II.  Pro  lente  secunda,  cuius  distantia  focalis  est  2  = —dig.,  capiatur 

f  anterioris    —  — 1,4447  dig. 
radius  faciei  .    .  .  Krt^  .. 

I  posterions  =     0,5875  dig.; 

apertura  modo  maior  sit  praecedente, 
distantia  ad  lentem  tertiam  =  0,15  dig. 

39 

III.  Pro  lente  tertia,  cuius  distantia  focalis  est  ?"  =  ^  dig.,  capiatur 


radius  faciei  | 


f  anterioris    =  10,2255  dig, 
posterioris  =   1,1983  dig.; 


de  apertura  idem  tenendum  quod  ante 
et  distantia  ad  lentem  quartam  erit 


A  320 


1)  BditiO  princeps:  -  +       %          Oorrexit  E.  Oh 


368  LIBRE  TEETH  SECTIO  TERTIA     CAPUT  n     §  174-175  [217-219 

IV.  Pro  quarta  lente,  cuius  distantia  focalis  est  s  =  l  dig.,  capiatur 

radius  utriusque  faciei    =  1,1  dig., 

aperturae  semidiameter  =  —  dig. 

et  distantia  ad  lentem  quintam  =  y  dig.  =  0,67  dig. 

V.  Pro  quinta  lente,  cuius  distantia  focalis  =  y  dig.,  capiatur 

radius  utriusque  faciei    =  0,37  dig., 
eius  aperturae  semidiameter  ==  -^  dig. 
et  distantia   oculi   =  -~  dig.  =  0,17  dig. 

VI.  Semidiameter  spatii  in  obiecto  conspicui  erit   #  =  y  ma^f 

distantia  obiecti 

1     A    .    2&\         1  /.    .   16\  r    ;n 

a  =  —  v(l-\  --  )=  —  (in  --    dig.1) 

3  *  \      '    msJ          2  V      '    ml      &    J 

VII.  Gum  sit  semidiameter  aperturae  lentis  obiectivae 

0,15  ,. 
aj_    »      dig., 

ym 

fiet  hinc 

Tix         2,40 

_  ? 


y 

ma 

et  mensura  claritatis 

48 


m  ym 

Q  -i 

ita  ut,  si  fuerit  m  =  512,  mensura  claritatis  futura  sit  ^^^^ 
34  vicibus  maior  est  quam  claritas  lunae  plenae. 

VIIL   Subiungamus  adhuc  tabellam,  in  qua  pro  praecipuis  multiplicatio- 
nibus  m  exhibeantur 


1.  distantia  obiecti  a  lente  obiectiva  #=4  (^  "+-  ~i!~)  dig-9)? 

2.  intervallum  lentium  tertiae  et  quartae,  quod  sit  I  =  (^  —  jjj  )  dig.3)  , 


1   /  8  \ 

1)  Editio  princeps  :  -*  y  f  1  +  ~-J  •  Correxit  E.  Oh. 

2)  Vide  iiotas  ad  articulos  III  et  VI  pertinentes.     Ob  inaccuratas    formulas  pro  a  et  I 
omnes  valores  in  tabella  editionis  prinoipis  oorrigendi  erant.         E.  Ch. 


219—220]  DE  ULTEEIORI  HOKUM  MICE-OSCOPIOEUM  PERFECTION 


369 


3.  semidiameter  aperturae  lentis  obiectivae  x 
4t.  cian/cas  "        o     * 


0,15 


et 


m 

«*) 

z1) 

X 

Claritas 

50 

0,660 

1,531 

0,041 

0,261 

100 

0,580 

3,563 

0,032 

0,103 

200 

0,540 

7,625 

0,026 

0,041 

300 

0,527 

11,688 

0,022 

0,024 

400 

0,520 

15,750 

0,020 

0,016 

500 

0,516 

19,813 

0,019 

0,012 

600 

0,513 

23,875 

0,018 

0,009 

700 

0,511 

27,938 

0,017 

0,008 

800 

0,510 

32,000 

0,016 

0,006 

900 

0,509 

36,063 

0,016 

0,006 

1000 

0,508 

40,125 

0,015 

0,005 

SCHOLION  2 

175.  Cum  formulae  nostrae  inventae  aeque  ad  telescopia  ac  microscopia 
pateant,  dum  illo  casu  ponitur  6  =  0,  hoc  vero  #  =  numero  praemagno, 
operae  pretium  videtur  adcuratius  investigate,  cuiiismodi  instrumenta  sint 
proditura  et  ad  quemnam  usum  futura  sint  accommodata,  si  litterae  6  valor 
mediocris  veluti  1  vel  2  tribuatur;  hunc  in  finem  sumamus  ^  =  2,  ut  sit 


m 


et    t- 


hincque     m  =  — ; 


turn  vero  sequentes  habebuntur  valores: 


ideoque 


et     (7—0, 


1)  Vide  notam  2  p.  S68  E.  Oh. 

EULBEI  Opera  omnia  III 4  Dioptrica 


370  LIBEI  TEBTII  SEOTIO  TEETIA     OAPTJT  H     §  175  _  [220-221 

ita  tamen,  ut  sit 


—  1     et 
ex  quibus  valoribus  distantiae  focales  lentium  priorum  erunt 

2a 
jp  —  2a,      ?  —  --, 


et  intervalla 

primum  =  —  2a  (l  —  y)  ,       secundum  =  oo  (l  —  -^- 

-  et    quartum 


manente  distantia  oculi  0  =  ^t.  Ut  iam  fiat  primum  intervallum  =^P, 
sumi  debebit  -P  =  n?  at  ^  semPer  debet  esse  =1^  q^ntumvis  secundum 
intervallum  accipiatur;  conveniet  autem  primo  aequale  sumi?  ita  ut  sit 
2  —  aetr  —  0  tertiumque  intervallum  =2a(~  —  ^);  deinde  ut  ante  erit 


*  =  T 


Veruin  nunc  obtinebimus 


1  27 

qui   valor   pro    casu   ^  =  y    foret   ^^20'   at  pro   casu  ^  =  T   foret  "^  =  so 
seu  utroque  casu  proxime  jL***~\  hinc  ergo  colligimus: 

i  -.8/Q 

—  i-V: 

seu 

^""20 
indeque  porro 

et  mensura  claritatis 


His  notatis,  quae  ad  instrument!  constructionem  pertinent,   sequentia   obser- 
ventur: 


221—223]  DE  ULTEBIOEI  HOBTBI  MTCROSCOPIOSUM  PERFECTIONS  371 

1.  Si    caperetur    5  =  1  dig.,    foret    m  =  4Ji  dig.    sen   —  —  -^-dig.,    quern 
valorem  ita  interpretari  oportet,  quod  instrumentum  nobis  obiecta  m  vicibus 
maiora    repraesentet,    quam   si  ea    in  distantia  h    spectaremus;    unde    patet 
obiecta  nobis  in  eadem  magnitudine  repraesentari,   quam  si   ea   nudis   oculis 
spectaremus  in  distantia  =  —  ,  ex  quo  perspicuum  est  instrumentum,  de  quo 
hie  agitur,  nobis  obiecta  eadem  magnitudine  esse  repraesentaturum,  quam  si 
ea  cerneremus  in  distantia  =  -j-  dig.   sublata  scilicet  summa  confusione,   qua 
obiecta  tam  vicina  nos  adficerent. 

2.  Si  distantiam   focalem  s  maiorem  vel   minorem   uno  digito    assume- 
remus,  multiplicatio  etiam  fieret  vel  minor  vel  maior;  praxis  autem  minorem 
valorem  pro  s  vix  admittit,  propterea  quod  t  =  ^-s,   minorem  vero  multipli- 
cationem    nemo    magnopere    desiderabit;    unde    iste    valor    8  =  1  dig.    nostro 
scopo  maxime  accommodates  videtur. 

3.  Huiusmodi  ergo  instrumentum  turn  usum  praestare  poterit,   quando 
obiecta  ita  spectare  optamus,  quasi  ea  in  distantia  =  —  dig.  intueremur,  vel, 
quod  eodem  redit,  32  vicibus  maiora,  quam  si  ea  in  distantia  octo  digitorum 
aspiceremus,    sicque   hoc   instrumentum  idem  praestabit,    quod  microscopium 
tricies  et  bis  multiplicans. 

4.  Quia   autem   in   microscopiis   distantia  obiecti   admodum  parva  sumi 
solet,  hoc  instrumentum  turn  potissimum  usurpari  poterit,  quando  ad  obiecta 
non  pro   lubitu   appropinquare  licet;    quamobrem,    si   distantia  obiecti  a  ali- 
quanto  maior  fuerit,  quam  in  microscopiis  admitti  solet,  videamus,  quomodo 
nostrum  instrumentum  turn  futurum  sit  comparatum;  statuamus  igitur  prae- 
terea   a  =====  1  ped.  =  12  dig.  manente   s  ==  1  dig.   et  distantiae   focales  lentium 
hoc  mo  do  determinabuntur  : 

p  =  24  dig.,     q  =  26,4  dig.,     r  =  26,4  dig.  ,     s  =  1  dig.     et     t  =  —  dig. 
Deinde  vero  intervalla 

primum  —  2,4  dig.,       secundum  ==  2,4  dig., 
tertium  =  25,9  dig.,     quartum     =  0^67  dig. 

Aperturae  vero  primae  lentis  semidiameter  nunc  erit 


x  _  -t  l^-li*  dig.  -  if  108  dig.  -  0,238  dig. 


372  UBBI  TERTH  SECTIO  TEETIA     OAPUT  H     §  175—177  [223—224 

hincque  mensura  claritatis  =  0,099  sicque  ipsa  claritas  100  vicibus  minor  erit, 
quam  si  idem  obiectum  nudis  oculis  aspicimus,  quae  sola  circumstantia  hums- 
modi  instrumenta  ab  usu  practico  excluderet,  nisi  longitudo  eorum  iam  satis 
esset  incommoda;  quin  etiam,  si  propius  ad  obiecta  accedere  liceat,  nihil  im- 
pedit,  quominus  microscopio  ordinario  utamur,  praecipue  si  tarn  exigua  multi- 
plicatione  contenti  esse  velimus;  idem  adeo  praestaret  microscopium  simplex 
distantiae  focalis  =  -j-  dig. 

SCHOLION  3 

176.  Easdeni  igitur  nostras  formulas  nunc  etiam  ad  telescopia  adplice- 
mus,  ubi  est  a  =  cv>  et  sumitur  h  =  a;  turn  igitur  capi  oportet  0  =  0,  ita 
tamen,  ut  da  fiat  quantitas  finita;  cum  igitur  sit 


ita  ut  sit  6a  =  -^p,  unde  erit  porro 


P  X  P  JL  %P  L  J. 

%     et     r  =  -^~,     at    s  =  -r-^-     et     t  = 
P  PQ  3m 


turn  vero  intervalla  lentium 

primum  —p  (l  —  -^-)  ,     secundum  =  ~^~  (l  —  ^)  , 

A        J.'  P     f     *  1    \  J. 

tertmm  =  ™-   -^^  ----  L     quartum 
\  ^ 


3  \PQ        m  /       ^  9m 

pro  loco  oculi  manente 


Paciamus  nunc  duo  priora  intervalla  inter   se  aequalia?    et   quia  lentes  ob- 
iectivae  iam  sunt  multo  maiores,  statuamus  utrumque  ^-^jp  6t  reperietur 

v       25       ,     n       12      ,  .  .       25 

p-_    et    0-—     hincque 

unde  superiores  yalores  erunt 

24  ,  22 

.  et    r- 


224—226]  DE  ULTERIORI  HORUM  MICROS COPIORUM  PERFECTIONS  373 

tertiumque  intervallum 

1/22         1  \        22  p 

=  —  jp(— )  =  — P —  • 

3      \25        m/        75  3m 

Pro  eampo  porro  apparente  fiet  eius  semidiameter 


*  2  *       2          1718 

_         __________      YYll  n 


a       $w  +  1  4    w  + 1 

Denique  aequatio  pro  distinctione  visionis  etit 

//  vn  T^   /71  3fi  97 

M>  // £  iX//4JL  OD  ,  .A  « 

p3      \25 5~y 


8m         ""  ~8^T~/  =  F 


Hie  iam  proponi  solet  gradus  claritatis.  quo  obiecta  repraesententur,  qui  sit 
2/  =  gQdig.,  sumique  debet  o;  =  m^  =  ~dig.  et  capiatur  etiam  ut  in  libro 
superiore  Jc  =  50;  quibus  positis  reperietur 


ubi,  si  vitro  communi  utamur,  erit  ^  =  0,9381  et  v  =  0,2326;  at  vero  iam 
sumsimus  A  =  A'  —  I"  =  1 ,  et  quia  binae  postremae  lentes  debent  esse  utrin- 
que  aeque  convexae,  esse  oportet 

r"  —  1,6298     et     r  =  1  +  0,6298  (1  —  2  2))2  =  16,745, 
ex  quibus  valoribus  colligimus 

p  _  wf  (1,0931  w  +  188)  dig. 

PEOBLEMA  4 

177.  Loco  lentis  obiectivae  eiusmodi  quatuor  lentes  convexas  groxime  sibi 
iunctas  stdbstituere,  ut  Mnis  reliquis  lentibus  secundum  jpraecepta  superiora  consti- 
tutis  maior  claritatis  gradus  obtineatur. 

SOLUTIO 

Cum  hie  sex  habeantur  lentes  ideoque  quinque  intervalla,  totidem  quoque 
litterae  P,  Q,  JB,  S,  T  in  calculum  sunt  introducendae;  quarum  tres  priores 
P,  Q  et  E  unitati  proxime  sunt  aequales,  quia  quatuor  priores  lentes  sibi 


374  LIBEI  TEETH  SECTIO  TEETIA     CAPUT  II     §  177  [226—227 

proxime  iunctae  ponuntur;  ultima  vero  T  debet  esse  negativa  sive  T=  —  k, 
quia  imago  realis  in  ultimum  intervallum  incidit,  sicque  habebitur 


deinde  distantiae  focales  lentium  nunc  ita  exprimentur: 

_    •    A58a          _AB^a 
q  ___,     r___, 

ABCSia,        ±       ABCD^a       >_  i-nf,-r,-r,   h 


Intervalla  vero  lentium  ita  se  habent: 

Primum      =  A  a  (  1  —  -=-  J  , 


secundum  =  —  ABa   --  — 


tertinm 

quartum     =  -AS  CD  a 

(1  J)     \ 

•^TTWcfH  ----  )* 
PQES        ma) 


•^TTWcf 

PQES 
Distantia  vero  oculi  erit  ut  ante 


2 
perinde  ac  spatii  conspicui  semidiameter 

_  1         ah 

2     ma  +  'h 

Ob  hunc  ipsum  vero  campum,  ut  tantus  evadat,  oporbet  esse  ®  ««  —  2  Mnc- 
que  -£/=  —  -£  •  Postea  autem  ut  margo  coloratus  evanescat,  debet  esse 
^fc2^!,  ita  ut  sit  P()JR$=^'  Denique  ut  confusio  ab  apertura  lentium 
oriunda  prodeat  minima,  ex  superioribus  colligere  licet  hoc  fieri,  si  istae  ex- 
pressiones  quatuor 

-ABC® 


227—228]  DE  ULTEEIOEI  HOEUM  MICEOSCOPIOEUM  PERFECTIONS  375 

inter  se  aequales  reddantur;  unde  colligimus  has  determinations: 

3.    $)  =  — ^-  =  g;_l  =  2j;_3. 

Deinde  vero  ponatur  —ABCD=~d,  ut  fiat  quintae  lentis  distantia  focalis 

Ji 

m 
sextaeque 

=  _2_  .   _h ^ 

U  ~  3      "~m  ~  ~3 

et  inter  vallum  quintum  =-~t  =  '2u.  . 

lam  in  hac  aequatione  assumta  ABCD  =  —  d  loco  litterarum  A,  B,  C,  D 
introducantur  litterae  germanicae  respondentes   eritque 


i—  al-sj  i-ei- 

sive 


_  _  ___ 
i'-a?     4  -a' 

unde  per  6  istae  litterae  hoc  raodo  definientur: 


_.__,  ___f  --  _ 

ex  quibus  valoribus  primo  distantiae  focales  ita  definientur: 


^_ 

et     -^- 


20-2  „        0-3. 

et     D----, 


«    ±L  _5_       z5  =  2^.  -     et 


376 


LIBEI  TEETH  SECTIO  TEETIA     CAPTJT  H     §  177—179 


[228—229 


similique  modo  lentium  intervalla: 


Primum     =  - 

, 

seeuudum  =  - 

x     ,• 

tertram      =  - 


40 


4=6 


1   \ 

~PQ)> 


quartum     _  0  «  (          _  A)  , 


.    , 
qumtum     ----a 


ma 


mas 

*.#    .* 

3         w 


&  W, 


Quodsi  iam  velimus,  ut  trium  intervallorum  priorum  quodlibet  fiat 


litterae  P,  Q,  E  et  5  sequent!  modo  determinabuntur  : 

i  ^       (sfl-i)  P      J^_i 

~  "f 


(60-6) 

" 


1+0 


0 


His  praemissis  aequatio  pro  dato  distinctionis  gradu  obtinendo  sequent!  forma 
exprimi  poterit: 


l    / 
•jjT 


I" 


Pip 


pro  qua  brevitatis  gratia  ponamus 

l 
**"~ 

ita  ut  ji  denotet  quantitatem  illam  uncinulis  inclusam,  pro  qua  notetur 
litteris  I,  A',  A"  et  A'"  valorem  —  1  tribui  convenire,  ut  scilicet  haec  quanti- 
tas  minima  evadat,  et  quia  duae  postremae  lentes  utrinque  debent  esse 


229—230]  DE  ULTERIORI  HOKUM  MICEOSCOPIOEUM  PEBP1CTIONE  377 

aeque  convex  ae,  erit 


et 

x"»  _  i  i 


2T 


Quantitas  ergo  A,    si   loco   §1,  S3,  (£  et  ®   valores  inyenti  substituantur,   ita 
exprimetur: 

(1+0)*        y(fl  +  i)(5g»-6fl  +  6)        (1  +  0)2  (70  -5)    o 
1603  1603  ^  - 

( 


Atque  in  hoc  negotio  id  potissimum  intenditur,  ut  valor  ipsius  A  vel  plane 
ad  nihihim  redigatur  vel  saltim  tam  exiguus  reddatur,  ut  ex  hac  aequatione 
numerus  k  mnlto  maior  prodeat  quam  20,  etiamsi  apertura  primae  lentis 
tanta  accipiatur,  quam  eius  figura  permittit;  turn  autem  hoc  valore  pro  x 
assumto  pro  gradu  claritatis  hahebitur  y  =  ^  et  mensura  claritatis  flet 


ma  ma 

COBOLLARIUM  1 

178.  Quoniam  pro  microscopiis  6  semper  est  numerus  satis  magnus,  nisi 
forte  multiplicatio  exigua  requiratur,  quern  casum  hie  merito  excludimus, 
bina  postrema  membra  ipsius  A  manifesto  tam  sunt  parva,  ut  tuto  negligi 
queant,  sicque  hie  valor  aestimari  debebit  ex  prioribus  tantum  membris 

-60  +  5)        (l  +  0)*(70  — 5)    o. 


„  .         - 

160s  *~~  320s 

i/(0— 1)  (7  02  — 180  +  23)     r 
160s  '^ 

COROLLAEIUM  2 

179.   Cum  autem  sit   0  numerus   praemagnus,  haec   expressio   reducitur 
ad  sequentem  formam  proxime  veram: 

Opera  omnia  JH*  Dioptrica  48 


378  MBBI  TEETH  SECTIO  TEETIA     CAPUT  H     §  179—182  [230-232 

v         1 *  - 


16         16      ~  32  b        16    b  ^  160  ~  160    !    320   *    '    160    ^? 

quae  expressio  si  nihilo  esset  aequalis,  verus  valor  ipsius  A  sine  dubio  tarn 
foret  exiguus,  ut  litterae  x  maximus  valor,  quern  lentis  figura  permittit, 
tribui  posset. 

COEOLLAKIUM  3 

180.   Quoniam  littera  v  ab  indole  vitri  pendet,   cuius   valor,    prouti    re- 
fractio  ab  ^  =====  1,50  usque  ad  1,58  augetur,  ab  y  usque  ad  --  crescit.    Sumto 

21  o  ,     19 


quae  partes  cum  omnes  sint  positivae,  patet,  si  lentes  ex  tali  vitro  parentur, 
valorem  A  ad  nihilum  redigi  non  posse.     Sin  autem  fuerit  v  =  -j- ,  habebitur 

w- L  4-11  _L_Lr  +  _H-.r 

64  ^  64^^  64b^64<9    b? 

qui  valor  utique  nihilo  aequalis  esse  poterit,  quod  scilicet  eveniet  casu  #==00, 
si  fuerit  C^y,  qui  valor  ad  praxin  satis  est  accommodatus;  at  si  sumamus 

^7  1 

^==50,   turn  fiefc   -^=0,    si   fuerit   ^==393    seu    ^=jj,    quod    etiam    praxi 
maxime  convenit. 

COEOLLABIUM  4 

181.  Ut  igitur  valor  ipsius  A  ad  nihilum  redigatur,  vitro  uti  conveniet 
maiorem  refractionem  producente,  cuiusmodi  est  vitrum  crystallinum,  pro  quo 
n  =  1358;   ac  si  forte  praxis  minus  successerit,   commode  hie  usu  venit ,    ut 
lentium  priorum  intervallis  tantillum  mutatis  scopo  intento  satisfieri  queat; 
quod  remedium  in  praxi  eo  facilius   adhibetur,   quod   in   ipsa   lentium   con- 
structione  nulla  mutatio  exigitur. 

SCHOLION  1 

182,  Quod  6  semper  sit  numerus  satis  magnus,   ex  supra  traditis  facile 
perspicitur;  cum  enim  penultimae  lentis  distantia  focalis  t  uno  digito  minor 

1)  Editio  princeps:  A  -  ^  §  +  ~  .  J  +  ^ .  Oorrerit  E.  Oh. 


232-233]  DE  ULTERIOEI  HOEUM  MICROSCOPIOEUM  PEEFECTIONE  379 

statui  nequeat  ob  Ifi  =  8  dig.,  erit  #  =  j|  dig.;  quare,  cum  multiplicatio  m  vix 
minor  desiderari  soleat  quam  500  vel  480,  habebitur  hinc  6  =  30  dig.;  maxi- 
mam  autem  multiplicationem,  quam  quidem  ob  defectum  claritatis  adhuc 
desiderare  possumus,  aestimare  licet  m  =  960?  quo  ergo  casu  erit  #==60  dig., 
ita  ut  valores  ipsius  6  intra  30  et  60  contenti  sint  aestimandl  Hoc  autem 
notato  si  priora  membra  formulae  ji  fuerint  =  0,  facile  intelligetur  poste- 
riora  membra  neutiquam  esse  turbatura;  haec  enim  ultima  membra  certe 
adhuc  minora  erunt  quam  -gs~-;  unde,  si  priora  membra  actu  evanescant, 
prodibit  aequatio 

125 


sive  sumto  6  =  30  erit 


30 


..»* 
x  V   125ft 


Nunc  quod  ad  valorem  ipsius  x  attinet,  observemus,  si  lens  obiectiva  esset 
simplex  ideoque  eius  distantia  focalis  p  =  a  proxime,  turn  ob  eius  figuram 
capi  posse  x  =  ^-a  vel  certe  non  maius;  etsi  autem  hie  quatuor  lentes  con- 
vexae  in  locum  obiectivae  substituantur,  quarum  singularum  distantiae  focales 
sunt  fere  quadruplo  maiores,  tamen,  quia  primae  facies  anterior  est  concava 
ideoque  posterioris  faciei  radius  valde  parvus,  ea  vix  maiorem  aperturam 
admittet  quam  lens  simplex,  ita  ut  etiam  hoc  casu  x  maius  capi  nequeat 
quam  -g-#;  sit  ergo  x  —  -^a  et  sumto  a  =  -^  semper  erit  &>90,  quo  valore 
indicator  insignis  gradus  distinctionis,  cum  etiam  pro  optimis  telescopiis  hie 
valor  non  ultra  50  augeri  soleat;  ex  quo  concludere  licet  non  adeo  necessa- 
rium  esse,  ut  etiam  priora  membra  ipsius  ^/  penitus  evanescant,  dummodo 
ea  per  m  multiplicata  non  multum  superent  posteriora;  turn  autem  priora 
membra  fere  penitus  evanescere  debebunt;  at  iis  nihilo  aequalibus  positis 
valor  numeri  £  ita  in  genere  determinabitur,  ut  sit 


4tv)f 


ubi  inprimis  cavendum  est,  ne  littera  £  nimis  flat  parva,  quam  ut  inter- 
vallum  £jp  commode  in  praxi  locum  habere  queat,  id  quod  obtinetur,  dum- 
modo ^  next  notabiliter  minor  prodeat  quam  ^;  quamobrem  operae  pretium 


380  LIBEI  TEETH  SECTIO  TEETIA     CAPUT  II     §  182-183  [233-235 

erit  investigare,  an  etiam  vitro  communi  ad  hunc  scopum  uti  liceat,  quando- 
quidem  iam  vidimus  crystallinum  satis  esse  idoneum;  cum  igitur  pro  vitro 
communi  sit  n  =  1,55  et  v  =  0,2326,  fiet 

A 1 AQA         3»2326          3,2326          0,1630 

U,.LOOU  2i  2i2 r 


<-  0  cr  0* 


i  Q^Q    .        *  11,0366         2,8498" 

1,8718  +  —  g  ---  03—  +  —  03— 


Me  autem  primum  observari  convenit,  si  esset  6  =  <^>,  fore  £=~  circiter, 
qui  valor  utique  ad  praxin  maxime  esset  accommodatus;  at  si  sumamus 
6  =  30,  orietur  ?  =  jg,  qui  valor  nimis  est  exiguus;  unde  patet  pro  6  maiorem 
valorem  accipi  debere.  Sumto  autem  0  =  50  reperitur  ^^j^^^  Proxilne, 
qui  valor  adhuc  admitti  commode  poterit  Sumto  autein  6  =  60  eruitur 

<-        0,1082          1     r  ...... 

£  =  2^407  "  i8  LProximeJ,  qui  valor  praxi  egregie  convenire  videtur.  Hunc  igitur 
casum  sequenti  exemplo  fusius  evolvamus. 

EXEMPLUM  1 

183.  Si  omnes  lentes  ex  vitro  communi,  pro  quo  est  n  =  1,55,  confi- 
ciantur  ac  sumatur  0  =  60,  ut  microscopium  adeo  ad  multiplicationem 
w=1000  adhiberi  possit,  momenta  constructionis  sequenti  modo  se  habebunt 

Primo  scilicet  habebimus 


:  — ~r  proxime? 


.-,        --j,         -- 
atque  porro 


et  quia  modo  vidimus  sumi  debere  ^  =  ^,  erit 


P 


18  ~  270  ""  -1'2703' 
_  _  __.  _ 


235—236]  BE  ULTERIOEI  HORUM  MIOROSCOPIOEUM  PERFECTIONS  381 

unde  distantiae  focales  lentium  erunt 

p  =  (4  _  _L)  a  =  3,93330,          q  =  -£  =  4,57400, 
(0,5947571)  (0,6602996) 


Turn  vero 


4,99650,  s  =  -^  -  5,20060. 

(0,6986634)  (0,7160543) 


960    -,.  ,  320   ,. 

r.     et     u  =  -  dig. 

° 


m 


Harum  porro  quatuor  priorum  lentium  intervallum  commune  est 

=  A^  =  0,21850. 


=  79,332  a  —  —  dig. 

'  m       & 


Quartum  vero  intervallum  erit 
Quintum  vero 

A  U^tLJ      ~t» 

=  ^u  —  -=r  dl^ 

et  distantia  oculi 

l          160  n. 


Nunc  igitur  singularum  lentium  constructio  est  describenda. 

L  Pro  prima  lente 
cuius  distantia  focalis  est  $  =  3,9333  a  et  numeri 


erit 

radius 


anterior    -jz^z^  --4^86  ~  0,97758  a 

- 


quae  aperturam  admittit,  cuius  semidiameter  a?  «=  0,16833  a. 


382 


LIBEI  TEETH  SECTIO  TERTIA     CAPUT  II     §  183-184 


[236—237 


II.  Pro  secunda  lente 
cuius  distantia  focalis  est  #=.4,5740 a  et  numeri 


erit 


radius 


anterior 


posterior  = 


et 

SR  =  3  _  -  ~ 

15' 

1 

2 

-1,7682  a 

tf-23(e 

r  —  0)             2,5869 

1 

1         q              \ 

L  1  0284.  />. 

III.    Pro  lente  tertia 
cuius  distantia  focalis  est  r  =  4,9965  a  et  numeri 

A  —  1     et     (£  =  8t  —  2, 


erit 


radius 


anterior 


1,1502 


M_  4,3440^ 


9683 


IV.   Pro  quarta  lente 
cuius  distantia  focalis  s  =  5,2006  a  et  numeri 

A  -  1     et     3)  -  81  —  3, 


erit 


radius 


anterior    - 


posterior  = 
Hinc  ergo  deducitur  sequens 


=  5J865-  18'1522« 
3,3955  a. 


1,5316 


CONSTRUCTS  MICROSCOPE  EX  SEX  LENTIBUS  COMPOSITI 
EEFEACTIONE  VITRI  EXISTENTE  n  —  1,55 

184.   Pro  hoc  microscopic  sumitur  m  numerus  praemagnus  arbitrarius, 
quippe  a  quo  tantum  binae  lentes  posteriores  pendent. 


237—238]  DE  ULTERIORI  HOBUM  MIOEOSOOPIOEUM  PERFECTIONS  383 

I.   Pro  prima  lente 
cuius  distantia  focalis  p=  3,9333  a,  erit 

anterioris     =  —  0,97756  a 


radius  faciei  , 

posterioris   =  +  0,67332  a, 

eius  aperturae  semidiameter   =  0,16833  a 

et  distantia  ad  lentem  secundam    =0,2185  a. 

II.   Pro  secunda  lente 
cuius  distantia  focalis   q  =  4,5740  a,    erit 

anterioris     =  —  1,7682  a 


radius  faciei  , 

posterioris   =  +  1,0384  a; 

apertura  et  distantia  ad  lentem  sequentem  sunt  ut  ante. 

III.   Pro  tertia  lente 
cuius  distantia  focalis   r  =  4,9965  a,   est 

anterioris     =  —  4,3440  a 


radius  faciei  ,        ...  rtrtrt 

posterioris   =  +  1,6833  a, 

apertura  et  distantia  ad  lentem  sequentem  ut  ante. 

IV.   Pro  lente  quarta 
cuius  distantia  focalis   s  =====  5,2006  a,   erit 

f  anterioris     ==  18,15220 
radius  faciei  {  .    . 

I  posterioris   =*•   3,3955 a, 

apertura  ut  ante; 

AQ(\ 

distantia  ad  lentem  quintam  vero  erit   =  79,332  a ~  dig. 

V.  Pro  quinta  lente 

960 

cuius  distantia  focalis  est   t  =  —  dig.,  capiatur 

-,.         ,  .            .    .  .        1056  ,. 
radius  utriusque  faciei  « dig., 

*  7/1 

eius  aperturae  semidiameter  —  —  dig. 

&Af\ 

et  distantia  ad  lentem  sextam  — -     dig. 


384  LIBRE  TEETH  SECTIO  TERTIA     CAPUT  n     §  184—185  [239—240 

VI.   Pro  lente  sexta 

820 

cuius  distantia  focalis  ^  =  —  dig., 


radius  utriusque  faciei   = — dig., 
eius  aperturae  semidiameter   =  —  dig. 

1  60 

et  distantia  oculi   =  —  dig. 

VII.  Spatii  in  obiecto  conspicui  semidiameter  erit  =  — Vg  dig.  et  men- 
sura  claritatis,  qua  obiecta  repraesentabuntur,  erit  =====  26^328 ,  quae,  etiamsi 
multiplicatio  statuatur  m  =  1000,  adhuc  satis  est  magna. 


Hoc  tantum  in  hoc  genere  microscopiorum  displicebit  forte;  quod 
eorum  longitudo,  quippe  quae  fere  aequalis  est  80  a,  tarn  fit  enormis  ideoque 
minus  commoda  videbitur;  sed  cum  distantiam  obiecti  facile  ad  digiti  di- 
midium  vel  adeo  trientem  diminuere  liceat,  nihil  impedit,  quominus  haec 
microscopia  ad  quosvis  usus  adhiberi  queant. 

IX.  Etiamsi    hie    quaelibet    multiplicatio    peculiares    lentes    quintam   et 
sextam   postulat,    tamen  facile   intelligitur,    si  huiusmodi    instrumentum    ad 
certain  multiplicationem  fuerit   accommodatum,    turn   idem    etiam   tarn   pro 
maioribus    quam   pro  minoribus   multiplicationibus   optimo  successu  adhiberi 
posse,  dum  scilicet  eius  longitudo  sive  minuitur  sive  augetur. 

X.  Denique    cum    quatuor    lentes    priores    maiores    esse    debeant   quam 
apertura  primae  lentis,    artifici  praecipi  poterit,   ut  disci  harum  lentium  in 

diametro    contineant   ~|-  a,    ita    ut,    si    fuerit    a  =   ™  dig.,    diameter    horum 

i 
discorum  sit  y  dig. 

EXEMPLUM  2 

185.  Si  omnes  lentes  ex  vitro  crystalline  parentur,  omnia  momenta, 
quae  ad  constructionetn  microscopiorum  pertinent,  describere,  ita  ut  fiat 
^=0.  Cum  hoc  casu  sit  #  —  1,58,  erit  v  *=*  0,2529;  unde  ex  formula  supra 
data  colligemus 

3,2629      3,2529       0,2646 

^  '  ""  ~Q  0~r        "^r' 

6  ^  "       10,8226  '  "11,8689  " 

'  -  ~-       —     "s~  t" 


240-242]  DE  ULTERIOBI  HOKUM  MIOEOSCOPIOBUM  PEBFECTIONE  385 


iam  si  6  esset  infinitum,  foret  £  =  ^^  =  _L  circiter;  sin  autem  sumamus  ut 
ante  0  =  60,  prodibit  ^  =  5i?^f  =  _L  circiter;  unde  patet,  si  ipsi  £  minor 
valor  tribuatur,  turn  A  nactnrum  esse  valorem  negativum,  quern  commode 
in  nostrum  lucrum  convertere  poterimus;  cum  enim  turn  ex  aequatione  prin- 

cipal! pro  hoc  casu  flat 

,       —0,2094  +  1,9068  £ 
^=  16  ' 

si  ponamus  ut  in  exemplo  praecedente  ^===~,  fiet 

^  =  —  0,0065. 

Cum  autem  pro  prima  lente  sumserimus  A  =  1,  facile  intelligitur,  si  huic  A 
maior  valor  tribuatur,  fieri  posse,  ut  haec  expressio  pro  A  penitus  evanescat; 
hunc  in  finem  statuamus  A  =  1  +  <*>>  et  cum  in  computo  confusionis  ex  littera 
A  =  l  nata  sit  formula  ^,  nunc  ex  valore  A  =  1  +  co  nascetur  ^J^,  ita  ut 
nunc  valor  ^d  augmentum  accipiat 

CD  *l  +        » 

co, 


ita  ut  fiat 

^=0,0164  co  —  0,0065. 


Quare;  ut  fiat  _^  =  0,  capi  debebit  co  =  gygj  *=         sicque    pro    prima    lente 


statui  debebit  A  =  1  +  ~~  manentibus  pro  tribus  lentibus  sequentibus 
A'=  1  =  A"=  A/r/;  quo  effici  poterit,  ut  prima  lens  aliquanto  maioris  aperturae 
capax  reddatur.  Cum  igitur  sit  ut  in  exemplo  praecedente  6  —  60  et  ^  =  ^  , 
tain  distantiae  focales  quam  jntervalla  eosdem  quoque  valores  retinebunt 
tantumque  superest,  ut  singularum  lentium  constructio  doceatur. 

I.   Pro  prima  autem  lente 
cuius  distantia  focalis  jp  ==  339333  a  et  numeri 

et    21  =  4  —  i, 


erit 


anterior £- r-  = #- —  —  1,1129  a 

<y  — .  8C  (tf  —  (>)  +  t  y«>        —  4,0865  +  0,5524 

posterior  — — — ^ =  -  —»•?- —  «  +  0,7480  a, 

r  ^)  — -r)/a)         5,8106 --0,5524 


radius 


unde  haec  lens  aperturam  admittit?  cuius  semidiameter  rc««  0,1870 a. 

KULSJEI  Opera  omma  III 4  Bioptrica  4=9 


386  LIBRI  TERTII  SECTIO  TERTIA     CAPUT  II     §  185—188  [242—243 

n.  Pro  secunda  lente 
cuius  distantia  focalis  est  Q  =  4,5740  a ,  erit 


anterior     —  ^  =  -1,7292  a 
posterior  •=  +  --  =  +  1,0469  a . 


radius 


III.  Pro  tertia  lente 
cuius  distantia  focalis  r  =  4,9965  a ,    erit 

anterior     =  —  — J— -  =  —  4,1503  a 


-  . 

radius 

posterior  —  +  -~    —  +  1? 


IV.  Pro  lente  quarta     .. 
cuius  distantia  focalis  s  =  5,2006  a  ,   erit 

anterior     =        -  -  21,8973  a 


radius 

o 

posterior  =  TT^T;  ^    3,4983  a . 

l,4obb 

Hinc  ergo  sequitur 

CONSTRUCTIO  MICEOSCOPII  EX  SEX  LENTIBTJS  COMPOSITI 

186.  Constructis  ex  vitro  crystalline,  pro  quo  n  =  1,58,  quaternis  lentibus 
prioribus,  quemadmodum  modo  est  praeceptum,  pro  data  obiecti  distantia 
=  a  statuantur  intervalla  inter  has  lentes  =  ^j?  ===  0,2185  &  et  priori  lenti 
tribuatur  apertura,  cuius  semidiameter  o?==  0,1870  a,  et  intervallum  a  quarta 
harum  lentium  usque  ad  quintam 

=  79,332  a  ~~8-  dig. 

7  tm  C) 


m 


V.  Pro  quinta  lente 
cuius  distantia  focalis    t  =  ~  dig. 

7W  ° 

et  quam   una   cum  sexta  ex  vitro   communi   conficere   licebit,   capiatur 
radius  utriusque  faciei  «  1056  dig., 


243—244]  DE  ULTERIORI  HORUM  MICRO  SCOPIOBUM  PERFECTIONS  387 

eius  aperturae  semidiameter  =  —  dig. 
et  distantia  ad  lentem   sextam  =  —  dig. 

VI.  Pro  lente  sexta 
cuius  distantia  focalis  ^  =  — dig.,  erit 

radius  faciei  utriusque  =  -^  dig., 
eius  aperturae  semidiameter  =  —  dig. 

IfiO 

et  distantia  oculi   =  —  dig. 

m        ° 

VII.   Spatii  in  obiecto  conspicui  semidiameter  erit  ==^-^-^dig.;  at  men- 

29  920  a 

sura  claritatis  fiet  =  — '— — ,  satis  notabiliter  maior  quam  in  exemplo  prae- 
cedente. 

Ceterum  eadem  hie  erunt  observanda,  quae  supra  sunt  allata. 

COROLIARIUM  5 

187.  His    duobus   microscopiorum   generibus   inter   se  comparandis  istud 
insigne  commodum  consequimur,    quod,    si  forte   vitrum    occurrat,    cuius  re- 
fractio  medium  quodpiam  teneat  inter  refractiones  n  =  1,55  et  n  =  1,58,  turn 
per  regulam  interpolationum  constructio  lentium  facile  definiri  queat. 

SCHOLION  2 

188.  Accommodemus  formulas,  quas  in  hoc  problemate  invenimus,  etiam 
ad  telescopia,    quandoquidem   hie   determinationes   aliquantum  differentes  in- 
duximus.     Cum  igitur  sit  a  =  CVD  et  h  =  a,  debebit  esse  6  =  0,  sed  ita  tamen, 
ut  fiat  #a=  quantitati  finitae,  ponaturque  ##  =  £;  turn  ergo  fient  elementa 

nostra 

9f  —--  A.Q       jJQ  == 1       (J  = 2       55  == 8     et     (<£  ===== 2 

hincque 

^4=4/9       7? JL        n=  —  ^       D^  —  l     et     J5J==—  - 

^      .**>      ^~        2'  3?  4  3? 

turn  vero 

*   i  'r       _1    1  a  ?-      A4-  •*•      1  &f 

-f-\-Q,      p~Q°~l        d£      6t 


388  LIBEI  TERTn  SECTIO  TERTIA     CAPUT  II     §  188  [244—246 

Quare  distantiae  focales  lentium  erunt 


o  7  9          7 

j.  v  4_ 

£  ==  eti       %  ===  ~r~  ' 

m  3m 

et  lentium  intervalla 

primum  =  secundo  =  tertio  =  ^ 

— ,     giL__        3 


quartum  =  Zfl  —  6£)  --  ,     quintum 
^  v  *'  ^ 


ac  denique  distantia  oculi 


Porro  vero  campi  apparentis  semidiameter 


t       1718      . 
—  =  —  —  mm. 

a       m  +  1 


Denique  aequatio  pro  sufficiente  distinctione  comparanda  ent 


___ 
ft»~      Z8      116        32  16 

ubi  quidem  snmsimns  A  =  A'=  A"==  Aw=  1;  turn  vero  mimeri  A/w  et  A'w/  inde 
sumi  debent,  quod  binae  postremae  lentes  utrinque  debent  esse  aequaliter 
convexae.  Quodsi  iam  velimus,  ut  haec  expressio  penitus  ad  nihilum  redi- 
gatur,  poni  oportebit 

m(l  -|^)  -  my  (5  ~  23^)  +  2(r'-  6y)  +  64  A^-  0. 

Binas  autem  postremas  lentes  semper  licebit  ex  vitro  communi  construere, 
ubi  est  ^  =  1,55;  turn  autem  erit  A""—  16,74y  et  A"w=l?6298  hincque  bina 
membra  postrema  dabunt  118,7080?  ita  ut  esse  debeat 

m(l  -  |p  -  m^(5  -  23^)  +  118,7080  -  0; 

quodsi  iam  etiam  quatuor  priores  lentes  ex  eodem  vitro  communi  parentur, 
ob  ^==0,2326  reperietur 

~  0,1630m  +  2,8498  £m  +  118,7080  —  0 


246]  BE  ULTEKIORI  HOEUM  MIOBOSCOPIOEDM  PERFECTION!  389 

adeoque 

<-       0,1630m—  118,7080       f  1630m  —  1187080 


_ 
~  2,8498m  *  28498m 

Mnc  ergo  pro  £  valor  positivus  non  prodit,  nisi  sit 

1187080 

w  >     .,0on 

IboU 


seu     ^  >  728  circiter; 


tanta  vero  multiplicatio  vim  telescopiorum  longe  superat  ac  turn  quidem 
deberet  esse  £  =  0;  cum  tamen  ^  superare  debeat;  quod  incommodum  etiam 
locum  habet,  si  priores  lentes  ex  vitro  crystalline  conficiantur,  etsi  fiat  ali- 
quanto  minus.  Ex  quo  perspicuum  est  formulas  hie  inventas  ad  telescopia 
neutiquam  tanto  successu  applicari  posse  quam  ad  microscopia,  uti  modo 
ostendimus. 


OAPUT  m 

DE  SUMMA  MICROSCOPIORUM 
HUIUS  GENERIS  PERFECTIONE  DIM  OPE  LENTIUM 

CONCAYARUM  ET  EX  ALIA  YITRI  SPECIE 
CONFECTARUM  OMNIS  PLANE  CONFUSIO  AD  NIHILUM 

REDIGITUR 

PEOBLEMA  1 

189.  Loco  lentis  obiectivae  duas  lentes,  quarum  prior  sit  concava,  substitmre, 
ut  manentibus  binis  lentibus  posterioribus  confusio  omnis  tollatur. 

SOLUTIO 

Cum  hie  ergo  quatuor  habeantur  lentes  ideoque  tria  intervalla,  litterarum 
P,  Q,  E  ultima  debet  esse  negativa;  ponatur  ergo  J?  =  —  Jc,  et  ut  margo 
coloratus  tollatur,  ex  supra  traditis  manifestum  est  capi  debere  &  =  1?  ita 
ut  sit  PQ^—i  deinde  ut  simul  idem  campus  comparator  qui  ante,  debet 
esse  (£==  —  2  et  (7==—-;  unde  distantiae  foca/les  lentium  erunt 

P  in  3  m  ' 

intervalla  vero  lentium 

primum      ««  Aa  (l  —  -^ j , 

secundum  =====  —  -~  +  AB*  — 
et  P  m 

tertium      —  —  «  AB  •  —  —  2s 
B  m 


248—249]         DE  SUMMA  MICROSCOPIOBUM  HUIUS  GENERIS  PEKFECTIONE  391 

et  ut  ante  distantia  oculi 


quemadmodum  etiam  spatii  in  obiecto  conspicui  semidiameter  manet 

i       ah 


nunc  autem  cum  prima  lens  debeat  esse  concava,  necesse  est  sit  91  <  0 
ideoque  et  A  <  0,  quare  oportebit  esse  P<  1;  turn  vero  ob  AB  <  0  debet 
esse  S  >  0  ideoque  etiam  33  quantitas  positiva.  Ponamus  iam  ut  ante, 
quoniam  duae  priores  lentes  sibi  debent  esse  proximae,  intervallum  primum 
=  —  £jp  fietque 


Cum  prima  lens  sit  concava,  sit  ea  quoque  ex  vitro  crystalline  parata,  dum 
reliquae  ex  vitro  coronario  factae  esse  sumuntur,  ita  ut  nunc  n  denotet  1,58 
e^  n'  ^  i?53  =  n"  =  n'"9  quibus  reliquae  litterae  independentes  consentaneae 
esse  debent.  Quo  posito  aequatio  omnem  confusionem  a  diversa  radiorum 
refrangibilitate  oriundam  tollens  erit  [§  27] 

0.^1  +  ^.14      N'      1    .        &        1 
seu 


ubi    duo   posteriora   membra   manifesto   reiici  possunt,    et   cum   sit    circiter 
~  «  ^  et  P  =  1  proximo,  haec  aequatio  dabit 


10   j. 

u  ~  7  "  « 
adeoque 


qui  valor  ut  fiat  positivus  existente  81  <  0,  necesse  est,  ut  3  +  791  sit  posi- 
tivum  sive  —  91  <  -f  ;  si  autem  non  sit  P  ==  1,  adcuratius  habebimus 


ubi  tantum  notetur  esse  debere  S8  <  1,  ut  etiam  B  prodeat  positivum. 


392  LIBEI  TEETH  SECTIO  TEETIA     CAPUT  IE     §  189  [249-250 

Ponatur  igitur 

2    1 


et  addito   utrinque  -jzr  oportebit  esse 


Ne  nunc   binae   priores   lentes   sibi   nimium  fiant  vicinae,    statuamus    £=4 
capique  debebit 

1  _  21  <  _  1+1/10  +  ~     sen     1  —  8t  <  1,217. 
Sumamus  igitur 

1  —  91  -  1,2  =  | 

u 

eritque 

«  --  1    et    A  --  1; 

turn  vero  ob  £  —  y  erit  p  =  55  hincque 


"          10     5     35        250        125  ~     2    ~        2  ? 

unde  sequitur  AB  =  —  10-j-,  qui  valor  sine  dubio  nimis  est  parvus,  quia 
pro  magnis  multiplicationibus  pro  r  nimis  exiguum  praeberet  valorem; 
verum  notandum  est,  si  1  —  $t  tautillo  maior  caperetur  quam  ^  ,  ut  discrimen 
in  praxi  sentiri  non  posset,  tum  productum  AB  quantumvis  inagnum  evadere 
posse;  si  enim  ponamus  1  —  St==4  +  co 


qui  valor  adeo  infinitus  evaderet,  si  tantum  sumeretur  ca  =  ^  proxime^  quo 
pacto  valores  A9  ?!  et  33  vix  sensibiliter  mutarentur,  ita  ut  sumtis  his^e 
valoribus 

91      _  l       A      _  \       ?       I1 

^^  -y        ^^          ^f        y  —  -^ 

ob 


250-251]         BE  SUMMA  CHORDS  COPIOBUM  HUIUS  GENERIS  PERFECTIONS  393 

littera  S    adhuc   ut   indefinita   spectari   atque   sine  haesitatione  ita    definiri 

possit,   nt  littera  r  idoneum  valorem  nanciscatnr.  Quamobreni   habebimus, 
ut  sequitur: 

p  =  —  —a,      #  =  0,19212  a,      r  =  0-—  et    s  =  -*-r, 

O  ifl  *J 

ubi  6  pro  lubitu  assumi  potest;  deinde  vero  intervalla  erunt 

primum  =  —  —  p  =  —  a  ,     secundum  =  —=^  --  —  d  —  ,     tertium  =  2s. 

/  O  0  t  \J  ju  ift 

Nunc  denique,  ut  etiam  confusio  ab  apertura  lentium  oriunda  evanescat, 
satisfied  debet  huic  aequationi  [§  31]: 


Quodsi  iam  hie  sumatur  A'=l,   ob 

fi  =  0,8724,     v  =  0,2529,     ^=  0,9875,     ^=  0,2196 

calculo  facto  reperietur 

A  =  2,4137  +  0,0607  =  2,4744, 

unde  colligitur  rX(A  —  1)  =  1,0655;  quare  pro  lento  prim^  ex  vitro  crystalline 
paranda,   cuius  distantia  focalis  est  jp  =  —  -g-a  et  nnmeri 


erit 


81  =  _A    et    A  =  2,4744, 

5 
anterioris     =  —  — 


.  _       ^      w   ,   .rv.    -1)  1,8710-1,0655 

radius  laciei 

.     -     -  jP  P 

posterioris 

unde  fit 


9  +  8t  (tf  —  9)  ±  T  1/(A  —  1)        —  0,1469  +  1,0655 

anterioris     =  -~^  ==  —  0,2483  a 
v        .-     .   .  0,8055 

radius  faciei  < 

posterioris    =  7-7;?^  =  —  0,2177  a] 

•  U,i/lc)D 


quae    ergo   aperturae   capax  est,   cuius  semidiameter  aJ  =  0,0544  a,   nisi  forte 
secunda  lens  tantam  aperturam  non  patiatur. 

LBONHARDI  EULEHI  Opera  otnnia  III  4  Dioptrica,  50 


394  LIBEL  TEETH  SECTIO  TEETIA     OAPUT  III     §  189—192  [252—253 

Pro    secunda   autem  lente   ex    vitro    coronario,    cuius    distantia    focalis 
q  =  0,1 9212  a  "et  numeri 

5g  =  123        ^     „       , 

erit 


arferioris    -j-gt—  -  (^L-  0,7697  a 

posterioris  _  =  =  °'1173  a> 


radius  faciei 


cuius    ergo    apertura   maior    esse    nequit    quam    #  =  0,0293  a.      Hinc    autem 

colligitur 

Jix         0,2344    v 

y  _  -  =  __2  -    dig. 

^        ma  m          ° 

A.  fiftft 

Mncque  mensura  claritatis   =  -^-,   quae  ergo  fere  sexies  minor  est  quam  in 
ultimo  casu  capitis  praecedentis. 
Hinc  ergo  colligitur  sequens 

CONSTRUCT!*)  HUIUSMODI  MICEOSCOPIOEUM 
EX  QUATUOR  LENTIBUS  COMPOSITORUM 

190.   Posita  distantia  obiecti  ab  instrumento  =  a  et  multiplicatione  =====  m 
habebitur 

I.  Pro  prima  lente  concava  ex  vitro  crystalline  paranda,  cuius  distantia 
focalis  est  p  =  —  -~  a, 

»    .  .    anterioris    =—  0?2483a 
radius  faciei 

posterioris  =====  —  0,2177  a, 

eius  aperturae  semidiameter  ob  rationes  modo  allegatas  x  =  0,0293  a 
et  distantia  ad  lentem  secundam  =  —  j-p  =  0,0286  a, 

II.  Pro    secunda    lente    ex    vitro    coronario    paranda,    cuius    distantia 
focalis  est  #  =  0?1921a,  erit 

r  anterioris    =0,7697  a 
radius  taciei  { 

I  posterioris  =  0,1173  a; 

apertura  manet  ut  ante. 

Distantia  ad  lentem  tertiam  =Alwar—  !r, 

ooO  2     7 

ubi  r  denotat  distantiam  focalem  tertiae  lentis,  quam  pro  arbitrio  assumere  licet, 


253—254]         BE  SUMMA  MICROS  COPIORUM  HUIUS  GENERIS  PERFECTION  395 

in.    Pro  tertia  autem  lente,  cuius  distantia  focalis  =  r,    si  ex  vitro  co- 
ronario  paretur, 

radius  faciei  utriusque  =  1,06  r  ; 

perinde   autem    est,   ex   quanam   vitri   specie   haec  lens   atque  etiam   quarta 
parentur  ; 

eius  aperturae  semidiameter  =  ~r 

et  distantia  ad  lenteto  quartam  =  ~r. 

IV.  Pro  quarta  lente,   cuius  distantia  focalis  est   s  =  yr?  capiatur 

radius  utriusque  faciei  =====  1,06s 

vel  potius  secundum  indolem  vitri,  ex  qua  paratur. 
Aperturae  semidiameter  =  ^-  s 

et  distantia  ad  oculum  =-5-5. 

& 

V.  Porro  spatii  in  obiecto  conspicui  semidiameter  erit  ut  hactenus 

_   1        ah      _       4&       ... 
0  ='  2  '  '  'ma^+'h  =  ma  +  8      ^' 

VI.  Claritatis  autem,  qua  obiecta  conspicienttir,  mensura  erit  =-^^. 


COROLLARIUM  1 

191.  Hie   manifestum   est,   ne   duae   priores   lentes   nimis   fiant  exiguae, 
quam  ut  ab  artifice  adcurate  elaborari  possint?   necessario  distantiam  obiecti 
a  multo  maiorem  statui  debere  quam  hactenus.    Videtur  autem  haec  distantia 
a   vix  minor   duobus   digitis  commode  assumi  posse,    quod  quidem  in  praxi 
pro  lucro  est  habendum,  praesertim  cum  claritas  ab  hac  distantia  non  pendeai 

COROLLAKIUM  2 

192.  Sumta    autem    distantia    a  =  2  dig.    intervallum    secundum    evadet 
2^0  mr  —  Tr^    qu&re    si  sumamus  r==ldig.,   siquidem  ob  s==yf    commode 


minus  accipi  nequit,  pro  multiplicatione  m  =  280  hoc  intervallum  erit  40ydig,; 

60* 


396  LJBRI  TEETH  SECTIO  TERTIA     OAPUT  III     §  192-194  [254—256 

sin  autem  multiplicatio  desideretur  duplo  maior,  m  =  560,  hoc  interyallum 
get  =81—  dig.  atque  adeo  mains  pro  maioribus  multiplicationibus;  quae 
enormis  longitudo  sine  dubio  maxime  displicebit. 

SCHOLION 

193.  Quod  haec  microscopia  his  incommodis   sint   obnoxia,   causa   in  eo 
est   sita,   quod  distantiae  focales  priorum   lentium   nimis    sint   exiguae,    dum 
scilicet  p  et  q  tantum  parti  circiter  quintae  ipsius  a  aequari  debebant,  cum  in 
easu  postremo   capitis    praecedentis    hae    distantiae    focales    adeo    quadruple 
essent  maiores  quam  distantia  a}  atque  hinc  etiam  factum  est,   ut    mensura 
claritatis  hie  tantum  inyenta  sit  =~^-,  cum  ante  esset  ~~?  hoc  est  sexies 
maior    atque    adeo    secundum    yeritatem    trfcies  sexies    maior.     Quamobrem, 
etiamsi  artifex  in  constructione  horum  microscopiorum  omnem  diligentiam  et 
industriam  adhibeat  eique  opus  ex  yoto  succedat,  tamen  yehementer   dubito, 
an    haec    microscopia    ullam    praerogatiyam    prae   antecedentibus    mereantur, 
quamvis  hie  etiam  secunda  confusio  a  diversa  refrangibilitate  oriunda  penitus 
sit   sublata,    quod  in  praecedente   capite  praestare   non  licuit.     Hie    quidem 
primam  lentem   sumsimus  concayam,    secundam   yero   convexam;   yerum    ex 
superioribus  satis  liquet  nullum  commodum  exspectari  posse,   si   hae   lentes 
inter   se   permutarentur;   quin  potius   hie   ordo  iam  supra  anteferri  in  praxi 
debere  est  obseryatus  ideoque  superfluum  foret,  si  istum  casum  seorsim  eyol- 
vere  yellemus.     Quamobrem   nunc   statim  loco  lentis    obiectiyae   tres  lentes 
substituamus,   quarum  una  sit  eoncava  binaeque  reliquae  convexae,   et  inqui- 
ramus   praecipue,   num.  hoc   casu   distantia    focalis   harum  lentium  aliquanto 
maior  fieri   queat  quam   casu  hie   tractato    et  num.  forte  numerum  lentium 
ulterius  angendo  maiora  adhuc  commoda  sperari  queant. 

PEOBLEMA  2 

194.  Loco  lentis  obiectivae  tres  lentes  sibi  jproxime  iunctas  sitbstituere?  gfuarum 
prima  sit  eoncava  et  ex  vitro  crystallino  parata,  linae  autem  reliquae  convexae  ex 
vitro  coronario,  ut  wianentibus  binis  lentifius  gostrewiis  omnis  confusio  ad  niMlum 
redigatur. 

SOLUTIO 

Cum  hie  quatuor  habeantur  interyalla,  litterarum  Pf  Q,  JS,  8  ultima  erit 
negativa  et  margo  coloratus  tolletur,  si  fuerit  S***  —  1.    Binae  vero  primae 


256—257]         DE  SUMMA  MICEOSCOPIORUM  HUIUS  GENERIS  PERFECTIONS  397 


litterae  P  et  Q  unitati  proximo  erunt  aequales,  ita  ut  sit  PQE  =  ^.  Quod 
ad  reliquas  litteras  attinet,  conditio  campi  postulat,  ut  sit  33  =  —  2  et 
D  =  —  —  ,  et  cum  prima  lens  sit  concava,  erit  21  negativum  ideoque  etiam 
A,  ita  tamen,  ut  sit  —  A<1.  Deinde  ob  q  =  --  p-*#,  quia  haec  lens  debet 
esse  convexa,  littera  33  erit  positiva,  et  quia  tertia  lens,  pro  qua  est  r=A^  -a, 
etiam  debet  esse  convexa,  esse  debet  B($,  <  0,  et  quia  porro  fit 

.    2ABC 


1    PQE    "  —   m  ' 

ne  haec  lens  pro  maioribus  multiplicationibus  fiat  nimis  parva,  productum 
ABC  aequari  debet  numero  praemagno  positivo,  unde  concluditur  BC  fore 
numerum  magnum  negativum.  Cum  autem  sit  etiam  B&<0  hicque  numerus 
non  possit  esse  praemagnus,  sequitur  C  esse  debere  numerum  praemagnum 
Mncque  (£  unitati  proxime  aequale;  quamobrem  B  debet  esse  numerus  nega- 
tivus  hincque  23  >1,  contra  vero  (£<1,  sed  differentia  existente  valde  parva, 
ut  prodeat  C  numerus  praemagnus  positivus. 

His   notatis    consideremus   aequationem,    qua   confusio   posterior  penitus 
tollitur,  quae  erit 

0  _  10  _l_      J._         •*  i  1 

U  —  7  *  p   +  r>2^  -r 


ubi  ob  P$jR  =  ™  bina  postrema  membra  tuto  reiicere  licet,  et  cum  litterae 
P  et  Q  proxime  unitati  aequentur,  habebimus  hanc  determinationem: 

0  =  —   — -U  —  4--i 
ita  ut  sit 

p  10  \ ~q  **T/ 

sive  substitutis  valoribus 

A  7/1  1  \ 

"¥~~iovM  — "»/' 
et  quia  proxime  est  &  =  1,  obtinebimus 

1  +  A  -  -7- 

j^       „  ^-j^       :•::•__,,- 


398  LIBBI  TEETH  SECTIO  TEETIA     CAPUT  m     §  194-195  [257-258 

adeoque 

A i     ei     «  — f 

Cum  autem  sufficiat  rem  propemodum  tantum  definivisse,  sumamus  31  =  —  y 
et  statuendo  ambo  priora  intervalla 


fiet 

1   _  17         ,      _!__  _  17          3 

_  =  _     et     p-^  —  u 
Mncque 


58 


qui  yalores  substituti  dabunt 


0_        20  8  3 

u  --- 


0_        20          61 
U  ---    ^ 


_          __ 
14J5        14J5S 
seu 

n  _       20  _L  51  _      9 

u  ~  ~  T"  +  14 

ob  ^  —  i  —  1  vel 


hinc  ergo  non  enormiter  aberrabitur,  quicquid  pro  B  accipiatur;  quodsi 
autem  aequationem  ex  destructione  alterius  confusionis  consideremus,  patebit 
non  incongrue  sumi  posse  33  =  2  ideoque  B  —  —  2,  ita  ut  iam  sit 


37  17          ,  37 

'          --a    et    r==" 


turn  autem  aequatio  adhuc  resolvenda  erit 


3       ,    /»'    17-27,,          A    ,    f»'    27-37-r 

^  +  ---^- 


ubi  poni  potest  tam  A'  =  l  quam  A"=l,  et  ob 


258-259]         DE  SUMMA  MICROSCOPIOBUM  HUEUS  GENESIS  PERFECTIONS  399 

r  =  0,2529     et    */  =  0,2196     et     ^'  —  1||? 

a        8724 

fiet 

A  =  0,1897  +  0,3252  +  0,6322    adeoque    A  =  1,1471; 

unde  colligitur 


r  1/(A  —  1)  =  0,3365. 
Quare  pro  prima  lente  crystallina  erit 

r      mterior 

radius 


Pro  lente  secunda  ex  vitro  coronario  paranda  erit 

anterior    =  ^-^f^— ^  =_T^-.=  _  0?6708  < 
radius 

posterior  =  ^—gg-—  _  +  ^-JL_  =  +  0?2617  < 


Simili  modo  pro  tertia  lente 

anterior    =  ~  =  — ?—  =  3,8857  a 


radius 

posterior  —  ~  =      ^      =  0,5306  a; 


(5 

pro  quarum  lentium  apertura  sumi  poterit  ==0,0635  a,  hincque  sequitur 

CONSTBUCTIO  MICROSCOPE  EX  QUINQUE  LENTIBUS  COMPOSITI 
ET  OMNIS  FEEE  CONFUSIONIS  EXPERTJS 

195.   Hie  tres  res  pro  lubitu  assumi  possunt 

1.  distantia  obiecti  =  a, 

2.  multiplicatio  =  m, 

3.  distantia  focalis  quartae  leutis  »»  s. 


400  LIBEI  TEETH  SEOTIO  TEETIA     CAPUT  in     §  195—196  [259—260 

I.  Pro    priina   lente    crystallina,   cuius   distantia   focalis   $  =  —  0,5000  a, 

capiatur 

.  f  anterioris    =  —  0,2542  a 
radius  faciei  {  .     . 

I  postenons  =  +  2,0602  a, 

aperturae  semidiameter  #  =  0,0635  a,  qui  etiam  in  duabus  sequentibus  locum. 
habet,  et  distantia  ad  sequentem  =  —  #. 

II.  Pro  secunda  lente  ex  vitro  coronario  paranda,  cuius  distantia  focalis 
Q  =  0,8095  a,  capiatur 

f  anterioris    =  —  0,6708  a 
radius  faciei  {        ... 

I  postenons  ~  +  0,2617  a, 

distantia  ad  lentem  tertiam    —  jjfl- 

III.  Pro  tertia  lente  itidem  coronaria,  cuius  distantia  focalis  r==  0,8809  a, 

capiatur 

f  anterioris    =  3,8857  a 
radius  faciei  {       ,     .    . 

I  postenons  =  0,5306  a; 

eius   distantia  ad  lentem  quartam    =-———  —  -i-s. 

IV.  Quartam  lentem  pro  lubitu  ex  quovis  vitri  genere  construere  licet, 

o 

cuius  distantia  focalis  =s;  turn  erit  eius  distantia  ad  lentem  ocularem  *=  yS. 

V.  Ipsius    lentis    ocularis    distantia    focalis    erit    ==^5    eaque    pariter 
utrinque  aeque  convexa  et  distantia  ad  oculum  usque  —-J-s. 

VI.  Mensura  claritatis  erit  ™-  et  spatii  in  obiecto  conspicui  semidiameter 


SCHOLION  1 

196,  Si  casum  propositum  ita  iminutemus,  ut  binae  priores  lentes  sint 
concavae  et  ex  vitro  crystalline  factae,  turn  simili  modo  solutionem  ador- 
nando  omnia  eodem  modo  definientur,  nisi  quod  nunc  anabae  litterae  93  et  B 


260—262]         DE  SUMMA  MICROS COPIORUM  HU1TJS  GENERIS  PERFECTIONE  401 

debeant   esse   negativae;    ac   turn   destructio   alterius   confasionis   dabit   hanc 
aequationem: 

-i     .     A         7     .       3  A  3,3 

i    _i_     /j    ^__  i      c*£m  A    — —      i      • 

J.  -p  -a.  —  -j-  w  ^m        Sell       M.  —  -j 


unde,    si   sumatur   35  =  —  2   hincque   S  =  —  ~,   elicietur   A  =  —  ~   ideoque 
2t  =  —  jj7  qui  valores  praebent  distantias  focales 

= 9_a         =_      9  .  3 

ubi  est 


, 

sumsimus  autem  (£  =  1  proximo,   ut  pro  C  numerus  praemagnus  prodeat  et 
ponendo  ABC  =6  fiat  s  =  2<9-—  et  ut  ante  t  =  ^-s  ultimumqtie  intervallum 

7/t«  O  •*• 

===2#.     Duo   priora   vero   intervalla   erunt   per   hypothesin   =  —  -^[£a>   inter- 
vallum   vero  tertium   =6a(^  --  —  V 

\PQ        ma) 

Turn  vero,  ut  etiam  prior  confusio  evanescat,  sequent!  aequationi  satis- 
fieri  oportebit: 

(i-g)vr 


quae  fit  substitutis  valoribus 

o  =  ;  —  18Qa/  a-  80QO  (%_  _  *y\  _  j^_     30s    /r      _^\ 

U  —  /          121    +133lP\8  4/         ft  *118P§  W  +  OS"/7 

unde  sequitur 


Si  igitur  hie  capiatur  A"=l  et  ponatur  A'=A,  ut  scilicet  pro  utroque  valor 
minimus  reperiatur,  habebitur  ista  aequatio: 

1000> 


unde  facile  patet  valorem  ipsius  A  multo  maiorem  esse  proditurum  quam  12, 
unde  constructio  harum  lentium  admodum  lubrica  evaderet.    Interim  tamen 

LBONHAEDI  BULBBI  Opera  omnia  W.4,  Dioptrioa  61 


402 


LIBEI  TEETH  SECTIO  TEETIA     CAPUT  HI     §  196-197  [262—263 


s  §5 
~  et        =  y>  quibus  positis  aequatio  nostra  ad  hos  numeros  reducetur: 


hunc    casum    diligentius    evolvamus    sumto    ]y  =  y ,    0=  12,]  £  =  g- , 

P  ~   4 

2581^  =  52888,492, 

ita  ut  sit 

^  52888,5 

unde  colligitur 

Hinc  pro  prima  lente  erit 
anterioris 


—  l)  — 3,8742. 


radius  faciei 


posterioris 


2,7620  —  3,8742 
P 


unde  fit 


radius  faciei 


anterioris    = 


_1)       —1,0379  +  3,8742  ' 

=  +  0,7356  a 


1,1122 

posterioris  =  +  OQ^AQ  =  —  0,2885  a. 
Pro  secunda  lente 

anterioris    -,_8f,_o^,vtt_^- 0|6911 
radius  faciei 

posterioris-     .,  m/_      N  ,    w/,     .N    -  ^ 

J.,. 


=  —  1,9032  a 


Pro  lente  autero  tertia  ex  vitro  coronario  erit 

r  r 


radius  faciei 


anterioris 


==2,1504  a 


0,2267 
posterioris  =  r-  =  -~^"  ****  0,2937  a9); 

C?  l^DOUl 

/ v  v 

2,1147- a 


sumendo 


l)  Editio  princeps:  radius  faciei  I          *  T'  ^^^          Qui  falsi  Taloros  evenerunt 

y  l        *  '          \  poster.  «.•••*»  —  1.1033  -a, 

ft  a  .  ft        -^  ' 


-.  <^  loco  a  =  —  :A~-rtt.          Oorrexit  E.  Oh. 

4  A  10  -  4 


2)  Editio  princeps*.  radim  faciei 


anter. 


T 

6,2888 


0,2949-  a. 


Ob  ffi-  1 


4*  A* 

per  hypothesin  yalores  harum  fractionum  sunt  *~~9  -    •         Correxit  E.  Oh. 


263-264]          DE  SUMMA  MICRO  SCQPIOBUM  HUIUS  GENEEIS  PERFECTIONS  403 

quae  tres  lentes  cum  communem  circiter  aperturam  exigant,  eius  semidia- 
meter  sumi  debebit  x  =  0,0721  a,  ex  quo  fit  y  =  ^^  dig.  Mucque  mensura 
claritatis  =  ^  ,  quae  ergo  fere  triplo  maior  est  quam  casu  praecedentis 
problematis. 

Hinc  ergo  deducitur  sequens 

CONSTEUCTIO  MICROSCOPn  EX  QUMQUE  LENTIBTJS  GOMPOSITI 

197.   Hie  scilicet  primo  datur  distantia  obiecti  =  a,  deinde  multiplicatio 
=  m  ac  tertio  distantia  focalis  quartae  lentis  =  s;  unde  fit 


16 

I.  Pro  prima  lente   ex  vitro  crystallino  paranda,    cuius  distantia  focalis 
est  p  =  —  0,8182  a,  erit 

_    .  .  f  anterioris    =  +  0,7356  a 
radius  laciei  { 

\  posterioris  =  —  0,2885  a, 

eius  aperturae  semidiameter  #  =  0,0721  &,  quae  et  pro  binis  sequentib  as  valet, 
et  distantia  ad  secundam  lentem  =  0,1125  #. 

II.  Pro  secunda  lente  ex  vitro  crystallino  paranda,  cuius  distantia  focalis 
est  q  =  —  1,125  a,  erit 

„    .  .  f  anterioris     ==  —  1,9032^ 
radius  faciei  { 

I  posterioris  =  —  0,9930  a 

eiusque  distantia  ad  lentem  tertiam  ==0,1125  a. 

III.  Pro  lente  tertia  ex  vitro  coronario  paranda,   cuius  distantia  focalis 
r  =  0,4875  a,  erit 

„    .  .  r  anterioris    =2,1504  a 
radius  taciei  {  .    . 

[  posterioris  =  0,2937  a, 

eius  distantia  ad  lentem  quartam 

3         h  \       ISmas        1 
—  j  —  -j^        —s. 


404  LIBRI  TEETH  SECTIO  TERTIA     CAPUT  3H     §  197—199  [264-266 

IY.    Quartam  lentem  ex  quovis  vitro  pro  lubitu  construere  licet,    cuius 
distantia  focalis  sit  =  s;   turn  erit  eius  distantia  ad  lentem  ocularem  =y5. 

V.  Ipsius  autem  lentis  ocularis  erit  distantia  focalis   =y$  eiusque  ad 
oculum  distantia   =-g-s. 

VI.  Mensura  claritatis  autem  erit,  ut  vidimus,  —  -  —  spatiique  conspicui 


semidiameter  ut  hactenus  &  =  —  Vo  dig. 

ma  --  8       ° 


SCHOLION  2 

198.  Quanquam  autem  haec  microscopia  praecedentibus  anteferenda  vi- 
dentur,  tamen,  uti  iam  innuimus,  ea  nentiquam  commendare  audemus,  prop- 
terea  quod  eorum  constructio  summis  difficultatibus  est  implicata,  ut  etiam 
a  sollertissimo  artifice  exspectari  nequeat;  cuius  rei  causa  manifesto  in  eo  est 
posita,  quod  pro  litteris  A  et  JT  tarn  grandem  valorem  invenimus;  scilicet  ad 
viginti  assurgentem.  Facile  enim  intelligitur,  si  iste  valor  fuisset  unitate  vel 
adeo  binario  maior  vel  minor,  inde  harum  lentium  constructionem  non  sen- 
sibiliter  faisse  mutatam,  unde  vicissim  colligitur,  etiamsi  hae  lentes  summo 
studio  fuerint  elaboratae,  turn  maxime  probabile  fore  valorem  litterae  I  iis 
convenienteni  non  solum  unitate  vel  binario,  sed  etiam  magis  a  20  esse 
discrepaturum;  quod  si  eveniat,  confusio  inde  orta  adeo  multo  erit  maior, 
quam  si  lens  obiectiva  simplex  adhiberetur;  ex  quo  manifestum  est  perfec- 
tam  destructionem  confusionis  posterioris  nullo  plane  modo  sperari  posse; 
quare,  cum  adhuc,  ante  quam  diversa  vitri  indoles  erat  comperta,  hanc  con- 
fusionis  speciem  tolerare  sumus  coacti  et  sola  destructione  marginis  colorati 
contenti  esse  debuimus,  nunc  etiam  eo  facilius  huic  conditioni  renunciare 
poterimus,  cum  vitrum  crystallinum  adhibendo  saltern  hanc  confusionem 
quodammodo  diminuere  liceat,  quem  in  finem  exempla  quaedam  subiungamus, 
quae  ad  praxin  facile  accommodari  posse  videntur,  cum  pro  litteris  >L  valores 
unitate  non  multo  maiores  requirant  neque  tamen  a  praescripta  in  proble- 
mate  conditione  naultum  abhorreani 

EXEMPLUM  1 

199.   In  formulis  supra  iaventis  statuamus   K  —  —  ^    et  8  —  2  hmcque 
jfi^—      et  B^  —  2  manente  littera  ®  aliquantillum  minore  unitate  ?  ut  0 


266—267]         DE  SUMMA  MICEOSCOPIOEUM  HUIUS  GENEBIS  PERFECTIONS  405 

fiat  numerus  praemagnus.     Turn  igitur  erit  ex  fonnulis  superioribus 


unde  distantiae  focales  erunt 


3m  3  9      '  m 

Ut  igitur  hinc  prodeat  s  =  l  dig.  circiter  casu  m=1000,   debet  esse  (7=100 
ideoque  (£  =  —     Intervalla  vero  lentium  erunt 

primum  et  secundum  =  —  £p  =  -^-  £#, 

,     ,.               11  mas         1  ,  ,  2 

tertium  = — ~— s     et     quartum  = — s. 

Commode  autem  Me  sumere  poterimus  ?  =  y,  nt  sit 


Turn  vero  primam  lentem  concavam  ex  vitro  crystallino  parari  ponamus, 
quandoquidem  hoc  modo  altera  confusio  saltern  diminuetur,  secundam  vero  et 
tertiam  ex  vitro  coronario;  atque  nunc  prior  confusio  ad  nihilum  redigetur, 
si  fiat 


sve 


.       .  .-  - 

~  4  p     32      8        IV       >~    512  V''  100 

Cum  nunc  sit 

^  =  0,8724,     v  —  0,2529     et    /=  0,9875,     v'=  0,2196, 
sumamus  A'  —  A"  =  1  hincque  fiet 


406 


LIBEI  TEETE  SECTIO  TEETIA     CAPUT  III     §  199—200  [267—268 


0,1897 


-16,9622 


sen 

uncle  fit 

Ex  quo  sequitur: 


A  —  1,2022, 
rY(l  —  1)  =  0,3946. 

Pro  prima  lente 


radius  faciei 


anterioris 


posterioris 
* 


~ 


1,9087 


•  0,2620  a 

•  2,7086  a. 


radius  faciei 


Pro  secunda  autem  lente 
anterioris    •^^^  —  -^_  —  0>6906a 
posterioris  =  =  + 


erit 


radius  faciei 


Pro  tertia  lente 

anterioris    =  ~-— /^-^— N  •, 
posterioris  =  — - 


-  0,5514  a. 


Pro  harum  igitur  trium  lentium  apertura  communi  sumi  poterit 


unde  fit 


hincque  mensura  claritatis  fiet 


0,5240 


CONSTRUCTIO  MICEOSCOPII  EX  QDINQUE  LENTIBUS  COMPOSITI 
ET  AD  PBAXIN  MA.GIS  ACCOMMODATJ 

200.   Dantur  Me  distantia  obiecti  =  a  et  multiplicatio   «—  m  et   quartae 
lentis  distantia  focalis  =  s  hincque  erit: 


268-269]         DE  SUMMA  MICRO  SCOPIORUM  HTJIUS  GENERIS  PERFECTION  407 

I   Pro  prima  lente  ex  vitro  crystalline   paranda,   cuius  distantia  focalis 
est  p  =  —  y  a,  capiatur 

.    .  .  fanterioris    =  —  0,2620 a 
radius  faciei  ] 

iposterioris  ==  +  2, 7086  a, 

eius  aperturae  semidiameter  =  0,0655  a 
et  distantia  ad  lentem  secundam  =  —  a. 

II.  Pro  secunda  lente  ex  vitro  coronario  paranda,  cuius  distantia  focalis 
est  2  =  0,8333  a,   erit 

.  fanterioris    =  —  0,69060 
radius  faciei  { 

iposterioris  =-(-0,2694  a 

eiusque  distantia  ad  tertiam  lentem   —^fl- 

III.  Pro  tertia  lente  itidem  ex  vitro  coronario  paranda,    cuius  distantia 
focalis  r  =  0,9075 a,   capiatur 

_    .  .  fanterioris    =3, 7656  a 
radius  faciei  \ 

Iposterioris  =0,5514  a 

eiusque  distantia  a  lente  quarta  •11?^- — ~s. 

IV.  Perinde  est,  ex  quonam  vitri  genere  lens  quarta  conficiatur,  eiusque 
distantia  focalis    arbitrio   nostro   permittitur,    quae   sit  =s,    dummodo   haec 
lens  sit  utrinque  aeque  convexa,   ut  aperturam  admittat,   cuius  semidiameter 

eius  vero   a  lente  quinta  distantia  statuatur  =~|s. 

V.  Lens  denique  quinta  seu  ocularis  habeat   distantiam  focalem   =™s 

3 

et  semidiametrum  aperturae  ==  r^s, 

siquidem    est    utrinque    aequaliter    convexa;    turn    vero    distantia    oculi  erit 
i 


VI.    Spatii  in  obiecto  conspicui  semidiameter  erit  ut  hactenus   —  — —L  • 

met  — J-  o 

Mensura  vero  claritatis  erit  —  — —  • 


W, 


408  LIBEI  TEETH  SECTIO  TEKTIA     CAPTJT  HI     §  201-202  [270 

EXEMPLUM  2 

201.    Statuatur    hie    21  =  —  1    et    35  =  2    Mncque    A  =  —  y    et   .5  =  2 
sumaturque  £  =  -jf  fietque 

±==—        l   =  3 
P~~  3'     PQ        2  ' 

Quare  flent  distantiae  focales 

4  3    rr  c\  si      "> 

p  =  —  a,     2  =  -^,     r  =  y(£a,     3  =  20-  — 

ideoque  vicissim 

n  _  ms        ,       ,  _  1 
o  =  ^-     et     t  —  —89 

intervalla  vero 

.  i  l         j.  -L-  Smas       1,2 

primum  et  secundum  ===-ya'     tedium  ^-^  --  Y5?     quartum  =  —  5. 

lam  nt  confusio  prior  ad  nihilum  redigatur,  satisfieri  oportet  huic  aequationi: 

*  -  »'  +  f  T  <?-  ^  +  T  1  (1'08r+  i^o 


Statuatur   iterum   A'  =  Ar/  =  1    et  uti   in   praecedente    exemplo    calculo   facto 
reperietur 

A  =  0,5058  +  -^-2,2960 
^ 

seu  A  =  3,1047;  hinc  ergo  erit 


Ex  quo  erit 

Pro  prima  lente 


ius  faciei 


:^  ___  *,     ___    _     I  -^    ___  .^^     A  ^71  1  n 

.  "     *-  -—    ^T^  "  _,  ."^       .....  V««_/  I  XJL  W/ 

i 


1)  Editio  princeps;  I  =  3,0047, tr)/A  —  1  —  1,2424,  Oorrexit  E,  Oh.' 

anter.   ««•-«  —£—^~   0,5618* a 


2)  Editio  princeps:  radius  faciei 


Oonmit  E.  Oh, 


•17,3913^, 


271—272]       DE  SUMMA  MCROSCOPIORUM  HUIUS  GENERIS  PERFECTIONS  409 

Pro  secunda  lente 
erit  uti  in  praecedente  exemplo 

anterioris    = ^ 

radius  faciei  I 

.Posteriori**  =  +  3^35  ; 


quare,  cum  hie  sit  #  =  1,3333  a,   erit 

radius 


f  anterioris    —  —  1,1049  a 
faciei  \ 

(  postenoris  =  +  0,4310 a. 

Simili  modo  quoque  pro  tertia  lente  erit  ut  ante 


anterioris    = 


radius  faciei  \ 

posterioris  =  I-^r 

o 

Cum  igitur  hie    r  =  -^  (£a  =  1,4850  a,  erit 

(  anterioris     =6,1618  a 
radius  faciei          ... 

I  posterioris  =0,9023 a. 

Pro  communi  ergo  harum  lentium  apertura  sumi  poterit 

x  —  0,1077  a, 
unde  fit 

_  QJ8616 
m 

et  mensura  claritatis  =  17^232  - 
Ex  quibus  oritur  sequens 

CONSTEUCTIO  MICROSCOPE  EX  QUINQUE  LENTIBUS  COMPOSITI 

202.    Hie  igitur  dantur  distantia  obiecti  =  a ,  secundo  multiplicatio  ==  m 
et  tertio  distantia  focalis  quartae  lentis  =  s  eritque ; 

I.    Pro  prima  lente  ex  vitro  crystallino  paranda,   cuius  distantia  focalis 

est  p  —  —  a, 

EULBEI  Opera  omnia  III*  Dioptrica  62 


410  LIBEI  TEE.TII  SECTIO  TERTIA     CAPUT  III     §  202—204  [272—273 

(  anterioris    =  —   0,5711  a 
radius  faciei  {  .     . 

I  posteriory  =  +  3/,3134a, 

eius  aperturae  semidiameter  =  0,1077  a, 
distantia  ad  lentem  secundam   =  y#. 

II.  Pro  secunda  lente  ex  vitro  coronario  paranda,  cuius  distantia  focalis 
q  =  1,3333  a,  capiatur 

.     r  anterioris    =  —  1,1049  a 
radius  faciei  {        ... 

I  posterioris  =  +  0,4310  a 

eiusque  ad  lentem  tertiam  distantia   =~a. 

III.  Pro  tqrtia  lente  itidem  coronaria,  cuius  distantia  focalis  r  =  1,4850  a, 
capiatur 

f  anterioris    =  6,1618  a 
radius  faciei  {  .    .  ^rtrt 

I  posterioris  =  0,9023  a 


et  distantia  ad  lentem  quartam  ==  -^^  —  y$. 

IY.  Perinde  est,  ex  quonam  vitri  genere  lens  quarta  paretur,  eiusque 
distantia  focalis  in  nostro  arbitrio  relinquitur,  quae  sit  =5,  modo  sit  utrin- 
que  aeque  convexa;  unde  aperturam  admittet,  cuius  semidiameter  =  —  s; 

S) 

eius  vero  a  lente  quinta  intervallum   =====  |  s. 

V.  Lens  denique  quinta  habeat  distantiam  focalem   =  ---$  et  aperturam, 
cuius  semidiameter  ^jgS,  siquidem  est  utrinque  aeque  convexa,  et  distantia 
oculi    0  =  -r-$. 

D 

VI.  Spatii  in  obiecto  conspicui  semidiameter  =====  ----—«  et  mensura  clari- 

A  Witt  -f-o 

tatis  -=£!». 

Wl 

COHOLLAEIUM 

203.  Hoc  microscopium  ob  duplicem  causam  priori  anteferendum  videtur: 
1.  quod  distantiae  focales  trium  priorum  lentium  hie  smt  maiores  quam 
ante  respectu  distantiae  obiecti  a;  unde  hoc  commodum  nascitur,  quod, 


273-274]         DE  STOtMA  MICEOSCOPIOEUM  HTJIUS  GENERIS  PERFECTION  4H 

etiamsi  distantia  obiecti  a  hie  duplo  minor  capiatur  quam  ante,  tamen  istae 
lentes  non  evadant  nimis  exiguae;  unde  longitude  instrument!  fere  ad 
semissem  reduci  potest;  deinde  etiam  2.  Me  mensura  claritatis  fere  duplo 
maior  est  quam  casu  praecedente. 


PROBLEM!  3 

204.  Si  loco  lentis  obiectivae  guatuor  lentes  sibi  proximae  s^stituantur,  qua- 
rum  linae  prior  es  ex  vitro  crystallino,  posterior  es  vero  ex*  coronario  sint  factae, 
manentibus  binis  ultimis  lentibus  ut  hactenus  microscopium  ita  adornare,  ut  utra- 
que  confusio  penitus  tollatur. 

SOLUTIO 

Cum  Me  occurrant  quinque  intervalla,  quarum  tria  prima  sint  minima, 
litterae  P,  Q,  E  parum  ab  unitate  recedent,  littera  T  vero  erit  =  —  1,  ita 
ut  sit  PQBS=<  Litterarum  vero  A,  B,  C,  D,  E  haec  ultima  E  erit 


—  y    ob    @==  —  2,   ut   scilicet   campus  fiat  ut  hactenus 


maj-s 
spectetur  distantia  focalis  quintae  lentis 

t  =  ABCD®--  =  —  2ABCD-—  ; 

m  m 

quae  ne  nimis  fiat  exigua,  posito  ABCD  =  —  6,  ut  sit  t  =  2d-^,  numerus  6 
debet  esse  praemagnus.  Nunc  autem  solutionem  ita  instruamus,  ut  litterae 
A,  B,  C,  D  ex  calculo  elidantur,  huncque  in  finem  statuamus  brevitatis  gratia 

i  _  i^  __  R         1  . 

P~a>     PQ~py     PQR      r' 

quae  ergo  litterae  a,  /?,  y  ab  unitate  non  multum  discrepabunt,  ubi  probe 
notetur  has  litteras  cum  iis?  quae  supra  sunt  usurpatae,  confundi  non  debere. 
Cum  iam  distantiae  focales  quatuor  priorum  lentium  sint 


unde  colligitur 

62* 


412  LIBBI  TEETH  SECTIO  TEETIA     CAPUT  ILL     §  204  [274—276 


«  _  i  _  i  ^  A     m. L. L 

A 


yet 


_  ___ 

s~       ABC'S  ~       ABO       ABCD' 


manifestum  ergo  est  fore 


Cum  ergo  0  sit  numerus  praemagnus,  proximo  esse  oportet 

JL  +  ^  +  ^.  +  JL  =  A 

P          S         r         s          a  ' 

quae  est  prima  aequatio  probe  notanda.  Secundam  aequationem  nobis  sup- 
peditabit  destructio  posterioris  confusionis  [§  27],  quae^  si  brevitatis  gratia  loco 
fractionis  y  seu  quaecunque  alia  experientiae  fuerit  consentanea  scribatur  ^, 
hoc  modo  exprimetnr: 


p          q          r          5 

Tertia  yero  aequatio  ex  destructione  confusionis  prioris  [§  31]  est  petenda; 
ubi  cum  expediat,  ut  litterae  A,  A',  A",  A"'  non  multum  uoitatem  superent 
earumque  yalores  ob  litteras  ^,  v  etc.  parum  adficiantur  simulque,  ut  vidimus, 
litterae  /u  et  ^  parum  discrepent,  neglectis  terminis  a  v  pendentibus  statuamus 
A  =  X  =  A"  =  A'"  —  1  ac  tertia  nostra  aequatio  sequentem  induet  formam  : 


atque  nunc  totum  negotium  eo  est  reductum;  ut  Ms  tribus  aequationibus 
satisfiat,  ubi  quidem  est  notandum  primae  aequationi  satis  adcurate  satisfieri 
debere,  pro  duabus  posterioribus  autem  sufficere,  si  iis  propemodum  fuerit 
satisfactum;  quae  resolutio  quo  facilius  instituatur,  ponamus  porro 


x          y  —  v 

y 


p         a  q         a  r         a  s         a 

ut  tres  nostrae  aequationes  prodeant 


II.    £>  +  £&y  +  /?o?  +  yv  —  0, 
III   /  +  ccy3  +  /3^8  +  /^8  —  0  , 


276—277]         DE  SUMMA.  MICEOSCOPIOEUM  HUIUS  GENERIS  PEEFECTIOKE  413 

in  quibus   duabus   posterioribus   litterae  a,  (3  et  y  sine  notabili   errore  pro 
unitate  haberi  poterunt.     Statuamus  nunc,  quo  resolutio  planior  reddatur, 


et  tres  nostrae  aequationes  abibunt  in  has: 


i.  f  +*--!-, 


II. 
HI. 


Ex  duabus  prioribus  colligimus 


q 

et  quia  proxime  £=Y>  *am  habemus  lios  duos  valores: 


qui  in  tertia  substituti  dabunt 

_  1  _3  2_L  27  j_  A 
unde  concluditur 


ubi  nihil  imp  edit,  quominus  k  statuatur  =0;  interim  tamen,  quia  ob  litteras 
/?  et  y   posterior   pars  fe(^2+3^2)   aliquantum  augetur   eaque  etiam  tarn  ob 

terminos  littera  v  adfectos  aliquod  incrementum  capit  quam  ideo,  quod  haec 

/ 
pars  insuper  per  ™  multiplicari  debet,  quae  fractio  unitate  est  maior,  mani- 

festum  est  sumi  debere  g  >  "j/-^-    Convenientissime  ergo  sumetur  g  =  1 ;  turn 

vero  erit 

#=»0,       2/  =  —  2,       x  =  v*=*'h 

hincque 

oca  2  /)          4.  2 

jp  =  CVD?       g___?      r  =  -^/3a      et     s  — yya. 


414  LIBBI  TEETH  SECTIO  TERTIA     CAPUT  HI    §  204—205  [277—278 

Cum  igitur  hie  primae  lentis  distantia  focalis  fiat  infinita,  idem  est  ac  si  haec 
prima  lens  penitus  tolleretur  locoque  obiectivae  tantum  tres  lentes  substi- 
tuerentur,  quarum  sola  prima  ex  vitro  crystallino  sit  paranda;  et  quia  hie 
fit  a  =  l  et  SI  — —  y,  idem  plane  hie  habetur  casus,  quern  iam  supra  in 
problemate  2  evolvimus,  ita  ut  superfluum  foret  hoc  problema  ulterius 
prosequi. 

SCHOLION 

205,  Hoc  igitur  problema  ideo  potissimum  est  notatu  dignum,  quod  hie 
singulari  prorsus  methodo  sumus  usi  eius  solutionem  investigandi,  quae  in 
aliis  oceasionibus  insignem  usum  afferre  posse  videtur,  ex  quo  etiam  per- 
spicuum  est  ne  opus  quidem  esse  quicquam  insuper  ad  hoc  caput  adiicere. 


CAPUT  IV 

DE  ULTERIOEI  AMPLIFICATIOKE  CAMPI 
HUIC  MIOROSCOPIOEUM  GENERI  CONOlLLiNDI 

PROBLEMA  1 

206.  Cuiuscungue  indolis  fuerit  lens  obiectiva,  post  imaginem  realem  duas  ad- 
Jmc  lentes  ita  disponere,  ut  margine  color  ato  evanescente  campus  maximus  evadat. 

SOLUTIO 

Quemadmodum  in  superior!  capite  vidimus  naturam  lentis  obiectivae, 
sive  sit  simplex  sive  multiplicata,  nibil  in  lentibus  posterioribus  mutare,  ita 
vicissim  nmltiplicatio  lentium  posteriorum  neutiqnam  lentem  obiectivam  ad- 
ficiet;  quamobrem  considerabimus  Me  lentem  obiectivam  ut  simplicem,  guando- 
quidem  determinationes,  quas  inveniemus,  aeque  ad  omn.es  multiplicatas  quoque 
erunt  accommodatae.  Cum  igitur  iam  habeantur  tria  intervalla,  litterarum 
P,  Q,  E  secunda  erit  negativa  hincque  ponatur  ^  =  —  Jc,  ut  sit  m 

distantiae  igitur  focales  erunt 


-.  , 

=  --^.  a,     r^-^^-^a    et 

unde  concluditur  fore  (£>1,  Mnc  (7<0.     Turn  vero  intervalla  erunt 


prmum  = 
secundum  ==  —  A  Ba(     +    r  > 


416  LIBEI  TEETH  SECTIO  TEETIA     CAPUT  IV     §  206 [280-281 

unde  sequitur  R<I.     Cum  porro  pro  campo  apparente  sit 


ut  campus  fiat  maxiinus,  debet  esse  q  =  1,  r  =  1  et  §  =  1,  ut  fiat 

_     Bah       i. 

M 
ex  quo  erit 

5 

hincque  aequationes  fundamentales 


2.   e  = 
Pro  loco  oculi  vero  distaritia 


Ma    m       Ma    m        3    V     '    ma, 
Margo  autem  coloratus  destruetur  ope  huius  aequationis  L§23]: 

•*•       _•*•        ^__ 

—  ^^        p/c2?  ' 

unde  invenitur 

*-!+£' 

Quia  vero  debet  esse  R<1,  statuamus  jR===Y  fietque 


If,  Q         /^4« 

/I/  * tj         Cu 

ita  ut  sit 

•n  2i  Wl  Cb  i  •»%  7  .o  '/rv  v* 

p  B-S  —         et     PA  ==  — f.  —  ? 
ex  quo  concluditur 


seu 

^        6w#  +  3A 

^   app  _ «__„.. 

ma  + A 


281-282]  BE  ULTEEIORI  AMPLIFICATIONS  CAMPI  417 

pro  magnis  igitur  multiplicationibus  erit  (£  =  5  Mncqne  C=  —  ~   Ex  priore 
vero  aequatione  prodit 

a  —  %ma\  „ 3h 

3h       J  m 


et  pro  magnis  multiplicationibus 

£ 
Statuamus  igitur 


_2     et    5  =  —  -. 

o 


et     C--, 

4 


dum  est,  ut  vidimus, 
fientque  distantiae  focales 


5  Ah 


I  *J  JLJ./V  JL 

w    '  3m  6m         2 

et  intervalla  lentium 

primum  =  A  a  (I — - — ),     secundum  = ,     tertium  = 

x  \         2m&/  3m  7 

Ne  igitur  distantiae  focales  posteriorum  lentium  fiant  nimis  parvae,  necesse 
est,  ut  A  sit  numerus  praemagnus  ideoque  St  =  1  proxime,  unde  patet  has 
determinationes  lentem  obiectivam  non  adficere  et  perinde  valere,  utcunque 
lens  obiectiva  fuerit  comparata;  quamobrem  iam  conveniet  loco  litterae  A 
distantiam  focalem  q  in  computum  introducere,  ut  sit  A  =  |~,  sicque  fient 
distantiae  focales  sequentium  lentium 

et  intervalla  erunt 

mqaf^         3h  \       mag       1  ,  4^        j.     ..  5a 

primum  =    -V 1 1  —  ^ —   ^  ~^r  — TT  ? ?     secundum  =  —- ,     tertium  =  -r~- 
r  3A   \         2wa/         37i         2  ^  9  36 

et  distantia  oculi  proxime 

"^IT^^'si"* 

LEON  HARD  i  EULERI  Opera  omnia  Til  4  Dioptrica  68 


418  LIBBI  TEBTH  SEOTIO  TEBTIA     CAPUT  IV     §  206—209  [282-284 

In  omnibus  igitur  casibus  antea  tractatis  loco  binarum  lentium  posteriorum 
adhibere  licebit  has  ternas  lentes,  dummodo  intervalla  hie  indicata  observentur, 
hocque  modo  id  lucri  nascetur,  quod  campus  apparens  augeatur  in  ratione 

2  :  3,  siquidem  hie  est 

_     Bah      .. 


COKOLLAKEUM  1 

207.   Cum  littera  E  arbitrio   nostro   permittatur,   dummodo   sit  unitate 
minor,  ponamus  M  =  ^-  eritque  k==—  et  ob  PkR  =-~  erit 

,       -T,       Sma 

(±4-          jJ • 

CU          JL     ~~~^      '. 


unde  sequitur 

hincque 

<7=-{     et    £  =  -~ 

COEOLLAEIUM  2 


208.  Hoc  ergo  casu  M  =  y  jfiet  #  =  —    hincque  vicissim  A  =      ,  unde 
sequentes  distantiae  focales  fient: 


1         ,  3 

et   8-- 


et  intervalla  lentium 
primum 


~o-  q,     secundum  —  -  q     et     tertium  ==  >\  '-  $  =*=  ;^  a. 


10 


SOHOLION 


209.  Hie  scilicet  litteris  %$  et  &  ex  aequationibus  fundamentalibus  eos 
valores  tribuimus,  quos  obtinerent,  si  multiplicatio  m  reyera  esset  infinite 
magaa,  neque  vero  hinc  nostra  solutio  erroris  redargui  potest,  nequidem  pro 
minoribus  multiplicationibus;  dum  enim  hoc  modo  a  veris  harum  litterarum 
valoribus  recedimus,  nihil  aliud  inde  est  metuendum,  nisi  quod  campus  ap- 
parens non  tantus  sit  proditurus,  quam  hie  supposuimus;  quod  vitium  facile 


284-285]  DE  ULTERIORI  AMPLIFICATIONS  CAMPI  419 

est  condonandum,  praecipue  quoniam  pro  maioribus  multiplicationibus  nequidem 
fiet  sensibile,  quemadmodmn  iam  supra  observavinms;  quando  autem  in  his 
determinationibus  litteram  m  quasi  infinitam  spectamus,  quoniam  P  earn  quoque 
involvit  ob  M  =  -^-  in  eadem  scilicet  hypothesi,  habebimus  in  genere 

ma  "  •*• 

* 


ma  ma 


ubi  probe  notandum  est  hanc  hypothesin  m  =  oo  tantum  in  his  yaloribus  ad- 
hiberi;  deinde  litteram  A,  qua  numerus  praemagnus  indicator,  ex  calculo  ex- 
trusimus  eiusque  loco  distantiam  focalem  q  introduximus,  ita  ut  sit  J.  =  ^, 
unde  in  genere  reliquae  erunt 


_  ---  -  -  -  - 

Jc  ma  ma 

Turn  vero  etiam  intervalla  lentium 

maa       maq 
prunurn  -- 


secundum  =  (JB  +  l)l  +      2  = 
tertium  =  (l  -  ^)s  =  (1 


Cum  autem  sit  P=r^|-,    valores    hie    assignati   sequenti    modo   multo   con- 

flfC  jtl 

cinnius  exprimentur: 


3 


^-.-,  .__,  «____, 

Deinde  distantiae  focales 


ac  denique  intervalla 

primum  -  ~£  -  ^ ,     secundum  -  -^^~  ,    tertium  -  (1  -  JZ)  s 

1 

existente  distantia  oculi  proxime  0==*^s. 


420  LIBBI  TEETH  SEOTIO  TERTIA     CAPUT  IV     §  209-212  [285—286 

Hactenus  autem  nondum  rationem  habuimus  marginis  colorati,  cuius  de- 
structio  postulat 


imde  formulae  inventae  in  sequentes  abibunt: 

3  3  3  —  . 


E 


et  intervalla 


, 
secundum  - 


tertium  =  (1  —  K)  s  . 

Has  igitur  determinationes  cum  singulis  microscopiorum  speciebus,  quas  in 
praecedentibus  capitibus  descripsirnus,  combinare  licebit  sicque  obtinebitur 
sequens 

CONSTKTJCTIO  GENERALIS  MICEOSOOPIOEUM  HUIUS  GENERIS 
QUA  EORUM  CAMPUS  IN  RATIONS  SESQUIALTERA  AUGETUR 

210.  Hie  iterum  distantia  obiecti  a  pro  lubitu  assumi  potest  perinde  ac 
multiplicatio  m;  turn  vero  etiam  distantia  focalis  q  arbitrio  nostro  permit- 
titur,  quam  tantam  assumi  conyenit,  ut  postrema  lens  ocularis  non  fiat  nimis 
parva;  praeterea  vero  quoque  fractio  R  ab  arbitrio  nostro  pendet,  dummodo 
ea  unitate  sit  minor;  hie  autem  accipiamus  It  =  -~  ,  qui  valor  ad  praxin 
maxime  accommodatus  videtur. 

I.  Sive  lens  obiectiva  revera  sit  simplex  sive  ex  duabus  pluribusve  len- 
tibus  proxime  sibi  iunctis  composita,  ea  He  ut  unica  spectetur,  ita  ut  eius 
loco  omnes  constructiones  in  superioribus  capitibus  datae  substitui  possint, 
atque  inde  dabitur  eius  aperturae  semidiameter  =  ^;  turn  vero  eius  a  secunda 
lente  distantia  erit  =  ~~  —  y^r;  quod  autem  intervallum  ob  indolem  lentis 
obiectivae  aliquantum  immutari  potest,  cuius  tamen  ratio  in  praxi  non  attend! 
meretur. 


286—288]  DE  ULTERIOEI  AMPLIFICATIONS  CAMPI  421 

n.  Pro  secunda  lente  notandum  est  earn  aeque  ac  sequentes  ex  quovis 
vitri  genere  parari  posse,  dummodo  sint  utrinque  aequaliter  convexae,  ut 
ipsis  maxima  apertura  tribui  possit.  Sit  igitur  secundae  lentis  distantia 
focalis  =£  eritque  distantia  ad  lentem  tertiam  =4"<Z* 

m  Pro  tertia  lente  eius  distantia  focalis  capiatur  r  =  ~q  et  distantia 
ad  quartam  lentem  =35^- 

IV.  Pro  quarta  lente  eius  distantia  focalis  capiatur  s  =  ^q  et  distantia 
ad   oculum    0  =  yS  proxime. 

V.  Nunc  autem  spatii  in  obiecto  conspicui  erit  semidiameter 

3  all       ,         3        ah 


4   ma 

et  mensura  claritatis  eadem  manebit  ut  ante,    scilicet  =20-—  ,  dum  nempe 
mensurae  in  digitis  exprimuntur. 

COEOLLARIUM 

211.    Si   ergo   nolimus,   ut  lens   ocularis  minor  fiat  quam  y  dig.,  posito 
I  fi 

5  =====  Y  dig.   sumi    debebit   q  =  y  dig.   hincque   intervallum   primum 


at  si  in  superioribus  lens  ocularis  etiam  statuatur  =ydig.?  penultima  fit 
1  dig.  et  idem  intervallum  prodit  circiter;  unde  patet  praesenti  casu  longi- 
tudinem  instrumenti  notabiliter  fore  minorem. 

PKOBLEMA  2 

212.    Guiuscunque  indolis  fuerit  lens  obiectiva,  post  imaginem  realem  tres  adhuc 
lentes  ita  disyonere,  ut  margine  colorato  evanescente  campus  evadat  maximus. 

SOLUTIO 

Cum  hie  habeantur  quatuor  intervalla,  litterarum  P,   Q,.  R,  8  secunda 
iterum  erit  negativa  sitque  ergo    Q*=  —  k>  ut  fiat  Pfc$$  =  ^-     Distantiae 


422  LIBEJ  TEETH  SECTIO  TBRTIA     CAPUT  IV     §  212—214  [288—289 

ergo  focales  erunt 


unde,  si  loco  A  littera  y  in  calculum  introducatur,  ob  A  =  —  -^j-  erit 

BCDg 

'         mEs 

Simili  modo  intervalla  lentium  per  q  ita  reperientur  expressa: 
primum  =—  i    +  i-^     seciindum  ^•i  + 


^  ,. 

=l-,     quartum 


lam  ut  campus  apparens  prodeat  maximus,  statuantur  litterae 
ut  fiat  M  =  —  ^-rj-  campi  semidiametro  existente 

ma  -f-  «  r 


ma+h  ma  +  h 

sumto  £  =  -j-;  qui  ergo  campus  quasi  fit  quadruplicates,  dum  in  problemate 
praecedente  erat  triplicates,  antea  yero  tantum  duplicates.  Hinc  ergo  aequa- 
tiones  fundamentales  dabunt 

Cum  autem  sufficiat  his  formulis  proxime  satisfecisse,  quia  parum  interest, 
etiamsi  campus  aliquantem  fiat  minor,  spectemus  multiplicationem  m  cum 
numero  P  quasi  infinitam  ac  turn  istae  litterae  concinnius  ita  exprimentur 

ob  M  =  ~~ : 

ma 

™ 4& jP         ,  S  _  _  Jth 

ma  JP  ma 


ma  ?  ma 


289—290]  DE  ULTERIOEI  AMPLIFICATION  CAMPI  423 

et  cum  sit  P  =  h™%8  ,  tae  expressiones  etiam  conimodius  ita  exprimentur; 


At  ob  conditioner*!,  qua  margo  coloratus  destrui  debet,  habebimus  istam 
aequationem : 

ill  i 

=  P  ~~Fk~  PkR  ~  PJcRS' 
ex  qua  nascitur 

&=l     +     £      +££, 

ita  ut  litterae  E  et  8  arbitrio  nostro  permittantur.  Cum  autem  bina  ultima 
intervalla  fiant  certe  satis  exigua,  litterae  R  et  8  parum  ab  unitate  discrepare 
possunt;  unde  litterae  (£  et  2)  manifesto  fient  unitate  maiores  hincque  G 
et  D  negativae,  dum  e  contrario  littera  23  ipsa  ac  propterea  etiam  J5  sunt 
negativae;  quare,  ut  nostra  intervalla  lentium  fiant  positiva,  evidens  est 
esse  debere  $<1  et  JS<1;  qua  conditione  observata  nunc  omnia  momenta 
facile  determinari  poterunt. 

COEOLLAEIUM  1 

213.    Cum  igitur  tarn  R  quam  S  sint  fractiones  unitate  minores,  litterae 
Jc  valor  certe  ternarium  superabit,  quoniam 

JL>i    et   -L>JL. 


COEOLLAEIUM  2 
214.    Cum  sit 

^P  _  _  ma 

-g.  _., 

erit  primum  intervallum 

maq        ItES 

^_  *  v 


cuius  pars  prior  ^-  minor  est  quam  casu  praecedentis  problematic,  ita  ut 
hie  longitudo  instrument!  adhuc  minor  sit  proditura. 


424  LIBEI  TEETH  SECTIO  TEET1A     CAPUT  IV     §  215—218  [290-292 

COEOLLAEIUM  3 

215.  Has  ergo  quaternas  lentes  etiam  cum  omnibus  lentibus  obiectiyis 
sive  simplicibus  siye  compositis,  quas  supra  descripsimus,  combinare  licebit; 
unde  hoc  insigne  commodum  assequemur,  ut  campus  apparens  prodeat  qua- 
druplicates, cum  in  praecedentibus  tantum  esset  duplicatus. 


EXEMPLUM  1 

216.    Cum  litterae  E  et  S  debeant  esse  unitate   minores,  consideremus 
casum   quasi   simplicissimum   et  ponamus   E  =  y  et  S  =  y ,  ut  fiat  ES  =  y 

hincque 

&  =  l  +  2  +  3  =  6; 

ex  his  igitur  valoribus,  qui  -ad  praxin  satis  accommodati  videntur,  colliguntur 
litterae 


deinde  ex  distantia  focali  q  sequentes  ita  definientur: 

_ii  _22          /_!!    _  L 

denique  vero  interyalla  lentium 

maq        1  .,  7          ,     ,.  11  1  , 

primum  =  -~  —  --  j,     secundum  =  T^  g,     tertmm  ==  — ~  g  ==  -  -  c, 

,  11 

quartum  =  YOT?* 


EXEMPLUM  2 

217.   Statuamus  nunc  tarn  $  =  y  quam  S=y  ac  prodibit 

eritque 


292—293]  BE  ULTERIOEI  AMPLIFICATIONS  CAMPI  425 

et  distantiae  focales  ita  per  $  exprimentur: 

15  90  .         36 

r=23^'  S 

et  intervalla 


maa         7                      ,                8           ,     ,.               15 
pnmum  =  — — q,     secundum  ==  — q,     tertium  = q, 

,  18 

quartum  =—q. 

Quod  tandem  ad  locum  oculi  attinet,  hie  in  genere  erit 

~        1  .  /.    .      h  \        1  . 

0  =  — 1{  1 H =  —  t  proxime. 

4     \         ma/         4      r 

PEOBLEMA  3 

218.  Cuiuscunque  indolis  fuerit  lens  obiectiva,  post  imaginem  realem  quot- 
cunque  adhuc  lentesy  quarum  numerus  sit  =  i,  ita  disponere,  ut  evanescente  margine 
colorato  campus  maximus  evadat. 

SOLUTIO 

Si  operatio  instituatur  ut  in  problematibus  antecedentibus,  erit  semper 
Q  =  —  k  litterarumque  sequentium  It,  8,  T  etc.  numerus  erit  i  —  1  sitque 
ultima  —  Z;  turn  vero  pro  campo  hie  habebitur 

M* 
ideoque 


ma  + 


Quodsi  deinde  etiam  ut  ante  pro   determinatione  litterarum  33,  K,  3)  mul- 
tiplicationem  m  cum  numero  P  ut  infinite  magnam  consideremus,  reperiemus 


ma      '  ma 


_2      g  =  _  3    etc. 

ma  ' 

LBONHAKDI  EULBEI  Opera  omnia  III4  Bioptrica 


426  LIBBI  TERTH  SECTIO  TEETIA     CAPUT  IV     §  218—219  [293—294 

Destructio  vero  marginis  colorati  dabit 

,-,1,1,1  l 

If  ___       I       |  ,  l_  .  L  •  .  .  •  

*"  •*-       I       T->      1"    TT»  r/  ~"j~     TDCX/77  TDO'F         >7  ' 

JtlbJL  2t/jjL  . .  £ 


quorum  terminorum  numerus  est  i. 

Nunc  vero  has  litteras  ita  definiamus,  ut  fiat 

*          4 
~*> 


_  —  - 

E~    '     ES         '      BST~>     RSTU" 

atque  ultimus 


ESTU.,2 
ideoqne 

E  =  -£->     S  =  v?     ^7  =  ~T'     U=~  —  ac  tandem    Z=-^— 

2  o  4  5  ^ 

Cum  igitur  hinc  prodeat 

fc  =  14-2  +  3.-v  +  i, 
hoc  est 


_ 
et  cum  sit   EST  ____  Z=4,  erit 


hincque 

et  hinc  porro 
l 


PA       iwa3     PlcE       ima'     PJcES      ima'     PJcRST       ima 
donee  perveniatur  ad 


etc., 


_ 
PJcRST.  .Z~  ma' 

lam  ex  his  formulis  litterae  nostrae  germanicae  SB,  (£,  ®  etc.  reperiuntur 


,  ,  - 

donee  ultimus  3  fiat  ==  1   [hincque] 


, 


294-295]  DE  ULTEEIORI  AMPLIFICATIONS  CAMPI  427 

Ex  Ms  igitur  valoribus  poterimus  distantias  focales  omnium  lentium  post 
secundam  per  huius  ipsius  distantiam  focalem  q  definire,  quod  facile  praesta- 
bitur  sequenti  modo: 

.0  * 

.    ===    •  - AT*D*O  V  - — •  •  — — - •  ft 

/y          §RZ-          ^         j 2  -L  a     '       OJ-5V  o        fi  \  j       ;t' 


i—  9  i2  +  i—  9 


i2  +  i~16  i2  +  i—  16 

5M^=l8>     erg°     tt-?+i=i2 

sicque   ulterius 

is  +  i—  25  i2  +  i  —  36 

^  =  ^  +  ^-20-^        «'-?+f=80't; 

Lentium  intervalla  denique  ita  determinabuntur: 

l  r-n 
primum  =  -  ^(P 


secundum  =  —  -  .2     .        -r, 


tertium     =  —     (-B  — 
quartum  -^-.(^- 


quintum  -  -  |  (T-  1)  =-^+._16  -^, 
sextum     •-Z7-l-.1^    etc. 


COEOLLARIUM  1 

219.   Si  igitur  sit  i==l,  ut  lens  uuica  post  imaginem  realem  reperiatur, 
erit  r  =  -z-q  et  intervalla 

-*• 


primum  =  ^—  —  —3,     secundum  =  2r 

2  rt  2 

et 


64* 


428  LIBRI  TERTIT  SECTIO  TERTIA     CAPUT  IV     §  220—223  [296-297 

COEOLLAEIUM  2 

220.   Si  i  =  2,  ut  sint  duae  lentes  post  imaginem  realem,  earum  distantiae 
focales  erunt 

5  15 


5  , 

-q     et 


turn  vero  intervalla 

maq        1                      ,44,     ^  1            5 

pnmum  —  — -~  —  —  q,  secundum  =  ~-r  =  — •  q,     tertmm  =  —  s  =  —  c 

D  fi        2                                o          y  .4         oo " 


et 

~~B 


COEOLLAEIUM  3 
221.   Si  sit  i  =  3,  ut  tres  lentes  post  imaginem  realem  reperiantur,   erit 

r  =  —          =™    =~        t  =  —    =  — 

turn   vero   intervalla 

maq        1  ,77 

pnmum  =  -~  —  ~~q,       secundum  =  — r  =  — q, 

4A          2  *                                       11           18^ 
tertium   =  ~-  s  =  — -  q,      quartum     ==  -  t  = q. 

Pro   loco   denique   oculi 


COEOLLAEIUM  4 

222.   Si  sit  i  =  4,  ut  quatuor  lentes  post  imaginem  realem  reperiantur, 
earum  distantiae  focales  erunt 


418 


turn  vero  intervalla  erunt 


297—298]  DE  ULTEEIORI  AMPLIFICATIONS  CAMPI  429 

maq         1  ,  11  11  ...  1  19 

prmmm  =  —^  —  y2,      secundum  =  ^r  =  —  2,     tertium  =  —  s  ==  ^2, 


,  1  ,         38  .    ,  1 

quartum  =  — - 1  =  — £ ,     quintum  =  ~-  u  = 


209 


945 

et  pro  loco  oculi 


COROLLAEIUM  5 

223.    Si   sit  i  =  5,   ut  quinqne   lentes   post  imaginem   realem   disponan- 
tur,  erit 

29  13  13-29  7  7-13-29^ 

^45^'       5=14r  =  l4T45^      *  =  ^S  ~  8nT««' 

7  ,  7-13-29  1  7-13-29      . 


turn  vero  interyalla  erunt 

primum  =^—  12     secundum  =  ||  r  =  g  2  ,     tertium  =  A  , 

1  13-19  •    .  1  13-29 


1  7-13-29 

sextum  -^= 


ac  denique 


= 

6 


SECTIO  QVARTA. 

DE 

MICROSCOPIIS 

COMPOSITIS, 

IN  QyiBVS  DVAE  IMAGINES 

REALES  OCCVRRVNT. 


OAPUT  I 

DE  mcKOSCOPiis  SIMPLIOIOEDBUS  HTJIUS  GENESIS 

PRAEMONITUM 

Cum  microscopia  ad  hanc  sectionem  relata  iterum  situ  erecto  obiecta 
repraesentent,  litterae  q,  t,  §,  t  etc.  una  cum  multiplicatione  m  eadem  retinent 
signa,  quae  in  praeceptis  generalibus  sunt  usurpata. 

PROBLEMA  1 

224.  Microscopium  hums  generis  ex  trilus  lentilus  comjbonere  eiusque  quali- 
tates  et  defectus  investigare. 

SOLUTIO 

Cum  hie  tantum  tres  lentes  occurrant  ideoque  duo  intervalla,  in  quorum 
utroque  imago  realis  existit,  ambae  litterae  P  et  Q  statuendae  sunt  negativae; 
quamobrem  ponamus  P=  —  Jc  et  $  =  —  Jc,  ut  sit  fc^'=~;  distantiae  vero 
focales  lentium  erunt 

-499  a  ABa       A  ^    Ji 


intervalla  vero  lentium 

primum  =  Aa  (1  +  -=rj  ,     secundum  =  —  r—  (1  +  j^\ 

ita  ut  prima  imago  realis  distet  a  prima  lente  intervallo  ==  Aa  et  a  secunda 
intervallo  aaa"3p;   posterior  vero   imago   realis   post  lentem   secundam  cadit 

LBONHAEDI  EULBKI  Opera  omnia  ni4  Bioptrica  56 


434  LEBEI  TEETH  SECTIO  QUARTA     CAPUT  I     §  224—227  [302—303 


intervallo  =  ~|~  efc  ante  tertiam  intervallo  =  j~  ?  ac  si  spatii  in  obiecto 
conspicui  semidiameter  sit  =  t,  semidiameter  prioris  imaginis  erit  =  As,  quae 
est  inversa,  posterioris  vero  =  ABz,  quae  iterum  est  erecta.  Hinc  igitur 
patet  esse  debere  A>0  et  B>0,  nude  quoque  fient  §t>0  et  35  >0;  ita 
tamen,  ut  sit  SI  <  1  et  S3  <  1.  Turn  vero  erit 


-.  7 

li  ma  —  h 

ut  sit  $  =  Ma£,  unde  nanciscimur 


ex  quo  perspicuum  est,  cum  93  sit  positivum,  fieri  q  negatiyum  eoque  ergo 
campum  apparentem  diminui;  quare,  ne  is  penitus  ad  nitdlum  redigatur, 
tribui  debebit  litterae  r  maximus  valor,  qui  est  unitas,  et  posito  q  =  —  co 
debet  esse  w  <  1,  cum  sit 

1  —  CO         , 


ma  —  i 
deinde  ob 


co  co        ma  —  h 

quia  $j  <  1,  debebit  esse 


quae  quidem  conditio  facile  impletur,  si  fuerit 


et  quia  insuper  est  w  <  1,  ad  hoc  requiritur,  ut  sit  ma  >  fe^  quae  quidem  con- 
ditio pro  maioribus  nxultiplicationibus  sponte  habet  locum.  Quodsi  vellemus 
assumere  w=  ^"^  v7-,  prodiret  ^==1  hincque  B  =====  c\s  et  instrumentum  fieret 

ma  +  hk  7    r  *  ^   .  ^ 

infinite  longum;  ex  quo  perspicuum  est  necessario  capi  oportere  ^>^j!L^* 

Nunc  etiam  videamus?   num  margo   coloratus   destrui  possit;   quern  in 
finem  ante  locus  oculi  examinari  debet  hac  aequatione  detenninatus  [§  18]; 

s\  V  M>  i  -« 

Q  m       .  _,    Ob    r  ^  1  , 
m 


304—305]  DE  MICROSCOPES  SIMPLICIORIBUS  HTJ3US  GENEEIS  435 

Quoniam  igitur  r  est  positivum,  utique  erit  0>0,  iinde  pro  destructione 
marginis  colorati  habebitur  ista  aequatio: 

rC  KK 

quod  cum  fieri  nequeat,  manifestum  est  huiusmodi  microscopia  insigni  vitio 
marginis  colorati  laborare,  ita  ut  superfluum  foret  in  reliqua  constructionis 
praecepta  inquirere. 

COEOLLAEIUM  1 

225.  Cum  ob  duas  imagines  reales  pauciores   quam  tres  lentes  adhiberi 
nequeant,   constructio  in  problemate  contenta  utique  est  simplicissima,    quae 
locum  habere  queat;  quare,   cum  earn  repudiare  cogamur,   ad  minimum  qua- 
tuor  lentibus  uti  oportebit. 

COEOLLAEIUM  2 

226.  Quoniam  formula  pro  destructione  marginis  colorati  duabus  constat 
partibus   positivis,   ista    confusio    multo   erit    maior   quam  in    telescopiis   et 
microscopiis  ex  duabus  tantum  lentibus  formatis  ideoque  multo  minus  tolerari 
poterit, 

SCHOLION 

227.  Cum  igitur  tribus  lentibus   Me   propositis  unam  ad  minimum  in- 
super   adiici   oporteat,   id  triplici  modo  fieri  poterit;   primo  enim  haec  nova 
lens  inter  lentem  obiectivam  et  primam  imaginem  realem,    secundo  insuper 
inter  imaginem  realem  primam  et  secundam,   ita  ut  in  hoc  intervallo   duae 
lentes  constituantur,   tertio  vero  inter  imaginem  realem  secundam  et  lentem 
ocularem  cadere  poterit.    Verum  hie  tertius  casus  eodem  vitio  laborabit,  quod 
hie  est  reprehensum;   litterae  enim  P  et   Q  eosdem  retinebunt  valores  — k 
et  — ft,   quippe  quibus  tantum  tertia  litter  a  jR   adiungitur,    sicque  littera  q 
retinebit   quoque  valorem    negativum,    qui   sit   q  = —  a?,   unde  pro   margine 
colorato  destruendo  habebitur  ista  aequatio: 


K  K>  - 


quae  neutiquam  subsistere  potest,  nisi  vel  t  vel  §  capiatur  negativum?  quod 
autem,  cum  iam  q  habeat  valorem  negativum,  neutiquam  expedit,  quoniam 
alioquin  campus  nimis  redderetur  angustus,  quocirca  tantum  bird  casus  priores 
nobis  evolvendi  relinquuntur. 


66* 


436  LIBEI  TERTII  SECTIO  QTTARTA     CAPUT  I     §  228  [305-306 


PROBLEM!  2 

228.  Microscopia  hums  generis  ita  ex  quatuor  lentibus  componere,  ut  secunda 
adhuc  ante  prior  em  imaginem  realem  cadat,  tertia  vero  inter  ambas  imagines 
ideogue  sola  ocularis  post  secundam  imaginem,  in  quo  id  potissimum  efficiatur,  ut 
margo  coloratus  evanescat. 

SOLTJTIO 

Hie  ergo  habentur  tria  intervalla  totidemque  litterae  P,  Q  et  R,  quarum 
duae  posteriores  debent  esse  negativae.  Ponamns  itaque  Q  ==  —  Jc  et  R  =  —  kf, 
nt  sit  P&&'=;  distantiae  porro  focales  harum  lentium  erunt 


.  ,  ABC 

-----a     et     8__ 


__r.-.- 

turn  vero  intervalla  lentium 

primum  =  Aa  (  1  —  -p  ),     secundum  =  --  p-  (  1  +  ~r  J  ? 

,     ,. 
tertmm  __ 


unde  patet  esse  debere  — AB>0  et  (7>0.  Deinde  notetur  primam  imaginem 
cadere  post  lentem  secundam  ad  intervallum  = ~p—  et  ante  tertiam  inter- 
vallo = pj~  ,  posteriorem  vero  imaginem  cadere  post  lentem  tertiam 

intervallo  == j^-  et  ante  ocularem  intervallo  = pj#^  9  p^&eterea  vero 

imaginis   prioris   inversae    radium    esse    =  AB0,    posterioris    vero    erectae 


existente 
hincque 


ita  ut  sit  j&=»,3fa£,  quae  quantitas  per  hypothesin  debet  esse  positiva;   ex 
hoc  autem  valore  deductae  sunt  sequentes  formulae: 

Cr  -  - 


306-807]  _  PE  MEGEOSQOPnS  S3MPLICIOBIBUS  EUIUS  GENERIS  437 

Ob  conditionem  <7>0  autem  modo  allatam  debet  esse  (£  >  0  et  £<1?  ex 
quo  perspicumn  est  vel  q  vel  r  esse  debere  negativum.  Utrnm  igitur  locum 
habeat,  conveniet  §  sumi  positive  atque  adeo  poni  g  =  1,  ut  sit 


ma  —  li 
Hinc  autem  oculi  distantia  post  lentem  ocularem  prodibit 


quia   igitur  s>0,    haec    distantia   fiet  positiva  ideoque  margo   coloratus  de- 
struetur  ope  huius  aequationis: 


0-1-J 

U~~ 


P       P7c^P£fc" 

quae  neutiquam   subsistere  posset,   si   esset  r<0,   unde  necesse  est,   ut  sit 
q  <  0.     Statuatur  q  =  —  co  eritque 

__*o>  +  r 
atque  nunc  novimus  esse  debere 

93  =  ^—  •  M    et     ®  = 
qui  valor  cum  esse  debeat  positivus,  erit 

hincque 

0)> 

Cum  autem  sit 


=          =     P7c 

orietur  haec  aequatio: 


?(l  +  r)(P—  PA  — 1)&  —  (Pft  +  1)  (1  +  r)r  >  0, 

quae  aequatio  conditionem  continet;  secundum  quam  littera  co  debet  definiri. 
Definitis  autem  convenienter  litteris  a?  et  r  indeque  deductis  valoribus  &  et  £, 
saltim  quam  proxime;  reliqua  elementa  innotescunt;  turn  vero  nihil  aliud 
superest,  nisi  ut  apertura  lentis  obiectivae  ex  aequatione  pro  semidiametro 
confusionis  determinetur. 


438  LIBEI  TERTII  SECTIO  QUARTA     CAPUT  I     §  229-232  [308—309 

COROLLAEIUM  1 
229.    Ponamus  brevitatis  gratia 

ma ™ 

~F  =  JJ  ' 

ut  sit 


et  habebimus 

»—  "- 

et 


ex  quo  patet  fore  CD  >  ®r,  ubi  constat  esse  K  >  0  et  K  <  1. 


COROLLAEIUM  2 

230.    Cum  igitur  co  notabiliter  maius  esse  debeat  quam  Kr,   videamus, 
an  fieri  possit  co  =  t;  quern  in  finem  ponamus  o>  =  r  et  ultima  aequatio  fiet 


unde  concluditur 


quod,  cum  esse  debeat  r  >  0,  fieri  nequit  sicque  etiam  certum  est  esse  debere 

CD  >  r,    ita   ut   campus    ne   ad  valorem   eius   simplicem    quidem    $  =    ~  , 

x  *  ma  —  h 

augeri  possit  ob  1  —  w  -f-  r  <  1. 

COEOLLABIUM  3 

231.  Cum  igitur  sit  co  —  r>0,  plurimum  interest  nosse,  quomodo  isti 
formulae  minimus  valor  concilietur;  quern  in  finem  litteris  co  et  r  ut  varia- 
bilibus  spectatis  hoc  eveniet,  si  sit  dco  =»  die,  cui  regulae  convenienter  diffe- 
rentietur  nostra  aequatio 


309-310] DE  MIOBOSCOPIIS  SIMPLICIORIETJg  HUIUS  GENEBIS  439 

(co  -  ©  r)  (m  -  1)  =  (3R  (fcco  +  r)  +  1)  (1  -  co  +  r) 
ac  prodibit 

(l-e)(3R-l)- 
unde  colligimus 

1      co  +  r 
ita  ut  sit 

Jf- 


quae  formula  praebet  maximum  campum,  quern  quid  em  obtinere  licet.     Hie 
autem  campus  maximus  obtinebitur  capiendo 


qui  valor  in  nostra  aequatione  substitutes  dabit 


ubi  membra  litteram  r  continentia  se  mntuo  tollunt;  relinquitur  haec  aequatio  : 

(1  -  C)(l  +  (Efc)  +  3K(C  +  *)((£*  +  1)  -0, 
quae  reducitur  ad  hanc: 


quae  cum  sit  impossibilis  ,  sequitur  hunc  campum  maximum  ne  quidem  ob- 
tmeri  posse. 

SCHOLION  I2) 

232.  Parum  vero  refert,  utrum  campum  ilium  maximum  obtinere  que- 
amus  necne^  cum  etiam  Me  non  desint  remedia  campum  pro  lubitu  ampli- 
ficandi;  quare  relicta  hac  investigatione  aliquot  casus  evolvamus,  qui  ad 


1)  Hie  in  principale  uncinulo  deest  tertius  terminus  ^,  quamo"brem  loco  aequationis  se- 
qnentis  prodiret  aequateo 


nikllommus  EULEEI  conclusio  evidenter  reman  et.  E.  Ch. 

2)  Scholion  2  invenitur  p.  447.  E.  Ch, 


440  LIBR1  TERTII  SECTIO  QUANTA     CAPUT  I     §  232-232a  [310-311 


praxin  inprimis  accomrnodati  videntur,  ac  primo  quidem  apparet  litteram  P 
unitati  non  nimis  yicinam  assumi  posse,  quia  turn  secunda  lens  primae  tarn 
esset  propinqua,  ut  ambae  tanquam  una  spectari  possent;  ex  quo  casus 
praecedente  problemate  tractatus  resultaret,  quern  locum  habere  non  posse 
vidimus.  Quamobrem  pro  P  numerum  satis  magnum  accipi  conveniet;  deinde 
etiam,  cum  semper  sit  o»r?  e  re  erit  r  quam  minimum  accipere;  denique 
etiam,  ut  ad  campum  maximum,  quantum  fieri  licet,  appropinquemus  ,  con- 
veniet litteras  Jc  et  (£  quam  minimas  assumi. 

CASUS  1 

QUO     P=CSD 

[232  a]1).  Hoc  ergo  casu  fit  intervallum  primum  =  A  a  ideoque  A>0  et 
21  <1  ac  secunda  lens  cadet  in  ipsam  imaginem  primam;  cuius  distantia 
focalis  ne  fiat  =0,  debet  esse  35  =  co,  ita  ut  sit 


hincque 

Aa 


Deinde  cum  sit  r  =  —  -fi;    ob   ^  =  00   fit   J3  =  —  1    et   ob    (S<1   mani- 

JT  K 

festum  est  esse  debere   &  =  0,   ut   fieri  possit   Pk   quantitas   finita;    at   quia 
Jc  =  0,  erit  y  =  r  hincque  Pk  =  9ft  r  existente  $ft  —  ~~  ;  ex  quo  erit 


r  =  -em 


unde    pro    magnis    multiplicationibus    esse    debet    (7   numerus    praemagnus 
hincque  £  ab  unitate  parum  deficere.     Reliqua  vero  intervalla  erunt 

,  Aa        r 

secundum  =  -^-  =  -% 

et 

tertium  =--(1  +  r)  =  (1  +  0)r  +  s. 


Praeterea  rero  distantia  oculi  erit 


1)  Tide  notam  p.  284.          E.  Oh. 


311—312]  DE  MICROSCOPIES  SIMPLICIOEIBUS  HTJIUS  GENERIS  441 

Nunc  autem  cum  sit 

,r      l  —  CD  +  r 


' 


hunc  valorem  in  birds  formulis  33  <w  et  £r  non  substituamus,  sed  in  iis  litte- 

ram  M  retineamus,  quo  earn  facilius  deinceps   definire  queamus;   turn  autem 
,    p  v  ... 

ob  sr  =  —  L,  ex  pnore  mvenimus 

o» 

es  posteriore  vero 

St  =  —  Jf— 
sive 


hincqne 

_  (g  —  i)Jf. 

r~ 

hinc  ergo  colligimus 

co 

vel 

^ 

et      ' 

,  . 

l_aj  +  r 

quae  expressio  aequalis  esse  debet  huic  (9Ji  —  l)Jf;  unde  nascitur  haec  aequatio: 


ex  qua,  cum  sit  proxime  (£  =  1,  colligimus  etiam  proximo 


adcuratius  vero  erit 

-M  =  "2W  +  Vgjt(^^i  +  g)? 
revera  autem 


quo  valore  invento   simul  innotescunt  litterae   (a   et  r,   unde  reliqua  omnia 
determinabuntur.     Denique  pro  apertura  lentis  obiectivae  determinanda,  quia 

LBONHABDI  EDLEBI  Opera  omnia  III*  Dioptrica  *>b 


442  LIBRE  TERTH  SECTIO  QUABTA     OAPUT  I    §  232a-235  [312—313 

nulla  ratio  vitri  diyersitatem  suadet,  satisfieri  debet  huic  aeguationi  (§  31): 


ubi   terminus   tertius   sponte   evanuit,    quintus    vero    ob    G  numerum    prae- 
magnum  tuto  reiici  potest;  unde,  si  Me  factor  posterior  ponatur  =-^?  reperitur 


x 


COEOLLAEIUM  1 

233.  Quia  3Ji  est  numerus  praemagnus,  loco  factoris  9JI  —  1  +  £  scribere 
licebit  3Jt,  siquidem  £  non  fuerit  numerus  yalde  magnus;  nulla  autem  ratio 
suadet  pro  £  tantum  numerum  adhibere;  sufficit  enim,  ut  capiatur  £>  17  ne 
r  vel  evanescat  vel  adeo  negativum  evadat  Turn  igitur  erit 


•~  2SR 
unde  vicissim  colligitur 


3  ttf 

m   et 


COEOLLAKIUM  2 

234.   Hinc  ergo  sequentes   adipiscimur  determinationes   pro   ipsa   micro- 
scopii  constructione: 

1.  Distantiae  focales  lentium.  erunt 


2.  Lentium  intervalla 


primum  —  J.a,     secundum 
et 

tertium  =(!  +  C)r  +  , 
turn  vero  distantia  oculi  erit  0*=*  s, 


313-315]  DE  MICROSCOPES  SBtPLICIORIBUS  HUIUS  GENERIS  443 

3.   Pro  apertttra  invenienda  erit 

^_A  +  ^ :i;       (i+(£)  fi"       v\         •>'" 

21s  ^A SI         ^  J.3(g  — 1)  \®s  ^  C@/ ^^ 


ubi  membrum  ultimum  manifesto  omitti  potest. 

SCHOLION 

235.    lam  innuimus  nullam  rationem  suadere,   cur  pro   £  numerum  satis 
notabilem  accipere  velimus;  interim  tamen  terbium  intervallum,  quod  est 

J.G(l  +  (S)g    ,    AOa 
g=l          h    2R     ' 

fieri  videtur  nimis  magnum,  nisi  £  unitatem  multum  superet,  quoniam  pro  C 
numerum  satis  magnum  assumi  convenit  atque  etiam  A  numero  satis  notabiK 
aequari  debet.  Interim  tamen  semper  praestabit  maiorem  instrument!  longi- 
tudinem  tolerare  quam  campum  restringere.  Verum  etiamsi  £  maius  acci- 
peremus,  izt  mensurae  prodeant  ad  praxin  magis  accommodatae,  nullum  aliud 
incommodum  inde  esset  metuendum,  nisi  quod  campus  minor  esset  revera 
futurus,  quam  intendimus;  quern  vero  defectum  aliquot  insuper  lentibus 
adiungendis  facile  supplere  licebit.  At  vero  plurimum  refert,  ut  numerus  A 
satis  notabilis  accipiatur,  ut  31  satis  prope  ad  unitatem  reducatur,  id  quod 
necessarium  est?  ut  A  satis  exiguum  reddatur  liincque  maior  claritatis  gradus 
obtineatur;  quern  in  finem  sufficere  videtur,  dummodo  statuatur  JL==6;  Mnc 

enim  fit  2t  =  Y  id60^116  w  =  ^ti*>  ^  valor  sum^°  ^  =  1  norL  inulti:lm 
superat  y,  qui  per  ^<1  multiplicatus  certe  infra  y  reducitur;  unde  iam 
satis  notabilis  valor  pro  x  resultat.  Si  igitur  statuatur  A  =  6,  videamus, 
quantum  sumi  oporteat  G9  ne  s  fiat  nimis  parvum  etiam  pro  insigni  multi- 


plicatione  m  =  960.  Quia  itaque  turn  fit  s  =  dig.  =  ~  dig.,  haec  distantia 
non  infra  ~  dig.  deprimetur,  dummodo  0=5;  quare,  si  statuamus  (7=6,  ut 
sit  (£  =  -^-?  ex  hac  parte  nihil  erit  metuendum;  turn  vero  tertium  intervallum 


evadit  1^—-?   omisso   altero   membro  sive   ~  —  r^F"^?;    unde,    si  distantia 

7(f-l)  ?-l       36 

obiecti   sit   dimidii   digiti,   hoc  intervallum  erit   ^^  dig.;   quod  ergo  sumto 
£  =  3  vel  £  =  4=  iam  fit  tain  modicum,  ut  nulla  possit  esse  ratio  de  eo  con- 

querendi 

u  * 


444  _  LIES!  TEETH  SEQTIO  QTJABTA     CAPUT  I     §  235a-237  [315-316 

CASTJS  2 
QUO  r=0 

^SSa].1)    Hoc    ergo   casu   erit  -^  =  ka>     ideoque    P  =  9ft  o>,    turn    vero 
M  =  i^^L"  •     Hinc  aequation.es  ex  campo  deductae  erunt 


n. 


Cum  igitur  P=3fto>,   erit   co  =  -J   et  l_a)  =  ^^;   unde  patet  P  minus 

esse  debere  quam  9ft.     Hie  autem  valor  in  aequatione  posteriore  substitutes 
dabit 


unde,   cum  k>0,   patet  esse  debere  P>1;  hinc  autem  porro  sequitur  fore 
A>0  hincque  21  <1;  deinde  vero  reperitur 


unde  J5  etiam  negativum  valorem  obtinet,  uti  rei  natura  postulat    Denique  erit 


unde  campus  cognoscitur;  hinc  igitur  patet,  quo  minus  capiatur  P,  eo  maio- 
rem  proditurum  esse  campum?  et  cum  P  unitatem  superare  debeat,  semper 
erit  M<^  His  igitur  valoribus  inventis  habebimus: 

Distantias  focales 


et  intervalla  lentium 

primum  =  -4a   l  -  ~  ,    secimdum 


1)  Vide  notam  p.  284.        E.  CL 


316—317]  DE  MICROSCOPES  SIMPLICIORIBUS  HUIUS  GENERIS  445 

Turn  vero  oculi  distantia  erit 

s          m~l 


ac  denique  spatii  in  obiecto  conspicui  erit  semidiameter 


Aperturam  vero  lentis  obiectivae  ex  aequatione  nota  definire  oportet,  pro 
aperturis  vero  sequentium  lentium  notetur  esse  a>  =  ^  et  r  =  0.  Unde 
colligitur  semidiameter  aperturae 

lentis  secundae  *=-=-.#  + 


lentis  tertiae=^  +  0  = 

lentis  quartae  =  ^  +  —  s. 


COROLLARIUM  1 

236.  Quoniam  campus  postulat,  ut  P  satis  parvum  accipiatur,  pro  maio- 
ribus  multiplicationibus  licebit  P  prae  5UJ  negligere,  unde,  si  P  unitatem  non 
multum  superet,  distantiae  focales  ita  exprimentur: 

l)  A&  , 

.a,     r---a     et     * 


deinde  intervalla  lentium 

A    (*         1\  i  Aa       ,     i*  ACa 

primum  =  A  a  ( 1  —  -=,- ) ,     secundum  =  -p- ,     tertium  ===  — » — - 


2P-1 

et  distantia  oculi  0  =  s. 

COKOLLARIUM  2 
237.    Si  ergo  statuamus  P==2,  Sent  distantiae  focales 

~A&a     et     5  — —  .-^--a 


446  LIBBI  TEETH  SEGTIO  QUARTA     CAPUT  I     §  237-240  [317-319 

et  intervalla 


primum  *=--Aa,     secundum  =>     tertium  ==~ 


et  pro  campo 


COEOLLAEIUM  3 

238.    Si,    ut    supra    [Lib.  II  §  !>14]   pro    telescopiis    focimus,    statuamus 
p  =  y<$l  (quoniam,  quod  ibi  erat  m,  hie  nobis  est  3Ji),  distantia'e  focales  ita 

exprimentur: 

w 

*-**•  ^ 


_  _  . 

r  ---          a'  s'~ 

et  intervalla  lentium 


.-  A 

primum  =-  —  —--  --  '-,     socundum 


Pro  campo  autem  apparente  erit 

#  = 
et  pro  oculi  loco 


ym  v    '  yw 

SCIIOLION 

239.  Casus  in  corollario  ultimo  evolutus  apprioie  convenit  cum  eo, 
quern  supra  in  telescopiis  tractavimus,  ubi  praecedentes  casus,  in  quibus 
litterae  P  minores  valores  sunt  tributi,  penitus  exclusimus  idque  ob  earn, 
rationem,  quia  intervallam  tertiura.  onormiter  magnum  prodiisset.  Cum  enim 
pro  telescopiis  sit  h  =  (i^c^?  necesse  est,  ut  sit  ^l^O^yl,  ita  ,tamen,  ut 
fiat  $ia==Aa—p  et  3jj  =  m.  Turn  autem  in  genere  erit  tertium  intervallum 


319—320]  DE  MICROSCOPES  SIMPLICIORIBUS  HUIUS  GENEEIS  447 

quod,  si  P  prae  2K  quasi  evanescat,  fiet 

C 
2P-l'-P; 

quare,  cum  C  debeat  esse  numerus  praemagnus,  hoc  solum  intervallum  multis 
partibus  excessurum  esset  distantiam  focalem  p  ideoque  longitudo  telescopii  pro- 
diret  enormiter  magna;  quos  igitur  casus  merito  supra  exclusimus.  Nunc  autem, 
ubi  de  microscopiis  agitur,  haec  ratio  penitus  cessat:  neque  enim.  longitudo 
instrument  ob  tertium  intervallum  adeo  enormiter  magna  evadit.  Si  enim, 
ut  ante  notavimus,  pro  magnis  etiam  raultiplicationibus  sumatur  J.  =  6  et 

O  f*  ft 

(7=6,  turn  tertium  intervallum  erit  =  ,  ac  si  a,  ut  fieri  solet,  capiatur 

1        •  18 

Y  dig.,  hoc  intervallum  fiet  2p_1  dig.;  unde,  si  modo  sit  P=2,  id  reducitur 
ad  6  dig.,  quod  in  praxi  utique  admitti  potest.  Quocirca  in  hac  de  micro- 
scopiis tractatione  casum  in  tertio  corollario  evolutuin  excludi  conveniet 
servato  eo,  ubi  erat  P=2,  siquidfem  hoc  modo  campus  multo  maior  obti- 
netur;  quin  etiam,  si  lubueiit,  sunii  poterit  P=3,  ut  prodeant  distantiae 
focales  0  ^ 


et  intervalla  lentium 

primum 


secunduni  =  — 
tertium      =  — 


manente  0  =====  s  proxime  et 


Nunc  autem  ne  s  pro  magnis  multiplicationibus  nimis  fiat  exiguum,  litterae 
C  utique  maior  valor  t-ibui  debebit,  ita  ut  iara  nulla  ratio  suadeat,  cur 
litterae  P  potius  valorem  3  quam  2  tribuere  ve^limus,  quandoquidem  ponendo 
p  ==  3  tertium  intervallum  vix  diininuitur. 

SCHOLION  21) 

240.    Evolutione  horum  duorum  casuum  attentius  considerata  poterimus 
simili   modo   solutionem   geiieralem  instituere;   posito   enim  brevitatis  gratia 


1)  Scholicm  1  invenitur  p.  4=39.  E.  Oh. 


448  LIBEI  TEETH  SECTIO  QUAETA     CAPUT  I     §  240  [320—321 


habeMmus  statim  co  =  'QM;  delude  cum  sit  Pk  =  3JJ  (fo»  +  r)  ,  erit  PA;  =  £9ft  Jf  A;  +  9ft  r, 
qui  valor  in  altera  aequatione,  quae  est 

(£r  =  pf—  M—  PkM, 
substitutus  dat 

6t  =  pf  —  M 
ex  quo  reperitur 


_ 

~         3)Uf+<£ 
hincque 


Cum  igitur  sit 

•^  =      5j#_l > 

erit 

unde  sequens  suppeditatur  aequatio: 


ex  qua,   nisi  numeri  £  et  fc  fuerint   satis   magni,   ita   ut   eos   prae   9)J   tuto 
negligere  liceat,  sequitur  fore  saltim  proxime 


quae  in  hos  factores  resolvitur: 

(SRJf— 
unde  manifesto  colligitur 


quo  valore,  etsi  tantnm  prope  vero,  uti  poterimus,  quoniatn  parum  refert, 
utrum  campus  aliquanto  sit  maior  minorve,  quam  calculus  indicat.  Probe 
autem  haec  conditio  observetur,  quod  tarn  £  quam  k  sint  numeri  satis 
exigui,  saltim  multo  minores  quam  9Ji,  Si  enim  £&  tantus  sit  numerus,  ut 
eum  prae  $0£  reiicere  non  liceat,  turn  littera  M  multo  minorem  nanciscetur 
valorem  quam  -^  sicque  campus  insignem  pateretur  diminutionem,  quae 
sola  causa  sufficit,  ut  maiores  valores  pro  litteris  £  et  Jc  penitus  exclu- 


321-323]  DE  MICROSCOPES  SIMPLICIORIBUS  HUIUS  GENEEIS  449 

dantur  haecque  regula  stabiliatur,  ut  nunquam  litteris  £  et  k  valores  tribu- 
antur,  qui  binarium  superent,  yel  ut  saltim  £&  quaternarium  non  superet. 
Cum  igitur  sit  PJcJc'  =  3ft  et  k  numerus  ab  imitate  non  multum  discrepans, 
evidens  est  vel  P  vel  Jc'  esse  debere  numerum  satis  magnum  vel  adeo  utrum- 
que.  His  ergo  observatis,  ita  ut  sit  Jkf=-y  habebimus 


g_  __ 

r~" 


quibus  valoribus  substitutis  fit 
hincque 


hoc  igitur  valore  ipsius  P  notato  erunt  distantiae  focales 
et  lentium  intervalla 


primum  =  Aa  ( 1  —  -p-J ,     secundum  =  ^j^p-.iTPk  (&  + 
et 


tertium  =  ^^^  (^  +  ^ 
et  distantia  oculi  0  —  s  ac  denique 


JL   JL 
4  '  3K 


Datis   ergo    distantia   obiecti   =  a   et  multiplicatione  =  m  sive   3ft  =  ^~ 
arbitrio  nostro  relinquuntur  sequentes  quantitates: 

1.    31 ,  quam  unitate  non  multo    minorem   assumi   convenit;    hanc   enim 
conditionem  claritas  postulat. 


_     _ 

1)  Bditio  princeps:  JPfc  •»  Jc  +      i  j_  g;  —  hi 


LBONHABDI  EULEKI  Opera  omnia  III  4  Dioptrioa  67 


450  LIBRI  TEETH  SECTIO  QUABTA     CAPUT  I     §  240-241  [323-324 


2.  Numerus   £,    qui   esse  debet  positivus    ac  tantus,    ut   £-i~P  —  1    flat 
numerus  positivus. 

3.  Littera  C,   quam  autem  ita  definiri  convenit,   ut  distantia  focalis  ne 
fiat    nimis    exigua;    sin    autem  haec    litter  a    sit   valde    magna,    evidens    est 
litteram  (£  ad  unitatem  proxime  esse  accessuram. 

4.  Littera  denique  Jc,  quam,  ut  vidimus,  admodum  parvam  accipi  convenit. 
Eatione  autem  valoris  P  observari  oportet  semper  esse  debere 


deinde1)  haec  conditio  adhuc  implenda  erit 

£  —  1>0, 


quae   est  fere  eadem   quantitas,    quam   supra   prae   9Ji   negleximus;    ex    quo 
cavendum  est^  ne  ea  aliquot  unitates  superet. 


PROBLEMA  3 

241.   Si  nova  lens  inter  imaginem  primam  et  secundam  disponatur,  omnia  mo- 
menta ita  definire,  ut  margo  coloratus  evanescat  simulque  maximus  campus  obtineatur. 

SOLUTIO 

Quoniam  hie  iterum  quatuor  habentur  lentes  earumque  duae  intra  ima- 

ginem primam  et  secundam  cadant,  litterarum  P,  Q,  JK  prima  et  tertia  hie 

erunt    negativae;  statuatur    igitur    P==  —  Ik   et   E  «=»  —  K]    unde    distantiae 
focales  erunt 


,  ABC  ABC 

-  a     et     s  -  -  a  -  ~        --  a 


ob 

cw\       *»a 


Intervalla  vero  lentium  erunt 


1)  Editio  prinoepjs:  unde.          Oorrexit  B,  Oh, 


324—325]  DE  MICKOSCOPHS  SIMPLICIOKIBUS  HUIUS  GENEEIS  451 


A         (*        ,         1\  J  -4J?0     A  I' 

pnmum  =  A  a  1 1  +  -y )  ?     secimdum  =  — = —  II  —  -^ 
hincque  sequitur 


,      ,-                    ABCa 
tertium  = ,  ~ 


O     et     BG<0. 
Porro  erit 


ut  fiat 

Hincque  distantia  oculi 


ubi,  ut  campus  reddatur  maximus,  sumi  conveniet  §  =  1,  si  scilicet  lens  ocu- 
laris  utrinque  aequalis  paretur.     Turn  autem  erit 

93q  =  _(l  +  ^)Jlf    et     (£t  =  —  (1  +  QJc)M—  q. 
Si  hie  ut  ante  brevitatis  gratia  scribatur 

1+1  —  r 
S3     ~t" 

ut  sit 

q 
tum  igitur  erit 


et 
hincque 


et 

nJ-rO-1 

q  +  r  +  1 

Inde  vero  est 

q  4.  r  +  l  =  jf  («0J  _  1), 

unde  sequitur 


ubi  ergo  haec  quantitas 


| 


debet  esse  positiva  et  tarn  parva,  quam  circumstantlae  permittunt. 

57* 


452  LIBRI  TEETH  SECTIO  QTJARTA     OAPUT  I     §  241  [325-326 

Deinde  vero  ut  margo  coloratus  evanescat,  habetur  haec  aequatio: 

| 

-T 


ex  qua  reperitur 

Y  —  <?q  +  r, 

quae  quantitas  debet  esse  positiva.     Cum  igitur  sit  kQk'^lffl,  erit 

hincque 


Antequam  autem  hanc  formulam  prosequamur,  plurimum  intererit  investi- 
gare,  num  forte  r  possit  poni  =1.     Statuamus  igitur  t  =  l,  ut  sit 


unde  ob  q  =  —  £Jf  fiet 

0^-»e-e 
q      sw-i 

adeoque 

q  =  ~  SW 
hincque 


altera  vero  aequatio  iam  dabit 

25       2     -*- 


Deinde  cum  sit  A^  ==  50l^q  +  9JI,  fiet  nunc 


unde  invenitur  Jc,  dummodo  sit 


Porro  autem  fiet 


326-327]  DE  MICBOSCOPHS  SDIPLICIOEIBUS  HUIUS  GENERIS  453 

si  igitur  faerit  S3  >  1,  ut  sit  B  <  0,   sumi  debet  <?<!;   turn  vero  C  debet 
esse  positivum  ideoque  etiam  ®  >0  et  (£  <  1;  quocirca  debet  esse 


2. 


quae  conditio  illi,  qua  debet  esse  Q<1,  manifesto  repugnat.  Debet  ergo 
esse  J5  >0  hincque  Q>1,  turn  autem  esse  debet  (7<0;  quod  eveniet,  si 
faerit  (£  etiam  negativum,  id  est,  si  fuerit 


quae  conditio  cum  praecedente  Q>1  facile  consistere  potest.  Turn  autem 
esse  debet  S3  <  1  ideoque  ^  >  1  -f  k.  Tantum  igitur  campum  obtinebimus, 
si  capiamus  ^  >  1  -f-  k,  litteram  Q  vero  intra  limites 


dummodo  fuerit 
adeoque 


quia  est  &@  positivum;  quod  sponte  fit  per  conditionem  praecedentem,  qua  est 
Q  <  — ^sn>~         Praeterea  autem  debet  esse 


m 

quia  autem  esse  debet  £  >  1  +  &>  habebimus  nunc 


unde  sequitur  haec  conditio: 


quae  conditio  cum  ilia  @<yi£±|*L  egregie  consistit. 


454  LIBRI  TERTII  SECTIO  QUARTA     CAPUT  I     §  241-243  [328-329 

Cum  autem  praeterea  esse  debeat   £  >  1  +  Jc,   loco   Jc   substituendo   eius 
valorem  fiet 


unde  concluditur  esse  debere 


quia  autem  modo  vidimus  esse  Q<(~^^~>  mc  ^mes  i110  debet  esse  maior; 
unde  colligitur 

^+  ^(4^  _  3)  +  £(3K2-  6^  +  3)  >  (m  -  I)2, 
unde  patet,  si  SOt  sit  numerus  praemagnus,  esse  debere  £  >  1.    Statuamus  ergo 


unde  fit 

«r  +  5m(«  -  2) 

hincque  porro 

quod  cum  semper  eyeniat,  patet,  dummodo  ^>1,  solutionem  semper  locum 
habere;  ac  si  in  illis  formulis  9)i  ut  numerus  praemagnus  spectetur,  limites 
pro  Q  erunt 


sumtaque  Q  his  limitibus  convenienter  erit  porro 


hincque  reliqua  elementa  omriia  facillime  definientur.  Ceterum  in  eyolutione 
sequentinm  casuum  haec  clariora  reddentur.  Quod  denique  ad  lentium  aper- 
turas  attinet,  eas  pro  quovis  casu  ex  cognitis  formulis  facile  definire  licet. 

OOEOLLABIUM  1 

242.    Videamus    vero,    quomodo    omnes   hae    conditiones    clarius    evolvi 
queant.     Ac  primo  quidem,  statiin  ac  statuimus  t «« 1,  fit 


329-330]  DE  MICROSCOPIIS  SIMPLIGIORIBUS  HUIUS  GEISTERIS  455 

Posito  autem 

l+ifc  _  r 
~~a~~e' 
ut  sit 

jY*  1   -p  K 

25=  — g — ? 
fiet  q  =  —  ^Jf;  qui  valor  ibi  substitutus  dat 

hincque 


deinde  vero  invenimus 


ubi  valor  ipsius  q   substitutus  dat 


sive 

unde  commode  deducitur 

unde  fit 

Cum  igitur  sit 

©  =  Jf(t--^  —  1), 
erit 

fy_2atte(e-i)-Ka»+£-i)(2»-s+i)  M 

^~  )k(50t  +  g-l)  +  23Ǥ 

seu 


COROLLA.RIUM  2 

243.  lam  ratione  litterae  S3  duo  casus  sunt  considerandi,  alter,  quo 
^>1  ideoque  B<Q,  alter  vero,  quo  S8<1  ideoque  B  >  0.  Priori  casu 
erit  £<!  +  &,  et  quia  B  est  minus  nihilo,  ob  secundum  intervallum  debet 


456  LIBEI  TERTII  SEOT10  QUABTA     OAPUT  I     §  243-245  [330-331 

esse  Q<  1;  unde  fit 


id  quod  fieri  nequit,  cum  sit  9Ji  numerus  valde  magnus. 

COROLLAEIUM  3 

243  [a]1).  Gum  igitur  esse  nequeat  23  >  1,  statuamus  33  <  1  sive  £>  1  +  fc, 
et  quia  iam  B>0,  debebit  esse  $>1;  id  quod  sponte  evenit  pro  maioribus 
scilicet  multiplicationibus,  ad  quas  hie  solas  attendimus.  Turn  autem  esse 
debet  C<Q,  id  quod  evenit,  vel  si  fuerit  (£<0  vel  ®>1.  Priori  casu? 
si  (£<0?  debebit  esse 


sive 


Ex  ilia  vero  conditione  ^>l  +  fe  debet  esse  &<£—!;  unde  porro  colligitur 
esse  debere 


seu 


quod  etiam  semper  evenit,  ita  ut  littera  £  arbitrio  nostro  relinquatur,  dum- 
modo  unitate  maior  accipiatur.  Cum  autem  sit  ^—  ggqA^rj  cam.pi  magni- 
tudo  postulat^  ut  ^  quam  minime  unitatem  superet. 

COROLLARIUM  4 

244.   Examinandus  restat  alter  casus,  quo  debet  esse    (£  >  1;   turn    ergo 
esse  deberet  ante  omnia  numerator  positivus  seu 


ideoque 


1)  Editio  princeps  false  iterat  numerum  243,          E.  Oh. 


331—332]  BE  MICEOSCOPIIS  SIMPLICIOEIBUS  HUITJS  GENEBIS  457 

deinde,  ut  etiam  urdtatem  superet,  debet  esse 


ideoque 

- 

quod  cum  sit  absurduin  ob  ft  >  0,  indicio  est  hunc  casum  locuni  habere  non 
posse,  ita  ut  nobis  solus  casus  in  corollario  praecedente  evolutus  relinquatur. 

EXEMPLUM  1 

245.  Quondam  positio  r  =  l  ad  campum  maxime  est  accommodata  simul- 
que  solutionem  tarn  facilem  suppeditat,  ea  utique  sola  meretur,  ut  ad  praxin 
adplicetur,  Hie  auteni  primum  observari  convenit  nequaquam  sumi  posse 
g=l?  quia  turn  foret  Jc  =  0  statimque  priinum  intervallum  =  co,  ut  reliqua 
incommoda  taceamus,  dum  scilicet  tarn,  secunda  quam  tertia  lens  haberent 
distantias  focales  infantas.  Ex  quo  necesse  est  pro  £  sumi  numerum  unitate 
maiorem,  ita  ut  excessus  non  sit  niniis  parvus,  quia  alioquin  ad  eadem  in- 
commoda appropinquarernus.  Quaniobrem,  quo  clarius  appareat,  quomodo  in 
hoc  negotio  sit  procedendum,  sumamus  ^  =  27  ut  fiat  M  =  m  ,  x-  Turn 
vero  Jc  contineri  debet  intra  hos  limites 


,  ,     .      ,     4 

et  vel  l  et 


Neque  autem  Jc  ad  unitatem  nimis  prope  accedere  debet,  quod  alioqtiin.  B 
hincque  secundum  intervallum  nimis  evaderet  magnum.  Sumamus  igitur 
]c  =  ;  hinc  erit 


Deinde  vero  erit 
ac  denique 


—    -    et 

4 


hincque  C  ==  —  jj  ;  unde  pro  microscopii  constructione  habebimus  has  distan- 

LBONHAEDI  ETJLBBI  Opera  omnia  III4  Diopttica  68 


458  LIBEI  TEETH  SECTIO  QUARTA     CAPUT  I     §  245-247  [332-334 

tias  focales: 

cw  3   A  6      ,  6     Aa 

^  =  2la,     #  =  —  Aa,     r^^-Aa,     s  =  —  -  -^- 

et  intervalla 

i  *  A     (+  9  \        4.     4.-  60 

pnmurn  =3Aa,     secundrun  =  6  J.a  (1  —  ^™J  ,     tertmm  =  — 

turn  vero  distantia  oculi 


Pro  campo  autem  apparente 

2#|  1          a 


___.__  T' 

Quod  vero  ad  litteram  -4  attinet,  quae  ad  priinain  lentem  refertur,  curandura 
est,  ut  A  tantus  fiat  numerus,  ut  lens  ocnlaris  non  fiat  nimis  exigua;  unde 
sequitur  81  esse  debere  fractionem  parum  ab  imitate  deficientem;  cuius  valore 
stabilito  apertura  primae  lentis  definiri  debet  ex  aequatione  nota 


sicque    obtinemus    noicroscopium    satis    notatu    dignum,    quod    instar    primi 
exempli  spectari  potest. 

EXEMPLUM  2 

246.  Consideremus  etiam  casum  %=3,  ut  sit  M  =  ^z.^?  et  pi*o  k 
habebuntur  M  limites  2  et  ~  Statuamus  ergo  A==l,  ut  fiat  35  =  J  et 
5  =  2.  Turn  vero  erit  <?  =  y  et  #—7.  Porro  vero  erit  &  =  ~  \  et 

2 

0= — <p  unde  pro  his  microscopiis  erunt  distantiae  focales 


et  intervalla 


et 


/  7  \  32    Aa 

primum  =  2Aa,     secunduin  =2Jta(l  —  ™)     et     tertium  —   -  •     " 

et  distantia  oculi 

2R4-2       i    /-    ,    a\       i 

«— 3  proximo. 


334-335]  DE  MICROSCOPES  SIMPLIdORIBUS  HDIUS  GENERIS  459 

Pro  campo  vero 

1_         a 

Z  —  -y 


Circa  aperturam  modo  allegata  valent.  Eatione  autem  litterae  q  erit  casu 
exempli  praecedentis  q  =  —  gAri  e^  casu  kui118  exempli  q  =  —  gor§  \  unde 
patet  secundae  lentis  semidiametrum  aperturae  esse  debere  =  -j~-  =  -|-  ideoque 
priori  casu  =====  2%,  hoc  vero  =  x.  Binae  postremae  lentes  autem  fieri  debent 
utrinque  aeque  convexae. 

SCHOLION  1 

247.  Si  haec  ad  telescopia  referamus,  quod  nunc  eo  magis  esfc  neces- 
sarium,  quoniam  supra  huius  generis  casum  tantum  maxime  particularem 
evolviinus,  qui  ne  campum  quidem  maximum,  ut  Me  fecimus,  praebebat, 
tantum  faciamus  a  ==  CSD  et  $ffl  =  m  ob  h  =  a.  Turn  autem  capi  debet  tam 
21  =  0  quam  -4  =  0,  it  a  ut  fiat  81  a  =  Aa=p;  quare,  cum  reliqua  omnia 
maneant  ut  ante,  ex  exemplo  priore  posita  lentis  obiectivae  distantia  focali 
=  p  erunt  reliquarum  lentium  distantiae  focales 


3  64.  6    P 

-^P,     r  =  —  p      et      s  —  —  r       ' 
2^'  m^  11    m 


intervalla  vero 


primum  =  3p,     secundum  =  60(1 — - — )     et     tertium  =  — — p 
*  ^?  ±>\        2m/  llm  * 

et 

=  — s. 
Turn  vero  campi  semidiameter 

^11  1718 

<p  = -— . mm. 

2    w4- 1       w  +  1 

Deinde  vero  ob 

distantia  focalis  p  ex  requisita  apertura  %==-—m  dig.  definiri  debet  ope  hums 
aequationis: 


Mi     .     o/A' 
A  +  M^ 


68* 


460  LIBRI  TERTH  SECTIO  QUARTA     CAPUT  I     §  247—249  [335—337 

In  casu  autem  alterius  exempli  erunt  distantiae  focales 

244 
q=-^-p,     r  =  —  p,      $  =  - — p 
*       3^'  m*'  9w^ 

et  intervalla 

(7  \  32 

1 -)>     tertium  =  -^—Pl 
mJ  9  w* 

turn  yero  p  ita  definietur,  ut  sit 


reliqua  vero  erunt  ut  ante. 

Hinc  igitur  loco  communium  telescopiorum  terrestrium  nanciscimur  ex 
casu  posteriore  sequentem  constructionem,  siquidem  omnes  quatuor  lentes  ex 
vitro  communi,  cuius  refractio  sit  n  =  1,55,  conficere  velimus. 

CONSTEUCTIO  TELESCOPIORUM 
LOCO  YULaAEIUM  TEERESTEIUM  SUBSTITUENDORUM 

248.  Pro  data  multiplicatione  m  quaeratur  primb  lentis  obiectivae  distantia 
focalis  =p,  ex  hac  nempe  formula,  ad  quam  praecedens  proxime  reducitur: 

Q  t 

j?  =  -w|/m  dig.; 
deinde  constructrio  ita  se  habebit: 

o  fl. 

I.  Pro  prima  lente,   cuius   distantia  focalis    est  ~^m  ym  dig.,   capiatur 

(  anterioris     =  0,6145  # 
radius  faciei  { 

(  posterioris  =  5,2438  # , 

eius  aperturae  semidiameter  ^==^mdig. 
et  distantia  ad  lentem  sequentem  «-  2p, 

II.  Pro    secunda   lente,    cuius   distantia  focalis   est   q  ==  ~p   et    numeri 
»  —  |-  et  X  —  1,  erit 

anterioris     -  -J-  -  0,99662jp 
radius  faciei 


posterioris    —  ^-—-r  —  0,58047  j», 

X.  J-TcOO 


337—  338J  DE  MIOEOSCOPIIS  SIMPLICIOEIBUS  HUIUS  GENERIS  461 

eius  aperturae  semidiameter  =  x  =  ^m  dig. 

et  intervallum  ad  tertiam  lentem   =  2p  (l  —  —}  • 

HI.   Pro  tertia  lente,  cuius  distantia  focalis  est  r  =  ~p,  quoniam  ea  debet 
esse  utrinque  aequaliter  convexa,  capiatur 

eius  uterque  radius   =  1,1  r  =  4.4  •  —  , 

•*•  m 

eius  aperturae  semidiameter  =  — 

r  m 

QO 

et  distantia  ad  quartam  lentem  =**-^p. 


~ 


IY.   Pro  quarta  lente,  cuius  distantia  focalis  est  $  =  y  ~,  capiatur  itidem 
uterque  radius  =  -^  •  —  , 

•*•  45    m 


eius  aperturae  semidiameter  =4"~ 

A  y     m 

et  distantia  ad  oculum  —  ^-s. 

j 

171  ft 

V.  Turn  vero  erit  semidiameter  campi  <&  =  m  ,  2  min. 

SCHOLION  2 

249.  Telescopia  haec  utique  insigni  vitio  laborant,  propterea  quod  eorum 
longitudo  fit  plane  enormis,  maior  scilicet  quam  3_p.  Huic  autem  vitio  medela 
afferri  poterit  litterae  k  maiorem  valorem  tribuendo;  turn  vero  etiam  littera  £ 
maior  accipi  debebit;  unde  quidem  campus  aliquantillum  dimimiitur,  qui  tamen 
defectus  in  maioribus  multiplicationibus  vix  percipietur.  Sumamus  igitur 
£  =  6,  ut  fiat  M  =  •ffzrj*  e^  cum  limites  pro  k  sint  5  et  ~,  sumamus  fc=43 
ut  fiat  35  =  -^-  et  J5  =  5;  turn  vero  erit  Q  =  JJ  et  A;'=41)  tandemque  £  =  —  y 
et  (7=  —  ~;  hinc  autem  erit  intervallum 

5  ,  5      (.        16\         ,     ,  .  25    jp  2) 

pnmum  ==  —  -p,     secundum  =  —  jp  11  --  1  ,     tertmm  =  —  •  —  ^  ; 
r  4^;  4-^V         m/?  3    m    ' 

unde  longitudo  prodiret  quasi  2yj?,   quae  adhuc  nimis  magna  videri  potest. 


vn.  Q 

1)  Editio  princeps:  Q  *=*-*'  &  fc'^Y"  Correxit  E.  Oh. 


2)  Editio  princeps:  2dum  *~^-v(l<-  —  }         3Hum  ==  ^  •  -£-  -  Correxit  E.  Ok. 

x  A  4.  4:\W/  OWI< 


462  LIBEI  TERTII  SECTIO  QUARTA     OAPUT  I     §  249 [338-339 

Hanc  longitudinem  autem  non  mediocriter  diminuere  poterimus  sumendo 
£=12  et  &  =  9;  hinc  enim  fit  33  =  ~  et  B  =  5  ut  ante;  unde  sequitur 

intervallum 

10         ,  j  5 

primum  =  —  $     et     secundum  =  —p, 

ita  ut  tota  longitude  quasi  fiat  lyjp,  quae  non  excedit  telescopia  hiiius  generis 
vulgaria.  Si  sumsissemus  £=12  et  fc  =  8,  ut  fiat  S3  = -j-  et  j5=3,  foret 
intervallum 

primum  =  —p     et     secundum  =-g-JP> 

ita  ut  tota  longitudo  quasi  sit  lyjp,  qnae  utique  admitti  poterit.  Hie  ergo 
casus  meretur,  ut  plenius  evolvatur. 

Fiet  autem  porro  Q  =  j$  Mncque  V  =4.     Porro  £  =  — y  et  C=  —  y5 
unde 

2-Ay,      r  =  6^     et     s  =  ^; 
11       32^  w  w 

turn  vero  intervalla 

primum  =  —  jp,     secundum  =— jp(l ),     tertium  =5  — 

O  O\  ^W  /  ffl 

et  pro  loco  oculi  0  = 

.,.  ,  .  1718 

semidiameter  campi  =m  ,  u-  mm. 

Sumto  igitur  pro  apertura  lentis  obiectivae  a?  =  ^  dig.   et   A  =  50   capi 
debebit  circiter 

p  =  wymj  -=  ~mf m  dig.; 

unde  conficitur  sequens 

CON8TBUCTIO  TELESCOPII  COMMUNIS  EX  VITKO  COMMUN1 

I.  Pro  data  multiplicatione  tn  sumatur 

p  ==  —  m]/m  circiter     sive  etiam    p  =  wl/w  dig. 

II.  Pro  prima  lente,  cuius  distantia  focalis  *=jp;  capiatur 

anterioris     —  0,6145  p 
radius  faciei 

posterioris  ~  5,2438 jp, 


340]  DE  MICROSCOPES  SMPLICIOKEBUS  HUIUS  GENERIS  463 

eius  aperturae  semidiameter  =^  dig. 
et  distantia  ad  lentem  secundam  =  1—^. 

o 

III.    Pro    lente   secunda,    cilius    distantia   focalis    est    Q  =  ^py    capiatur 

anterioris      =  AK^Qn  =  0,17053^ 


posterioris    =        —  _  0,07388  p, 
eius  aperturae  semidiameter  =  -^-x  =  ^  dig. 

o  /  H*^\ 

et  distantia  ad  lentem  tertiam  =  -^p  (I  —  -^J  - 


IV.  Pro   lente  tertia,   cuius  distantia  focalis  est   r  =  6-~7  capiatur 

7J 

uterque  radius  =  6,6  — 
^-  m 

eique  apertura  maxima  tribuatur, 
distantia  vero  a  lente  quarta  erit  =  5  ™  • 

V.  Pro    lente    quarta,    cuius    distantia   focalis   s=|~,    capiatur 

rtj 

uterque  radius  =1,1  — 
u  7    m 

eiusque  ab  oculo  distantia  =y(l  +  ^;)' 

VI.  Longitudo   erit  i-lp_6y-J-  • 

1718 

Campi  vero  apparentis  semidiameter  erit  =  'srqrir  :m^11' 

Hoc  ergo  telescopium  vulgaribus  terrestribus  merito  anteferendum  videtur  ; 
notetur  vero  id  in  praxi  locum  habere  non  posse?  nisi  sit  m  notabiliter  maius 
quam  32. 

Hie  autem  istud  caput  finimus  ad  sequens  progressuri,  ubi  microscopia 
magis  composita  huius  generis  investigabimus. 


CAPUT  II 

DE  MICBOSCOPHS  HUIUS  GtENEKIS  MAGIS  COMPOSITIS 

PROBLEMA  1 

250.  Microscopium  huius  generis  ex  quinqne  lentibus  construere,  guae  ita  sint 
dispositae,  ut  prior  imago  realis  inter  lentem  secundam  et  tertiam,  posterior  vero 
inter  tertiam  et  guartam  cadat. 

SOLUTIO 

Gum  igitur  prior  imago  in  intervallum  secundum,  posterior  vero  in. 
tertium  cadere  debeat,  litterarum  P7  Q,  R,  S  secunda  et  tertia  Q  et  JR  debent 
esse  negativae.  Statuatur  ergo  Q  =  —  k  et  R^  —  V,  ut  sit 
existente 


- 

h 
Deinde  vero  sit 


ut  fiat  spatii  in  obiecto  conspicui  semidiameter 


Quare,  ut  campus  evadat  maximus,  efficiendum  est,  ut  litterarum  q,  r,  8,  t 
tat  fiant  unitati  aequales,  quam  reliquae  circumstantiae  permittunt;  quod 
cum  de  omnibus  statui  nequeat,  saltern  pro  postremis  ponamus  g  «  1  et 
t  =  1,  ut  sit 


342-343]  DE  MICEOSCOPHS  EUIUS  GENERIS  MAGIS  COMPOSITIS  465 

Turn  vero  habebuntur  sequentes  aequationes: 

1.   »q  —  (P—  l)Jtf, 

2.   (£r  =  —  (Pft  +  l)Jf—  q, 

3.   3>  —  (P&AT—  l)Jf  —  q-r, 

quibus  adiungatur  aequatio,  qua  margo  coloratus  destruitur, 

0  -  1  _  JL  _i_  _L_   ,  _J 
P       PJc  ^  Pick'  ~*~ 

ex  qua  deducitur 


r  — 


unde   patet   esse    debere   r>fcq.      Antequam   autem  Mnc   quidqnam   definire 
valeamus?  lentium  intervalla  considerare  debemus,  quae  sunt 

primuin  =  Aa(  1  —  -p  J  ,     secundum  =  --  ^-  •  a  (  1  +  jr)  > 


,     ,.  ABC      /1    ,    1\  , 

tertmm  -_-_-.«  (  1  +  w)  ,       quartum  -  --  ^^  •  a  (l  -  - 

quae  omnia  debent  esse  positiva;   quibus  adiungatur  distantia  focalis  ultimae 

lentis 

ABOD  ABGD 


quae  etiam  debet  esse  positiva,  ut  prodeat  distantia  oculi  post  earn, 

Q=     tt 

positiva;  unde  ob  t  =  1  evidens  est  esse  debere  t  positivum  ideoque 
ABCD>Q.  Quocirca,  ut  quartum  intervallum  etiam  fiat  positivum,  necesse 
est,  ut  sit  1  —  -g  <  0  sive  $<1,  unde  evidens  est  productum,  PkU  fore  >  3Ji 
ideoque  numerum  praemagnum;  unde  tertia  ilia  aequatio,  si  loco  M  eius 
valor  substituatur,  dabit 


LEONHAKDI  EULEHI  Opera  omnia  III  4  Dioptric  a  69 


466  LIBEI  TERTII  SECTIO  QUAETA     CAPUT  II     §  250  [343—344 

ubi  cum  Pick'  et  9ft  slut  nunxeri  praemagni  et  PkK  >  9IJ,  fiet  proxime 
<-.       PkTif f     .        .   Ox  2PM-'   .    ,     .     ,/Pfcft' 


give  ob  P&&'=~  erit 


unde,  cum  q  +  1  certe  sit  <  2,  evidens  est  fore  ®  >  1  ideoque  D  negativum. 
Erit  ergo  ABC<Qt,  hinc  tertium  intervallum  sponte  fit  positivum.  Quare, 
cum  ob  secundum  intervallum  esse  debeat  AB  <0,  oportet  esse  C>0  hincque 
(£  >  0  et  ©  <  1.  Unde?  si  fuerit  J.  >  0  ideoque  P>  1  ob  intervallum  primum, 
debebit  esse  J5<0  Mncque  vel  23  <0  vel  35  >1;  unde  sequitur  fore  priori 
casu  q<0,  altero  casu  q>0;  uude  ob  q  +  Kr<0  fieret  r<0  ideoque  /^<0, 
quod  est  absurdum.  Sin  autem  esset  A  <  0  hincque  P<  1,  deberent  esse  5  >  0 
ideoque  $8>0  et  33  <1,  unde  iterum  fieret  q<0.  Neque  igitur  etiamnum 
coBstat,  utrum  ambo  isti  casus  consistere  queant.  Quia  vero  in  utroque 
fit  q<0,  statuamus  ut  ante  q  =  —  w,  ut  sit 


et  ob  secundam  aequationem  esse  debet  co  —  Sr  >  0;  turn  vero  erit 


unde  ob   PJcK  =  ^  fiet 


_ 


Nunc  igitur  litteras  o>  et  r  ex  calculo  eliminemus,  et  cum  sit  aj 
ponamus  brevitatis  gratia 


ut  sit 


344-345]  DE  fflCROSOOPHS  HUroS  GENERIS  MAGIS  COMPOSITIS  467 

deinde  sit  etiaru  brevitatis  gratia 

1 

fietque 


~         <£ 
Ergo  porro 


- 


- 

j  «i        TUT  2  -|~  t  -  O  -j 

at  cum  sit  Jtz  =  -^—  —  ,  erit 

2  +  r  —  e»  =  Jf(3R  —  1), 
unde   concludimus   fore 


quo  valore  invento  erit 

— 


ex  quibus  valoribus  porro  conficitur 


hincque 


(1+  S)  ((5(501+  g 
ex  quo  definitur 


unde  porro  invenitur 


Quia  autem  fc  debet  esse  positivum,  in  eius  numeratore  coefficiens  ipsius 
debet  esse  positivus,  unde  sequitur 


69* 


468  LIBRI  TERTII  SECTIO  QUAETA     CAPUT  II     §  250-251  [345—346 

at  vero  vidimus  esse  (£  <  1  sicque  necesse  est,   ut  sit 


ex  qua  conditione  concludimus 


Novimus   autem  esse  debere  £>??;  unde  littera  %  capi  debebit  intra  limites 

,    et    n  +  fr-^  +  g). 

ubi  manifestum   est   esse   debere   rj  >  1.     Nostrum  igitur  problema   sequenti 
modo  resolvi  conyeniet. 

Pro  lubitu  capi  possunt  litterae  8  et  ??,  dummodo  observetur  esse  debere 
$<1  et  ??>!,  quia  PJc  =  rj  —  1.  Deinde  littera  £  capia/tnr  intra  limites  ?? 
et  7?  +  (r?""1)2(1  +  ^)-  At  (£  capiatur  intra  hos  limites 


unde  simul  (7  definitur.     Turn  vero  capiatur 


ex  quo  habebitur 


"  ' 


Postea  capiatur  35==-"=--,  unde  definitur  5.    Denique  ob  Pkk'=^  formula 
supra  pro  ®  inventa  dabit 


ubi  substitute  valore  ipsius  Jlf  prodit 


346-347]  DE  MIOKOSGOPIIS  HDIUS  GENERIS  MAGIS  COMPOSITE  469 

o 

qui  valor,   cum   sit  9Jt  numerus  praemagrms,    erit   proximo   ®  =  -g-   hincque 
adcuratius 


sive 


vel 


uncle  saltern  patet  certe  fore  SD  >  1  ideoque  D  negativum,  ut  supra  iara  no- 
tavimus.  lam  prouti  fuerit  P  sive  >1  sive  <1,  capi  debebit  vel  A>0  vel 
^<0,  ita  ut  nunfc  omnia  elementa  sint  determinata;  habebutitur  enina  di- 
stantiae  focales 

A®  AB&  ABC®  ,      .      ASOD 

2  =  ---.  «,     r  =  --  Jr-a,     s  =  --          -a     et       -—-. 


deinde  intervalla 

primtim  =  Aa(  I  —  -pj  ,      secundum  =  --  p~(^  +  T)  ' 

,     ,.  ABCai.    .    1\  ,  ABCDa 

tertmm  -  -  -jjg-fl  +  j)  ,     quartum  =  - 

turn  vero  erit 


et 


et  apertura  primae  lentis  ex  aequatione  notissima  p-  =  •  -  -  definietur. 

COKOLIAKIUM  1 

251.  Conditio,  quam  invenimus,  ^>TJ  Me  plus  non  involvit,  quam  ne  ^ 
minus  quam  77  accipiatur.  Nihil  ergo  impedit,  quominus  statuamus  ^==^; 
etsi  enim  hie  valor  campum  aliquantillum  diminuit,  tamen  is  adhuc  satis 
prodit  notabilis.  Turn  autem  fiet  r  =  0  sicque  tertia  lens  quam  minimam 
requiret  aperturam,  ita  ut  simul  officium  diaphragmatis  angustissimi  praestet. 


470  L1BEI  TERTII  SECTIO  QUARTA     CAPUT  II   §  252-253  [348-349 

COROLLAEIUM  2 

252.    Quodsi  vero  statuamus  £=17,  sufficit  capere  (£  intra  limites  0  et  1, 
unde  simul  C  fit  positivum.     Turn  vero  capiatur 

(,-l)(l -l- 
K~ 
ex  quo  habebitur 

p== 


ita  ut  pro  maioribus  multiplicationibus  sit  proxime 

5)  p_     2 

et    ^" 


unde  patet  esse  P  >  1  ideoque  A  positivum.     Turn  vero  erit  porro 


ita  ut  sit  tarn  35  <  0  quam  B  <  0.     Denique  hoc  casu  fiet 


hincque 

aart 


atque 


SCHOLION 

253.  Praeterquam  quod  hie  casus  ^  =  7?  ad  praxin  inprimis  est  accom- 
modates ,  etiam  hanc  praerogativam  complectitur,  ut  a  littera  (£  reliqua  ele- 
menta  prorsus  non  pendeant,  ita  ut,  quomodocunque  (£  accipiamus  intra 
limites  scilicet  0  et'  1,  reliqua  elementa  nullam  inde  mutationem  patiantur. 
Hoc  autem  modo  facillime  evitari  poterit,  ne  lens  obiectiva  nimis  fiat 
exigua,  quod  vero  insuper  commodius  per  litteram  A  praestatur,  nisi  forte 
de  telescopiis  sit  sermo,  ubi  -4a=#;  superfluura  igitur  foret  hie  alios  casus 
praeter  istum  ^==TJ  evolvere,  atque  nunc  inprimis  operae  pretium  erit  aliquot 


349-350J  DE  MICROSCOPES  HUIUS  GENEEIS  MAGlS  COMPOSITIS  471 

valores  pro  i\  considerare,  ut  inde  intelligere  queamus,  quinam  inde  ad 
praxin  maxime  faturi  sint  idonei.  Pro  littera  vero  8,  quam  unitate  minorem 
esse  debere  vidimus,  statuamus  semper  $=y,  quia  hinc  satis  idoneum  inter- 
vallum  inter  binas  lentes  postremas  oritur.  Turn  autem  nostrae  conditiones 
sequenti  modo  exprimentur: 


4.   (S,  ut  iam  notavimus,  arbitrio  nostro  permittitur,  dummodo  sit  intra  0  et  1, 


Hinc  itaque  distantiae  focales  erunt 


,     ,      BCD 

et  ^ 


Deinde  lentium  intervalla 

!\       (41J  —  3)3Jl 
-        =  ^  -  ; 


primum 

,  TJ 

secundum  =  —  B 


tertium  =  -  B  C  ~    +  -~      Aa, 


,  BCD 

quartum  ==  -^m-  • 


Deinde  ob   M  ==  m-r^-TT   erit 


Pro  prima  lente  semidiaineter  aperturae  erit  =  ^  ex  aequatione  notissima 
definienda; 


472  LIBEI  TEETH  SECTIO  QUAETA     CAPUT  II     §  253-255  [350-351 

pro  secunda  autem  ob 

0}  =  -~ 

erit  semi  diameter  aperturae 


_ 

-l)~     P 
et  ob  r  —  0  seinidiameter  aperturae  tertiae  lentis 


x  x 


duabus  autem  reliquis  lentibus  apertura  maxima  tribuitur, 


EXEMPLUM  1 

254.    Sumamus  t\  =  2  eritque  &=    -H         ,   et  quia  tantum  do  rnaioribuH 


-Hyjt 
multiplicationibus  agitur,  sumi  potorit   fc  =»     ,  liinc 


8 

-8(«  +  l)"  3 
Porro 

33  =  -^      et     B--..^,     ®«4     et     /)--.  J, 
unde  distantiae  focalos  erunt 


et  lentium  intervalla 


5  n 

primum  —  Q  Aaf     secandum  —    .  Aa>1}, 

' 


tertium  -  ^  (7  (l  +  ^J  J  a,    (,uart 
et 


. 

o 

nm  -  J  J 


et 


I)  Editio  prioeepsi  u*^®*        Uorwrit  K,  Ob, 


351—352] 


DE  MICROSCOPES  HUIUS  GENERIS  MAGIS  COMPOSITIS 


473 


turn  vero  semidiameter  aperturae  lentis 


secundae  =  rmr  +  ~^% 

sUC  -|-  1  o 


tertiae  =  x. 
Pro  x  autem  inveniendo  satisfiat  huic  aequationi: 


(juae  aequatio  cominodius  ita  repraesentabitur: 


COROLLAB1UM 

255.    Si    haec    ad    teloscopia   transferantur    ponendo 
;  mm  m,  iient  distantiae  focalos 


6 
11 


10 1  G 

11    m 


, 
et 


20 


intervalla 


tertium 


6  ,  6 

pranum  —  g ;  jp,     secundum  —  g 


,  , 

at    quartum  - 


10    G 


mm. 


et  semidiameter  campi  *  —  m  ,  , 

M/V       | '-     •- 

Longitudo  ergo  erit  propemodum  —  ^P^  ii^JP1)-     iir1^^  autem 
aequatione  ante  data  dejfiniri  potent,  ubi  €rit  U  -« 0  ob  a  —  <x>. 


et 


ex 


1) 


lo  priiaotpss  sf^  H^'^          Conwit  1»  Oh, 
BO&IEX  Opera  omnia  II 1 4  Dioptrica 


474 


LIBBI  TERTII  SECTIO  QUARTA    CAPUT  II     §  256—260  [352—35£ 


EXEMPLUM  2 


256.    Sit  nunc 
sumi  ergo  poterit 


;  erit 


9W+2 


™ 

®-- 


_. 

2' 

33)1  +  2 

8(ffllTa) 


Hinc  ergo  fient  distantiae  focales 


___ 

arc  +  2 

. 

-1'    ergo 

^ 

«    ergo    J5 


et    ^= 


et  lentium  intervalla 

primtim  *=*     Aa,     secundum  =  '  Aa, 

4  o 

tertium  —     G(l  +  ^}A.a,    quartum  —     • 
hinc  porro  erit 


20 

•  ^ 


<2 


hinc 


et 


turn  vero  semidiameter  aperturae  lentis 

secundae 
Cetera  ae  habent  ut  ante, 


1        a 
' 


tertiae  — 


COEOLLAEIUM 

257.  Facta  applicatione  ad  teleECOpia?  ubi  tit  A&™**p,  omniit  elainanta 
facile  determinantur  ut  ante;  turn  vero  longitudo  inetrumenti  omiiiii  partibna 
per  $$  divisis  erit  **  |  p  +  *•  Cjp,  quae  minor  est  qiiam  casu  praaeadanta 


353—355]  DE  MICEOSCOPIIS  HUIUS  GENERIS  MAGIS  COMPOSITIS  475 

EXEMPLUM  3 

258.    Statuamus  t\  =  6,  ut  flat  Jf==~j-^,  eritque 

,        5  (3ft  +5)         5 

=  ~s  Proxime> 


o        co.        -  5  7 

8'    8  =  5)  =  -  6' 


unde  fit 

B  —  f8,     »-4     et     D  —  -J 

unde  distantiae  focales  prodibunt 

7    ^  7  rt  ^  14     <?  28 

a-ja^a,     r-^C^a, 

et  lentium  intervalla 

7  7 

primum  =*     Aa,     secundum  —— 

r*  /  w  *t        \  1  >4          /*^ 

tertium  —  lg  (?(  6  +  2  m)  A<*>     quartum  —  39  >  ^  -  Aa  . 
Praeterea 

1  0  J. 

^-a-a«  +  5   ot 

turn  veto  semidiameter  aperturae  lentis 

secundae  —  cm  f  .  +  c,  ^    ^    tertiae  —  -  #. 

we  +  o         o  5 

COROLLABIUM 

259*  Translations  igitur  ad  telescopia  facta  prodiret  hoc  casu  eorum 
longitudo  —  *Jjp  +  /5Crjp,  quae  longitude  satis  est  exigua,  ut  etiam  in  aliis 
generibus  vix  minor  sperari  quaat 

SOHOLION 

260,  Itai  iste  easus  £  —  1?  Sa  prs»  aummum  msum  praeatare  videtur, 
temen  etiam  considerari  eoaT^aitt  quempiam  casum,  quo  £>%  quandoquidem 

eo* 


476  LIBEI  TERTII  SECTIO  QUABTA     CAPUT  II     §  260—261  [355-356 

hoc    modo    campo   quodpiam   augmentum   adfertur.     Manente    autem    S  —  y 
alter  limes  pro  £  erat 


sive 


Huic   atitem  limit!  ipsi  aequari   nequit,    quia   alioquin  (£   deberet  esse   =  1 
hincque  C  =00.     Sumamus  igitnr 


W  & 

ac    reperietur    (£  >  3     et    (£  <  1.     Sumatur    igitur    (£  =  4  ,   ut    fiat    6Y—  3, 
hincque  fiet 

hincque  porro 

™  _  ^£^(18^  — 7)  +  30(^ — !) 

^  —  '"(3^Z"f)(2$i)li  +  15  (q— "l)) 

et 


Turn  vero  prodibit 

12 


cum  antea  fuisset 

Quodsi  iam  sumamus  ut  in  exemplo  secundo  r/ "~  3,  fient  haoc  (»lonumtu 

,     ^    2ft  +16  ,  y^  483)? 

hinc 

_  47  3^4.  15  _  47501+ 15 

^^    4(2R  +  15)   '  81STO+46    f 

turn 

®  «-  f  ,     6f  —  a,     35  —  4    «tt     7>  »-*  -  -  t ; 
4  '  8 

unde  singula  momenta  pro  constructione  deflniri  possuni  Quia  vero  Me 
tanti  oecurrunt  numeri,  quos  prae  8K  iiegligere  non  ampliuB  licet,  in  adpli- 
eatione  ad  eiempla  sfcatim  quoque  pro  9R  detenninatum  valorem  aisumi  eon* 


356— 357J  DE  MICROSCOPITS  HUIUS  GENEEIS  MAGIS  COMPOSITIS  477 

veniet.  Praeterea  vero  hie  ad  specialiora  non  progredimur,  quia  adhuc  lente 
obiectiva  simplice  utirnur,  ita  ut  confusio  aliter  tolli  nequeat  nisi  aperturam 
lentis  obiectivae  diminuendo;  quod  remedium  cum  praxis  sponte  oflferat,  non 
opus  erit  litteram  x  molesto  illo  calculo  definire;  siquis  enim  microscopium 
secundum  huiusmodi  mensuras  construxerit,  ipse  usus  aperturam  declarabit; 
quando  autem  in  sequente  capite  per  multiplicationem  lentis  obiectivae 
omnem  confusionem  ad  nihilum  redigemus,  turn  demum  necesse  erit  com- 
pletas  determinationes  pro  singulis  momentis,  uti  hactenus  fecimus,  exhibere. 


PKOBLEMA  2 

261.  Microscopium  huius  generis  ex  guingue  lentibus  construere,  quae  ita  sint 
dispositae,  ut  prior  imago  reolis  in  intervallum  secundum  y  posterior  vero  in  inter- 
vallum  quartum  incidat. 

SOLUTIO 

Quatuor  ergo  litterarum  P,  Q,  li,  S  secunda  et  quarta  erunt  negativae; 
undo  ponatur  Q  —  —  k  et  ti^^tt,  tit  sit  PkRk'*^  ™j*  *•*  9ft;  Mnc  erit  ulti- 
mtw  lontis  distantia  focalis 

.       Alton  ABCD 


quae  debet  esse  positiva  aeque  ac  lentium  inter?alla?  quae  sunt 

primnm  «—  A  a  (l  —  .,  J  ,     secundum  »•*  —   p  •  ail  +  /J  ? 


A    A-  AJiO      /-        I\  ,  ,   AJiCD      /-    .    l\ 

tertmm  -  -   pk  -a  (I  -  R),     quartum  -  +   pfcjft.  -  a  (1  +  J; 

ergo  ut  tain   ultima  lens  quam  ultimum  mtervallum  fiant  positiva,  debet 
ABC  I)  >  0.    Hinc  ut  tertium  quoque  flat  positivum,  debet  esse 


sicqua  circa  D  whil  definifeir*    Ob  secundum  autem  interrallum  debet  ease 


478  LIBRI  TERTII  SEOTIO  QUAETA     CAPUT  E     §  261  [357—358 

—  AS  >  0    et   ob   primum    A(l—  y)  >  0.     Turn  ergo  debebit  esse   CD  <  0. 
Statuatur  nunc 


et  quia   campus    maximus   desideratur,   statim  sumi   poterit   8  =  1   et  t  =  1, 
ut  fiat 


hincque  distantia  oculi 

0  "" 


quae  cum  sit  positiva,  destructio  marginis  praebet 

0  =  p.  —  ^  —  p^R  4-  £.km 
un.de  colligitur 


Mnc  erit 


sicque    patet    esse    1  +  TcR>  qkE.      Praeterea    vero    considerate    debenaus 

sequentes  aequationes: 

1. 

2.   (£t  —  ~( 
3.   $  --  (1  + 

Ponatur  hie  ut  ante  brevitatis  gratia 

^-C    et    I 
fietque 

q  —  fJIf    ot    t 
unde  colligitur 


ex  qua  aequatione  deducitur 


358—360]  DE  MICKOSCOPIIS  HUTOS  GENERIS  MAGIS  OOMPOSITIS  479 

ex  quo  valore  vicissim  erit 


et 


Nunc  ut  marginis  colorati  rationem  habeamus,  erit  statim 


Et  ctwn  ob  Plc^rj  —  l  sit  PfcJB  —  (»;  —  1)2?,  erit 


is  (7;  -  1)  E  (m  +  £  -  1)  -  (T?  -  1)  (£  -  T?)  JB  -  m  (sp  +  c  -  1) 

0  . 


Antequam  autom  bine  vel  fc  vel  JX  determinemus,  considerare  debemus  ratio- 
nem litterae  3)  ex  superior!  tertia  aequatione;  cum  igitur  Phil  sit  sine  dubio 
numerus  magnus  involvens  ER,  facile  intelligitur  litteram  3D  esse  negativam; 
unde  etiam  erit  D  negativum  adeoque  concludimus  fore  C  >  0  hincque  G£  <  1  . 
Ob  eandern  vero  rationem  debebit  esse  JB>1,  ita  ut  haec  littera  aliquatenus 
tanquam  nota  spectari  possit;  quaro  ox  ilia  aeqnatione  colligimus 


hincque  P—  «^^^,  ita  ut  sit  7?  >  1.     Quare  ut  valor  ipsius  A  fiat  positivus, 
debot  esse 

^ 


ad  quod  prime  requiritur^  ut  quaatitas  litteram  JR  multiplicanB  sit  positive 
et  quia  Wl  est  numerus  praema^nus,  ipsius  coefficiens  ante  omnia  debet  esse 
poiitivus,  unde  colligimus 

unde  concladitur 


480  LIBRI  TERTII  SECTIO  QUARTA     CAPUT  II     §  261-265  [360-361 

quia  igitur  K  <  1?  erit 

2  (£  —  T?)  <  rj  —  1      sicque      £  <  3^1  • 
Qua  conditione  impleta  debet  esse 


atque   hinc   retrogrediendo    omnia   elementa    determinabuntur.     Keliqua   vero 
expediuntur  ut  in  praecedente  problemate. 

COEOLLAR1UM  1 

262.  Hie  igitur  littera  E  denotabit  numorum  magnum  3Ji  involvontom; 
deinde  conditio  £  <  --^-  institute  nostro  maxime  favet,  cum  oampi  oonditio 
inprimis  postulet,  ne  £  ultra  necessitatem  augeatur.  Quare;  cum  nompor  nit 
7j>l,  comm,odissime  videtur  statui  posse  £— 7/  uti  in  praecodonto  problotuato, 
ita  ut  tertiae  lentis  apertura  iterum  fiat  minima  prodeatque 


COKOLLALUUM  2 


263.    Sumto  autem  ^«»7;  pro  (£  limitoH  erunt   (S  <  1    oi.   (S  ,-•('.     I'orro 
capi  debet  It  >  ?  __  t  indeque  Hot 


ot 

Praetarea  vero  erit 

.-^ 
w"" 

Denique  vero  reperietur 


361-362]  DE  MICROSCOPIIS  HUIUS  GENEBIS  MAQIS  COMPOSITIS  481 

sive,  cum  9ft  et  E  sint  numeri  praemagni,  erit  proxime 


qui  valor  certo  est  negativus,  ut  supra  iam  posuimus. 

COROLLARIUM  3 

264.  Quin  etiam  statui  poterit  £  =  0;  unde  pro  (£  limites  erunt  (£  <  1 
et  (£  >  —  ~\;  cui  satisfit,  dummodo  K  intra  limites  1  et  0  contineatur. 
Turn  vero  sumi  debebit 


^  ^ 

sive  ob  3Ji  numerum  praemagnum 


Verum  hinc  sequitur  porro  /c  ««  C\D  et  J>  ««  0;   ita  ut  sit  Pk  *=*<ri  —  1  .     Prae- 
terea  vero  prodit 

^  —  CND    et    #  =  —  1, 

Denique  vero  ob 

A      j.  n^- 

q  —»  0    et    r  —  —  •  /r" 

erit 


ideoque  ob 


qui  valor  ipsius  M  aliquanto  minor  est  quam  casu  praecedeate,  flet 


SGHOLION 

265*  Quantumvis  Me  castis  paradoxns  videatur  cum  ob  8~cs3  turn 
?aro  ob  P—  0,  taraen  revera  est  realis  et  ad  ca&um  in  praecedente  capita 
expositum  redmeite;  <jma  enM  ®«-»csd,  secuudae  lentis  dktaaatia  focalis  est 

Opera,  omnia  HI  4  Dlopttioa  61 


482  LIBEI  TEBTII  SECTIO  QUARTA     CAPUT  II     §  265—266  [362-363 

infinita  sicque  res  eodem  redit,  ac  si  secunda  lens  plane  abesset,  ita  ut  non 
amplius  quaestio  sit  de  eius  loco;  quare,  etsi  piimum  interval  lum  prodeat 


et  secundum 


tamen  horum  summa,  quae  sola  nunc  est  spectanda,   fit  finita 

=  -  ^  >•  •  Aa. 


Cam  igitur  tantum  quatuor  lentes  hie  habeantur,  hie  casus  ad  praecedens 
caput  est  referendus*  Interim  tamen  hinc  incommoduin  nasci  debebit?  quando 
fQ  prope  ad  0  accedit?  quia  turn  P  etiam  erit  nnitato  minus,  ita  ut  A  dobea,t 
esse  numerus  negativus  et  B  >  0.  Cum  autem  sit  33  ==  T  "  ',  crit  quidoni 
33  >  0,  verum  insuper  necesse  est,  ut  sit  1  —  P<  *Q  vel  P>  1  -—  %,  sivc  P 
contineri  debebit  intra  limites  1  et  1  —  t,  seu  esse  debet  ^<iHl;  (jun,ro, 
cum  9Ji  et  E  sint  numeri  praemagni,  debebit  esse 


quod  sponte  evenit  ob  ^<rj,  si  fuerit 

.sf) 

,)   >2 

Sin  autem  sit  e,f  ""?,?"  8,°<  2,  debet  esse 

A  "~"  ~™  ' 


qnibus  observatis  aliquot  caaus  fusius  evolvaraus. 

1)  Editio  princeps:  quare  cum  S0Z  e/  /i  xlnt  mtmeri  praemagni,  flebrbit 


fturit 
«(n 

5m  autem  sit 


1.  Ok 


363-364]  DE  MICROSCOPES  HUIUS  GENERIS  MAGIS  COMPOSITIS  483 

CASUS  1 
QUO  £=77 

266.    Hoc    casu    iam    vidimus    lentem    tertiam    nostro   arbitrio   relinqui, 
dummodo  pro  ea  capiatur  (£<1  et  (£>0?  ut  C  fiat  numerus  positivus;  unde, 

si  circumstantiae  postulent,   ut  C  sit  numerus  satis  magnus,   turn  (£  parum 

•  *$l 

ab  unitate    deficere   debebit;    deinde  etiam  notavimus  capi  debere   JK>~^; 

unde,  cum  semper  sit  77  >1,  si  etiam  fuerit  >2,  tune  commode  sumi  poterit 
j?  =  $JJJ.  Notetur  autem  litteram  77  non  nimis  magnam  sumi  convenire,  quia 
pro  campo  fit 

Deinde  vero  prodit 


quare  pro  maioribus  multiplicationibiis  tuto  sumi  poterit 


undo  patet  litteram  "k  eo  fore  minorem,  quo  minus  E  limitem  praescriptum 
_  t  suporet;  undo  tit 


Pro  reliquis  elementis  primo  prodit 

w      -  fo  ~  i)_JB  ((2^  -  1)  m  -  n  +  1)  -  SW  (SK  +  1?  -  1) 

«  -        --  ,  ((,  _  i)  -  jj  _  a»)  '(m  +  fl  -  1)"  " 

hincquo  proximo 


qui  valor  manifesto  est  negativus,  ex  quo  etiam  B  erit  negativum.  Deinde 
cum  sit  />>!,  ob  eandem  rationem  littera  A  debebit  ease  positiva;  ex  quo 
productum  AB  ob 

B  - 


fit  liepMimra,  ptoi^iai  ttM  eondiMom^  praeieriptae  postulant*    Denique 

ei* 


484 


LIBRI  TERTII  SECTIO  QUARTA     CAPUT  II     §  266-268  [364-365 


vero  reperitur 
ideoque  proxime 
nnde  fit 


His  definitis  erunt  primo  distantiae  focales 


ABC® 


-1)1?+ 


deinde  vero  intervalla 

primxim  ^  Aa(l  —  ^  )  ,     secundum 

,     cjuartum 


A  Da  (p  + 


tertium  - 

Distantia  vero  oculi  fiet 
*          t 


i        i   f       y-"l\       t  . 
-8*0+   SR  )  ~  s  '  Proxim 


Pro  aperturis  vero  lentium  primao  quidem  aportura  tutisBime  per  oxporuwtmm 
definitur;  raxde  reperitur  littera  %  ex  eaque  mensura  claritafcin  —  ^  f  HI 
scilicet  x  in  digitis  exprimatur. 

Pro  secunda  vero  lento  cum  Bit 


erit  eius  aperturae  semidiameter 


a?       i 


Pro  tertia  vero  lente  ob  r  —  0  sufflcit  aperturae  semidiamater  —    "^  roli- 
quas  rero  lentes  utrinque  aeque  eonvexas  confici  convenit. 


365-367]  DE  MICEOSCOPITS  HUIUS  GENERIS  MAGIS  COMPOSITIS  485 

COROLLARIUM 

267.  Si  sumatur  jS  =  -^i?  ut  fiat  &  =  0  et  P=cv>  existente  PA;  =77  —  1, 
turn  fiet  5g  =  i-~~?=  —  oo  et  5  =  —  1.  Turn  igitur  secunda  lens  in  ipsam 
imaginem  realem  priorem  incidet  ob  primum  intervallura  =  A  a  =  a  eiusque 
distantia  focalis  erit  <y  ™  —  •  At  vero  secundum  intervallum  hoc  casu  evadet 

7] 


a1==="^l'     Reliqua   vero   definiuntur   ut  in   genere,    si  modo  notetur 
fore   3)  =  —  2    et   D==  —  *- 

6 

EXEMPLUM  1 

[267  a].1)  Ponamus  ij  —  2  et  capi  debebit  JB>9)i.  Mhil  vero  impedit? 
quo  minus  secundum  praecedens  corollarium  sumamus  R  «=  3JZ?  ita  ut  turn  fiat 
/c«»0  et  I^e^co;  quare  primo  distantiae  focales  ita  exprimentur: 


Aa  Af~  $AC  .       .       %    C 

5  —  -»  -  a     et      #  =     . 


Deinde  intervalla  ita  so  habebunt: 

primum  •»  -4a,      secundum 


tertium  —  C?fl  —  ^J  Aa,     quartum  —    -  -  ^  :-  Act,] 
distantia  vero  oculi 


Pro   valore    ipsius   a?   sive  per   experientiam  nive   per  formulam  notam 
definite  fiat  secundae  lentis  semidiameter  aperturae  «^—  ^  •  ^  et  tertiae 

lontis    —in;    semidiameter   spatii    conspicui  erit   ^~  ^    st  mensura  clari- 


»     ,.  20  i« 

tatis  - 


COBOLLAE1UM 

268,    Hae  formulae  quoque  ad  taleseopia  accommodari  poterunt  sumendo 
p  et  W^m,    Turn  vero  Buml  debebit  ipsa  distantia  focalis 


isiii  teratubois  sequentibES  per  Sft  divisis. 
1)  Vid«  Mtam  p.  884,          I.  Oh. 


486  LIBEI  TEETH  SECTIO  QUAKTA     OAPUT  II     §  269-272  [367-368 

EXEMPLUM  2 

Ofjfx 

269.    Sit  nunc  r\  =  3,  ut  esse  debeat  jR>  <r,  sumaturque  jR  =  3ft,  xmde 
fiet  &  =  Y  e^  -P=12;  quare  reliqua  elementa  fient 

»-—"    hincque     J?  =  —  g     et    3)  =  -4     et     /)=*  —  >, 
unde  distantiae  focales  evadent 

1:t  11     C  ,       ,        22    (7 

et     <  —      ' 


atque  intervalla  lentium 


primum  =~~-Aay     sectodum  *=*—* 

12  24 


tertium  —  ^  6v(l  —  ^)  Aa,     quartum 
oculique  distantia 


spatii  vero  in  obiecto  conspicui  erit  semldiameter 

a 


Definite  x  sive  per  experientiaiit  sive  per  formulam  notam  orit  Hcnuuliawotor 
aperturao 

secundao  lentis  -»  '  •  jL  +  x      et  tertiao  —  ^ 


et  gradus  claritatis  « 

COEOLLAR1UM 

270.  Hae  formulae  etlam  ad  telescopia  accommodari  possunt;  erit  mim 
Ad^p  et  ^fl^m.  Turn  vero  lentia  obiectivae  distantia  focalis  dcfinitnr 
per  hanc  formulam: 


Longittido  huius  telescopii  erit  circiter 


368-369]  DE  MICROSCOPIIS  HUIUS  G-ENBBIS  MAGIS  COMPOSITIS  487 

EXEMPLUM  3 


271.  Sit  mine  17  —  6,  ut  esse  debeat  J2>y,  et  sumatur  J3  =  y  ac  repe- 
ritur  k  =  -j-  et  P  =  20.  Bine  porro  fiet  35  =  —  -  et  JB  =  —  -*|  -  Turn  vero 
®  =  —  5  et  D  =  —  y-  Distantiae  ergo  focales  ita  se  habebunt: 


et 

,       19    G 
^=30-^ 

et  intervalla  lentiuin 


29  ^  j  19 

pnmum  =     Jla,     secundum  =  - 


tertium  -  ^  6Y(l  -  ^)  ^ta     et     quartum 
oculique  distantia 

^-i 

spatii  conspicui  samidiameter 


Definite  dcniquo  a?  ut  a,nte  erit  aemidiamtvbor  aperturae  lentis 

B  x  1 

secundao  —  —.  •  q  +  ,>A     ^  tertiae     ~  r  a?; 

gradus  autem  claritatis  manot  «•   ^f  • 


KXEMFLUM  4 
272,    Sit  ut  ante  y  —  6,   sumatur  vero   JK  —  SW  ac  reperitur  A  —  *    et 

7 
S 


P-15.    Mine  porro  fit  ffl—  —  J  et  J0-  —  ^  at  5D  -  -  10  et 


Dista&tiae  ergo  focalea  erant 


488  UBBI  TEBTII  SEOTIO  QUARTA     CAPUT  II     §  272-274 

et  lentium  intervalla 

primftm  =  —  Aa,     secundum  =  —Aa9 

tertittm  -  ~  c(l  —  ^)  Aa,     quarbum  -  J6  •  ^  *  Aa 
et  distantia  oculi 


pariter  ac  reliqua  momenta  se  habet  ut  ante. 

COROLLABIUM 

273.  Si  haec  ad  telescopia  transferantm*  ponendo  Aa*=*p  ot  5WZ  -  w, 
casus  hie  posterior  antecedent!  praeferendus  videtur,  siquidein  pra(^bot  lon- 
gitudinem.  parumper  minorem,  quippe  quae  neglectis  terrain  is  per  SDi  divlsis 
erit  «  (12S5  +  &&)#>  cum  6X  ^emplo  praecodente  fuorib  —  (l60  4-  ^  ^)  JP* 
Oasu  ergo  ultimi  exempli  lentis  obiectivae  distantia  focalis  ita  defmietur,  ut  Bit 


CASUS  2 
QUO  J«l 

274    Cum  sit  ^—1,   limites  pro  (£  oruut  (J  <  1    oli  @  >  —-SJ,  ifai  ut 
aeque  arbitrio  nostro  pcrmittatur  ac  ante*     Turn  vote  OHBO  <lcbobit 


+  i?-  -o 

'V-  n 


sea  neglectis  minoribus  parti  bun 


Statuatur  ergo  J!  —  »3Jt  suraeiido  scilicet 

ff 


371—372]  DE  MICROSCOPHS  HUIUS  GENERIS  MAGIS  COMPOSITIS  489 

Turn  ergo  fiet 

jc  =  S(q«-*  -i)  +  2»(i?-i)        ,      p  = 


l)  —  l)  +  2i(ij  —  1)' 
Hinc  ergo  fiet 

P  _  1 


qui  valor  erit  positivus  seu  P>1,  si  fuerit 


Hoc  ergo  casu  prodit 

«  =  -  6(«(ij  -  1)  +  1)  +  2  »  (ij  -  1)  . 

" 


qui  valor  cum  sit  negativus,  etiam  JB  erit  negativum  et  ob  P  >  1  debebit 
ease  positivum,  ut  superiores  conditiones  postulant;  sin  autein  esset 


turn  foret  P  <  1  sumique  deberet  A  negative  ac  prodiret  33  >  0;  unde,  ut 
etiam  .B  fiat  positivum,  insuper  necesso  est,  ut  sit  58  <1,  quod  manifestum 
mi,  cum  sit  33  —  1  —  P.  Postea  vero  pro  ®  inveniendo  nototur  esse 

M 

J 
ot 

q^  .......  M    et 

ex  quibus  prodit 

3D  -  —  »fo  ~  l)  jtfSK  -  ~  2i(7?  -  1); 

illi  vero  valores  abibunt  in  hos: 

2 


Hie  valoribus  inventis  considerentur  primo  distantiae  focales,  quae  sunt 


III  4 


490  LIBRI  TEETH  SECTIO  QTJABTA    CAPUT  II    §  274-278  [372-373 

Turn  vero  intervalla 

primum  =  Aa  (l  —  ^  j  ,     secundum  =  —  ABa  (-p  +  —  —  )  , 
ASCa  /,         1  \  .  ABCDa  (      \         . 


.     .. 

terhoxn  ,  ._ 

distantia  vero  oculi 

n 

u 


Deinde  simili  modo,  ut  iam  ante  notavimus,  littera  x  sive  per  experientiam 
sive  ex  formula  nota  definiri  poterit.  Turn  vero  erit  lentis  secundae  semi- 
diameter  aperturae 

tertiae  vero  lentis 


reliquae  vero  lentes,  quia  sunt  utrinque  aequo  convoxae,  maximam  aporburam 
admittunt.    Pro  spatio  denique  conspicuo  erit 


i  T      .,    ,  . 

et  mensura  clantatis 

OOEOLLAKIUM  1 

275*   Si  littera  i  contineatur  intra  lios  liniitos, 


turn  fit  P>1  et  litterae  S  ot  B  negativae,  littera  varo  A  sumi  clabet 
tive;  unde  omnia  elementa  oiusdem  aunt  naturae  titi  in  caBtt 

COBOLLAE1UM  2 


276,   Sin   autem  adeo  foerit  $>  .-  ^  jj>t  _  4) ,  turn    littera   /*  unitate   fit 
minor  hlncqua  tarn  littera  S  quam  B  flunt  positivae;  at  varo  littera  A 


373—374]  DE  MICROSCOPIIS  HUIUS  GENERIS  MAGIS  COMPOSITIS  491 

debebit  negativa,  id  quod  duplici  modo  evenire  potest,  altero,  quo  2t>l, 
altero  vero,  quo  31  <0;  quo  posteriore  casu  lens  prima  evaderet  concava  et 
instrumentum  multis  incommodis  foret  obnoxium. 


COEOLLARIUM  3 

277.    Sin  autem  fuerit  i=,  Ti^viT^TJv  turn  fiet  P=l  hincque  33  =  0  et 
J5  ==  0.      Turn  igitur,    ne  fiat   #  =  0?    necesse   erit   sumi   J.  =  oo,   ita   tamen, 

ut  sit 


Unde,  cum  sit  1  —  P=$B,  erit  primum  intervallum 

—  Aa(l  ~.^  =  — 
quare  ob  9(  —  1  fient  distantiae  focales 


,-  ,-           seu 

et 

.             C1!)  .         2i(^  —  1)0      g 

<--        .  sou        t. 


Intervalla  voro  lentium 

primum  —  #,     socundum  —  •   ^  -  •<?»     tertium  —    _,(l 

, 
quartum  -  - 

In  roliquis  vero  momentis  nihil  mutandum  occurrit. 

SCHOLION 

278*  Probe  autem  hie  est  notandum  oasua  in  Ms  duobus  postremis  corol* 
lariis  contantos  nauMquaim  ad  telescopia  traasferri  posse.  Pro  telescopiifi 
emim  ob  a  —  co  neeetiario  mmi  dabet  $C  —  0  et  A  —  0,  cum  in  Ms  casibua 
dobeat  OBBO  v4  vel  infiDitum  vel  negatdvum. 

as* 


492  LIBKI  TEETH  SECTIO  QUAETA     CAPUT  II     §  279-282  [374—376 

EXEMPLUM  1 

279.  Sumamus  i]  =  2,  et  quia  C  in  iis  tantum  termini  s  occurrit,  qui  per 
9Ui  sunt  divisi,  ideoque  semper  numerum  praemagnum  significare  debet,  pro  Gf 
recte  unitatem  assumere  poterimus;  hinc  ergo  pro  litter  a  R  primus  limes 
erit  £>y5  tit  nostra  instrumenta  ad  casum  corollarii  primi  pertineant,  sumi 
quoque  debet  i<\\  hinc  ergo  capiatur  ^=^?  ut  sit  E  —  *  3ft;  unde  col- 

ligemus  ft  —  4-  et  P  —  2,   deinde   35  =  —  1   et  J5  —  ~4   et   2)  —  —  1,  hinc 

i 
^3=  —  —.-    Hinc  distantiae  focale?  erunt 


,      .       i    0    A  ,1 

et     ^-j-gg-^     seu      *--- 


Intervalla  yero  lentium  erunt 

primum  =»  —^4  a,     secundum  «•     yia, 

£j  /          Q  \  3     C 

tertium  «     (  1  —  ^JJ[a7     quarfcum  —  ••  -^^  Aa 

ac  distantia  oculi 


semidiamotri  deiiique  aperturarum  lentis 

-A 

<w     iUC 


primae  —a?,     secundae  «=     -A  +  0  *^?     tortiae  »•«  0  -> 


BXKMPLUM  2 

280.  Maneat  ^~2,  sumatur  vero  t»l  give  M^*$ll  at/qua  erit  k  «*«  I 
et  P—  1,  turn  vero  S3  ~  0  —  J?  et  SD  •"  — •  2  et  1)  —  —  ^ ;  imde  ex  corollario 
tertio  nanciscimur 

mm  mm  2  ^  2       ^ 

Intervalla  vero  lentium  erant 

(1  \  4     f 

1— ^cjff,    quarttim  ^  0  *^*f*» 
^y^/  jqf    if/f 

i  vero  momenta  perinde  ac  in  praecedente  eiemplo  se  habebani 


376-378]  DE  MICROSCOPIES  HUIUS  GENERIS  MAGIS  COMPOSITIS  493 

BXEMPLUM  3 

281.    Maneat    rj  =  2    et    sumatur    i  =  2,    ut    sit    E  =  23ft;    erit    ergo 
ft  =  -5-  at  P  =  ™,  unde  33  =  4-,  tine  5  =  4-;  turn  vero  S)  ==  —  4  et  JD  -=  —  -^-  • 

4  6  7  o  7  4  '  o 

Hinc?  cum  A  debeat  esse  negativum,  statuatur 

A  j.       -i.        or  a  ^ 

^L  =  —  a,      ut  sit     Sl  =  —  — — -= -; 

7  I—  a        a—  1 

ex  quo  distantiae  focales  erunt 

cc  11 

cc —  1  4  4 

=  1C  t^^1?  "  #  =  ^5 

Intervalla  vero  erunt 

primum  «=  .  a  a,     secundum  =r-aa,     tertium  ««  - 

r  4  16  4 

quartum  —  -Var^a. 


vero  momenta  Bunt  iterum  ut  in  exomplo  primo.  Hie  autem  probe 
iiotimdum  oat,  si  capiatur  a  «=>  1,  prodiro  jp  »  ro  ideoque  primam  lentem  plane 
roiici  poBBO,  Ita  ut  microHCopium  ex  soils  lentibus  posterioribus  componatur. 
Quia  autcm  turn  coufuBio  procliret  enormis,  cum  in  formulis  capitis  praece- 
dentiH  sumi  deberet  %  —  J  ,  hoc  instrumentum  merito  reiicimus  multoque 
niagiw  ea,  quae  prodirent,  BI  asset  «<1.  At  si  a  unitatem  haud  parum 
Huperot,  haec  instruinenta  in  praxi  tisum  habero  posse  videntur, 

KXEMPLUM  4 
282*   Bit  nunc  ?y~4,  et  cum  primus  limes  sit  i>-j>  pro  casu  corollarii 


primi  sumamus 

hinc  ©  «      I,  B  —  —  ^>  5D  ^  ~  1,  7)  —  ~  y?  unde  distantiae  focales  enmt 


i  <     ;  ait  igitur  i  —  §  sumto  U  —  1  eritqne  Jb  ««*  s  ,  P  —  2, 


r  — 


494  LBBEI  TERTII  SECTIO  QUAETA     CAPUT  II     §  282-285  [378-379 

Intervalla  vero  lentium 

i  ,  i  5   A        A    +•  CV-        6 

primum  =  —  J.a?     secundum  =  -r-4a?     tertium  =™ 

3     (7 
quartum  =  —  •  ^  *  Aa . 

Ocnli  distantia 


Porro 


Semidiametri  porro  aperturarum  erunt  lentis 

i  1     #    .    1          ...  3     r    ,    1 

pnmae  =  a?,     secundae  =====  —  •  •  -^  •+  -^ft,     tertiae  =  ^  -^  +  -$  #. 

EXEMPLUM  5 

283.    Maneat  T?  «=  4,   at  sumatur   e  »«  ^    secundxiin   corollarium  tcrtium 
eritque  k  «•  3  et  P  =«  1  ;  unde  colliguntur  distantiac  locales 

1  2^y  2     C  1 

jp  —  a,     j  —  j,     r~s2>     S""SW'2    ot    <—  s'JW"2"""  i5 

et  lentium  intervalla 

primum  —  q,    secundum  "••  «  ff>     tortium  —   ' 


quartum 


« 


Distantia  oculi 


et  reliqua  momenta  omnia  sunt  ut  ante. 

EXBMPLUM  6 

284.  Manente  TJ  —  4  sumatur  i—  1   eritque  &  —  4  et  P—-*-,   turn  vero 
8  —  J    et  B  —  -J    et  3>  —  —  6,  D  —  —  J  •     Cum  igitur  J/   sit  positivum, 


379-380]  DE  MICROSCOPES  HUIUS  GENERIS  MAGIS  COMPOSITIS  495 

littera  A  negativa  esse  debet.     Sit  igitur  A  =  —  a  fietque  31  =  ^-j ;  unde 
prodibunt  distantiae  focales 


cc  _  £                 _  £ 

"  a  —  1  *  ?      ^~  l$aa>      r~T 

2(7  t#=~™         —  — 

"8    M  7  "  SW   ^            7 


et  mtervalla   lentium 


prirniim  «=  •  <xa,     secundum  ==  -aa,     tertium  =  —  C\l  —  wl)aa> 

,  SO 

quarturn  =      •  ^,  *  aa. 

21    w/C 

Distantia  oculi  0  cum  reliquis  momentis  eadeni  ac  ante  manet. 

PKOBLBMA  3 

285.    Mwrosco^wm  ex  sex  lentibus  construere,  quae  ita  sint  dispositae,  ui 
prior  imago  reaMs  in  intervallmi  seeundwu,  posterior  vero  in  quartum  incidat* 

80LUT10 

Quhiquci  igitur  littorarnm  P,  Q,  ti,  N,  T  Becxnula  et  quarta  debent  ease 
nogativae;  quare  ponatur  Q«^  —  k  ot  N*»~A\  ut  Bit 


I  line  erit  ultimae  leBtiB  diatantia  focalis 

ABGDE 


debet  asae  pogitiva  aaque  ae  lentium  inter?alla^  quae  sunt 
primum  —  A  a(l  —  p  j  ,     seetiiidum  —  —  ^  -  •  ®(l  4-  & 
tertium  —  —  -  y  ^  ^  •  a(l  ~  jj)  ,    quartum  «    ^  ^     a(l  + 


496  LIBRI  TERTII  SECTIO  QUARTA     CAPUT  II     §  285  [380-381 

Ob  quintum  ergo  debet  esse  T<  1,  ob  quartum  yero  jEJ<0  bincque  AS  CD  >  0, 
Ob  secundum  vero  esse  debet  AS  <  0  Mncque  etiam  CD  negativum.    Statua- 

tur  nunc 

q+r+3+t+u 
M_ m_^          , 

et   quia  campus  maximus  desideratur,   sumi  poterit  g  =  JL,   t==l   et  n  — 1, 
ut  fiat 


Mncque 

et  distantia  oculi 


-•  Ma 

4 


mm ' 

quae  cum  sit  positiva,  destructio  marginis  colorati  praebot 

0  ""  P  ~~  l>k  ~  PkE  +  PkM  "*"  Pfc'Rk'T  ' 
unde  colligitur 


et  quia  constat  esse  T<  1,  statuatur  brevitatis  gratia 

ut  sit  <9>2,  hincque 

TmmO-^i' 
ex  quo  habebitur 

ergo  ob 

PkRV 

"0- 1 
fiet 


« 

K  9 


381-382]  DE  MICROSCOPIES  HTJIUS  GENERIS  MAGIS  COMPOSITIS  497 

Praeterea  iam  considerandae  sunt  aequationes  sequerites: 

1.   »q-(P-l)Jf, 

2.   £r  =  —  (l  +  P*)Jf— q, 

3.   £>  =  —  (l  +  P7c.R)Jf  —  q  —  r, 

4.   ©  =  (P&JKfc'—  l)Jf—  q  —  r  —  1; 


pro  quarum  resolutions  statuamus  brevitatis  gratia 

1~P-=£     et     l  +  Pft-ij, 


S3 
ut  fiat 

q  =  —  £  M    et 
ergo 


3  +  q  +  r  -  -8.<L+  C«l  -5-.  =  jfOR  -  1); 


undo  concluditur 
undo  viciBBitn 


e_i)..6  +  ,      ot     rf 
Nunc  ergo  habobimus   PftJIi  ««(?/  —  l)Ji  BOU 


tmcla  ob  rationen  ante  allagatas  litteram  k  definire  convenit;  quern  in  finem 
notasso  lavabit  lifcteroH  ^  et  r/  una  cum  ^  semper  prae  multiplications  502 
fora  valda  oxigua^;  alioquin  enim  campus  praetar  necessitatem  diminueretur; 
contra  vero  R  atiam  fore  numerum  praamagnum;  unde  superior  ilia  aequatio 
induefc  hanc  formam: 


qua 

KtrwMu  Op«a  omni*  nii  Dioptric* 


498  LIBRI  TEETH  SEOTIO  QITARTA     CAPUT  II     §  285  ___  [382-383 

qui  valor  cum  debeat  esse  positivus,  debebit  esse 


_ 

(<q  -  1)  6  0  "-  8  (0-1)  (g  -  17  j 

existente 

(,-!)«<?>  3(0-  l)£-fl)     sen     C 

Cum  vero  ut  in  problemate  praecedente  esse  debeat  (£<1,  numerator  illius 
limitis  minor  esse  debet  suo  denominator  hincque 


His   ergo  conditiombus  observatis   ponamus  brevitatis  gratia  iterum  ut  ante 
JB  =  i9ffty  ita  ut  esse  debeat 


»> 

habebimus  inde 


pro   quo   valore  duos  casus   considerari  convent! 

Si  P>1,   turn  debet  esse  J,  >  0  ideoque  B  <  0,  quod   quidem 
evenit,  cum  prodeat  S8<0,    Hoc  ergo  evenit,  quando  &<7/~l;  ex  quo  con- 
cluditur 


qui  limes  manifesto  maior  est  superiore,  Sin  autem  littora  i  adeo  hunc 
limitem  superet?  tune  fiet  P<  1  ideoque  A  negative  suml  debebit^  efc  quia 
33  prodit  positivum,  B  oateuus  tantum  erit  positivmn,  uti  requiritur,  quatenus 
fit  85<1.  Fit  vero  semper  83  <1,  nisi  fuerit  %<1;  atquo  si  etiam  fuorit 
£  <  1  —  P)  casus  erit  impossibilis.  Deinde  cum  sit 

PWt-(^~I)»aR, 

neglectis  terminis  prae  Wl  valde  parvis  ob  WIM-^B  proximo  orit 

c 


Porro  cum  Bit 


383-384]  DE  MICROSCOPIIS  HUIUS  GENERIS  MAGIS  COMPOSITIS  499 

fiet  eodem  mode 

(£  =  30-4     et     -E-  seu     ^- 


Hinc  ergo  distantiae  focales  ita  se  habebunt: 

A® 


tfa  —  l)  . 

\  *  /        /y  _  ,  _ 

lm  "  a       "M 


»(^'  -  1  j  +  1)  (3  0  -  h 

ubi  notetur  osse  quoque 


f  "  '  '««"  '  ' 

^L5C? 

" 


ita  ut  sit  g  ad  primum  intorvallutn  ut  1:^.     Intervalla  autem  erunt 


prmwm  • 

Hocundnm   -*  —  yl  7^  a  (  „  +        ^  )  , 
tortinm  -.-^^aa  -•      '  """"^!*^1  ~»ii)' 


.  AllODaf      I         .      t    \  8(»(i?»  •!)+  »--!'} 

quartern  «  i.     +    _;--8<_i     itf-i'    m   'a> 


,  --  2) 

qmntum  - 


IHstentia  voro  oculi  erit 


Spatii  vero  eonspicoi  semidiameter  writ 


SB* 


500  JUBBI  TEETH  SEOTIO  QUARTA     CAPUT  II     §  285-289 


Turn  vero  semidiameter  aperturae  lentis  primae  est  =  x  sive  per  formulam 
notam  sive  per  experientiam  definienda,  lentis  vero 


T  1        ,    #       3    g        ,    x 

secundae  =  ~qq  +  ?  ;  —  j-^-2  +  p 

,      ,.  1         .     a; 

tertiae  =  ~~xr  +  -r 


reliquarum  vero  lentium,  quae  debent  esse  utrinque  aeque  convexae,  semidia- 
metri  aperturarum  erunt  respective  -^s,  -^t  et  ^u,  Denique  autem  mensura 
claritatis  fiet  =  -^  - 

COROLLAEIUM  1 

286.  Si  statuatur  £  =  0,  pro  secunda  lento  orit  #  — oo,  qui  casua  oodom 
redit,  ac  si  haec  lens  plane  abesset;  turn  aoitem  orit  k  ==»  cv>  ot  P  ==  0,  33  *  *  C\D 
et  J5  =  —  1;  unde,  etsi  primuin  intorvallum  fit  =«  —  <x>,  ob  secimda.m  louixuii 
deficientera  intervallum  primae  et  tertiae  lontis  fiet  nihilominiiH  finitum 


Deinde  vero  capi  debebit 


Pro  (£  vero  sufficit,  ut  capiatur  intra  limitoB  1  ot  0,  quandoquidom  C  dohot* 
esse  numerus  positivus  ob  D<0-  JJeliquao  vero  detorrniusitionoH  uiaiumi  ui 
ante,  si  modo  notetur  esse  B  —  —  1  . 

COBOLLABIUM  2 

287*  Quia  hoc  casu  lens  secunda  tolUtur,  hoc  moclo  nolutlo  habebifcur 
problematis,  quo  microBCOpiuni  ex  quinque  lontibus  conBtructum  <juaoriiurf 
quae  ita  sint  dispositae,  ut  prima  imago  rcmlia  in  primum  intervallum,  pontwior 
vero  in  tertium  incidat;  cuius  ergo  problomatis  solutio  ofciam  HUppodiitit 
campum  triplicatum, 

COBOLLABIUM  3 

288.  Quia  in  genera  ob  rationea  ante  allegatas  littera  O  semper  doBignare 

debet  numerum  satis  magnum,  m  sciHeet  lentes  posterioree  ftant  mmm  aiiguaef 


386-387]  DB  MICROSCOPES  HURTS  GENEEIS  MAGIS  COMPOS1TIS  501 

satis  prope  erit  (£  =  1  atque  adeo  in  praxi  tuto  statuere  licebit  (£  =  1  .    Turn 
igitur  sumi  debebit 


e-i 

>  -  -  — 


deindo  vero 


CA.SUS  1 
QUO    «  =  c^    ET 

289.    Hoc  orgo  casu  esse  debet 


turn  voro  erit 


lit  igitnr  liat  P>1,  dobebit  esse  C>"2^-     ^uare  fiet  ^>>1>  si  capiatur  ^ 
intra  limittis  8l'~"1  Ot  Sr)2"""1;  quo  ergo  casu  J.  sumi  debet  positive,  et  quia 


roporitur  $<"0,  spouto  fit  I?<0.  Sin  autem  sit  ^<8lJ2~-,  tune  eritP<l 
hittcqno  A<(),  ita  nt  dobout  OHBO  B>()  hincque  33<1;  erit  vero  33  <1,  si 
1  _„  />."£  HIVO  /'x-  1—  C»  quod  quidom  semper  evenit,  nisi  sit  g<l.  Superest 
ergo  oxuiiiinaro  CUHUIH  ^<l,  et  quia  turn  OHSO  dobet  P>1  —  ^,  oritur  inde 
c,  wlatio: 


undo  patut  mm  debero 

^  «  ^"-  J  ~  *  l/25?j" 

dmiotanto  «  numentm  queinpia-ra  positivum  sive 


.     . 
qui  ei^o  limei  pro  f  pendet  ab  17,  ifca  ut  somto  j?  —  2  debeat  esse 


502  LIBSI  TEETH  SEQTIO  QUARTA     OAPUT  II     §  289—291         _  [387-388 

sin  autem  fuerit  r\  =  4,  debet  esse 

1  Q  _  1/2  73  <        5 

£  >  —  -  -r-J-  --    seu  proxime    C  >  g  -  • 

At  si  sit  T?  =  6;  prodit 

29  —  1/705  .  ^   5 

Q  >  —  -  ^  -------    seu  proximo    t  >  8 

ut   ante   sicque  patet   £   nunquam   infra  y   accipi   posse.     Nunc  igitur  pro- 

K  O  ,y.  tf 

nuntiare    poterimus    limites,    intra    quos   £    capi    debeat,    esse    8   et  '    2   '  • 
His  notatis  distantiae  focales  erunt 


6  JJ/c  5 

s  —    -^-a,       -~2-'W-^     w-~4'    SW 
et  lentium  intervalla 

primxtm  *=^Aa(I  —  pj,    secundum  «**  —  A  j?(p  +  r  _ 

5    ABO 


x    ,.  J,BO  ,  1    ^LB6Y  .   . 

tertium  «=—    _,-•»,    quartum  —  —  e>  *    ^    -a,    quantum 

Eeliqua  momenta  so  habont  uti  in  problomato,  <^uippo  quao  a,b  ?/  noti  pt 

SCHOL10N 

290.  Mirum  Me  videbitur,   quod  hoc  casu  tarn  P  maiua  unitato 
minus  unitate  fieri  possit,  cum  in  solutione  problematis   ontendcrimtiB  turn 
solum  P  fieri  >17  quando  littera  i  contineatur  intra  limites 

,  (6 


quando  vero  i  etiam  posteriorem  limitam  superaverit,  turn  semper  fore  JP<  I, 
Quare,  cum  He  adeo  sumserimus  <  —  eof  hine  utique  sequi  ?idetur  semper 
esse  debere  P<1,  quod  tamen,  ut  Tidimus,  aacus  evenit  Ad  quod  dabium 
solyendum  natura  posterioris  limitis  accuratius  perpendi  debet;  ai  anim  is 


388-389]  DE  MICKOSCOPIIS  HUIUS  GENERIS  MAGIS  COMPOSITIS 


503 


ipse  iam  fieret  infmitus,  turn  certe  mirari  desinemus,  si  etiam  sumto  2  =  00 
reperiatur  P>1.  Sin  autem  in  hoc  limite  posteriore  denominator  non  soluni 
evanescat,  seel  adeo  negativus  evadat,  tnm  ipse  limes  non  tarn  negativus  quam 
infinite  maior  spectari  debebit,  ita  ut  positio  i  —  <x>  adliuc  inter  illos  limites 
contineri  sit  censenda.  Nunc  igitur  manifestum  est  lirnitem  posteriorem  fieri 
=  oo,  si  sumto  (£  ==  1  fuerit 


snmtoque  ^==3,   uti  fecimus,   si  fuerit  £*»3~.     Sin  autem   sit 

(semper  autem  esse  debet  %<^^~\,  turn  ille  limes  fit  quasi  infinite  maior 

hiucquo  i  =  00   ipso  minor;  unde  necessario  fieri  debebit  P>1.     Sin  autem 

O  yi   ,„,_„„    '1 

ait  £<  '  ,  turn  ille  limes  adhuc  erit  finitus  ideoque  valor  i*=*co  illo  erit 
sine  dubio  maior;  unde  etiam  Ms  tantum  qasibus  fiet  P<1.  Hoc  nota,to 
istum,  casura  aliquot  exemplis  illustremus. 


EXEMPHIM;  i 

291.  SumamuB  <;?««2,  et  cum  pro  *£  prior  limes  sit£<  ^,  posterior  vero 
^,   BiunamiiK   ^*«2,    ut  cadat  intra  hos  limites;   unde  fiet  ft-"i    et 

Jl  H 

4,  hiiic  ^*--..^      et  jff  ««  —  *  ;  utide  distantiae  focales  erunt 

*!  O 


8 


8 


96' 


et  lentiiim  inter  valla 


B 


. 

primum  —  *  A  a,     secundum  ««•  *  ^ta»    tertium  —  -  CAa, 


, 
qmarfcum 


80 


,  .    , 

et    quiritum 


0 


ocul!   0  •»-  B  n  proxhne,  *  —  4ffi  , 

samidiametar  aperturae  lentia 

«j  #* 

priEiaa  —  s»  seemndaa  —  ^  •  g  +  ^  »    tertiae  —  » 

ae  deiiq^a  •  ^  aii  semper* 


504  UBBI  TERTII  SECTIO  QUARTA     CAPUT  II     §  292-295^  ^  [390--391 


EXEMPLUM  2 


292.  Manente  v\  =  2  aequetur  £  ipsi  alteri  lindti,  scilicet  £=-4>  fietque 
k=*i  et  P=l;  hinc  ergo  prodit  95  =  0  et  _B  =  0.  Quare,  ne  tarn  secunda 
lens  quam  intervalla  evanescant,  sumi  debet  A  =  <x>  ideoque  St«=l,  ita  ut 
sit  JL33  sive  AB  =  —  %,  et  cum  sit  93  =  ±  (1  —  P),  erit  revera  1  —  P—  J33 
hincque 


Quare  distantiae  focales  erunt 

0    0  ,       5    0 


ubi  secunda  q  arbitrio  nostro  relinquitur.     Turn  vero  lentiuni  intervalla 
primum  =  °  a,     secundum  «»20,     tortium  —  Cq, 

*•  4 

quartum  ««-A  *cm*2>     quintum  —  0  •««-<?. 

5s    iUC    •*•         •*•  $    >jj£    •* 

Valores  0  et  &  erunt  ut  ante,  at  semidiameter  aperturae  lentis 

,  15          .  i      j.     j.-  9  , 

secundae  ~  j ,.  cm  *  ff  T"  #     e*    tertiae  —     m,  *  r  +  «. 
1 6  yjc  i  o  juc 

BXEMPLUM  3 
293.   Manente  77  =  2  sumatur  £<  * ,  et  cum  osso  deboat  C>  \  >  uti  <mt«n- 

*»  W  O  J  f| 

dimus,  sumatur  £—  4  eritque  &—  3  et  P—  7;  wide  fit  $j  ««  ai  hincque 
jj ««  16  ;  qui  valor  cum  Bit  positivus,  littera  A  negative  cap!  <lebefcf  uii  eiiani 
primum  intervallum  postulat  ob  P<L  Sit  igifcur  A**»~»&  ideoqtio 

eruntque  distantiae  focalea 

mm       ®®  |G  *M    I6ff 

8  — — .^-aa      *  — S-^-aa     «  — 4-  a*aa 


391-392]  DE  MICROSCOPES  HUIUS  GENERIS  MAGIS  COMPOSITE  505 

Intervalla  lentium 

4  32  16 

primum  =Taa,     secundum  =  -~aa,     tertium  =  ~- Caa, 

o  6  5 

8     C  G 

quartum  =  --  •  ^  -  aa,     quintum  —  2  •  ~« •  aa. 

Keliqua  se  habebunt  ut  ante,  ac  si  qua  differentia  in  aperturis  deprehenditur, 
ea  in  praxi  attendi  non  naeretur;  interim  tamen  semidiameter 

secundae  lentis  =  --•-  •  ^ :+  -x    et    tertiae  =  —  •  ^  +  0. 

iu    JwC  o  lo    vJC 


KXEMPLUM  4 

294.  Statuatur  nunc  r/  =  4,  et  cum  ease  debeat  ^  <  ",  posterior  vero 
limes  sit  ",  quo  scilicet  casus  P>1  et  P<1  distinguimtur,  sumatur  ^  =  3 
et  erit  ft—  J  et  P—  "•  Undo  fit  J»  —  —  JJ  et  W  —  —  J*.  Distantiae  ergo 
focalos  lentium  orunt 

y  —  Jla,     jf  —  " 

,        65    0      ,  06 

'"58-a 
fntervalla  vero  lentium 


- 

primum  **   0Ja,    secundum  —JAV-^^    terfcium 


.  IB    (J     A  .    ,  65     0 

quartum  -     .     .  ^  a,    qumtum  - 


Deniquo  semidiameter  aperturae  lentis 


+  -»»    ofc    terfciae  «• 

1  Q 


EXEMPLUM  6 
295.  Mauente  ^  —  4  sit  C-"  ac  erit  A  —  8  efc  P—  1,  unde 

®«  !rF»«^(i-p)».o   et   5-0. 

LMWMS&!  Kuwwi  Opwrn  omnlft  Hh  Wopttle* 


506  LIBRT  TEETH  SECTIO  QUAETA     CAPUT  II     §  295-297  [392-393 

Unde  assumi   debet  A  =  ™,   ita   ut  fiat   21  =  1;   turn   igitur   introducto  q  in 
calculum  fiet 


unde  fit 


sicque  distantiae  focales  erunt 


et  lentium  intervalla 


primum  —  8  g,      secundum  «»  ^  ff,     tertlum  «*  g 
quartnm  —  *  --j     et     quintum  —    -'ff' 


Semidiameter  aperturae  lentis 


1  0     ,  j.     ,.  63    r 

secundae  —  -  '      +  ^     tertme  CT      ' 


EXBMPLUM  6 

296.  Manente  adhuc  r/  —  4  sit  ^**  ^  ac  roporitur  A  —  249  et  /'«-  ^j;  undo 
fit  §g  „  ^     et     j^  —  ^  ,  ex  quo  tanto  valore  iam  perspicuum  est  huiUHmocU 
microscopiis  in  praxi  locum  concedi  non  posse. 

CASUS  2 
QUO  7?«4  ET  0  —  8 

297,  Quoniam  debet  esse  T?  >  1  eiusque  valor  nimis  parvim  quibusdam 
incommodis  est  obnoxins,  nimis  magnus  vero  catnpo  nocetf  mediocri  semper 
valore  uti  conveniet,  cuiusmodi  eat  i^««4;  turn  vero  valor  0  —  8  sen  T—  s 
idoneum  intervallum  inter  ultimas  lentas  praebet;  littera  autein  (£  tarn  parom 


393-394]  DE  MICROSCOPIES  HUIUS  GENERIS  MAGIS  COMPOSITIS  507 


praemissis  pro  £  limes  erit  £<y-     Pro  (£  vero  habebimus 


ab   unitate  deficere  debet,   ut  in   nostris  formulis  liceat  sumere   (£  =  1.     His 

11 
2 

unde  patet,  etiamsi  sit  £  =  Y,   tamen   fore   (£  =  1,   ita   ut   certe   sumi  possit 
(£  ==  1.     Porro  pro  litter  a  i  fiet 


Delude  obtmebimus 
unde  fit 
Hitic  oritur 


Hie  duos  caBti8  diBtingui  oportei     Prior  est,   quo   fit  P>1;  Mncque  A 
valorem  positivum  habere  debet,  quod  evenit,  si  93  fiat  <0  ideoque 

.  2 

*  ^    33-246' 

Bivo  quando  i  continotur  intra  limitefi  ?m_6t  ot  u_^^  atque  hoc  casu  etiam 
/^  fit  negativum,  ita  ut  sit  AB<Q*  Alter  casus,  quo  P<1,  locum  habet, 
BI  fnwit  *>38.!*24j>  (lll°  caBU  -^  valorem  habebit  negativum;  quo  igitur  B 
nancincatur  valorem  positivum,  dobet  esae  33  <1  hincque 


Cum  igitur  sit  «>  88^S4£,  id  evenit,  si  fuerit 


ande  sequewte  C  >  0.    His  igitur  notatis  distantiae  focalee  erunt 


508  LIBRI  TERTII  SECTIO  QTJAETA.    CAPUT  II     §  297—299  [394-395 

1  o  ASC 

,     r  =  —  - 


45*       ^LJ50  ,  454       ASC_ 


sive  etiam  erit 


et  intervalla  lentium  sunt 

primum  ==  Aa  (I  —  p]  ,     secundum  =  —  ABa  (  p  +  .-J, 

,     ,.  ABO     /.         1  \  ,  3(8»  +  2)  JL7?6y 

tertium  ---  ...  -.l-,     quartom  -  -  •          -a, 


_  -a. 

Deinde  cura  sit 


fiet 

et  distantia  oculi 


Semidiameter  porro  aporturae 

i     j.-  a  -j.         3     £         ,    a?        i      ,     ,.  3    ('£--  4)r   ,     I 

lentis  secundae  erit  «-  A  *«L*a  4~  ^     et    tertiao  *•     -     mt     -f-     j^s, 

4  sue  •*   '  P  4       3)i       '    3 

Denique  definite  #  erit  mensura  claritatis   —  ^  - 


EXBMPLUM  1 

298*  Sit  £—0,  et  cum  esse  debeat  i>^9  praeterea  vero  pro  /*>!  Hit 
,  statuamus  ^~|8  eritque  P-«^  sive  P  non  determinatur,  mode  non 
sit  minus  imitate,  adeoque  S3  —  ~  ^Ir:1)^  ita  ut  SB  semper  ait  eo,  nisi  capiatur 
P—  1 .  Primo  igitur  non  sit  JP—  1;  erit  8  —  co  et  J5  —  —  1,  ita  ut  A  sit 
maius  nihilo;  Mnc  igitnr  distaatiae  focales  ©runt 


395-397]  DE  MICROSCOPIES  HUIUS  GENERIS  MAGIS  COMPOSITIS  509 

p  =  2la,  gt  =  oo  (seu,  quod  idem  est,  secunda  lens  tollitur), 


15   AC          ,  15   AC 

,  ^,  irira     et     "-sTir 

et  intervalla  lentium 

=—  — 


primum  +  secundum  =—Aa,     tertium  =  —ML  — 


,  72  AG  ,         .   ,  1. 

quartum  —  ^  -  ^  -  a     et     qumtum  —  —  .  ^  -  a. 

Eeliqua  ma-nent,  nisi  qnod  sit  semidiameter  aperturae 

T  1 

lentis  tortiae  =  3  •  ^  +  -^x. 

Sin  antom  caperetur  J?  «=»  1,  utcnnque  calculus  instituatur,  primum  inter- 
vallum  semper  evanesceret;  verum  superfluum  est  ad  hunc  casum  attendere, 
cum  in  prioribuB  formulis  littera  P  plane  ex  calculo  evanuerit,  ita  ut  illae 
formulae  sul)Bistant?  quicunque  valor  ipsi  P  tribuatur  atque  adeo  non  solum, 
si  ponatur  P—l,  sed  etiam,  si  P  unitate  minus  sumeretur;  quod  etsi  nostrae 
hypothesi  repugnat,  tamen  ob  lentem  secundam  prorsus  deficientem  haec 
anomalia  admitti  debet. 

KXEMPLUM  2 

t> 
299,    Maneat  5>**  0,   sed   capiatur   i>^9  BI  fieri   queat,  quo   casu  fiet 

P<1;  quia  autem  hoc  ipso  casu  iterurn  ease  debet  ^<^B,  hie  easus  ad  prae- 
cedontem   redigitur,    quern   quidem  iam  notavimus  aeque  ad  valores  P<1 

quain  ad   P>1   patera.     Interim   tamen   cum   secunda  lens  plane   deficiat, 

*)  ^ 

posteinor  limen  i  <  m  sponte  cessat,  ita  ut  nunc  liceat  assumere  *>3B?  uti 

iam  obgorvavimus  in  corollario  1  problemati  subnexo.    Turn  igitur  erit 


qmm<M>    (seu  lens  secunda  deest)> 
A15,  BIO  .         46  <      AO  45i     AO 


Intervalla  voro  lentium 


primum  H»  secimdum  —     Aa,    terianm  — 


.  AC  .  .  46>       AC 

quartum  -jUJ^.^.a,    qmntam  - 


510  L1BEI  TERTII  SEOTIO  QUARTA     CAPUT  II     §  299—302  [397—398 

Quod   autem  ad  litteram  i  attinet,   quoniam  Jc  non  amplius  in  calculum  in- 
greditur,  ex  aequatione,  unde  k  definivimus,  iam  i  definiatur  eritque 


QQ          £f-  QQ 

OO  —  D  L,  OO 

Proprie  autem  hae  formulae  continent  solutionem  problematis,  quo  quinque 
tantum  lentes  postulantur  ita  disponendae,  ut  ambae  imagines  reales  in 
primum  et  tertium  intervallum  incidant. 

EXEMPLUM  3 

300.  Sit  £=y  sumique  debebit  i>-^  fietque  P>  1,  si  fuorit  '*<$(',  Bin 
autem  sit  i>^,  simul  fiet  P<1.  Hie  vero  sumamus  i  =  ~  fietque  P*--*  2? 
Mnc  SB  =  —  1  et  B  ===  — * ;  unde  distantiae  focales  orunt 

2  1 

$  «  3ia,     a****  ~"'Acit,     T  ««  T" 

o  b 

„,£  ^^        ^^M.^0  -     »     15  A0 

et  lentium  intervalla 

l  A  ,  l   w        x    i*  i   A^    f<      12 

primum  —  -*  -40,     secundum  —  0  yla7     tertium  ^-     yl  6  a  ^1     ^  qn 

,  27  .40  *  4.  15    AC 

quartern  —  00-  ^  -a,     qumtum  ^110-  cry>  -^' 

>«  0      Ji/C  X  JL  *       *t/C 

Keliqua  momenta  sunt  ut  ante,  nisi  quod  sit  semidiameter  uporburae 

3     o         *2  *  !21     T         I 

secundae  lentis  """o^cm  +  T #    e^    tortiae  «•  8  "gn+*  «^- 

Has  formulas   commode   ad  telescopia  adplicare  licet,    quia  posito   A 
longitudo  tantum  fit 


ita   nt   ea  non  multnm   superet  jp,    etiamsi  pro   0  tmmaras  satis  magntas 
capiatur. 


398-399]  DE  MICEOSCOPIIS  HUIUS  GENERIS  MAGIS  OOMPOSITIS  511 

EXEMPLUM  4 

301.  Maneat  £  =  -|>  sed  sumatur  i>^>  et  quia  hinc  fit  P^—i-. 
ideoque  85  —  JJ».^|,  ut  fiat  S5<1,  debet  esse  21  i  —  2  <  15i  —  1  sive  &'<—" 
Oapiatur  ergo  i  —  *  fietque  P  =  ~  et  SB  =  \  ,  hinc  J5  =  |  ;  ergo  -4  debet 
esse  negativum.  Statuatur  ergo  A  =  —  a  et  distantiae  focales  erunt 

<^  10  5  n- 

P  =  a  _  1  •  a  ,     2  «=  -  g«  a  a  ,     r  =  ^  -  ®  <x  a  , 

IS     6Y  ,       225     <7  ,  225     G 


et  lentium  Intorvalla 
primuin 


'  «a,      secundum  «»-  ^  ^a?      tertium  ^  f^ 

^  lo  6 


,  285    6y         n  .    ,  225    (J 

quartum  —  -aa1),     qumtxim  BBSa 


TUTU  vero  semidiameter  aperturae  lentis  secundae  et  tertiae 

3    ?    ,   w         ,      21      ,1 

^B'ait+  »*   ot   -rf+  s*- 

Has  autem  fornmlaB  ad  telescopia  adplicare  non  Hcet?  quia  A  erat  negativmru 


EXEMPLUM 


JJO&  Sit  ^~  U  et  cum  sumi  debeat  ^>27  atque,  tit  prodeat  P>1? 
I  <  g  ,  capiatur  /  «-  4J0  fiotque  P  ®®»l®  et  8  —  —  "  et  J5f  —  —  -  J  *  ;  unde  di- 
Btantiao  focalos  erunt 


6S    G  m     G 


1)  Iditio  priEOtp:  14  *«^^*        CoiwMdt  1.  Olu 


512  LIBEI  TEETH  SECTIO  QUAETA     CAPUT  II     §  302-305       ^    [899-400 

et  lentium  intervalla 

11   i  -,  143    -  ,      ,.  11    *  „    /-,        10 

primum  =—Aa,     secundum  —  307^*     tertium  =  —ALa\l  —  ^ 

,  253   AC  .    ,  55    AC 

quartum  -  —  -  w  •  a,     qumtum  -  ^  •  m  •  a 

et  seraidiameter  aperturae  lentis 

secundae  -  -|  -  J^  +  ~  x,     tertiae  =  j  -  ^  +  j  a?; 
quas  formulas  etiam  commode  ad  telescopia  transferee  licet. 

EXEMPLUM  6 

303,  Maneat  ?=1,  sed  sumatur  i=  *    fictque    P  «  1    et    S8  =«  0,    hmc 
^=^0;  hinc  A  capi  debet  =====  CSD  ideoque8t  =  l;  turn  autem  esse  debot 


uiide  fit 


hinc  distantiae  focales  erunt 


D    C7          -50  60 

a-8-ra,   «-Fw-^    tt-ira»^ 

et  lentium  intervalla 

primum  —  g,    secundum  »     g^?    tertium  ••»     On 

,  40  .   ,  60 

quartum  —  ^  .  ^  .  ?,     qumtum  -  12  -  ^  *  g 

et  semidiametri  aperturae  lentis    4 

H      yy  ^      <**  "t 

secundae  —  T  '  &  4*  ^>    tertiae  •"•  T  •  ro  +  « 

4     AVV  4     iUC          o 


400-402]  DE  MICROSCOPIIS  HUIUS  GENEBIS  MAGIS  COMPOSITIS  513 

EXEMPLUM  7 

304.   Maneat  £=1,  sed  capiatur  i>l~,  et  cum  sit 

9&  —  2 


quae    fractio    iam    sponte    unitate    est    minor,    sumanms    ergo    i  =  1;    erit 
P***^  et  8J  =  £6,  jB  =  i8,   unde 
=  —  a   eruntque  distantiae  focales 


^  et  8J  =  £6,  jB  =  i8,   unde  A  debet   esse   negativum;    statuatur    ergo 


7     Cr  .       35    (7  35    0 

a-"G""9K-aa'    '"4o'Waa'    ^"so'K'" 
ot  intervalla 

7  .  217 

primum  —  .  0  cca  ,     secundum  ««.••.««, 

lo  o!a4 

7  /         •  1  \  1     0  7     G 

tertium  —  fi4  6Y«  a  ^1  —  ^  j  ,     quartum  ««  ~  *  ^  -  aa,     quintum  «=      -  ^  *  aa 
et  Hoinidiamotri  aporturao  lentis 

secundao  —  ^  •  ^  -f  ^x9     tertiae  —  J-^  +  J  ^, 

EXEMPLUM  8 

306,  Sit  nunc  ^««4  —  17,  et  cum  esse  debeat  i>  J  ,  ut  autom  fiat  P>1? 
i  <  —  0S8  (qui  limes  ut  infinite  maior  spectari  debot;  si  enim  sumsissemus  S" 
minuB^  Bcilicot  S""""1^*  turn  prodiisset  *<  ^,  quod  indicio  fuiaset  *  quantum  vis 
rnagnum  accipi  posse  semperque  fore  P>1;  quod  autem  de  valore  f—  j 
valet,  multo  magiB  de  maioribus  valet),  sit  ergo  i  —  ^  eritque 

Oft  O'} 

/»-24    et    S3  --  ™     et    B^  --  JJ; 

unde  colliguntur  distantiae  focales 

,w  as  ,  28  ,„. 

j)-«o,     #-~nAa,    r~»  BlA&a, 

K     n  AO  M     .    us  AO  n    it    115  AO 

t«.f,,w.«,     l-^-.^.a,    «-lu"'M-« 
Kt/umi  Opfetft  omBlft  HI  4  Diopkicn  Oft 


514  LE3EI  TERTII  SECTIO  QUAETA     CAPUT  II     §  305-307  [402-403 

et  intervalla  lentium 

23     .  ,  23    A  ,      ,  .  23    n  A     /. 

primum  =—Aa,     secundum  =     ~Aa,     tertium  =  —  uAa  (I  — 

,  23  AC  .    ,  115    AC 

quartum  -  -  -  w  -  a,     qmntum  -  ^  -  ^  •  a 

et  semidiameter  aperturae  leutis 

secundae  =  ^  +  —a?     et    tertiae  =  —a?. 

EXEMPLTJM  9 
306.  Maneat  ^  =  4  et  sit  i  =  l;  fiet 

^       72  ^  65         ,  .  ^  65 

P=7,     ergo     »  —  -M,     hmc     5  —  ^; 

unde  colliguntur  distantiae  focales 


65    ^1C  195    AC  W5    AC 


et  intervalla  lentium 

65    .  ,  65    A          ...  65     ,  .,   /,          1  \ 

prmmm  =  -nAa,     secundum  ***       Aa,    tertium  -=  ,-,.  A(hi(  \  —  .„,  , 

/*  *lo  -j7"  \  zUi 

,  65    J.6'  .    ,  195    AC 

quartum  -  124  •  K  •  a,     qumtum  -  4M  •  w  •  a 

et  semidiameter  aperturae  lentis 

secundae  "•cm  +  ^o^    e^    tertiae  —•     #„ 

iUC         7*  a 

SCHOLION 

307.  Horum  exemplorum  ea  inprimis  sunt  notatu  dign%  in  quibue  flebat 
P—l,  quia  turn  littera  A  abibat  in  inMtum  eratqua  %  *®»  L  In  casu  igitur 
secundo,  quern  hactenus  sumus  eontemplati,  statuamus  in  genera  P^l  ae 
sumi  debebit  <  —  r  ^—  ^,  Turn  ergo  erit  93  «  0  simulqua  JB  —  0;  unde  sumto 


403—404]  DE  MICROSCOPES  HUIUS  GENERIS  MAGIS  COMPOSITIS  515 


31  =  1  et  .4  =  c\D  fiet  £  =  —  A$$a,  Mnc  vicissim  J.S3  =  A  B  =  —  |-,  ita  ut 
nunc  distantia  focalis  secundae  lentis  q  arbitrio  nostro  penitus  relinquatur; 
turn  autem  ad  primum  intervallum  inveniendum  ob  95  =  ^~  erit 


atque  bine  in  genere  distantiae  focales  ita  se  habebunt: 

3  a 


15          6Y  15          0 

seu 


Intervalla  vero  lentium  erunt 


prim  urn  =«^=  ^;     Becundum  =«  ,  <?, 

V 


,  -    2g)     (/  .    ,  15  C 

qnartnm  -         ^--ff,      qmntoxn 


ubi  orgo  manifestiwn  eat  nocessario  sumi  debero  '£<     •     Turn  vero  erit  aemi- 
diameter  aperturae  lentis 


8 


S     £  3    f  t  —  4^  1 

seeundae  ••"  ^  •  <n>  •  Sf  +  ^     e^    tartiae  «•  *        ar>     r  ""^  "<j  ^^ 

Oeterum  hie  manifestum  eat  istes  formulas  ad  telescopia  accommodari  neuti- 
quaui  poHHo,  Cuiu  igibur  omnes  casus,  qui  quidem  in  praxi  locum  habere 
l«)Bflunt,  adeo  pro  sex  lentibus  evolverimus  iisque  tantum  campnm  conciliar- 
verinuiB,  quo  maior  deHiderari  vix  queat,  huic  capiti  finem  imponimus  ad 
BfK|uens  icl<|uo  tiltimum  progressuri,  in  quo  ostendimtis,  quemadmodum  loco 
lantln  obioctivae  dnm  pltiresve  lentes  sive  ex  eodem  sive  ei  diverao  vitri 
gaoara  factes  Bubstifcuendo  omniB  pkne  coafusio  tolli  possit^  ut  hoc  mode 
mieroscopia  omEibus  numeris  absolute  nanciscamut. 


CAPUT  in 

DB  SUMMA  HOEUM  MICROSOOPIOEUM  PEEFECTIONE 

DIM  EA  AB  OMNI  CONFUSIONE  LIBEEANTUE 

PROBLEM!  1 

308.  Si  lens  obiectiva  constet  quatuor  lentibus  convex/is  proxime  infer  se  iunctis, 
quales  descriptae  sunt  supra  in  problematic  4  capitis  secundi  sectionis  pracccdcntis 
[§  177],  reliquae  vero  kntes  ita  sint  dispositae,  uti  in  capitibus  praecedentibus  Mius 
sectionis  descripsimus,  omnem  confusionem  a  lentium  apertura  oriundam  destruere* 

SQLUTIG 

Quatuor  illas  lentes  in  loco  citato  descriptas  hie  loco  lontis  obio«tivao 
substitui  assumimuB  casque  comunctim  in  calculo  instar  ttnicat^  lentin  tracta.rnuH. 
Cum  igitur  littera  A  hie  ad  primam  lentem  pertinaat,  quatonus  <MI  in  (Jetor- 
minationes  sequentium  lentium  ingreditur,  idem  significat,  quod  in  loco  citato 
per  productum  —  ABCD  signiiicabatur.  At  supra  hoc  production  designa* 
vimus  littera  (9?  ex  quo  ad  locum  antecedentem  regrediendo  ibi  0  idem  erit, 
quod  Me  nobis  est  A,  Ibi  ergo  quatuor  illarum  lentium  distantiaB  focalen 
designemus  litteris  p',  p",  $m,  p"",  et  cum  cuilibet  littera  germanica  conveniat, 

quae  sit  81',  $T,  Slw,  Stw/,  ex  nostro  A  ob  <9  -  A  habebimuB 

* 

'      '  ""' 


atque  ez  his  litteris  germanicis,  quatenus  ad  singuka  quatuor  lentes  priores 
referuntur^  xina  cum  numeris  A,  qui  pro  singulis  unitati  aequales  smnuntur, 
singulae  hae  lentes  per  formulas  notas  construi  poasunt  Antequain  autem 


406-407]  DE  SUMMA  HORUM  MICEOSCOPIORUM  PERFECTIONS  517 

has  ipsas  distantias  focales  assignare  queainus,  intervallum  minimum  inter 
has  lentes  spectare  debemus;  quod  cum  ibi  positum  esset  =£jp,  ne  haec 
littera  £  in  nostris  formulis  confusionem  pariat,  statuamus  hoc  intervallum 
=  dp'\  unde  litterae  ibi  usurpatae  P,  Q,  It,  S  ita  definientur: 

i  _  1  ,  0*  A- 

' 


unde  ipsae  distantiae  focales  erunt 

4J.  „        4  A 

*>     P 

5   " 


His  notatis,  quod  supra  erat  PQES,  hie  nobis  sola  littera  P  exprimitur,  ita 
ut  iam  intervallum  a  lento  obiectiva  usque  ad  nostram  lentem  secundam  sit 

Aa(l- 

quod  ergo  iam  apoctatur  ut  nostrum  intervallum  primurtu  Ob  multiplicationem 
ergo  lontiH  obiectivae  hoc  primum  intervallum  quondam  alterationem  patitur 
a  fractions  $  natam;  ni  enim  priina  lens  esBet  simplex,  hoc  intervallum 
tantum  esHet  Aa(l~  p)»  nunc  autem  id  erit 


Quia  autom   hoc  augmentum  plerumque  est  valde  parvum,  id  facile  negligi 
potorit.     Heliqua  autem  mtervalla  ordine  atabilito  precedent;  erit  scilicet 


secundum  —  —  ^^a\p^  po) 


PQ 
efc  permde  ac  Bequantes  distantiae  focales,  Bcilicet 

.•u  ft 

etc. 


Nunc  igitur  totum  nagotimm  hue  reditf  ut  coufoiio  a  lentium  aperfcura 
orto  pamtus  wi  nlMlmm  redigator,  qmoi  fit,  uti  loco  citato  mveaimus^  ope 
huiuH 


518  LIBEI  TERTH  SECTIO  QUARTA     CAPUT  III     §  308-311  [408-409 

6^±  5)  4.  *(L 

16  -4s  h 


16  A* 


ex  qua  aequatione  fractio  $,  qua  exigua  intervalla  inter  lentes  obiectivas 
determinantur,  commode  definiri  potest,  si  modo  littera  A.  numerum  sati.B 
magnum  veluti  60  denotet  lentesque  obiectivae  ex  eiusmodi  vitri  genera  pa- 
rentur,  pro  quo  sit  v>^~-  Supra  [§182]  enim  ostendimus,  si  sit  A  «*  60 
vitrumque  commune  adhibeatur,  pro  quo  sit  n  «=  1,55,  turn  fieri  <£  =  ^  quoniam 
casu  A  =  60  partes  a  sequentibus  lentibus  ortae  quasi  evanescunt.  Huius- 
modi  igitur  lens  obiectiva  composita  cum,  omnibus  praecedentibus  micro- 
scopiorum  formis  combinari  poterit,  in  quibus  scilicet  inest  littera  A,  enqne 
valor  circiter  60  tribuatur.  Quando  autem  hoc  usu  votiit,  ne  opus  quidcuu 
erit  in  hunc  valorem  ipsius  A  anxie  inquirere;  constructs  oniiu  singulis 
tibus  secundum  praecepta  cognita,  id  quod  sine  notitia  litterae  ^  fieri 
intervalla  quatuor  lentium  obiectivarum  indefinita  rolinquantur  oaquo  <lomu»x 
per  experimenta  ita  determinentur,  ut  confusio  fiat  quatn  minima,  nisi  forte 
plane  nulla  fieri  nequeat.  Turn  autem  ex  forma  harum  lentium  sponte  in- 
notescit  semidiameter  aperturarum  %9  cuius  hae  lentes  sunt  capaces,  indequa 
mensura  claritatis  —  ^  existente  3Ji  «-  m*  •  lieliqua  omnia  autem  niotnenfat 
prorsus  eadem  manebunt,  uti  in  praecedentibus  capitibus  est  axpoflitum. 

OOBOLLAEIUM  1 

309.  Quodsi  ergo  fuerit  -4  —  60  at  quatuor  lentes  obiectivae  ex  vitro 
communi,  pro  quo  est  n  —  1,55,  conficiantur,  supra  [§  188]  sequontem  harum 
lentium  constructionem  invenimus: 

L  Pro  prima  lente 
cuius  distantia  focalis  est  «*»  3^9838  a  ,  capiatur 

-.      *   .  •  I  anterioris    —  —  -  0,97756  a 
radius  faciei  { 

I  postenons  —  +  0,67382  a, 

aperturae  semidiameter  «^ 


409—410]  DE  SUMMA  HORUM  MICROSOOPIOBUM  PERFECTIONS  519 

II.  Pro  secunda  lente 
cuius  distantia  focalis  =4,5740  a,  erit 

anterioris    =  —  1,7682  a 


radius  facie!  , 

posterioris  =  +  1,0384  a. 

III.  Pro  tertia  lente 
cuius  distantia  focalis  r  ==  4,9965 a,  erit 

„  (  anterioris    =  —  4,3440  a 
radius  laciei  { 

(  posteriori s  «=  +  1,6833  a. 

IV.  Pro  quarta  lente 
cuius  distantia  focalis  #«*  5,2006  a,  erit 

anterioris   ***  18,1522  a 


radius  faciei  ,        ,    .    .         OOAKP 
posteriory  =•»   3,3955  a. 

Intervalla  autem  inter  has  quaternas  lentes  sumi  poterunt «—  0,2185  #,  ea 
autam  praestabit  por  exporientiam  deiiniri.  Tuna  vero  semidiameter  aper- 
turae  capi  potent  #-»0,16883a,  unde  colligitur  mensura  claritatis 

20  x        3,3666  a        26,9328 
—    ^.--i       ^       -      ^      , 

si  scilicet  distantia  a  in  digitis  exprimatur, 

COEOLLAEIUM  2 

JJK).  Facile  intelligitur,  etiamsi  littera  -4  si?e  aliquanto  maior  sive  minor 
caporotur  ijuam  60 f  tamen  in  constructione  harum  lentium  vix  ullam  ori- 
turam  ease  variationam,  quae  quidem  in  praxi  observaxi  posset;  id  tantum 
hie  notari  oportet,  quod  si  eeset  A  <  60,  turn  lentes  istas  non  amplins  tarn 
propo  inter  se  const! tui  posse,  quam  confusionis  destractio  postulat  Sin 
atitem  A  >  CK),  turn  bind  negotium  eo  felicius  succedet. 

SCHOLION 

81L  In  genare  autem  notetmr,  quo  maior  foerit  numerus  A9  eo  feHcms 

cinttdoqMdem  tmm  mterralla  harom  lentium  non 


520  LIBBI  TEETH  SEOTIO  QUARTA     CAPUT  III     §  311—312  [410-412 

amplius  tantopere  exigua  reperientur;  unde  hoc  commodi  consequimur,  si 
forte  sequentes  lentes  adhuc  satis  notabilem  confusionem  pariant,  ut  etiam 
ea  lentes  has  magis  appropinquando  destrui  possit.  In  ultimo  autem  scholio 
praecedentis  capitis  [§  307]  casus  occurrit,  quo  fiebat  ^  =  00  et  SB  =  „£?  =  0, 
ita  ut  esset  AS  =  —  — ;  ad  liunc  igitur  casum  nostra  lens  obiectiva  quadru- 
plicata  commodissime  adplicari  poterit;  turn  enim  fieri  debebit 

A  *  5  I      7    >  7     V        I     a'*'     I       °?   ft"     I        »   \    «4*» 

0  =  „  _  -v  +  „*  ^  _^  +  _r  +  .-^  +  ^  etc, 

ex  qua  fractionem  $  definiri  oportet;  turn  autem  distantiae  focales  quatuor 
priorum  lentium  erunt 


quae  ergo  utique  etiam  a  fractione  $  pendent,  et  ubi  supra  diximus  lontcB 
construi  posse  sine  notitia  ipsius  $?  id  tantum  de  eius  valore  adcurato  ost 
intelligendum;  in  praxi  enim  sufficit  eius  valorem  proximo  nosso.  Domde 
vero  litterae  germamcae  ad  has  lentes  pertinentes  erunt 

omnes  vero  litterae  A  unitati  capiuntur  aequales.  Si  igitur  sumamus  omnos 
lentes  ex  vitro  communi  confici,  pro  quo  est  #*»1,55,  erit  v  — 0,2326;  siquo 
insuper  sit  A'—  1  et  yl/'—l,  ob  ®*«1  proximo  aeqimtio  nostra  rosolveTula 
induet  hanc  formam: 

A  ^  -  0,1680  +  1,8718  $   .    4  Q? 
""*  16  ^f/8> 

ubi  sequentia  membra ,  quae  insuper  per  2ft  sunt  divisa?  tuto  reiicero  licet; 
hinc  ergo  coUigimus 

tf -0,08708  — 11,897- aj; 

unde  patet  esse  debere  J>  6,0771.    Si  ergo  sumamus  y^  10  a,  flat 
$  _  0,07569  —  43Q     sea  proxime     *  — ^ 

qui  valor  satis  est  ad  praxin  accommodates,  quern  in  saquente  eiemplo 
fesiua  evolvemms* 


412-413] 


DE  SUMMA  HOKUM  MIOEOSCOPIORUM  PERFECTIONS 


521 


EXBMPLUM 

312.  Si  omnes  lentes  ex  vitro  communi  parentur,  ut  omnis  confusio  tol- 
latur,  sumi  debet  $  =  jg  et  q  =  lOa  eruntque  distant  iae  focales  nostrarum 
quatuor  lentimn  obiectivaruna 

/«  4  a,    $"=*  4,923  a  ,     //"=  5,538  a,    /'"=  5,846  a; 

?r~4,   sr~3,   sr~2,   sr"~i. 

Deinde  intervsilla  inter  has  quatuor  lentes  etunt  —  ^  a  =  0,3077  a.  Deinde 
vero  interval!  um  ab  hac  lente  obiectiva  ad  secundam  leatem  principalem  erit 
proxime  —  I0£a,  ubi  ^  adhuc  nostvo  arbitrio  relinquitur,  dumniodo  sit  %<[>• 
rrui«  voro  n^liquae  1  elites  et  reliqua  nioinenta  inanebunt  prorsus,  uti  in 
Bcholio  ultimo  |§  307)  capitis  praeoedontis  sunt  exposita.  3  fine  igitur  singulae 
lentes  fonuari  potornnt  ac  pro  secunda  ac  tertia  quiclaiu  etiani  poni  debet 
A'—  1  et  A"—  1.' 

Pro  prima  igitur  liannn  lentiuni  obiectivarum,  cuius  distantia  tocalis  est 
y'—  4tt  et  SI'—  4,  erit 


ranei  { 


(VJ71()la 


Pro  Htxumda,  OIUUH  distantia  foealm  oat  //'  •••4,95JJ)^  ot  $1"**  It,  erit 

//  // 

anterior  IB    «*      -  wf,    •  ••    N  ««      f    *•-•  --  1,8^51  //. 

..         *     *    ,  <t  •— Vi    (<y-*  (>)        z.6827 

radius  faciei  ,, 

posteriori B  -«       ffl^f     -    «•  4  5008  TO  ^  ^()^^^ 

Pro  feuiia  lente,  cuiuB  distantia  focalis  eat  $"**•  5,538 a  ot  ?IW««2,  erit 

anterioris   —  /"if-A  *•  ~  4,4447  « 

1  jIe4uU 
/// 

posterioris  «••  ™^f"fi^1  8WBS  +  If8074a* 
Pro  quarts  lentef  cuins  distantia  focalis  eat  j?w'— 5,846a  et  ?['w  «- 1,  erit 

_  anterioris   -  ^f^  -  +  80,6560  a 
fooiei 


radius  faciei  < 


Utiuuu 


t  posterioris  -       ^  -  + 

III*  DioplHcik 


522  MBEI  TEETH  SECTIO  QUAETA     CAPUT  III     §  312-313  [413-414 

Pro   secunda  vero  lente  principal!,  cuius  distantia  [focalis]  est  arbitraria 
=  2,  ob  35  =  0  et  A'—  1,  erit 

anterioris    «=  ~  =  0,61448  q 
radius  faciei 

posterioris  =  —  —  5,2439  q. 

Pro  tertia  autem  lente  principal!,  [cuius  distantia  focalis  1  est 


ob   (£  =  1  proxime  et  A"=  1  erit 

anterioris    =  —  =  1,7479  q 
radius  faciei  - 

posterioris  «=  ~r  =  0,20483  #. 

Quibus  inventis  sequitur 

OONSTRUOTIO  GBNBBALIS  MICBOSOOPU 

EX  NOVEM:  LENTIBUS  OOMPOSITI  EX  VITKO  COMMON  r  PA.HANDIS 

313.   Sumta  pro  lubitu  distantia  obiecti  ««  a  constructio  ita  HO  habebit: 

1.  Pro  prima  lento 
cuius  distantia  focalis  «*4a,  capiatur 

anterioris    «•  —  0?97101  a 


radius  faciei  . 

poeterioris  —  +  0,67370 a; 

quae  ergo  aperturam  admittit,  cuius  semidiameter  a?  —  0,1684  a, 
Distantia  ad  lantern  secmxdain  —0,3077  a, 

II  Pro  secunda  lenta 
cuiua  distantia  focalis  est  —  4,923  a,  capiatur 

,,          „  „  f  anterioris    —  —  1,8861  a 
radius  faciei 


posterioris  —  -f  1,0988  a, 
cuius  apertura  est  ut  primae  et  dietantia  ad  leniem  textiaxn 


d!4— 415]  DE  SUMMA  HORUM  MIUEOSCOPIOKUM  PEBPBOTIONE  528 

III.  Pro  tertia  lente 
cuius  distantia  focalis  =  5,538  a,  capiatur 

...       .    .  .  f  anterioris    =  —  4,4447  a 

radius  faciei  ] 

I  posterioris  =  +  1,8074  a, 

a.pertura  ut  primae  et  distantia  ad  quartam  =0,3077  a. 


IV.  Pro  quarta  lente 
cuius  distantia  focalis  *»  5,846  #,  capiatur 

anterioris    =  30,6560  a 
posterioris  «*   3,5922  a, 

apertura    ut   primao,   distantia    ad    quintam   » £#,    ubi  £   est  numerus 

o  " 

minor  qnam  -2 ,  at  f/  quantitas  arbitrio  nostro  relicta. 


radius  faciei  I 


V,  Pro  quinta  lente 
curds  diBtantia  focalis  «•  q,  capiatur 

..       «    .  .  (  anterioris    —0.6  1448  a 
radius  faciei 

I  posterioris  »  5,2439  g, 

oius  aperturae  semidiameter  ««  J-^^"^1^ 

et  distantia  ad  lentem  sextam  —  •  t  (7* 

<>  •* 

VI  Pro  sexta  lente 
cnius  distantia  focalis  ost  r  —  *  $9  capiatur 

«    *  .  f  anterioris    ~>1,7479# 
radius  faciei  {        ,    . 

I  postenons  —  0,2048  j, 

eiua  aperturae  semidiameter 

8    (C  —  4)      ,    1         1 
-A.r  -. 


ct  dietantia  ad  lentem  septimam 


68* 


524:  LIBRJ  TERTD  SECTIO  QUAETA     CAPUT  III     §  313-314  [415-417 

VII.  Pro  septima  lente 

o  /~1 

cuius  distantia  focalis  6'  =  w'<? 

et  quae  debet  esse  utrinque  aeque  convexa,  capiatur 

radius  utriusque  faciei  =*1,1$ 
et  semidiameter  aperturae  ==  4  s, 


distantia  vero  acl  lentem  octavam  =  j          *        ' 


VIII.  Pro  octava  lente 
cuius  distantia  focalis  t  =  if^lst'yt'^9  caP^ur 

radius  utriusque  faciei  «* >.  19\  t 
et  semidiameter  aperturae  =====  4  t, 

1  r'  /*v 

distantia  vero  ad  lentem  nonam  «       "        •  '  •  </, 

4(17  —  8?)     we    J 

IX.  Pro  nona  lento 

cuius  distantia  fbcalis  u  == 34^^^*  ^'ff?  capiafcur 
radius  faciei  utriusque  —  l,lw, 

aperturae  Bemidiameter  *•  J  w 

atque  erit  distantia  ad  oculum  «•  ^  -w. 

X.  Turn  vero  wpatii  in  obiecto  connpicui  Bemidiameter  erit  x  ***  !**    <|uod 


cernetur  claritatis  gradu,  CUIUB  mensura  ent  ^     a0tl! 


4$r 

wt  ~     a>t    * 


XI  Hie  autem  ex  multiplicafeione  proposita  •«•  w  nascitur  2K  ««  ^ r*  aumto 
A  M  g  dig* ;  per  m  igitur  expressa  mensura  claritatis  erit  —  m'm  * 

XII.  Praeterquam  autem,  quod  litterae  J  et  j  ub  arbitrio  nostro  pendent, 
etiam  C  pro  lubitu  assumi  potest,  dummodo  nit  numeras  satis  magims,  aiqua 
fini  inservit,  ut  ultimas  lentes  non  fiant  nimie  exiguae,  si  Bcilioefc  multipli- 


4 17-41 8 J  DE  SUMMA  HOKUM  MICEOSCOPIOEUM  PERFECTIONS  525 

catio  fuerit  praemagna.  Notetur  autem,  cum  ob  sumtmn  A  =  oo  hae  formulae 
aliquantum  a  calculo  discrepent,  errores  evitari  posse,  si  per  experientiam 
tam  distantia  obiecti  quam  intervalla  quatuor  priorum  lentium  debite  deter- 
minentur. 

SCHOLION 

3.14.  Quoniam  hie  casus,  quo  erat  A.  =  co,  moram  facessere  posset,  appli- 
cemus  nostraxn  lentem  obiectivam  quadruplicatam  ad  casum  in  exemplo  tertio 
casus  secundi  [§  300],  ubi  erat 

p-J,  a)«-~l  et  If-- J, 

<juoniam  commode  litterao  A  valor  satis  ma,gnus  tribui  poterit.  Turn  ergo 
fiequontium  lentinm  distantiae  focalos  manebunt,  uti  ibi  sunt  descriptae, 
perinde  atque  earum  intervalla ,  nisi  quod  primum  intervallum  nunc  debeat 

0880 

A    f\    ,    fi(A  •••-  1)tf        1\         *    /'I     ,    6(yl  •    1)*\        A    /I    ,   /fc  VA  ,         .      , 

Aa(l  +    A  + 1    ™ P) ^  Aa(*  +    ^ -H  a    ) ~  Aa(»  +    )  LProxi^J; 

ad  confusionom  autom  tollendam  iani  satisfiori  oporfcet  hide  aequationi: 

(8^r-6^  +  8) 

16 X8    ' 

,    A(»  ^A}*(1A  -  6)         *v(^-l)(7^8-18-A  +  28)  2     ,,  ,         8T 

wf"  88  A8  "  -.......^-— .16XJ|...  +  g^8  ^  —&v)  +  ^  , 

ex  qua  fractionem  <f  definiii  oportet;  quod  quo  commodius  fieri  po^sit,  ita 
tit  pro  ^  fractio  non  nimis  oxigua  reperiatur,  omnes  quatuor  lentes  obiecti- 
vam conBtituontos  ex  vitro  crystalline)  (Flint  Glass)  confici  sumamus,  ita  ut 
nunc  Bit  y«- 0,2529,  atx|uo  nunc  etiam  pro  A  non  opus  erit  numerum  adeo 
magnum  ntatuare;  si  cnim  stafcuamus  yl«»50f  reperietur  ista  aequatio,  post- 
quam  scilicet  per  16  J8  fuerit  multiplicata, 

0  —  -  24768  +  242679  rF  +  48; 
and©  coliigiiur 

^        24720          t 
<r  ""  S42679  "  10  I?1"0*1"16' 

qui   valor  ad  pmxin  asfc  neoommedatus*    Smmto  i^tur  ^t  —  50  et 


526  LIBEI  TBBTII  SBOTIO  QUARTA     CAPUT  III     §  314-315  [418-419 

<?  =  -~  distantiae  focales  quatuor  priorum  lentium  erunt 

y  _  3^922 a,    p"=*  5,063  a,    /"=  5,821  a,    #""=  6,183  a, 
quibus  iungantur  numeri 

2T  =  3,922,     2T =  2,922,     2C"  =  1,922,     8lw/-  0,922. 

Intervallum  vero  singular um  harum  lentiura  est  ^y^  0,392  a,  deinde  vero 
intervallum  a  lente  obiectiva  ad  lentem  principalem  secundam  =  46,667  a. 
Ex  his  ergo  quatuor  lentes  obiectivam  constituentes  sequenti  modo  construentur: 

I   Pro  prima  lente 

cuius  distantia  focalis  est  #'=  3,922^   et  numerus    2f=  3,922  ««  4  —  13» 
erit 

f  r 

anterioris    ==  -  — ^ - :— -.  =  —  VT^T^'  =  "~  0,9632  a 


radius  faciei 

posterioris  =  -         _     =  +  57953  =  +  °'6767  "' 


5,7953 

II  Pro  secunda  lente 

cuius  distantia  focalis  est  jp"—  5,063  a  et  numorus   2r«  2,922   -  3  --  1S» 
erit 

anterioris    •»  —  4,  £A;  —  —  1,9248  a 

-.  «        .     . 

radius  taciei 

posterioris 

* 

III   Pro  tertia  lente 
cuius  distantia  focalis  est  jpw—  5,821  a  et  2r  -   1,922  «,  orifc 

»w 

anterioris    *»  —  •  •;  ;001  «•  —  4,8958  a 

-  *  -      ,     , 

radius  facioi 


,„ 


posterioris  —  +  «-«;W«f  ^  +  t, 9981  a. 
j,yio^ 

IV.  Pro  quarts  lente 

cuius  distantia  focalis  /'"«« 6,183a  et  lw««0?922,  erit 

*Ht 

anterioris    —  /^*  —  24,5160a 
radius  faciei( 

posteriorls  —  1*4710  "*  42007a, 


419-421]  DE  SUMMA  HORUM  MICROSCOPIOEUM  PERFECTIONS  527 

Quod  ad  sequentes  lentes  attinet,  nihil  interest,  ex  quonam  vitri  genere  pa- 
rentur,  dummodo  tres  postremae  utrinque  fiant  aeque  convexae.  Binis  autem 
prioribus  figura  adeo  quaecunque  tribui  potest,  dummodo  distantias  focales 
assignatas  adipiscantur.  Ex  his  igitur  colligitur  sequens 

CONSTBUOT10  MTCEOSCOPII  EX  QUATUOE  LENTIBUS  OBIECTIVIS 
ET  QUINQUE  OCULAKIBUS  COMPOSITI 

315.  Quatuor  lentes  priores  obiectivam  constituentes  ex  vitro  crystallino, 
pro  quo  est  ^  =  1,58,  parari  surnuntur,  reliquas  autem  lentes  ex  vitro  quo- 
cunque  conlicere  licebit, 

Construct)  o  autem  ipsa  ita  se  habebit; 

L  Pro  lente  prima 
cuius  distantia  focalis  est  3,922  a,  capiatur 

^        «    .  .  (  anterioris    «•  —  0,9632  a 
radius  laciei  { 

(  posterioris  —  +  0,6767  a; 

cuiim  apwturai^  Homldiametor  sutrii  poterit  a;««0,lGt)a  et  distantia  ad 
"hurtem  Becundam  «n( 


IL  Pro  secunda  lente 
cuius  distantia  focalis  —5,063  a,  erit 

.,       .    .     r  anterioris   «•  —  1,9248  a 
radius  faciei  { 

I  posterioris  —  +  1,1628  a; 

euius  apertura  eat  ut  primae,   distantia  ad  lantern  sequentem   quoque 
0,892  a. 

III.  Pro  tertia  lente 


cuius  distantia  focalis  ™5,821a,  erit 

-   .  .  f  anterioris    —4,8963  a 
mdiae  faaei  I       ,    ,    * 

I  poatenons  —  1,9981  a, 

apartura  ut          et  diateatia  a^d  quartam  deEtio  -« 


528  LIBRI  TEBTII  SECTIO  QUARTA     CAPUT  III     §  315-317  [421-422 

IV.  Pro  quarta  lente 
emus  distantia  focalis  =  6,183  a,  erit 

(  anterioris    =  24,5160  a 
radius  faciei  <       .    .    . 

Iposterioris  =   4,2007  a, 

apertura  ut  priinae,  at  distantia  ad  lentem  sequentem  =*4 

V.  Quintae  lentis 
• 
distantia  focalis  #  =  33,333  a 

et  semidiameter  aperturae  =  g3^  +  -3  •# 
et  distantia  ad  lentem  sextani  ==  25  a. 

VI  Sextae  lentis 


distantia  focalis  sit  r  «=   . 

semidiameter  aperturae  «*  8a£  +  *  r/ 

distantia  ad  lentem  septimain   ~  8,333  cWl --••« 

VIL  Septirnae  lentis 
quae  utrinque   debet   esse  aeqnaliter  convexa    uti    et    duae 

^  750 

distantia  focalis   est    s™^  ^/^a   et  apertura  maxima  ot  (liHtiinfcia  jwl 


octavam   » 

wt          ' 

VIIL   Octavae  leiitis 

distantia  focalis  sit   i  —  20^80  *  ^  *  a s) 
et  distantia   ad   lentem   nonam  «*6,70*^<a. 

IX*  Nonae  deniqtie  lentis 
distantia  focalis  est  u  — 13,40  -  ^  *  a 
et  distantia  ad  oculum  «•  1 «. 

a 

1  78  *0 

1)  Editio  prinoeps:  «•  *™^     *a,          Oorrexit  E,  Ob, 

2)  Bditio  prineaps:  ^-*»85,2'^ -a,  00ir*i:it  K.  Oh» 


422-423]  DE  SUMMA  HORUM  MICRO  SCOPIORTJM  PERFECTIONS  529 

X.    Spatii   autem   in   obiecto    conspicui    semidiameter   erit    —  ^,    quod 
apparebit  gradu  claritatis,  cuius  mehsura  est 

_  3,38a  _  27,04 


SCHOLION 

316,   In  his  microscopiis  id  desiderari  poterit,  quod  eorum  longitude  fiat 
nimis   magna,    cuius   rei  ratio   tnaximani  partem   in   eo   est  sita,    quod   erat 

O 

PPM  ..  Quamobrem  nostram  lontem  quadruplicatani  ad  exemplum  octavum 
[§  305]  accommodemus,  ubi  est 

P_24,     »--?£     et     JS--g; 

unde  patet,  si  iterum  capiatur  A  •»  50,  partes  confusionis  a  lentibus  S  et  C 
ortas  magis  evanescera  quani  casu  praecedente;  turn  vero  etiam  littera  $ 
eundem  quern  ante  valorem  retinebit;  hinc  ergo  formari  potest  sequens 


UONSTUUOTIO  M10KOSCOPII  EX  NOVEM  I.ENTIBUS  OOMPOBITI 

QUAKUM   QUATUOtt   PKIORES   LKJNTEM   OBIEOTIVAM   OONSTITUKNTES 

EX  VITRO  ORYSTALLINO  BINT  FAOTAE 

317.    In  hac  constructions  quatuor  articuli  priores  ad  lentes  obiectivas 
relati  manent  iidem  ut  in  genera  praecedente,  nisi  quod  statui  debeat 

IV,  Intervallum  quartae  lentis  ad  quintam  —76,74  a. 
Reliqui  porro  articuli  erunt,  ut  sequontur; 

V.  Quintae  lentis 


distantia  focalis  sit  g^^l 

et  samidiameter  apartume  —||-f  ifl?  existenta  $«0? 

diitantla  ad  leu  tern  sextain  —  15,87  a* 


ill  4 


530  LIBRI  TERTTI  SECTIO  QUARTA     OAPUT  HI     §  317-319  [423-425 

VI.  Sextae  lentis 

distantia  focalis  sit  r  =  14,20  a 
et  semidiameter  aperturae   =  g%, 

distantia  ad  lentem  septimam   =  14,20  Ca  (l  —  |^  • 

VII.  Septimae  lentis 

quae    utrinque    debet    esse    aequaliter    convexa    ut    et    duae    sequentas, 

o 
sit  distantia  focalis  s  ==  127,78  -  -^  •  a;  cui  lenti  apertura  tribuitur  maxima 

et  distantia  acl  lentem  octavam  =47,92*^* a. 

VIII.  Lentis  octavae 

o 
distantia  focalis  sit  t  =  79,86  •  ^  •  # 

et  distantia  ad  lentem  nonam   =»  19,97-^-a. 


IX.    Nonae  deniqua  lentis 

u  «•  39, 
et  distantia  ad  oculum  «  I 


distantia  focalis  est  u  «•  39,93  *     •  a 


a 


X.   Denique  ut  ante  est  spatii  in  obiocto  conspicui 
quod  apparebit  gradu  claritatis,  cuius  mensura  est    '*™1*  .*  * 


.n 


SCHOLIQN  1 

318,  Tarn  in  his  duabus  microscopiorum  speciebus  quam  in  aliis,  quae 
simili  mode  in  medium  afferri  possunt,  id  potisslmum  inprimis  uotatu  dignuni 
occuiTit,  quod  eaedem  lentes  ad  omnes  plane  multiplieationes,  dummodo  satis 
magnas,  aeque  adhiberi  possunt  Cum  enim  numerus  (J  plane  ab  arbitrio 
nostro  pendeat,  dummodo  sit  mediocriter  magnus,  ita  ut  S^j  f^  ^  praxi 
pro  unitate  haberi  queat,  fractio  ^  taiiquam  data  spectari  pofcest  veluti  ~  ^ 
vel  —^j  ut  postremae  lentes  non  flant  nimis  exiguae^  ita  ufc  haae  fractio 
multiplieationem  non  amplius  continere  sit  censeBda*  Hoc  igitur  noteto 
solum  intervalluin  lentiuui  sextae  et  septimaa  muitiplieationem  detaiminabit, 


•125-426]  DE  SUMMA  HORUM  MIOROSCOP10RUM  PERFECTIONS  531 

ita  ut  manentibus  tam  iisdem  lentibus  quam  reliquis  intervallis  solum  istud 
intervallum  pro  varia  mnltiplicatione  mutari  debeat,  quae  autem  mutatio  non 
adeo  erit  magna.  *)  Si  enim  desideretur  multiplicatio  m  =  400,  sumta  di- 
stantia  obiecti  a  =  -~  dig.  erit  $1  =  ~  —  25  hincque  istud  intervallum 

—  12,48  Ca  —  6,24  Odig. 

ob  a  =====  g  dig.  Sin  autem  velimus  multiplicationem  m  =  800,  hoc  inter- 
vallum  erit 

=  13,35<?a  =  6,67Gydig. 

Atque  adeo  si  hoc  intervallum  sumeretur 

—  14,20  Oa^  7,10  6Ydig. 

tune  multiplicatio  infinita  produceretur.  Semper  autem  consul  turn  erit  his 
instruments  non  nisi  ad  multiplications  raaximas  nti?  quoniam,  nisi  5Di 
esset  numerus  valde  magnus,  littera  0  tanta  non  foret,  ut  &  pro  unitate 
haberi  posset. 

SCHOL10N  2 

31,9.  VideamuB  nunc  etiam,  an  hae  lentes  obiectivae  quadruplicatae  ad 
eos  casus  adplicari  posRent,  ubi  littera  A  fit  negativa,  ad  quod  investigandum 
Bitmamus  Buperius  exemplum  septimum  |§  304],  ubi  erat  P—  *|,  atque  ut 
intervallum 


prodeat  positivum,  posito  A^  —  cc  debebit  esse  «^tg  —     £T^    positivura 
hincque 


ideoque  multo  magis  rJ1  <  ^8  sivo  <J  <  ^  ,  id  quod  in  praxi  locum  habere 
nequit.  Quia  autem  hoc  non  successit  ob  valorem  jP«-||>  faciamus  adplica- 
ttonem  ad  exemplum  8  casus  1  [|  298J,  ubi  erat  P—  -*-,  S  —  §i  J?—  "• 
Hoc  oasu  ergo  positivum  esse  debet  intervallum 


!}  late  aa*«rUo  inaocuraU  a«U          E  Ob* 

/ 


532  LIBBI  TERTII  SECTIO  QUANTA     CAPUT  III     §  319-821  [426—427 

unde  pro  3  valor  non  nimis  exiguus  requiritur.     Examinari  autem  oportet 
aequationem,  qua  confusio  tollitur,  quae  per  16  A*  multiplicata  erit 

0  =  _  (a  —  I)8  +  v(a  —  l)(5a2  +  Qa  +  5) 
»  „,        16  /  X  v 

+  180  +  23)  —          3  -f- 


cui  quidem  aequationi  satis  idoneis  valoribus  tarn  pro  a  quam  fi  satis  Jleri 
posset;  sed  quia  haec  microscopiomm  species  alii  incommodo  est  obnoxia, 
quandoquidem  una  lens  in  ipsa  imagine  reali  posteriori  est  constituta,  undo 
repraesentationem  non  mediocriter  inquinaii  iam  supra  observavimus,  non 
opus  esse  duco  hanc  evolutionem  suscipere,  sed  potius  formularum  inventarum 
adplicationem  ad  telescopia  ostendi  eo  magis  conveniet,  quod  earum  usus  in 
microscopiis  non  tantopere  desiderari  videtur,  quoniam  perinde  est,  Bive  ob- 
iecta  inverse  sive  erecte  repraesentantur;  quae  autem  supra  de  teloscopiia 
huius  generis  sunt  allata,  ad  duos  tantum  casus  nimis  particularos  Hunt 
referenda.  Quare  ex  hac  ulteriori  istius  generis  evolutione  non  contemnen- 
dum  supplementum  peti  potest. 

ADPLICATIO  HUIUS  PBOBLBMATIS  AD  TELESCOPIA 

320.  Cum  distantia  obiecti  a«-c\D,  litteram  A  evanescentem  sumi  oportet, 
ita  tamen,  ut  Aa  distantiam  finitam,  quae  sit  —  Z,  denote!  Hinc  igitur 
nostrarum  quatuor  lentium  obiectivarum  distantiae  focales  ita  so  habebunt: 

p'  —  4lt    /'  -  4(1  —  r% 


existente  communi  intervallo  inter  has  lentes   —  4M.     Litterae  autom   ger- 
manicae  ad  has  lentes  construendas  adhibendae  sunt 

r-0,    r-™l,    8T-  —  2,    «T"—  —  3, 

dum  alterae  litterae  A,  X  etc*  omnes  sunt  —1.    Turn  vero   inter  vallum  ab 


hac  lente  quadruplicata  ad  lentem  sequentem  erit  —  (l  —  6«f  —  L\  I.    Verum 
ad  confusionem  destruendam  nunc  iata  habebitur  aequatio: 

^ 
/ 


427-429]  DE  SUMMA  HORUM  MICRO  SO  OPIORUM  PERFECTIONS  533 

quae,  si  lentes  ex  vitro  crystalline  conficiantur,  ubi  est  v  =  0,2529,  abit  in  hanc: 

0  =  ~L°r^5_± 

"16 
Hinc  ergo  si  duo  postrema  membra  evanescerent,  foret  circiter  3  =  ~  ;  acce- 

13 

dentibus  autem  istis  membris  minor  evadet,  verum  tamen  haec  membra  tarn 
debent  esse  exigua,  ut  non  superent  °^~5;  inter  exempla  autem  in  fine 
capitis  superioris  allata  nullum  occurrit,  quod  hie  locum  habere  queat,  cum 
confusionis  partes  ex  his  lentibus  natae  multo  sint  maiores;  neque  etiam 
formulae  generates  ibi  datae  ad  hunc  usum  accommodari  possunt,  ita  at 
huiusmodi  lens  obiectiva  quadruplicata  in  hoc  telescopiorum  genere  nullum 
plane  usum  habere  possit. 

PROBLEMA  2 

321.  Si  lens  ohiecti'va,  constct  trilms  lentibus  9  quarum  prima  sit  concava  ex 
vitro  crystalline*,  duae  (mtem  rvliquae  eonvcxae  coo  vitro  coronario  confectae,  reliquis 
lentibus  omnibus  mancntibus,  uti  in  capite  praecedente  sunt  descrijptae,  microsco- 
pium  constnteret  quod  ah  omni  confusionc  sit  liberatum. 

SOLUTIO 

Hie  in  Bubmdmm  vocetur  problema  2  capitiB  111  HectioniB  praecedentis 
[|  194],  ubi  pro  tribus  istis  lentibus  obiectivis  in  evolutione  sequentes  sumti. 
sunt  valores: 

SI  —  -.-1      A——\,    S5-2,     »-~2,    (£-1     ofc    C-eo 

AH  t> 

sea  potiuB  (7  indefinitum,  dum  sit  numerue  satis  magnus*    Deinde 

1        17          1          87 


unde  trium   haram   lentium  distant  tiae  focalea,   quaa  Me  litteris  p'»  /', 
designemui,  ita  iunt  detaitae: 

/.  --  ia,    iT-ga,    ir-ga, 
interralla  autem  haram  leatium  «^a. 


534  LIBBI  TBBTI1  SECTIO  QUARTA     CAFUT  III     §  321-324  1 429— 430 

Ut  igitur  has   determinationes   ad   praesens  institutum   accommodemus, 

quod  ibi  erat  ABC,   hie   nobis  est  simpliciter  A,   ita  ut  sit  y(7=  J.,  seu 

n 
quod  ibi  erat  (7,  hie  nobis  est  yJ.,   et  quia  ibi  C  erat  indefinitum,   etiam- 

nunc  hie  A  denotabit  numerum  indefinitum,  dummodo  sit  satis  magnus. 
Deinde  quod  ibi  erat  PQR,  hie  nobis  simpliciter  erit  P,  quod  ideo  etiamnum 
est  indefinitum;  unde  intervallum  a  lente  obiectiva  hae  triplicata  ad  lentem 
usque  sequentem  nobis  hie  erit 

'37         1 


Ut  vero  omnis  confusio  tollatur,  si  littera  A  referatur  ad  lentem  primam 
concavam  crystallinam,  eui  respondeant  litterae  ^  et  v,  pro  sequentibus  vero 
lentibus  coronariis  litterae  A',  A"  ete.  unitati  aequales  ponantur  ae  vitro  coro- 
nario  conveniant  litterae  /uf  et  r,  littera  A  definiri  debet  ex  hac  aequatione; 


(*< 
existente 


Hie  ergo  ex  supra  evolutis  exemplis  ea  eligi  poterunt,  in  quibus  A  numenmi 
satis  magnum  denotare  potest  atque  ubi  p  <  ^  ,  Bicque  plum  huiuBmodi 
microscopiorum  species  omni  confusione  carentes  inveniri  poteruni  Notetur 

autem  ease 

p  —  0,8724  et  v  —  0,2529; 
at  vero 

^-0,9875  et  v  —  0,2196, 
ita  ut  sit 

log.  -£-0,0638214. 

r* 

Hinc  ergo  evolutione  facta  erit 

A  -  2,2983  +  4,4698  +  SS*»  -  ^  (^  +  ^)  +  ^        (^  + 


430-431]  DE  SUMMA  HORUM  MICROSCOPIORUM  PERFECTIONS  535 

hocque  valore  invento  erit 

A  =  0,1897  +  -^ 

o^t 

existente 

log.  JL  =  9,1507314. 

o^t 

COEOLLARIUM  1 

322.  Hinc  ergo  patet,  si  mode  capiatur  A  =  10  hincque  in  superioribus 
formulis  6y««=15?  partes  huius  formulae  posteriores  tarn  fieri  exiguas,  ut  tuto 
negligi  queant,  dummodo  litterae  33  et  J5,  quae  sunt  negativae,  non  fiant 
unitate  inulto  minores,  quod  facile  obtinetur,  si  mode  P  unitatem  notabiliter 
superet.  Turn  igitur  habebitur  satis  exacte 

A  *_  0,1897  +  0,9664  —  1,1551  . 

COEOLLARIUM  2 

828.  Quia  in  hac  hypothesi  pro  superioribus  formulis  erat  6V«=15,  cum 
tamen  ibi  sumsissemus  (S««l,  quo  haec  fiant  accuratiora,  debuissemuB  ibi 
Burners  (£  —  JJj,  unde  pars  ilia  tertia  4,4598  aliquanto  maior  evasisset  in 
ratkma  16s  :158;  quo  facto  loco  istius  numeri  Bubstitui  debet  hie  5,4125,  ex 
quo  concluditur  A  —  1,2807.  Turn  vero  pro  tertia  lento  obiectiva  fiat 
jT  —  0,826  a, 

GOBOLLAEIUM  8 

824.  Ut  autem  aliquam  rationem  teneamus  sequentium  lentium,  istum 
valorem  ipsius  A  taatillum  augeri  oportebit  eumque  ergo  sumamus  A  —  1,29, 
Unde  pro  constructione  primae  lentis  erystallinae  fiat  t  X(A  -~  1)  —  0,4725. 

Mine  pro  prima  lente  obiectiva,  cuius  distantia  focalis  est  #'—  -~  ^  a 
at  numaras  W  •—  —  ,  trit 


i)         1,8808 
facial  { 

posterioris    •»  -  .....  -~  —  —  ~-  •—  ;  ~-~-~—  —  -  •*»  —  "rrr  "*•  -h  4,686  «, 
r  ~i)        o,ioe? 


LIBBI  TERTII  SECTIO  QUARTA     CAPUT  III     §  324-326  [432-433 


Pro   secunda  yero   lente   obiectiva   ex    vitro    coronario,    cuius    distantia 
focalis  est  /'==  ^^  =  0,8095  a  ,  ob  33  =  2  supra  inventus  est 

.  .  (anterioris   =  —  0,6708  a 
radius  faciei  \ 

Iposterions  =  +  0,2617  #. 

Pro  tertia  autein  lente  obiectiva,  cuius  est  distantia  focalis  jp'"«=  0,826  a, 
ob 


anterioris 

...        «     .   . 

radius  faciei 

posterioris  —  -  -r^r~  x  =  -  ;  x    =  0,526  a, 
.r  9  +  (£(<r  —  9)        1,5705 

Quibus  tribus  lentibus,  quarum  intervalla  sunt  ==  ;  .  a  ==  0?071  a?  tribui  potcrit 
apertura,  cuius  semidiameter  o?^0^065a;    unde  nascitur  claritas,   cuius   men- 

JL          10.4 

sura  est  =====  ~  - 

COBOLLAKIUM  4 

325,  Quod  ad  reliquas  lentes  attinet,   quoniam  in   calculum   confusionis 
non  ingrediuntur,  perinde  est,  ex  quonam  vitro  parentur  et  quaenam  ftgura 
ipsis  tribuatur,  dummodo  eae  utrinque  fiant  aeque  convexae,  quae  maximam 
aperturam  habere  debent;  id  tantum  notetur  intervallutn  a  tertia  Umto  ob- 
iectiva ad  sequentem  lentem  esse  debero  =«  10  a 

EXEMPLUM  1 

326.  Adplicemus  haec  ad  exempluin  2  postremi  casus  capitis  praecedentis 
[§  299]  ?  ubi  secunda  lens  plane  tollebatur  primumque  et  secundum  intervallum 

in  unmn  coalescebat,  quod  nunc  erit  —16,54  a.    Mine  ergo  sequitur 

* 

OQNSTKUCT10  MICEOSfiOPII  EX  SBPTEM  LBNTIBUS  OOMPOSITI 
Hie  praeter  dietantiam  obiecti   «a  multiplicatio  m  ut  data  assumitur, 
unde  fit  3$  —  i  ^a  *    Turn  vero  etiam  numeros  0  arbitrio  nostro  relinquitur, 
dummodo  sit  praemagnus,  quo  effici  poterit,   ut  postreEiae  lentes  non  flaat 
nhnis  axiguae.    Conetruetio  igitur  ita  se  habebit: 


433-434]  DE  SUMMA  HOKUM  MICEOSCOPIORUM  PERPEGTIONE  537 

I.  Pro  prima  lente  ex  vitro  crystallino  paranda,   cuius   distantia  focalis 
est  p'  =  —  -i-  a ,  capiatur 

_    .  .  f  anterioris     =  —  0,273  a 
radius  faciei  { 

I  postenoris  =  +  4,686  a, 

eius  aperturae  semidiameter  x  =  0,065  a   et  intervallum  ad  lentem  secundam 
=  0,071  a. 

II.  Pro  secunda  lente  ex  vitro  coronario  paranda,  cuius  distantia  focalis 
est  jp" ««  0,809  a,   capiatur 

, .       ,          i  anterioris   =  —  0,671  a 
radius-  laciei  {       ,     . 

Iposterions  ««  +  0^262 a, 

eius  apertura  ut  primae  et  intervallum  ad  lentem  tertiam  etiam   —  0,071  a. 

III.  Pro  tertia  lente  itidem  ex  vitro  coronario  paranda,   cuius   distantia 
focalis  est  p'"  ***  0,826  a,  capiatur 

.  ( anterioris   —  2,611  a 
radius  racial  {       ,    .    . 

Iposterions  •«=  0,526  a, 

eiuB  aportura  etiam  ut  primae,  at  Lutorvallimi  ad  lewtoju  quartan)    «•  16,54 a. 

IV.  Pro  quarta  lente  perinde  est,   ex  quonam   vitro  paretur,   clummodo 
nit  eius  distantia  focalis  r««  ^(Sa  sive  proxitue  r^«3a,  neque  etiam  multum 
refert,  quaenam  huic  lenti  figura  tribuatur, 

Eius   aperturae    semidiameter    ~»  -^  +  \  a    et    intervallum    ad    lentem 

quintain 

10 /». 


V,  Fro  quinta  lante,  quam  utrmque  aeque  conve^am  essa  oportet,  distantia 
foeaiii  i  —  30*£*a  eiusque  apertura  maxima*    InteiTallum  ad  lentem 


mo   0 

—   •l^1-*      »     uj42i' 

17     ^ 


ornni*  HI«  DioptrJo» 


538  LIBET  TERTII  SECTIO  QUAETA     OAPUT  III     §  326-327  [434-435 

VI.   Pro  sexta  lente  pariter  utrinque  aeque  convexa  distantia  focalis  est 


_  225^    9     —  15^  9 

1  ~  "9T+T '  3R ' a  ~  T7~  *  3» " a 
et  intervallum  ad  lentem  septimam 

=  _l?5i_    C  75     c 

~  4(9i+  1)  '  Wt : "  *  ^   34" "  2ft  *  a' 

VII.  Pro  septhna  lente  etiam  utrinque  aeque  convexa  distantia  focaliu  est 

OOR,;        r'  i  7*      /*t 

/  ua  0 «  w  J.    ,  <  0         U  « 

et  distantia  ad  oculum  =  ;cu. 

6 

VIII.  Spatii  in  obiecto  conspicui  erit  semidiameter   ^  .?*L   et    mensura 

claritatis  ~  ~ » 
//*< 

Hie  igitur  quantitas  (7  arbitrio  nostro  relinquitur,  duinmodo  sit  immeruw 

/Y 

satis  magnus,  ita  ut  fractio  ««  tanquam  data  spectari  possit;  cUundo  patet 
etiam  ease  ^="3^^  sicque  ipsis  lontibus  iisdem  manentibus  idem  histruinen- 
turn  ad  omnes  multiplicationes  aptum  reddi  potorit,  diaumodo  iuiorvallum 
inter  lentem  quartam  et  quintain  varietur,  cum  etiam  reliqua  inter  valla 
maneant  eadem  ob  fractionem  ^ 

EXKMPLUM  2 

327,  Lentem  nostram  obiectivam  triplicatam  etiam  coniungere  licebit 
cum  superiori  exemplo  tertio  [§800],  ubi  erat  P—  *  et  S3«  — 1.  Manebant 
igitur  tres  priores  articuli  uti  in  exemplo  praeeedente,  nisi  cjuod  in  ttne 
tertii  scribi  debet: 

Intervallum  a  tertia  lente  ad  quartern 

-6,65  a. 


435-437]  DE  SUM  MA  HORUM  MIGROSC10PIOEUM  PERFECTIONS  539 

IV.  Pro  quarta  lente  perinde  est,   ex  quonam  vitro  paretur,    dummodo 
sit  eius  distantia  focalis 

2  =  ~-_a=-6/7a. 

Q  ,0  Q 

Eius  aperturae  semidiaxneter  ass=:  •§•  •  M  "H  T  ^ 
et  intervallum  ad  lentem  quintam  =  5#. 

V.  Pro  quinta  lente,  cuius  distantia  focalis  est 

r  «.  ~  &a  «  1,667  (£a  -  1,50  a 
*j 

ramto  scilicet  (S  —  ^,  Biquidem  unitati  prorsus  aequari  non  potest, 


ciiiB  aperturae  flemidiamefcer  ^  ^  +  ^w, 

intervallum  ad  lentem  Boxtam  ^^Oa^l  —  Q  seu?  si  ponatur  ^^y, 
ut  sit  G^yffll,  hoc  intervallum  erit  *  *^<ya(Wl'—lty9  ubi  y  ita  sumitur,  at 
lentes  sequentes  non  fiant  nimis  exiguae, 

VL  Pro  sexta  lente,  quae  cum  sequentibus  debet  esse  utrinque 
>  diatantia  focalis  sit  s  ^^  15  y  &, 

apertnra  maxima  sou  semidiamoier  aporturae 
et  intervallura  ad  lentem  aeptimam  «*^  j/a  — 


VII   Pro  eeptima  lente  distantia  focalis  i  «*  ~g  ya  — . 

aperturae  semidiameter  »  ^  <, 

inter?allum  ad  lentem  octavam  »««-v^*«lj 


VI1L  Pro  lente  octara  distantia  focalis  t«< 
apertmrae  semidiameter  «•  ^-w, 
distentia  ad  octilum  —  4  ^* 


u 


IX,    Spatii   in  obieeto  conspicni  erit  semidiameter  »— ^   et  mensurn 
el^iitatis  — 


m 


540  LIBRI  TERTII  SEOTIO  QUAETA     CAPUT  III     §  328-329  [48T--438 

EXEMPLUM  3 

328.  Superius  quartum  exemplum  hue  transferri  nequit;  ex  quinto 
[§302]  autem,  ubi  P  =  y  et  S3  =  —  y,  nascitur  haec  constructio: 

Tres  articuli  priores  manent  ut  in  exemplo  primo;  iis  autem  aub- 
iungatur: 

Intervallum  a  tertia  lente  ad  quartam  =«  0,325  a, 


IV.  Pro  quarta  lenbe 


Distantia  focalis     —     a 


Bins  aperturae  semidiameter  ~  4  -^  +  ^a;. 

715 
162 


Distantia  ad  lentem  quintam  -»=  t Ro^-~:  4,414  a. 


V,  Pro  quinta  lenfco 

Distantia  focaliB  f«l,83a. 

Eius  aperturae  semidiameter  --  |*^+  ^'* 

Distantia  ad  lentem  sextam  —2,087^(^—10). 

VI  Pro  aexta  lente 

Distantia  focalis  s «—  j^a  —•  18,33ya. 

Aperturae  semidiameter  ««  •*  s. 

Distantia  ad  lentem  septimam  «»  11^096^^, 

VII,  Pro  sepfcima  lente 

Distantia  focalis  t  —  ~ ya «-  7,237 /a* 

Apertetrae  semidiameter  —  J  L 

IntervaUum  ad  lentem  octavam  —  J^ya*-  1,809 y a- 


438— 439J  DE  SUMMA.  HORUM  MICROSCOP10EUM  PERFECTIONS  541 

YIIL  Pro  octava  lente 
Distantia  focalis  u  =  ~~  t  =  3,618  ;/&. 
Aperturae  semidiameter  «=  ^u 
et  distantia  ad  oculum  =  ~t*. 

IX.    Campus  et  claritas  se  habent  uti  in  praecedentibus  exemplis. 

EXEMPLUM  4 

329.    Ex   superiori    exemplo    octavo   [§  305],    ubi    P=24   et  $=«  —  —, 
nascitur  haec  constructio: 

Tribus  prioribus  arfciculis  manentibus  at  ante  subiungatur: 

Distantia  tertiae  lentis  ad  quartam  «=»  12,80  a. 

IV.   Pro  quarta  lente 
Distantia  focalis  j^^a«=.2,S96a. 
Aperturae  semidiameter  *»  ^|  +  ^M* 
hitervallum  acl  quintam  lentem  ^  g1^ a  ^3, 194 a. 

V.  Pro  quinta  lente 
Distantia  focaliB  r  ^\j,  *  K& ««  2,556^. 
Aperturae  semidiameter  **-B$* 
Intervallum  ad  aextam  lentem  — »2,830ya(iJR  — 3). 

VL  Pro  Bexta  lente 
Distantia  focalia  ^  «*  25,556  ya* 
Aperturae  semidiameter  —  *  s. 
Intervallum  ad  septimam  lentem  * 


VII,   Pro  septima  lente 
Diitantia  foealis  I  —  15,972 /a, 
Apertame  iemidiameter  — -j-'* 
Intervsllum  ad  lentem  octavam  —  ^<  — 8,998  ya, 


542  LIBKE  TERTJI  SEOTIO  QUART  A     CAPUT  III     §  320-330  [439-440 

VIII.    Pro  octava  lente 

Distantia  focalis  u  =  ~t  =  7,986  y  a. 
Aperturae  semidiameter  =  -j  u. 
Intervallum  ad  Qculum  =  ~u. 


IX.   Campus  et  claritas  ut  in  praecedentibus  exeraplis, 

EXEMPLUM  5 

330.  Facta  denique  applicatione  ad  superius  exemplum  0  f§  80fi]  po~ 
stremo  nascitur  haec  constructio; 

Tribus  prioribus  lentibus  manentibus  ut  hactenus  su})iungatur  t.artio 
articulo: 

Intervallum  tertiae  et  quartae  lentis  »  12,24  a. 

IV.  Pro  quarta  lente 

QOK 
Distantia  focalia  q  *~  ^  a  ««  2,257  a. 

Aperturae  semidiameter  «*  ^  +  ^  x* 
Bietantia  ad  quintam  lentem  *»  3,009  a, 

V,  Pro  quinta  lente 

Distantia  focalis  r  •«  2,097  a. 

Aperturae  semidiameter  —  ^-#. 

Intervallum  ad  sextam  lentem  —  2,88ya(i0l~  t)* 

VL  Pro  sexta  lente 
Distantia  focalis  #~  20,97  fa, 
Aperturae  semidiameter  ••«**« 
Interrallum  ad  septimam  leatam  * 


440]  DE  SUM  MA  HORUM  MICEOSOOPIORUM  PERFECTIONS  543 

VII.  Pro  septima  lente 
Distantia  focalis  £  =  15,726 ya. 

Aperturae  semi  diameter  — -j-tf. 

Intervallmn  ad  lentem  octavam  =  ~ t  =  3,931 /a. 

VIII.  Pro  octava  lente 
Distantia  focalis  w  — 7,868  y a. 

Aperturae  semidiameter  =«  •   w. 
Distantia  ad  oculum  ==  j-w. 

IX.   Campus  et  claritas  se  habent  ut  in  praecedentibus  exemplis. 


FINIS  OPEEIS 


Date  Due 


'o  293-5 


Verlag  von  B.  G.  TEUBNER  in  LEIPZIG  und  BERLIN 

Encyklopadie  de?*  Mathematischeu  Wissenschaffcen  mit  EinschluB  ihrer 
Anwendungen.  Herausgegeben  im  Auftrage  der  Akademien  der  Wissensehaften 
zu  G-ottingen,  Leipzig,  Miinchen  und  "Wien,  sowie  unter  Mitwirkung  zahl- 
-  reicher  Fachgenossen,  In  7  Banden  zu  je  6 — 8  Heffcen.  gr.  8.  Geheftet  und  in 
Halbfranz  geb.  V.  Physik,  3  Teile,  red.  yon  A.  Sommerfeld  in  Munchen.  Unter 
Mitwirkung  von  M.  Abraham,  L.  Boltzmann,  G.  H.  Bryan,  P.  Debye,  H.  Dieselhorst, 
H.  Dubois,  Fr.  Emde,  S.  Finsterwalder,  R.  Gans,  F.  W.  Hinrichsen,  E.  W.  Hobson, 
J.H.  van 't  Hoff,  H.Kamerlingh-Onnes,  M.Laue,  Th.Liebiseh,  H.  A.  Lorentz,  L.Mamlock, 
G.  Mie,  H.  MinkowsH  f ,  0.  Miigge,  J.  Nabl,  F.  Poekels,  L.  Prandtl,  B.  Reiff,  C.  Runge, 
A.  Schoenflies,  M.  Sehroter,  E.  Study,  A.  Wangerin,  W.  Wien,  J.  Zenneck. 

L  Teil.    1.  Heft.    1903.    M  4.80.     2.  Heft.    1905.    M  4.80.     3.  Heft.    1906.    M  5.20. 
4.  Heft.    1907.    M  3.60.     H.  Teil.    1.  Heft.    1904.    M  8.—.    2.  Heft.    1907.    jfC  3.—. 

3.  Heft.   1910.   ^4.60.    IH.  Teil.   1.  Heft.   1909.   ^8.—.    2.  Heft.   1909.   M  5.— 

Bitte  ausfuhrlichen  Prospekt  zu  verlangen. 

Encyclopedic  des  sciences  mathematiques  pures  et  appliquees.  Publiee 
sous  les  auspices  des  Academies  des  sciences  de  G-ottingue,  de  Leipzig,  de 
Munich  et  de  Vienne  avec  la  collaboration  de  nombreux  savants.  Edition 
fran9aise,  redigee  et  publiee  d'apres  Tedition  allemande  sous  la  direction  de  Jules 
Mo  Ik,  professeur  a  Funiversite  de  Nancy.  En  sept  tomes,  gr.  8.  Geheftet.  V.  6  vol. 
Physique,  red.  en  francais  par  P.  Langevin  et  J.  Perrin  a  Paris. 

Vol.  1.  Thermodynamique,  2.  Physique  moleculaire.  3.  Principes  physiques  de  1'Electricite. 

4.  Principes  physiques  del'Optique.  5.  Electricit^  mathematique.  6.  Optique  mathematique. 


ALKINDI,TIDEUS  undPSEUDO-EUKLID,  DreioptischeWerke.  Heraus- 
gegeben von  Axel  Anthon  Bjornbo  und  Seb.Vogl.  Mit  43  Fig.  gr.  8.  1911.  Geh. 

EBERT,  Dr.  H.,  Professor  an  der  Techn.  Hochschule  zu  Munchen,  Lehrbnnh 
Physik.  Nach  Vorlesungen  an  der  Technischen  Hochschule  Munchen.  In 
gr.  8.     Band  I:  Mechanik  und  Warmelehre.    Mit  168  Abbildungen 
661  S.]    1912.    In  Leinwand  geb 

GRIMSEHL,  Dr,  E,,  Direktor  der  Oberrealschule  auf  der  IJV 
Lehrbuch  der  Physik.     GroBe  Ausgabe.     Zum  Gebrau 
akademischen  Yorlesungen  und  zum  Selbststudium.    2.,  vi 
Auflage.    Mit  1296  Figuren,  2  farbigen  Tafeln  und  ein 
Tabellen  physikalischer  Konstanten  und  Zahlentabellen, 
1912.    Geh.  M  15. — ,  in  Leinwand  geb 

KELVIN,  Lord,  Vorlesungen  iiber  Holekulardyna: 

Lichts.    Deutsch  herausgegeben  von  Geh.  Regierungsrat 
stein  in  Berlin.    [XVIU  u.  590  S.]    gr.  8.    1909.    In 

LECHER,  Professor  Dr.  EM  Lehrbuch  der  Experiment 
und  Biologen.  gr,  8.  [Erscheint  im  Herbst  1912.] 

LEIBNIZ,  G-.  W.,  nachgelassene  Schriffcen  physika 
und  technischen  Inhalts.  Herausgegeben  und  mit  ej 
versehen  ron  Dr.  E.  Gerland,  Professor  an  der  Kgl.  B^ 
Mit  200  Figuren  im  Text,  [VI  u.  256  S.]  gr.  8.  190! 


¥.  4 
Series 


Carnegie  Institute  of  Technology 
Library 

Pittsburgh,  Pa. 


II 


30  1O3